Freifallrechner: Zeit, Geschwindigkeit und Höhe Schritt für Schritt berechnen
Ein Freifallrechner ermittelt die Zeit, Geschwindigkeit oder Höhe eines Objekts, das nur unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt, mit der Freifallformel h = ½gt² und v = gt, wobei g die Gravitationsbeschleunigung ist (etwa 9,8 m/s² nahe der Erdoberfläche). Anders als allgemeine Projektilbewegungen setzt echter Freifall voraus, dass es keine horizontale Geschwindigkeit und keinen Luftwiderstand gibt, daher ist die Bewegung rein vertikal und hängt nur von einer Handvoll Variablen ab: Anfangshöhe, Zeit, Anfangsgeschwindigkeit und Endgeschwindigkeit. Dieser Leitfaden behandelt, woher die Freifallgleichungen stammen, wie man sie umordnet, um nach einer fehlenden Variablen zu lösen, zwei vollständig bearbeitete numerische Beispiele, die Fehler, die einen Freifallberechnung am häufigsten durcheinander bringen, und Übungsaufgaben mit überprüften Antworten.
Inhalt
- 01Was ist ein Freifallrechner und welche Formeln verwendet er?
- 02Wie leitet man die Freifallformeln aus Newtons zweitem Gesetz ab?
- 03Wie ordnet man die Freifallformel um, um Zeit, Geschwindigkeit oder Höhe zu lösen?
- 04Bearbeitetes Beispiel 1: Wie lange dauert es, bis ein Ball von einem Gebäude fällt und auf den Boden trifft?
- 05Bearbeitetes Beispiel 2: Welche Anfangshöhe führte zu einer gemessenen Aufprallgeschwindigkeit?
- 06Welche häufigen Fehler bringen ein Freifallrechnerergebnis durcheinander?
- 07Übungsaufgaben: Können Sie diese Freifallprobleme lösen?
- 08Wie unterscheidet sich Freifall von Projektilbewegung, und wie kann Solvify Ihnen helfen, Ihre Arbeit zu überprüfen?
Was ist ein Freifallrechner und welche Formeln verwendet er?
Ein Freifallrechner wendet die kinematischen Gleichungen der konstanten Beschleunigung auf ein Objekt an, das in Ruhe beginnt (oder mit einer bekannten Anfangsgeschwindigkeit) und nur unter der Schwerkraft fällt, wobei Luftwiderstand ignoriert wird. Drei Formeln decken jedes Freifallszenario ab: die Höhenformel h = ½gt² (oder h = v₀t + ½gt² mit einer Anfangsgeschwindigkeit), die Geschwindigkeitsformel v = gt (oder v = v₀ + gt) und die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Höhe v² = 2gh (oder v² = v₀² + 2gh). Da Freifall nur vertikale Bewegung entlang einer geraden Linie beinhaltet, handelt es sich um die Standard-Kinematikgleichungen, bei denen der allgemeine Beschleunigungsterm a durch g ersetzt wird, und es gibt keine horizontale Komponente zu berücksichtigen. Nahe der Erdoberfläche ist g ungefähr 9,8 m/s² (9,81 m/s² für mehr Präzision oder 32,2 ft/s² in imperialen Einheiten), und es wird für jeden Fall von einigen hundert Metern oder weniger als konstant behandelt – die kleine Variation von g mit der Höhe und dem Breitengrad spielt keine Rolle, bis die Abstände planetar werden. Ein Freifallrechner nimmt alle bekannten Variablen – Höhe, Zeit, Anfangsgeschwindigkeit oder Endgeschwindigkeit – und löst nach allem, was fehlt, mit der entsprechenden Umordnung dieser drei Formeln.
Jede Freifallberechnung reduziert sich auf drei Formeln – h = ½gt², v = gt und v² = 2gh – wobei g ≈ 9,8 m/s² die konstante Beschleunigung der Schwerkraft darstellt.
Wie leitet man die Freifallformeln aus Newtons zweitem Gesetz ab?
Die Freifallformeln sind nicht willkürlich – sie folgen direkt aus Newtons zweitem Gesetz und der Definition der konstanten Beschleunigung, weshalb die gleiche Freifallgleichung für eine fallende Münze, einen Skydiver vor dem Öffnen des Fallschirms oder einen von einer Klippe geworfenen Stein funktioniert.
1. Schritt 1 – Beginnen Sie mit Newtons zweitem Gesetz
Bei einem frei fallenden Objekt wirkt nur die Schwerkraft auf es, also F = mg. Newtons zweites Gesetz besagt F = ma, also mg = ma, und die Masse hebt sich auf und ergibt a = g – jedes fallende Objekt beschleunigt mit der gleichen Rate, unabhängig von seiner Masse, solange Luftwiderstand vernachlässigbar ist.
