Calculadora de pruebas de hipótesis: cómo calcular pruebas z y pruebas t a mano
Una calculadora de pruebas de hipótesis comprueba si los datos de una muestra aportan evidencia suficientemente fuerte para rechazar una afirmación sobre una población, convirtiendo una hipótesis nula y una alternativa en un único estadístico de prueba y un valor p que puedes comparar con un nivel de significación. Los estudiantes recurren a una calculadora de pruebas de hipótesis cuando un ejercicio pregunta si el peso medio de llenado de una fábrica se ha desviado, si un nuevo método de enseñanza realmente mejora las notas de los exámenes o si el rediseño de un sitio web aumentó de verdad la tasa de conversión. Esta guía construye desde cero las versiones con prueba z y con prueba t de las pruebas de hipótesis, desarrolla ejemplos completos de pruebas z y t de una muestra y explica las pruebas de una y dos colas, los valores críticos, los valores p y los errores tipo I y tipo II, para que entiendas exactamente qué calcula una calculadora de pruebas de hipótesis antes de confiar en su resultado.
Contenido
- 01¿Qué es una calculadora de pruebas de hipótesis?
- 02¿Cómo elige una calculadora de pruebas de hipótesis entre una prueba z y una prueba t?
- 03¿Cómo se calcula una prueba z de una muestra paso a paso?
- 04¿Cómo se calcula una prueba t de una muestra paso a paso?
- 05¿Cuál es la diferencia entre una prueba de una cola y una de dos colas?
- 06¿Qué son los errores tipo I y tipo II y por qué importan?
- 07¿Qué errores debes evitar al usar una calculadora de pruebas de hipótesis?
- 08Problemas de práctica de pruebas de hipótesis con soluciones
- 09¿Qué más preguntan los estudiantes sobre las calculadoras de pruebas de hipótesis?
- 10Más ayuda con los deberes de pruebas de hipótesis
¿Qué es una calculadora de pruebas de hipótesis?
Una calculadora de pruebas de hipótesis toma los datos de una muestra, un valor poblacional afirmado y un nivel de significación, y devuelve un estadístico de prueba, un valor p y una decisión sobre si rechazar la afirmación. Toda prueba de hipótesis empieza con dos enunciados en competencia: la hipótesis nula (H0), que representa la afirmación existente o el statu quo, y la hipótesis alternativa (Ha), que representa lo que sospechas que podría ser cierto. Una calculadora de pruebas de hipótesis nunca demuestra que H0 sea verdadera: solo mide si la evidencia de la muestra es lo bastante fuerte para rechazar H0 en favor de Ha, o demasiado débil para justificar esa conclusión.
Una prueba de hipótesis nunca demuestra que la hipótesis nula sea verdadera. Solo decide si la evidencia de la muestra es lo bastante fuerte para rechazarla.
¿Cómo elige una calculadora de pruebas de hipótesis entre una prueba z y una prueba t?
Toda calculadora de pruebas de hipótesis necesita las mismas entradas básicas — un valor poblacional afirmado, un estadístico de la muestra, una medida de dispersión y un tamaño de muestra — pero la fórmula que usa depende de un dato clave: si la desviación estándar poblacional es conocida.
1. Usa una prueba z cuando se conoce la desviación estándar poblacional (σ)
Esto ocurre cuando la afirmación viene acompañada de un σ histórico o teórico, a menudo procedente de un gran conjunto de datos ya existente; por ejemplo, un fabricante con años de registros de control de calidad sobre el peso de un producto. Estadístico de prueba: z = (x̄ − μ0) ÷ (σ ÷ √n), donde x̄ es la media de la muestra, μ0 es la media poblacional afirmada y n es el tamaño de la muestra.
2. Usa una prueba t cuando solo se conoce la desviación estándar de la muestra (s)
Esta es, con mucho, la situación más habitual en la práctica, ya que la desviación estándar poblacional rara vez se conoce de antemano. Estadístico de prueba: t = (x̄ − μ0) ÷ (s ÷ √n), con grados de libertad df = n − 1. La distribución t es más ancha y más plana que la normal en muestras pequeñas, lo que dificulta alcanzar la significación: una penalización incorporada por la incertidumbre extra de estimar σ a partir de la propia muestra.
