Graficar desigualdades cuadráticas: Guía completa paso a paso
Graficar desigualdades cuadráticas se apoya directamente en graficar una ecuación cuadrática: dibujas la misma parábola y luego decides qué tipo de frontera usar y qué región sombrear. Una desigualdad cuadrática reemplaza el signo igual de y = ax² + bx + c por <, >, ≤ o ≥, y la solución ya no es una curva, sino toda una región bidimensional del plano de coordenadas. Esta guía recorre cómo graficar desigualdades cuadráticas en dos variables con tres ejemplos completamente resueltos, explica cuándo la parábola se dibuja punteada y cuándo continua, muestra cómo elegir y probar un punto para hallar la región sombreada correcta, y cubre la habilidad relacionada de resolver desigualdades cuadráticas de una variable usando notación de intervalo.
Contenido
- 01¿Qué es una desigualdad cuadrática?
- 02¿Cuándo la parábola es punteada y cuándo continua?
- 03¿Cómo saber qué lado sombrear?
- 04Ejemplo resuelto 1: Graficar y > x² − 4x + 3
- 05Ejemplo resuelto 2: Graficar y ≤ −x² + 2x + 3
- 06¿Cómo se resuelve una desigualdad cuadrática de una variable como x² − 5x + 6 ≥ 0?
- 07Conectar la solución en la recta numérica con la gráfica de la parábola
- 08Errores comunes al graficar desigualdades cuadráticas
- 09Problemas de práctica: Graficar desigualdades cuadráticas
- 10Preguntas frecuentes: Graficar desigualdades cuadráticas
- 11Practica graficar desigualdades cuadráticas con retroalimentación instantánea
¿Qué es una desigualdad cuadrática?
Una desigualdad cuadrática en dos variables tiene la forma y > ax² + bx + c, y < ax² + bx + c, y ≥ ax² + bx + c o y ≤ ax² + bx + c. En lugar de una sola curva, el conjunto solución es una región del plano de coordenadas: todo lo que está por encima de la parábola, todo lo que está por debajo, o la parábola misma incluida como frontera. Graficar desigualdades cuadráticas siempre empieza igual: grafica la ecuación cuadrática relacionada y = ax² + bx + c como si el símbolo de desigualdad fuera un signo igual, y luego decide cómo dibujar esa frontera y qué lado sombrear. También existe la versión de una variable, como x² − 5x + 6 ≥ 0, donde la solución es un conjunto de valores de x escrito en notación de intervalo en vez de una región sombreada; esta guía cubre ambas formas.
Graficar desigualdades cuadráticas en dos variables siempre comienza con la parábola y = ax² + bx + c: el símbolo de desigualdad solo cambia cómo la dibujas y sombreas, no dónde se ubica la curva.
¿Cuándo la parábola es punteada y cuándo continua?
La curva frontera sigue la misma regla que al graficar desigualdades lineales. Una desigualdad estricta (< o >) significa que los puntos exactamente sobre la parábola NO satisfacen la desigualdad, así que dibujas una curva punteada (discontinua) para mostrar que la frontera está excluida. Una desigualdad no estricta (≤ o ≥) significa que los puntos sobre la parábola SÍ satisfacen la desigualdad, así que dibujas una curva continua para mostrar que la frontera está incluida. Esta única comprobación toma dos segundos, pero vale la pena hacerla siempre, porque es el detalle que los evaluadores revisan primero.
1. Desigualdades estrictas (< o >) → curva punteada
Para y > x² − 4x + 3 o y < x² − 4x + 3, la parábola misma no forma parte de la solución: marca el borde de la región, pero se dibuja con línea punteada. Cualquier punto que elijas directamente sobre la curva debería fallar la desigualdad al sustituirlo.
2. Desigualdades no estrictas (≤ o ≥) → curva continua
Para y ≥ x² − 4x + 3 o y ≤ x² − 4x + 3, la parábola forma parte del conjunto solución, así que se dibuja con línea continua. Cualquier punto sobre la curva satisface la desigualdad con igualdad, y por eso pertenece a la región sombreada.
Estricta < o > → curva punteada (frontera excluida). No estricta ≤ o ≥ → curva continua (frontera incluida). Es exactamente la misma regla que se usa al graficar desigualdades lineales.
¿Cómo saber qué lado sombrear?
Una vez dibujada la frontera, un solo punto de prueba te indica toda la región sombreada. Como la parábola divide el plano en exactamente dos regiones —dentro/arriba y fuera/abajo—, basta con un punto que claramente no esté sobre la curva para determinar ambas regiones de una vez. Esto es más rápido y confiable que razonar solo a partir del símbolo de desigualdad, sobre todo cuando la parábola no es una simple curva que abre hacia arriba.