2. Schritt 2 – Integrieren Sie die Beschleunigung, um die Geschwindigkeit zu erhalten
Da a = g konstant ist, ergibt die Integration über die Zeit v = v₀ + gt, wobei v₀ die Anfangsgeschwindigkeit ist (v₀ = 0 für ein einfach fallengelassenes Objekt).
3. Schritt 3 – Integrieren Sie die Geschwindigkeit, um die Position zu erhalten
Das Integrieren von v = v₀ + gt über die Zeit ergibt h = v₀t + ½gt², die Gesamtdistanz, die nach der Zeit t fällt.
4. Schritt 4 – Beseitigen Sie die Zeit, um Geschwindigkeit und Höhe direkt zu verknüpfen
Das Lösen von h = v₀t + ½gt² nach t und das Einsetzen in v = v₀ + gt ergibt v² = v₀² + 2gh, was nützlich ist, wenn die Zeit nicht bekannt ist oder nicht gefragt wird.
a = g fällt direkt aus F = ma ab, sobald die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft ist – die Masse hebt sich auf, weshalb sich eine Feder und eine Bowlingkugel in einem Vakuum identisch beschleunigen.
Wie ordnet man die Freifallformel um, um Zeit, Geschwindigkeit oder Höhe zu lösen?
Jedes Freifallrechnerproblem fragt nach einer von vier Unbekannten – Zeit, Geschwindigkeit, Höhe oder Anfangsgeschwindigkeit – und jede hat eine direkte Formel, sobald Sie wissen, welche zwei Variablen bereits gegeben sind. Ein Freifallrechner wählt einfach die Umordnung, die den beiden bekannten Werten entspricht, und überspringt die Algebra, aber das Verstehen jeder Umordnung ist das, was es Ihnen ermöglicht, einen Tippfehler in der Eingabe oder ein verdächtiges Ergebnis zu erkennen, bevor Sie der Zahl vertrauen.
1. Zeit given Höhe (fallen gelassen aus der Ruhe) lösen
t = √(2h/g). Dies gilt nur, wenn v₀ = 0; wenn das Objekt geworfen wurde, anstatt fallen gelassen zu werden, verwenden Sie stattdessen die quadratische h = v₀t + ½gt².
2. Lösen Sie die Zeit, wenn die Geschwindigkeit gegeben ist
t = v/g wenn v₀ = 0, oder allgemeiner t = (v − v₀)/g.
3. Lösen Sie die Geschwindigkeit, wenn die Höhe gegeben ist
v = √(2gh) wenn v₀ = 0, oder v = √(v₀² + 2gh) im Allgemeinen.
4. Höhe bei gegebener Zeit oder Geschwindigkeit lösen
h = ½gt² wenn v₀ = 0, oder h = v²/(2g) wenn v₀ = 0 und nur die Endgeschwindigkeit bekannt ist.
Sobald Sie wissen, welche zwei der Höhe, Zeit und Geschwindigkeit gegeben sind, hat die Freifallformel nur noch eine zu isolierende Variable.
Bearbeitetes Beispiel 1: Wie lange dauert es, bis ein Ball von einem Gebäude fällt und auf den Boden trifft?
Ein Ball wird (v₀ = 0) vom Dach eines 45,0 m hohen Gebäudes fallen gelassen. Wie lange dauert es, bis er den Boden erreicht, und wie schnell bewegt er sich beim Aufprall? Verwenden Sie g = 9,8 m/s².
1. Schritt 1 – Listen Sie die bekannten Werte auf
h = 45,0 m, v₀ = 0, g = 9,8 m/s². Zwei Unbekannte werden angefordert: Zeit t und Endgeschwindigkeit v.
2. Schritt 2 – Lösen Sie die Zeit mit t = √(2h/g)
t = √(2 × 45,0 / 9,8) = √(90,0 / 9,8) = √9,184 = 3,03 s.
3. Schritt 3 – Lösen Sie die Geschwindigkeit mit v = gt
v = 9,8 × 3,03 = 29,7 m/s.
4. Schritt 4 – Überprüfen Sie die Antwort mit v = √(2gh)
v = √(2 × 9,8 × 45,0) = √882 = 29,7 m/s, was mit dem Ergebnis aus Schritt 3 übereinstimmt und bestätigt, dass sowohl die Zeit als auch die Geschwindigkeit korrekt sind.
3,03 s und 29,7 m/s – zwei Formeln, h = ½gt² und v = √(2gh), überprüfen sich gegenseitig, wenn sowohl Zeit als auch Geschwindigkeit im gleichen Problem angefordert werden.