3. Por qué conviene aprender el método manual
Los deberes y los exámenes casi siempre exigen el planteamiento completo — enunciar H0 y Ha, calcular el estadístico de prueba término a término y compararlo con un valor crítico o un valor p — y no solo un decimal final. Una calculadora de pruebas de hipótesis es lo más rápido para verificar una respuesta, pero los pasos manuales de abajo son los que dan puntos y construyen la intuición necesaria para temas posteriores como los intervalos de confianza y el ANOVA.
¿Cómo se calcula una prueba z de una muestra paso a paso?
Aquí tienes un ejemplo completo resuelto con una afirmación que puede comprobarse frente a una desviación estándar poblacional conocida.
1. Enuncia las hipótesis y recoge los datos
Una empresa de cereales afirma que sus cajas contienen una media de 500 g, y los datos históricos de control de calidad muestran una desviación estándar poblacional de σ = 12 g. Un inspector de calidad toma una muestra de n = 36 cajas y encuentra una media muestral de x̄ = 495 g. H0: μ = 500 (el peso medio de llenado coincide con la afirmación). Ha: μ ≠ 500 (el peso medio de llenado difiere de la afirmación). Es una prueba de dos colas, ya que preocupa cualquier desviación, no solo el llenado insuficiente. Prueba con α = 0.05.
2. Calcula el estadístico de prueba z
z = (x̄ − μ0) ÷ (σ ÷ √n) = (495 − 500) ÷ (12 ÷ √36) = −5 ÷ (12 ÷ 6) = −5 ÷ 2 = −2.5.
3. Halla el valor crítico y el valor p
Para una prueba de dos colas con α = 0.05, los valores z críticos son ±1.96. El valor p es 2 × P(Z ≤ −2.5) = 2 × 0.0062 ≈ 0.0124.
4. Toma la decisión e interpreta
Como |z| = 2.5 supera 1.96 (equivalentemente, p ≈ 0.0124 es menor que α = 0.05), se rechaza H0. La muestra aporta evidencia estadísticamente significativa de que el peso medio de llenado difiere de los 500 g afirmados. Una calculadora de pruebas de hipótesis devolvería al instante este mismo z = −2.5 y p ≈ 0.0124, pero ahora puedes verificar tú mismo cada número intermedio.
z = (x̄ − μ0) ÷ (σ ÷ √n). Con x̄ = 495, μ0 = 500, σ = 12 y n = 36, z = −2.5, que en valor absoluto supera el valor crítico de 1.96: se rechaza H0.
¿Cómo se calcula una prueba t de una muestra paso a paso?
Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida, el proceso es casi idéntico, pero usa la desviación estándar de la muestra y la distribución t en lugar de la distribución normal.
1. Enuncia las hipótesis y recoge los datos
Una academia afirma que su programa mejora las notas de los exámenes en más de 8 puntos de media. Una muestra de n = 15 estudiantes muestra una mejora media de x̄ = 8.9 puntos con una desviación estándar muestral de s = 2.1 puntos. H0: μ = 8 (la mejora media real es de 8 puntos). Ha: μ > 8 (la mejora media real es mayor que 8 puntos). Es una prueba de una cola (cola derecha), ya que la empresa solo afirma una mejora superior a 8. Prueba con α = 0.05.
2. Calcula el estadístico de prueba t
t = (x̄ − μ0) ÷ (s ÷ √n) = (8.9 − 8) ÷ (2.1 ÷ √15) = 0.9 ÷ (2.1 ÷ 3.873) = 0.9 ÷ 0.5422 ≈ 1.660.
3. Halla el valor crítico y el valor p
Grados de libertad: df = n − 1 = 15 − 1 = 14. Para una prueba de una cola con α = 0.05 y df = 14, el valor t crítico es aproximadamente 1.761. Consultar t ≈ 1.660 con df = 14 da un valor p de una cola de alrededor de 0.059.
4. Toma la decisión e interpreta
Como t ≈ 1.660 no supera el valor crítico de 1.761 (equivalentemente, p ≈ 0.059 es mayor que α = 0.05), no se rechaza H0. Esta muestra de 15 estudiantes no aporta evidencia suficientemente fuerte, al nivel de significación del 5 %, de que la mejora media real supere los 8 puntos, aunque la media muestral de 8.9 parezca prometedora por sí sola.
t = (x̄ − μ0) ÷ (s ÷ √n). Con x̄ = 8.9, μ0 = 8, s = 2.1 y n = 15, t ≈ 1.660 con df = 14: por debajo del valor crítico de 1.761, así que no rechazamos H0.
¿Cuál es la diferencia entre una prueba de una cola y una de dos colas?