1. Paso 1: Elige un punto de prueba que no esté sobre la parábola
El origen (0, 0) es la opción más sencilla siempre que la parábola no pase por él. Si (0, 0) queda sobre la curva, elige otro punto simple como (0, 5) o (1, 0).
2. Paso 2: Sustituye el punto de prueba en la desigualdad
Sustituye los valores de x e y del punto de prueba en la desigualdad original (no solo en la ecuación) y simplifica ambos lados.
3. Paso 3: Decide qué región sombrear
Si el punto de prueba hace verdadera la desigualdad, sombrea la región que contiene ese punto. Si el punto de prueba la hace falsa, sombrea la región opuesta: la que NO contiene el punto de prueba.
4. Paso 4: Verifica con la dirección de la desigualdad
Como comprobación rápida, y > (o y ≥) una expresión normalmente sombrea por encima/fuera de la parábola cuando esta abre hacia arriba, y y < (o y ≤) suele sombrear por debajo/dentro; pero confirma siempre con el punto de prueba en lugar de fiarte de la memoria, ya que una parábola que abre hacia abajo invierte este patrón.
Un solo punto de prueba fuera de la curva te dice toda la región sombreada: sustitúyelo en la desigualdad original y sombrea el lado donde la afirmación resulta verdadera.
Ejemplo resuelto 1: Graficar y > x² − 4x + 3
Este ejemplo usa una desigualdad estricta de mayor que con una parábola que abre hacia arriba. La ecuación relacionada y = x² − 4x + 3 tiene a = 1, b = −4, c = 3, la misma parábola usada en guías anteriores de graficación, así que la forma de la frontera ya debería resultarte familiar.
1. Paso 1: Grafica la parábola frontera
Vértice: h = −(−4)/(2×1) = 2, k = (2)² − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Vértice: (2, −1). Intersección con el eje y: (0, 3). Intersecciones con el eje x: factoriza x² − 4x + 3 = 0 → (x − 3)(x − 1) = 0 → x = 1 y x = 3, o sea (1, 0) y (3, 0). Como la desigualdad es estricta (>), dibuja esta parábola como una curva punteada.
2. Paso 2: Prueba un punto
Usa (0, 0), que no está sobre la parábola porque 0 ≠ (0)² − 4(0) + 3 = 3. Sustituye en y > x² − 4x + 3: 0 > (0)² − 4(0) + 3 → 0 > 3. Esto es falso.
3. Paso 3: Sombrea la región correcta
Como (0, 0) hace falsa la desigualdad, sombrea la región que NO contiene (0, 0): la región por encima/fuera de la parábola (la que incluye puntos como (2, 5), bastante por encima del vértice). Comprueba con (2, 5): 5 > (2)² − 4(2) + 3 → 5 > −1, verdadero ✓, lo que confirma que (2, 5) pertenece a la región sombreada.
4. Paso 4: Describe la gráfica final
La solución de y > x² − 4x + 3 es todo punto estrictamente por encima de la parábola punteada con vértice (2, −1), intersecciones con el eje x en (1, 0) y (3, 0), y que pasa por (0, 3). Los puntos exactamente sobre la curva, como el propio vértice (2, −1), no están incluidos.
Para y > x² − 4x + 3, el sombreado queda del lado contrario al punto de prueba que falla: deja siempre que decida el punto de prueba, no la intuición sobre el símbolo de desigualdad.
Ejemplo resuelto 2: Graficar y ≤ −x² + 2x + 3
Este ejemplo cambia dos cosas a la vez: la parábola abre hacia abajo (a = −1) y la desigualdad es no estricta (≤), así que la frontera es continua en lugar de punteada. Observa cómo estos dos cambios afectan tanto a la curva como a la región sombreada en comparación con el Ejemplo 1.
1. Paso 1: Grafica la parábola frontera
Para y = −x² + 2x + 3: a = −1, b = 2, c = 3. Vértice: h = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = 1, k = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4. Vértice: (1, 4), un máximo porque a < 0. Intersección con el eje y: (0, 3). Intersecciones con el eje x: plantea −x² + 2x + 3 = 0 → multiplica por −1: x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 o x = −1, lo que da (3, 0) y (−1, 0). Como la desigualdad es ≤ (no estricta), dibuja esta parábola que abre hacia abajo con una curva continua.
