Gauß-Algorithmus-Rechner: Lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt lösen
Ein Gauß-Algorithmus-Rechner löst lineare Gleichungssysteme, indem er eine erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringt und anschließend durch Rückwärtseinsetzen jede Variable bestimmt. Ob Sie Hausaufgaben kontrollieren, einen Beweis aus der linearen Algebra überprüfen oder ein technisches System mit drei oder mehr Unbekannten lösen – wenn Sie die Methode hinter dem Rechner verstehen, erkennen Sie Rechenfehler leichter und können die Ergebnisse sicher interpretieren. Dieser Leitfaden erklärt die Regeln der Zeilenumformungen, führt zwei vollständig durchgerechnete Beispiele vor – ein 2×2- und ein 3×3-System –, behandelt die Pivotstrategie, häufige Fehler und Übungsaufgaben, damit Sie Systeme von Hand lösen oder die Ausgabe eines Rechners überprüfen können.
Inhalt
- 01Was ist das gaußsche Eliminationsverfahren?
- 02Wie funktioniert ein Gauß-Algorithmus-Rechner?
- 03Wie führt man das gaußsche Eliminationsverfahren von Hand durch?
- 04Beispielaufgabe: Ein 2×2-System mit dem Gauß-Verfahren lösen
- 05Beispielaufgabe: Ein 3×3-System mit dem Gauß-Verfahren lösen
- 06Warum braucht man Spaltenpivotisierung?
- 07Was sind die häufigsten Fehler beim gaußschen Eliminationsverfahren?
- 08Gauß-Verfahren vs. andere Methoden: Wann sollten Sie es einsetzen?
- 09Übungsaufgaben: Testen Sie Ihre Kenntnisse im Gauß-Verfahren
Was ist das gaußsche Eliminationsverfahren?
Das gaußsche Eliminationsverfahren ist eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme: Die Gleichungen werden als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben und mit elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht – eine dreiecksförmige Anordnung, in der jede Zeile mehr führende Nullen besitzt als die Zeile darüber. Sobald die Matrix diese Form hat, enthält die letzte Gleichung nur noch eine Variable, die Sie direkt lösen können; anschließend setzen Sie den Wert in die darüberliegenden Zeilen ein – dieser Vorgang heißt Rückwärtseinsetzen. Benannt ist das Verfahren nach Carl Friedrich Gauß, obwohl Varianten davon bereits fast zweitausend Jahre früher in chinesischen mathematischen Texten auftauchen, nämlich im Werk „Neun Bücher arithmetischer Technik“. Es funktioniert für Systeme jeder Größe – zwei Gleichungen oder zwanzig – und ist deshalb der Algorithmus, den die meisten Rechner und Computeralgebrasysteme intern verwenden, oft in einer Variante namens LU-Zerlegung. Über Hausaufgaben hinaus liegt dieselbe Technik der Zeilenumformung auch Lastberechnungen im Bauingenieurwesen, der Schaltungsanalyse mit den kirchhoffschen Regeln, Transformationen in der Computergrafik sowie der Methode der kleinsten Quadrate in Statistik und maschinellem Lernen zugrunde.
Zeilenstufenform bedeutet: Jedes führende Element (die erste von null verschiedene Zahl einer Zeile) steht strikt weiter rechts als das führende Element der Zeile darüber, und alle Einträge unterhalb eines führenden Elements sind null.
Wie funktioniert ein Gauß-Algorithmus-Rechner?
Ein Gauß-Algorithmus-Rechner automatisiert genau die vier Phasen, die Schülerinnen und Schüler auch von Hand durchlaufen würden – allerdings ohne Rechenfehler, und das zählt vor allem, sobald ein System Brüche oder mehr als zwei Variablen enthält. Der Rechner stellt aus Ihren Gleichungen die erweiterte Koeffizientenmatrix auf, wendet Zeilenumformungen an, um jeden Eintrag unterhalb eines Pivotelements auf null zu bringen, prüft bei einem Pivot von null, ob ein Zeilentausch nötig ist, und liest die Lösung anschließend per Rückwärtseinsetzen aus dem Dreiecksergebnis ab. Gute Rechner weisen außerdem darauf hin, wenn ein System keine Lösung hat (es taucht eine widersprüchliche Zeile wie 0 = 5 auf) oder unendlich viele Lösungen besitzt (es taucht eine Nullzeile auf) – Fälle, die man beim Rechnen von Hand übersieht, wenn man zu früh aufhört. Die meisten Rechner verwenden intern standardmäßig die Spaltenpivotisierung – sie wählen also stets den betragsgrößten verfügbaren Eintrag einer Spalte als Pivot –, weil das den Rundungsfehler klein hält, selbst wenn ein menschlicher Rechner bereitwillig ein kleineres, unhandlicheres Pivotelement nehmen würde.