La elección entre una prueba de una cola y una de dos colas depende por completo de cómo esté redactada la hipótesis alternativa, y equivocarse cambia tanto el valor crítico como la conclusión.
1. Las pruebas de dos colas buscan cualquier diferencia
Ha: μ ≠ μ0 reparte la región de rechazo entre las dos colas de la distribución, de modo que la evidencia en cualquier dirección (demasiado alta o demasiado baja) puede llevar a rechazar H0. El ejemplo de las cajas de cereales es de dos colas porque una desviación en cualquier dirección — exceso o defecto de llenado — importa al inspector.
2. Las pruebas de una cola buscan una diferencia en una dirección concreta
Ha: μ > μ0 o Ha: μ < μ0 sitúa toda la región de rechazo en una sola cola, lo que facilita alcanzar la significación en esa dirección pero implica que la evidencia en la dirección opuesta nunca podrá llevar a rechazar H0, por extrema que sea.
3. Un ejemplo resuelto: prueba z de cola izquierda
Un fabricante afirma que sus bombillas duran de media al menos 1000 horas, con un σ = 50 horas conocido. Una muestra de n = 40 bombillas tiene una vida media de x̄ = 985 horas. H0: μ = 1000. Ha: μ < 1000 (cola izquierda, ya que la preocupación es que duren menos de lo afirmado). z = (985 − 1000) ÷ (50 ÷ √40) = −15 ÷ 7.906 ≈ −1.897. El valor crítico de cola izquierda con α = 0.05 es −1.645. Como z ≈ −1.897 es más extremo que −1.645 (p ≈ 0.0289 < 0.05), se rechaza H0: la muestra sugiere que las bombillas duran de media menos de las 1000 horas afirmadas.
Una prueba de dos colas reparte α entre ambas colas (±1.96 con α = 0.05); una prueba de una cola concentra todo α en una cola (±1.645 con α = 0.05), lo que facilita detectar un efecto solo en la dirección prevista.
¿Qué son los errores tipo I y tipo II y por qué importan?
Ninguna prueba de hipótesis es completamente segura, y entender las dos formas en que puede fallar es tan importante como calcular bien el estadístico de prueba.
1. Error tipo I: rechazar una H0 verdadera
Un error tipo I ocurre cuando la prueba rechaza H0 aunque H0 sea en realidad verdadera: un falso positivo. En el ejemplo de los cereales, un error tipo I significaría concluir que el peso medio de llenado se ha desviado de los 500 g cuando en realidad no lo ha hecho. La probabilidad de un error tipo I es igual al nivel de significación α, por lo que elegir α = 0.05 significa aceptar hasta un 5 % de probabilidad de esta clase de falsa alarma.
2. Error tipo II: no rechazar una H0 falsa
Un error tipo II ocurre cuando la prueba no rechaza H0 aunque H0 sea en realidad falsa: una detección fallida. En el ejemplo de la academia, un error tipo II significaría concluir que el programa no sube las notas más de 8 puntos cuando en realidad sí lo hace, quizá porque el tamaño de muestra de 15 era demasiado pequeño para detectar un efecto real pero modesto. La probabilidad de un error tipo II se denota β, y 1 − β se llama potencia de la prueba.
3. El equilibrio entre los dos tipos de error
Bajar α para hacer menos probables los errores tipo I (por ejemplo, de 0.05 a 0.01) vuelve la prueba más conservadora, lo que a cambio aumenta la probabilidad de un error tipo II. Aumentar el tamaño de la muestra suele ser la mejor forma de reducir ambas tasas de error a la vez, ya que una n mayor reduce el error estándar y facilita detectar efectos reales sin relajar α.
Error tipo I: rechazar una H0 verdadera (una falsa alarma), con probabilidad α. Error tipo II: no rechazar una H0 falsa (un efecto que se pasa por alto), con probabilidad β.
¿Qué errores debes evitar al usar una calculadora de pruebas de hipótesis?
Estos fallos aparecen constantemente en los deberes de estadística calificados, tanto si el cálculo se hace a mano como si después se comprueba con una calculadora de pruebas de hipótesis.
1. Usar una prueba z cuando σ es desconocida
Si la desviación estándar poblacional no se da directamente (y no puede suponerse a partir de un gran conjunto de datos históricos), usa una prueba t con la desviación estándar de la muestra. Meter una desviación estándar muestral en la fórmula de z subestima la incertidumbre real, especialmente en muestras pequeñas.