2. Paso 2: Prueba un punto
Usa (0, 0), que no está sobre la curva porque 0 ≠ 3. Sustituye en y ≤ −x² + 2x + 3: 0 ≤ −(0)² + 2(0) + 3 → 0 ≤ 3. Esto es verdadero.
3. Paso 3: Sombrea la región correcta
Como (0, 0) hace verdadera la desigualdad, sombrea la región que SÍ contiene (0, 0): la región por debajo/fuera de la parábola que abre hacia abajo. Comprueba con (1, 0), justo debajo del vértice (1, 4): 0 ≤ −(1)² + 2(1) + 3 → 0 ≤ 4, verdadero ✓, lo que confirma que esta región es la correcta.
4. Paso 4: Describe la gráfica final
La solución de y ≤ −x² + 2x + 3 es todo punto sobre o por debajo de la parábola continua con vértice (1, 4), intersecciones con el eje x en (−1, 0) y (3, 0), y que pasa por (0, 3). Como la frontera es continua, el vértice (1, 4) y todos los demás puntos de la curva están incluidos en la solución.
Una parábola que abre hacia abajo con y ≤ se sombrea por debajo de la curva: el patrón visual opuesto al del Ejemplo 1, y por eso probar un punto importa más que memorizar una regla.
¿Cómo se resuelve una desigualdad cuadrática de una variable como x² − 5x + 6 ≥ 0?
Una desigualdad cuadrática de una variable compara una expresión cuadrática con cero, como x² − 5x + 6 ≥ 0. En lugar de sombrear una región bidimensional, la solución es un conjunto de valores de x sobre la recta numérica, escrito en notación de intervalo. La estrategia consiste en hallar las raíces de la ecuación relacionada, usarlas para dividir la recta numérica en intervalos y probar cada intervalo para ver si satisface la desigualdad.
1. Paso 1: Resuelve la ecuación relacionada para hallar los puntos críticos
Plantea x² − 5x + 6 = 0 y factoriza: busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5 → (−2, −3). Entonces (x − 2)(x − 3) = 0, lo que da x = 2 y x = 3. Estas raíces son los puntos críticos que dividen la recta numérica en tres intervalos: x < 2, 2 < x < 3 y x > 3.
2. Paso 2: Prueba un valor de cada intervalo
Intervalo x < 2: prueba x = 0. (0)² − 5(0) + 6 = 6 ≥ 0 ✓ verdadero. Intervalo 2 < x < 3: prueba x = 2.5. (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 ≥ 0 — falso. Intervalo x > 3: prueba x = 4. (4)² − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≥ 0 ✓ verdadero.
3. Paso 3: Incluye o excluye los puntos críticos
Como la desigualdad es ≥ (no estricta), las propias raíces la satisfacen: en x = 2, (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ verdadero. En x = 3, (3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ verdadero. Ambos puntos críticos están incluidos.
4. Paso 4: Escribe la solución en notación de intervalo
Combina los intervalos verdaderos con sus extremos incluidos: x ≤ 2 o x ≥ 3, escrito como (−∞, 2] ∪ [3, ∞). Esto coincide con la gráfica de y = x² − 5x + 6: la parábola queda sobre o por encima del eje x (y ≥ 0) en todas partes, excepto en la hondonada abierta entre sus raíces x = 2 y x = 3.
Para una parábola que abre hacia arriba, ax² + bx + c ≥ 0 se cumple fuera de las raíces (o sobre ellas), y ax² + bx + c ≤ 0 se cumple entre las raíces: el signo siempre cambia en cada punto crítico.
Conectar la solución en la recta numérica con la gráfica de la parábola
La desigualdad de una variable x² − 5x + 6 ≥ 0 y la de dos variables y ≥ x² − 5x + 6 están estrechamente relacionadas, y ver la conexión hace que ambas sean más fáciles de recordar. Si grafica y = x² − 5x + 6 como una parábola, la pregunta de una variable «¿dónde x² − 5x + 6 ≥ 0?» en realidad está preguntando «¿dónde la parábola queda sobre o por encima del eje x (y ≥ 0)?». Leer la gráfica directamente responde a la desigualdad sin más álgebra una vez dibujada la curva.
1. Por encima del eje x → región positiva
Para x < 2 o x > 3, la parábola y = x² − 5x + 6 queda por encima del eje x, es decir y > 0 allí, lo que coincide con los intervalos verdaderos hallados al probar valores.
2. Por debajo del eje x → región negativa
Para 2 < x < 3, la parábola baja por debajo del eje x entre sus dos raíces, es decir y < 0 allí: exactamente el intervalo que falló la prueba ≥ 0 en el ejemplo anterior.