1. Schritt 1: Die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen
Übernehmen Sie die Koeffizienten jeder Variablen aus allen Gleichungen in eine Matrix und schreiben Sie die Konstanten rechts neben einen senkrechten Strich. Ein System aus 3 Gleichungen in x, y, z wird so zu einer 3×4-Matrix.
2. Schritt 2: Vorwärtselimination
Arbeiten Sie Spalte für Spalte von links nach rechts und machen Sie mit Zeilenumformungen jeden Eintrag unterhalb des aktuellen Pivotelements zu null. So entsteht die obere Dreiecksform, also die Zeilenstufenform.
3. Schritt 3: Rückwärtseinsetzen
Beginnen Sie bei der untersten Zeile (die nun nur noch eine Variable enthält), lösen Sie nach dieser Variablen auf, setzen Sie den Wert in die darüberliegende Zeile ein, um die nächste Variable zu bestimmen, und wiederholen Sie dies, bis alle Variablen bekannt sind.
4. Schritt 4: Durch Einsetzen überprüfen
Setzen Sie alle berechneten Werte in die ursprünglichen Gleichungen ein. Wenn jede Gleichung aufgeht, ist die Lösung korrekt – diese eine Kontrolle deckt die meisten Fehler beim gaußschen Eliminationsverfahren auf.
Der Wert eines Gauß-Algorithmus-Rechners liegt nicht darin, die Methode zu ersetzen – sondern zu bestätigen, dass Ihre händischen Zeilenumformungen dieselbe Dreiecksmatrix ergeben haben, sodass Sie dem Endergebnis vertrauen können.
Wie führt man das gaußsche Eliminationsverfahren von Hand durch?
Das gaußsche Eliminationsverfahren beruht auf genau drei elementaren Zeilenumformungen, und jede zulässige Manipulation der Matrix setzt sich aus diesen drei Schritten zusammen. Sie in der falschen Reihenfolge anzuwenden, macht die Methode nicht kaputt – sie aber nur auf einen Teil einer Zeile anzuwenden, ist die mit Abstand häufigste Fehlerquelle, denn die Operation muss auf die gesamte Zeile angewendet werden, einschließlich der Konstante rechts vom Strich. Ein hilfreiches Denkmodell: Betrachten Sie jede Zeile als eine einzige Gleichung, nicht als Liste getrennter Zahlen. Was Sie mit einer Seite dieser Gleichung machen, machen Sie mit dem Ganzen – genau so, wie Sie es täten, wenn Sie die Gleichung in ihrer ursprünglichen Form x + y + z = 6 umformen würden statt als Zeile einer Matrix.
1. Umformung 1: Zwei Zeilen vertauschen (Ri ↔ Rj)
Die Reihenfolge zweier Gleichungen zu tauschen, ändert die Lösung des Systems nicht – es sind dieselben Gleichungen in anderer Reihenfolge. Diese Umformung dient der Pivotisierung, wenn ein Pivotelement null ist.
2. Umformung 2: Eine Zeile mit einer Konstanten ungleich null multiplizieren (kRi → Ri)
Jeden Term einer Gleichung mit derselben von null verschiedenen Zahl k zu multiplizieren, ändert nichts daran, welche Werte von x, y, z sie erfüllen. Das nutzt man, um eine Zeile zu vereinfachen oder sie für die Elimination vorzubereiten.
3. Umformung 3: Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren (Ri + kRj → Ri)
Das ist die Arbeitspferd-Operation des gaußschen Eliminationsverfahrens: Ersetzen Sie eine Zeile durch sich selbst plus ein Vielfaches einer anderen Zeile, wobei der Faktor so gewählt wird, dass ein Zieleintrag null wird. So eliminieren Sie Variablen aus allen Zeilen unterhalb des Pivotelements.