Bearbeitetes Beispiel 2: Welche Anfangshöhe führte zu einer gemessenen Aufprallgeschwindigkeit?
Ein fallen gelassenes Objekt trifft den Boden mit 24,5 m/s. Aus welcher Höhe wurde es freigegeben, und wie lange dauerte der Fall? Verwenden Sie g = 9,8 m/s².
1. Schritt 1 – Listen Sie die bekannten Werte auf
v = 24,5 m/s, v₀ = 0, g = 9,8 m/s². Zwei Unbekannte werden angefordert: Höhe h und Zeit t.
2. Schritt 2 – Lösen Sie die Höhe mit h = v²/(2g)
h = 24,5² / (2 × 9,8) = 600,25 / 19,6 = 30,6 m.
3. Schritt 3 – Lösen Sie die Zeit mit t = v/g
t = 24,5 / 9,8 = 2,50 s.
4. Schritt 4 – Überprüfen Sie die Antwort mit h = ½gt²
h = 0,5 × 9,8 × 2,50² = 0,5 × 9,8 × 6,25 = 30,6 m, was mit dem Ergebnis aus Schritt 2 übereinstimmt und bestätigt, dass Höhe und Zeit konsistent sind.
30,6 m und 2,50 s – das Arbeiten rückwärts von einer gemessenen Aufprallgeschwindigkeit verwendet genau die gleichen drei Formeln, nur für verschiedene Unbekannte gelöst.
Welche häufigen Fehler bringen ein Freifallrechnerergebnis durcheinander?
Die meisten falschen Freifallrechnerergebnisse entstehen durch eine Handvoll vorhersehbarer Setupfehler statt durch ein Missverständnis der Physik selbst.
1. Annahme v₀ = 0, wenn das Objekt geworfen wurde, nicht fallen gelassen
Die einfachen Formeln h = ½gt² und v = gt gelten nur für ein Objekt, das aus dem Ruhezustand freigegeben wird. Wenn das Objekt nach unten oder oben geworfen wurde, muss der Anfangsgeschwindigkeitsterm v₀ einbezogen werden, und die Höhengleichung wird zur quadratischen h = v₀t + ½gt².
2. Mischen Sie metrische und imperiale Einheiten für g
g ist 9,8 m/s² in metrischen Einheiten, aber 32,2 ft/s² in imperialen Einheiten. Eine in Fuß gemessene Höhe in eine Formel einzustecken, die g = 9,8 m/s² verwendet (oder umgekehrt), führt zu einer Antwort, die um einen großen, verwirrenden Faktor falsch ist.
3. Verlieren Sie den Überblick über die Signalkonvention
Wenn aufwärts als positiv gewählt wird, müssen g und Abwärtsgeschwindigkeiten als negative Werte eingegeben werden, und ein nach oben geworfenes Objekt hat ein positives v₀, das auf Null abnimmt, bevor es auf dem Weg nach unten negativ wird. Das Wechseln von Signalkonventionen in einem Problem ist eine der häufigsten Fehlerquellen.
4. Anwendung der Freifallformel, wenn Luftwiderstand tatsächlich eine Rolle spielt
Diese Gleichungen gehen von vernachlässigbarem Luftwiderstand aus, was eine gute Näherung für dichte, kompakte Objekte, die kurze Strecken fallen (ein fallen gelassener Stein oder Ball), ist, aber für leichte oder schnell fallende Objekte wie ein Blatt Papier, eine Feder oder einen Skydiver in Nähe der Terminalgeschwindigkeit zusammenbricht.
5. Runden Sie g oder Zwischenergebnisse zu früh
Die Verwendung von g = 10 m/s² als Abkürzung oder das Runden einer Zwischenwurzel auf nur 1 oder 2 signifikante Zahlen kann die endgültige Antwort merklich verschieben. Behalten Sie mindestens 3 signifikante Zahlen während der Berechnung bei und runden Sie nur am Ende.
6. Verwechseln Sie gefallene Höhe mit Höhe über dem Boden
Wenn ein Objekt von einer Plattform 10,0 m über einer 5,0 m hohen Mauer fallen gelassen wird, verwenden die Freifallgleichungen die tatsächlich gefallene Strecke (10,0 m), nicht die Höhe der Plattform über irgendeinem anderen Bezugspunkt. Bestätigen Sie immer, was h darstellt, bevor Sie es in einen Freifallrechner einsetzen.
Das Anpassen von Einheiten, das Verfolgen, ob v₀ wirklich null ist, und das Wählen einer konsistenten Signalkonvention trennen eine korrekte Freifallberechnung von einer, die um ein Zeichen oder einen Faktor von 3,28 falsch ist.
Übungsaufgaben: Können Sie diese Freifallprobleme lösen?