3. Sobre el eje x → las raíces mismas
En x = 2 y x = 3, la parábola toca exactamente el eje x, así que y = 0: estos son los puntos frontera que una desigualdad con ≥ o ≤ incluye y una con > o < excluye.
Una desigualdad cuadrática de una variable ax² + bx + c ≥ 0 o ≤ 0 es solo una lectura vertical de la gráfica de la parábola: comprueba si la curva queda por encima, por debajo o sobre el eje x en cada valor de x.
Errores comunes al graficar desigualdades cuadráticas
La mayoría de los errores al graficar desigualdades cuadráticas vienen de confundir reglas que parecen similares pero se aplican a situaciones distintas. Reconocer estos patrones de antemano evita las pérdidas de puntos más habituales en tareas y exámenes.
1. Olvidar puntear la curva en desigualdades estrictas
Una parábola continua para y > x² − 4x + 3 es incorrecta: el > estricto significa que la frontera está excluida, así que debe ir punteada. Revisa siempre el símbolo de desigualdad antes de dibujar la curva, no después.
2. Sombrear el lado equivocado sin probar un punto
Adivinar «arriba» para > y «abajo» para < funciona con parábolas que abren hacia arriba, pero se invierte con las que abren hacia abajo, como se ve en el Ejemplo 2. Sustituye siempre un punto de prueba real en vez de confiar en un atajo que solo acierta la mitad de las veces.
3. Confundir las versiones de dos variables y de una variable
y ≥ x² − 5x + 6 produce una región bidimensional sombreada en el plano xy; x² − 5x + 6 ≥ 0 produce un conjunto unidimensional de valores de x en la recta numérica, escrito en notación de intervalo. Usan la misma parábola pero responden preguntas distintas: lee bien el enunciado para ver si aparece y.
4. Incluir o excluir mal los puntos críticos en notación de intervalo
Para x² − 5x + 6 > 0 (estricta), las raíces x = 2 y x = 3 quedan excluidas, así que la respuesta usa paréntesis: (−∞, 2) ∪ (3, ∞). Para x² − 5x + 6 ≥ 0 (no estricta), las raíces están incluidas, así que la respuesta usa corchetes: (−∞, 2] ∪ [3, ∞). Hacer coincidir el tipo de paréntesis con el tipo de desigualdad es la misma regla que se usa en toda la notación de intervalo.
La regla de estricta frente a no estricta controla tanto la frontera punteada o continua en las gráficas de dos variables como la elección entre paréntesis y corchetes en la notación de intervalo: es la misma lógica aplicada dos veces.
Problemas de práctica: Graficar desigualdades cuadráticas
Resuelve cada problema antes de mirar la solución. En los problemas de dos variables, identifica la parábola frontera, si es punteada o continua, y qué región se sombrea. En el problema de una variable, halla los puntos críticos y escribe la respuesta en notación de intervalo.
1. Problema 1 — y < x² + 2x − 8
Frontera: y = x² + 2x − 8. Vértice: h = −2/2 = −1, k = 1 − 2 − 8 = −9, vértice (−1, −9). Intersecciones con el eje x: (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4, x = 2. Estricta <, así que curva punteada. Prueba (0, 0): 0 < (0)² + 2(0) − 8 → 0 < −8, falso, así que sombrea la región que NO contiene (0, 0): por debajo/dentro de la parábola. Comprueba (−1, −20): −20 < −9, verdadero ✓.
2. Problema 2 — y ≥ −x² + 4
Frontera: y = −x² + 4, vértice (0, 4), abre hacia abajo. Intersecciones con el eje x: −x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2. No estricta ≥, así que curva continua. Prueba (0, 0): 0 ≥ −(0)² + 4 → 0 ≥ 4, falso, así que sombrea la región que NO contiene (0, 0): por encima/fuera de la parábola, incluida la propia curva.
3. Problema 3 — Resuelve x² − x − 6 < 0
Factoriza: (x − 3)(x + 2) = 0 → puntos críticos x = −2 y x = 3. Prueba x = 0 (entre las raíces): (0)² − 0 − 6 = −6 < 0 ✓ verdadero. Prueba x = −5: 25 + 5 − 6 = 24 < 0, falso. Prueba x = 5: 25 − 5 − 6 = 14 < 0, falso. Como solo funciona el intervalo entre las raíces y la desigualdad es estricta, la respuesta es: (−2, 3).