Faustregel: Wählen Sie den Faktor k in Umformung 3 so, dass der Koeffizient des Pivots, mal k, den Eintrag aufhebt, den Sie eliminieren wollen. Ist das Pivot 2 und Sie wollen eine 6 darunter zu null machen, nehmen Sie k = −3.
Beispielaufgabe: Ein 2×2-System mit dem Gauß-Verfahren lösen
Lösen Sie das System: 2x + 3y = 8 und 4x − y = 2. Dieses Beispiel zeigt den vollständigen Ablauf am einfachsten Fall – zwei Gleichungen, zwei Unbekannte –, bevor wir auf drei Variablen erweitern.
1. Schritt 1: Die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen
[ 2 3 | 8 ] [ 4 −1 | 2 ]
2. Schritt 2: x aus Zeile 2 eliminieren
Das Pivotelement in Zeile 1 ist 2. Um die 4 in Zeile 2 zu null zu machen, verwenden Sie R2 → R2 − 2R1. Zeile 2 wird zu: (4 − 2×2), (−1 − 2×3), (2 − 2×8) = (0, −7, −14). Die Matrix lautet nun: [ 2 3 | 8 ] [ 0 −7 | −14 ]
3. Schritt 3: Nach y auflösen
Zeile 2 lautet −7y = −14, also y = −14 ÷ −7 = 2.
4. Schritt 4: x durch Rückwärtseinsetzen bestimmen
Zeile 1 lautet 2x + 3y = 8. Setzen Sie y = 2 ein: 2x + 3(2) = 8 → 2x + 6 = 8 → 2x = 2 → x = 1.
5. Schritt 5: Die Lösung überprüfen
Setzen Sie x = 1, y = 2 in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Gl. 1: 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8 ✓. Gl. 2: 4(1) − 2 = 4 − 2 = 2 ✓. Die Lösung (x, y) = (1, 2) geht auf.
Lösung: x = 1, y = 2. Ein Gauß-Algorithmus-Rechner würde dasselbe Wertepaar sofort ausgeben, aber die Rechnung von Hand zeigt genau, warum die Antwort stimmt.
Beispielaufgabe: Ein 3×3-System mit dem Gauß-Verfahren lösen
Lösen Sie das System: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3 und x + 2y − z = 2. Hier spielt das gaußsche Eliminationsverfahren seine Stärken aus – Einsetzungs- und einfaches Additionsverfahren werden bei drei Variablen unhandlich, während die Methode der Zeilenumformungen sauber skaliert.
1. Schritt 1: Die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen
[ 1 1 1 | 6 ] [ 2 −1 1 | 3 ] [ 1 2 −1 | 2 ]
2. Schritt 2: x aus Zeile 2 und 3 eliminieren
Das Pivotelement ist die 1 in Zeile 1. R2 → R2 − 2R1 ergibt (2−2, −1−2, 1−2 | 3−12) = (0, −3, −1 | −9). R3 → R3 − 1R1 ergibt (1−1, 2−1, −1−1 | 2−6) = (0, 1, −2 | −4). Matrix: [ 1 1 1 | 6 ] [ 0 −3 −1 | −9 ] [ 0 1 −2 | −4 ]
3. Schritt 3: y aus Zeile 3 eliminieren
Das Pivotelement ist nun −3 in Zeile 2. R3 → R3 + (1/3)R2 ergibt (0, 1 + (1/3)(−3), −2 + (1/3)(−1) | −4 + (1/3)(−9)) = (0, 0, −7/3 | −7). Matrix: [ 1 1 1 | 6 ] [ 0 −3 −1 | −9 ] [ 0 0 −7/3 | −7 ]
4. Schritt 4: Nach z auflösen (Beginn des Rückwärtseinsetzens)
Zeile 3 lautet −(7/3)z = −7, also z = −7 ÷ (−7/3) = −7 × (−3/7) = 3.
5. Schritt 5: Nach y auflösen
Zeile 2 lautet −3y − z = −9. Setzen Sie z = 3 ein: −3y − 3 = −9 → −3y = −6 → y = 2.