Arbeiten Sie jedes Problem von Hand mit g = 9,8 m/s² durch, bevor Sie die Antwort überprüfen, und verwenden Sie dann einen Freifallrechner nur, um das Ergebnis zu bestätigen, nachdem Sie sich zu einem Setup verpflichtet haben.
1. Aufgabe 1 – Zeit und Aufprallgeschwindigkeit finden
Ein Stein wird von einer 20,0 m hohen Klippe fallen gelassen. Finden Sie die Zeit, um den Boden zu erreichen, und seine Aufprallgeschwindigkeit. Antwort: t = √(2 × 20,0 / 9,8) = √4,08 = 2,02 s; v = gt = 9,8 × 2,02 = 19,8 m/s.
2. Aufgabe 2 – Höhe von Aufprallgeschwindigkeit finden
Ein Objekt trifft den Boden mit 39,2 m/s nach dem Fallen gelassen werden. Finden Sie die Höhe, aus der es fiel. Antwort: h = v²/(2g) = 39,2² / 19,6 = 1536,64 / 19,6 = 78,4 m.
3. Aufgabe 3 – Zeit mit ungleich null Anfangsgeschwindigkeit finden
Ein Ball wird nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5,00 m/s von einem 60,0 m hohen Turm geworfen. Finden Sie die Zeit, um auf den Boden zu treffen. Antwort: lösen Sie 60,0 = 5,00t + 4,90t², das sich zu 4,90t² + 5,00t − 60,0 = 0 umordnet. Mit der quadratischen Formel, t = [−5,00 + √(25,0 + 4 × 4,90 × 60,0)] / (2 × 4,90) = [−5,00 + √1201] / 9,80 = [−5,00 + 34,66] / 9,80 = 3,03 s.
4. Aufgabe 4 – Distanz und Geschwindigkeit aus Zeit finden
Ein Stein fällt aus der Ruhe für 4,00 s. Finden Sie die Entfernung, die fällt, und seine Endgeschwindigkeit. Antwort: h = ½ × 9,8 × 4,00² = 0,5 × 9,8 × 16,0 = 78,4 m; v = gt = 9,8 × 4,00 = 39,2 m/s.
Wenn Aufgabe 3 nahe bei 3,03 s herauskam, wurde die anfängliche Abwärtsgeschwindigkeit korrekt in die quadratische Gleichung eingefaltet statt zu entfernt – das ist der Schritt, der die meisten ersten Versuche bei einem geworfenen Objekt Freifallproblem verwirrt.
Wie unterscheidet sich Freifall von Projektilbewegung, und wie kann Solvify Ihnen helfen, Ihre Arbeit zu überprüfen?
Freifall ist wirklich nur der vertikale Spezialfall der Projektilbewegung, wo die horizontale Geschwindigkeit null ist. Vollständige Projektilbewegung – ein Ball, der in einem Winkel geworfen wird, ein gelaunchte Kanone – spaltet sich in zwei unabhängige Teile auf: eine horizontale Komponente, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, und eine vertikale Komponente, die genau die gleichen Freifallgleichungen befolgt, die hier behandelt werden, h = ½gt² und v = v₀ + gt, wobei g sie zurück nach unten zieht. Sobald die vertikale Hälfte eines Projektilbewegungsproblems korrekt eingerichtet ist, wird sie mit den gleichen Freifallrechner-Schritten gelöst, die für einen geraden vertikalen Fall verwendet werden. Solvifys schrittweiser Physik-Solver funktioniert wie ein Freifallrechner, der die vollständige Substitution und Arithmetik hinter jedem h-, t- und v-Ergebnis zeigt, damit Sie Ihre handschriftliche Arbeit gegen die Schritte des Rechners abgleichen und genau finden können, wo ein Fehler passiert ist, anstatt nur eine andere abschließende Zahl zu sehen. Ein praktischer Arbeitsablauf: Lösen Sie das Problem zuerst von Hand, entscheiden Sie explizit, ob v₀ null ist, und wählen Sie eine Signalkonvention, bevor Sie die Zahlen einsetzen. Vergleichen Sie dann Ihre Antwort mit dem Rechner, und wenn die Zahlen nicht stimmen, gehen Sie durch die Schritte, um die genaue Zeile zu finden, in der Ihr Setup divergierte – normalerweise ein verpasster Anfangsgeschwindigkeitsterm, eine Einheitenunstimmigkeit oder ein Zeichenfehler.
Freifall ist nur Projektilbewegung mit der horizontalen Geschwindigkeit auf Null gesetzt – meistern Sie die vertikale Hälfte hier, und Sie wissen bereits die meisten, was Projektilbewegung erfordert.
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