Preguntas frecuentes: Graficar desigualdades cuadráticas
Estas son las preguntas que más hacen los estudiantes cuando aprenden por primera vez a graficar desigualdades cuadráticas.
1. ¿En qué se diferencia graficar una desigualdad cuadrática de graficar una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática y = ax² + bx + c se grafica como una sola curva: la parábola misma. Una desigualdad cuadrática reemplaza el signo igual por <, >, ≤ o ≥, de modo que la solución pasa a ser toda una región sombreada del plano a un lado de esa misma parábola, con la curva dibujada punteada o continua según si la frontera está incluida.
2. ¿Siempre tengo que probar un punto o basta con mirar el símbolo de desigualdad?
Prueba siempre un punto. Para una parábola que abre hacia arriba, > y ≥ suelen sombrear por encima/fuera mientras que < y ≤ sombrean por debajo/dentro; pero con una parábola que abre hacia abajo, como en el Ejemplo 2, el patrón se invierte. Un solo punto de prueba sustituido evita depender de una regla que solo funciona a veces.
3. ¿Cuál es la diferencia entre x² − 5x + 6 ≥ 0 y y ≥ x² − 5x + 6?
x² − 5x + 6 ≥ 0 es una desigualdad de una variable; su solución es un conjunto de valores de x escrito en notación de intervalo, como (−∞, 2] ∪ [3, ∞). y ≥ x² − 5x + 6 es una desigualdad de dos variables; su solución es una región sombreada del plano de coordenadas por encima o sobre la misma parábola. Ambas usan la misma parábola, pero responden preguntas distintas.
4. ¿Puede ser vacía la región solución de una desigualdad cuadrática?
Sí, en casos especiales. Por ejemplo, y < x² + 1 no tiene solución si además se exige que y sea menor que 0 para toda x, porque el valor mínimo de la parábola ya es 1. Con más frecuencia esto aparece en el caso de una variable: x² + 1 < 0 no tiene solución real porque x² + 1 siempre es positivo, así que la respuesta en notación de intervalo es el conjunto vacío ∅.
5. ¿Cómo compruebo que mi gráfica sombreada final es correcta?
Elige dos puntos: uno claramente dentro de tu región sombreada y otro claramente fuera. Sustituye ambos en la desigualdad original. El punto interior debe hacerla verdadera y el exterior, falsa. Si alguna comprobación falla, revisa de nuevo el paso del punto de prueba y confirma que el vértice y las intersecciones de la parábola frontera están bien calculados.
Practica graficar desigualdades cuadráticas con retroalimentación instantánea
Graficar desigualdades cuadráticas se vuelve más fácil con la repetición, sobre todo después de resolver varios ejemplos con parábolas que abren hacia arriba y hacia abajo. Si quieres comprobar una curva frontera, verificar una región sombreada o ver una desigualdad de una variable resuelta paso a paso, las herramientas de IA de Solvify pueden recorrer el mismo proceso mostrado en esta guía con cualquier problema que introduzcas.
Artículos relacionados
Cómo graficar una ecuación cuadrática: Guía paso a paso
Aprende el método esencial para trazar la parábola sobre la que se construye la frontera de toda desigualdad cuadrática, con dos ejemplos completamente resueltos.
Notación de Intervalo: Guía Completa con Ejemplos y Problemas de Práctica
Domina las reglas de paréntesis y corchetes que se usan para escribir la solución de cualquier desigualdad cuadrática de una variable.
Problemas de Ecuaciones Cuadráticas: Conjuntos de Práctica con Soluciones Completas
Resuelve 8 problemas de ecuaciones cuadráticas con factorización, la fórmula cuadrática y problemas de enunciado, todos con soluciones paso a paso completas.
Solucionadores matemáticos
Soluciones paso a paso
Obtén explicaciones detalladas de cada paso, no solo la respuesta final.
Solucionador Smart Scan
Toma una foto de cualquier problema de matemáticas y obtén una solución paso a paso al instante.
Tutor de matemáticas con IA
Haz preguntas de seguimiento y obtén explicaciones personalizadas 24/7.
Materias relacionadas
Ayuda con álgebra
Guía completa para resolver ecuaciones y desigualdades de álgebra.
Problemas de ecuaciones cuadráticas
Practica la resolución de ecuaciones cuadráticas con 8 ejemplos resueltos mediante factorización, la fórmula cuadrática y completar el cuadrado.
Hoja de trabajo de gráficas de ecuaciones lineales
Desarrolla las mismas destrezas de línea punteada o continua y de sombreado con desigualdades lineales antes de abordar las cuadráticas.