6. Schritt 6: Nach x auflösen
Zeile 1 lautet x + y + z = 6. Setzen Sie y = 2, z = 3 ein: x + 2 + 3 = 6 → x = 1.
7. Schritt 7: Die Lösung überprüfen
x = 1, y = 2, z = 3. Gl. 1: 1+2+3 = 6 ✓. Gl. 2: 2(1)−2+3 = 2−2+3 = 3 ✓. Gl. 3: 1+2(2)−3 = 1+4−3 = 2 ✓. Alle drei Gleichungen gehen auf.
Lösung: (x, y, z) = (1, 2, 3). Beachten Sie das Muster: Jeder Eliminationsschritt betrifft nur Zeilen unterhalb des aktuellen Pivotelements – genau das verhindert, dass die Rechnung ausufert, wenn Systeme größer werden.
Warum braucht man Spaltenpivotisierung?
Das gaußsche Eliminationsverfahren scheitert in dem Moment, in dem Sie durch ein Pivotelement von null teilen wollen, und es wird unzuverlässig – wenn auch nicht streng genommen falsch –, wenn ein Pivot eine sehr kleine, von null verschiedene Zahl ist, denn das Teilen durch einen nahezu null großen Wert verstärkt Rundungsfehler. Die Spaltenpivotisierung löst beide Probleme, indem sie die aktuelle Zeile vor der Elimination mit einer darunterliegenden Zeile tauscht, die in der Pivotspalte einen betragsgrößeren Eintrag hat. Bei einer Hausaufgabe mit exakten Brüchen erzwingt nur ein Pivot von null einen Tausch; rechnet ein Rechner jedoch mit Dezimalzahlen, kann selbst ein Pivot von 0,0001 den Rundungsfehler so aufblähen, dass ein sichtbar falsches Endergebnis entsteht. Deshalb pivotisiert Software immer auf dem betragsgrößten verfügbaren Eintrag statt auf dem ersten von null verschiedenen, den sie findet.
1. Schritt 1: Ein Pivot von null oder ein sehr kleines Pivot erkennen
Angenommen, Spalte 1 Ihrer Matrix hat eine 0 in genau der Zeile, die Sie als Pivotzeile verwenden wollen, etwa beim System 0x + 2y − z = 3, x − y + 2z = 4, 3x + y − z = 8. Durch diese 0 können Sie nicht teilen.
2. Schritt 2: Mit einer Zeile tauschen, die einen von null verschiedenen (oder größeren) Eintrag hat
Tauschen Sie Zeile 1 mit Zeile 3, die in der x-Spalte eine 3 hat – den größten verfügbaren Betrag. Zeile 1 ↔ Zeile 3 ergibt: 3x + y − z = 8, x − y + 2z = 4, 0x + 2y − z = 3. Jetzt kann die Elimination mit 3 als Pivotelement normal weitergehen.
3. Schritt 3: Die Elimination wie gewohnt fortsetzen
Mit einem von null verschiedenen Pivotelement wenden Sie Umformung 3 an, um die Spalte darunter zu leeren, gehen dann zur nächsten Spalte und wiederholen die Pivotprüfung.
Regel der Spaltenpivotisierung: Tauschen Sie in jedem Schritt die Zeile mit dem betragsgrößten Wert in der aktuellen Pivotspalte nach oben. Das ist gängige Praxis in jedem ernstzunehmenden Gauß-Algorithmus-Rechner und in jeder Bibliothek für numerische lineare Algebra.
Was sind die häufigsten Fehler beim gaußschen Eliminationsverfahren?
Die meisten Fehler beim gaußschen Eliminationsverfahren entstehen durch eine Handvoll wiederkehrender Flüchtigkeitsfehler und nicht durch ein Missverständnis der Methode selbst. Zu wissen, worauf man achten muss, verringert die Zahl der Aufgaben, die Sie komplett von vorn beginnen müssen. Es lohnt sich, diese Liste durchzugehen, bevor Sie der Ausgabe eines Rechners vertrauen – denn dieselben Flüchtigkeitsfehler treten auch auf, wenn Sie ein System in die Eingabefelder eines Rechners übertragen.
1. Vergessen, die Umformung auf die ganze Zeile anzuwenden
Wenn Sie R2 → R2 − 2R1 berechnen, gilt der Faktor −2R1 für jeden Eintrag von Zeile 1 – einschließlich der Konstanten hinter dem Strich. Die Konstantenspalte auszulassen, ist der mit Abstand häufigste Fehler.
2. Vorzeichenfehler beim Subtrahieren von Zeilen
R2 − 2R1 bedeutet, das Doppelte jedes Eintrags von Zeile 1 abzuziehen – bei einem negativen Pivot oder negativen Zeileneinträgen verliert man leicht ein Minuszeichen. Die Operation vor dem Rechnen als R2 + (−2)R1 zu schreiben, reduziert Vorzeichenfehler.
3. Durch ein Pivot von null teilen, statt zu tauschen
Ist das aktuelle Pivotelement 0, können Sie diese Spalte mit dieser Zeile nicht eliminieren – Sie müssen zuerst eine Zeile mit einem von null verschiedenen Eintrag hereintauschen, wie im Pivotisierungsbeispiel oben gezeigt.
4. Zeilenstufenform mit reduzierter Zeilenstufenform verwechseln
Die Zeilenstufenform verlangt nur Nullen unterhalb jedes Pivotelements; die reduzierte Zeilenstufenform (verwendet im Gauß-Jordan-Verfahren) verlangt zusätzlich Nullen oberhalb jedes Pivots und Pivotelemente gleich 1. Das klassische gaußsche Eliminationsverfahren hört bei der Zeilenstufenform auf und schließt stattdessen mit dem Rückwärtseinsetzen ab.
5. Brüche zu früh runden
Einen Pivotbruch wie −7/3 mitten in der Elimination in eine Dezimalzahl umzuwandeln, bringt Rundungsfehler ein, die sich in späteren Zeilen aufschaukeln. Behalten Sie exakte Brüche bis zum Endergebnis bei oder lassen Sie einen Rechner sie für Sie mitführen.
Wenn Ihre Abschlusskontrolle (das Einsetzen der Lösung in jede ursprüngliche Gleichung) nicht aufgeht, liegt der Fehler fast immer in einer früheren Zeilenumformung – prüfen Sie jede einzelne noch einmal, bevor Sie annehmen, der ganze Ansatz sei falsch.
Gauß-Verfahren vs. andere Methoden: Wann sollten Sie es einsetzen?
Einsetzungs- und einfaches Additionsverfahren funktionieren bei Systemen mit zwei Variablen gut, werden aber fehleranfällig, sobald ein System drei oder mehr Unbekannte hat, weil Sie mehrere Einsetzungen gleichzeitig im Blick behalten müssen. Die cramersche Regel, die mit Determinanten arbeitet, ist bei 2×2- und 3×3-Systemen elegant, skaliert aber schlecht – die Berechnung von Determinanten größerer Systeme wird weit schneller aufwendig als das gaußsche Eliminationsverfahren. Deshalb wird sie jenseits kleiner Systeme weder von Hand noch von Software eingesetzt.
1. Nutzen Sie das Einsetzungsverfahren, wenn
Sie zwei Gleichungen haben und eine davon bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder das Auflösen nach einer Variablen trivial ist (zum Beispiel x = y + 3).
2. Nutzen Sie die cramersche Regel, wenn
Sie ein 2×2- oder 3×3-System haben und nur den Wert einer einzigen Variablen brauchen, denn mit der cramerschen Regel können Sie eine einzelne Variable berechnen, ohne die anderen zu bestimmen. Beispiel: Für 2x + 3y = 8 und 4x − y = 2 (dasselbe System wie oben gelöst) ist die Koeffizientendeterminante D = (2)(−1) − (3)(4) = −2 − 12 = −14. Ersetzt man die x-Spalte durch die Konstanten, ergibt sich Dx = (8)(−1) − (3)(2) = −8 − 6 = −14, also x = Dx/D = −14/−14 = 1 – übereinstimmend mit dem Ergebnis des Gauß-Verfahrens. Bei einem 3×3-System erfordert derselbe Determinantenansatz drei 3×3-Determinanten statt einer, und jede 3×3-Determinante kostet sechs Multiplikationen – deshalb ist die Methode ab drei Variablen nicht mehr praktikabel.
3. Nutzen Sie das gaußsche Eliminationsverfahren, wenn
Sie drei oder mehr Variablen haben, den Wert jeder Variablen brauchen oder eine Methode wollen, die vorhersehbar skaliert – das ist auch die Methode, die Matrizenrechner und Ingenieursoftware intern verwenden, oft als LU-Zerlegung.
4. Nutzen Sie die Matrixinversion, wenn
Sie dasselbe System (dieselbe Koeffizientenmatrix) wiederholt mit unterschiedlichen Konstantenvektoren lösen müssen – die Inverse einmal zu berechnen ist effizienter, als jedes Mal die Elimination erneut durchzuführen.
Für Systeme mit vier oder mehr Variablen ist das gaußsche Eliminationsverfahren praktisch die einzige brauchbare Handmethode – determinantenbasierte Ansätze wie die cramersche Regel werden schon deutlich vorher unpraktikabel.
Übungsaufgaben: Testen Sie Ihre Kenntnisse im Gauß-Verfahren
Arbeiten Sie diese drei Systeme mit der oben beschriebenen Methode der Zeilenumformungen durch und prüfen Sie anschließend Ihre Antworten. Rechnen Sie jede Aufgabe zuerst mit Stift und Papier, notieren Sie dabei jede angewendete Zeilenumformung und vergleichen Sie erst danach mit einem Rechner – genau diese Reihenfolge baut die Fähigkeit tatsächlich auf, statt nur eine Endzahl zu bestätigen. Die dritte Aufgabe ist ein Sonderfall, den man für sich erkennen sollte, denn sie prüft, ob Sie verstehen, was das Ergebnis in Zeilenstufenform bedeutet – und nicht nur, wie man es berechnet.
1. Aufgabe 1 (2×2-System)
Lösen Sie: 3x + 2y = 16 und x − y = 2. Lösung: erweiterte Matrix [3 2 | 16; 1 −1 | 2]. Tauschen Sie die Zeilen für ein bequemes Pivotelement oder eliminieren Sie direkt: R1 → R1 − 3R2 ergibt (3−3, 2+3 | 16−6) = (0, 5 | 10), also y = 2. Einsetzen in x − y = 2: x = 4. Lösung: (x, y) = (4, 2). Probe: 3(4)+2(2) = 12+4 = 16 ✓, 4−2 = 2 ✓.
2. Aufgabe 2 (3×3-System)
Lösen Sie: x + y + z = 4, 2x − y + z = 8, x + 2y − z = −3. Lösung: (x, y, z) = (2, −1, 3). Probe: 2−1+3 = 4 ✓, 2(2)−(−1)+3 = 4+1+3 = 8 ✓, 2+2(−1)−3 = 2−2−3 = −3 ✓.
3. Aufgabe 3 (Sonderfall – unendlich viele Lösungen)
Lösen Sie: x + y = 2 und 2x + 2y = 4. Lösung: R2 → R2 − 2R1 ergibt (2−2, 2−2 | 4−4) = (0, 0 | 0) – eine komplette Nullzeile. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung nur die verdoppelte erste ist, es gibt also unendlich viele Lösungen entlang der Geraden x + y = 2 und nicht ein einzelnes Paar (x, y). Hätte sich R2 stattdessen zu (0, 0 | 3) reduziert, wäre das ein Hinweis auf ein widersprüchliches System ganz ohne Lösung. Diese beiden Ergebnisse zu erkennen ist genauso wichtig wie das Berechnen einer sauberen Zahl – und genau darauf weist ein Gauß-Algorithmus-Rechner automatisch hin, wenn Sie mit dem Schritt-für-Schritt-Löser von Solvify eine Hausaufgabe oder Prüfungsaufgabe kontrollieren.
Eine Zeile aus lauter Nullen links mit einer von null verschiedenen Konstanten rechts (0 = k, k ≠ 0) bedeutet: keine Lösung. Eine Zeile aus lauter Nullen auf beiden Seiten (0 = 0) bedeutet: unendlich viele Lösungen.
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