2. Elegir la dirección de cola equivocada
Ajustar Ha a la redacción real de la afirmación importa: «mayor que» o «más de» implica una prueba de cola derecha, «menor que» implica cola izquierda, y «distinto de» o «no igual a» implica dos colas. Usar un valor crítico de dos colas para una afirmación de una cola (o al revés) cambia tanto el valor crítico como la conclusión.
3. Leer el valor p como la probabilidad de que H0 sea verdadera
Un valor p pequeño significa que los datos observados serían poco probables si H0 fuera verdadera; no indica directamente la probabilidad de que H0 en sí sea verdadera o falsa. Ten presente la formulación condicional («probabilidad de estos datos, dado H0») al redactar una conclusión.
4. Tratar «no rechazar» como «demostrado verdadero»
No rechazar H0 solo significa que la muestra no aportó evidencia suficiente contra ella; nunca demuestra que H0 sea verdadera. Una muestra mayor, o una muestra distinta, podría llevar a rechazar H0 para esa misma población subyacente.
Problemas de práctica de pruebas de hipótesis con soluciones
Trabaja estos tres problemas de menor a mayor dificultad. Intenta cada uno antes de leer la solución y luego compara tu planteamiento con los pasos mostrados.
1. Problema 1 (principiante): prueba z de dos colas
Una empresa de zumos afirma que sus botellas contienen de media 16 oz, con una desviación estándar poblacional conocida de σ = 0.5 oz. Una muestra de n = 25 botellas tiene una media de 15.8 oz. Comprueba con α = 0.05 si la media real difiere de 16 oz. Solución: z = (15.8 − 16) ÷ (0.5 ÷ √25) = −0.2 ÷ 0.1 = −2.0. Los valores críticos con α = 0.05 (dos colas) son ±1.96. Como |z| = 2.0 > 1.96, se rechaza H0: p ≈ 2 × (1 − 0.9772) = 0.0456, menor que 0.05, lo que confirma la misma conclusión.
2. Problema 2 (intermedio): prueba t de una cola
Una app de fitness afirma que los usuarios queman de media más de 300 calorías por sesión. Una muestra de n = 20 sesiones tiene x̄ = 310 calorías y s = 25 calorías. Comprueba con α = 0.05, cola derecha. Solución: t = (310 − 300) ÷ (25 ÷ √20) = 10 ÷ 5.590 ≈ 1.789. df = 19, y el valor t crítico con α = 0.05 (una cola) es de alrededor de 1.729. Como t ≈ 1.789 > 1.729, se rechaza H0: la muestra respalda la afirmación de que las calorías medias quemadas superan 300, con p ≈ 0.045.
3. Problema 3 (avanzado): prueba t de dos colas con un α más estricto
Una cafetería afirma que su tiempo medio de espera es de 4 minutos. Una muestra de n = 10 clientes tiene x̄ = 4.6 minutos y s = 0.9 minutos. Comprueba con α = 0.01 si el tiempo medio real de espera difiere de 4 minutos. Solución: t = (4.6 − 4) ÷ (0.9 ÷ √10) = 0.6 ÷ 0.2846 ≈ 2.108. df = 9, y el valor t crítico con α = 0.01 (dos colas) es de unos ±3.250. Como |t| ≈ 2.108 es menor que 3.250 (p ≈ 0.064, muy por encima de 0.01), no se rechaza H0: esta muestra no aporta evidencia suficientemente fuerte al nivel del 1 % de que el tiempo medio real de espera difiera de 4 minutos.
¿Qué más preguntan los estudiantes sobre las calculadoras de pruebas de hipótesis?
Estas son las preguntas que surgen con más frecuencia junto a los deberes y el repaso de exámenes de pruebas de hipótesis.
1. ¿Cuál es la diferencia entre una prueba z y una prueba t en una calculadora de pruebas de hipótesis?
Una prueba z requiere una desviación estándar poblacional conocida y usa la distribución normal; una prueba t usa en su lugar la desviación estándar de la muestra y se basa en la distribución t, que es más ancha en muestras pequeñas para tener en cuenta la incertidumbre extra de estimar σ. Cuando el tamaño de la muestra crece (aproximadamente n ≥ 30), la distribución t se aproxima a la normal y ambas pruebas dan resultados casi idénticos.
2. ¿Puede una calculadora de pruebas de hipótesis trabajar con proporciones en lugar de medias?
Sí: una prueba z para una proporción sigue la misma lógica pero usa z = (p̂ − p0) ÷ √[p0(1 − p0) ÷ n], comparando una proporción muestral p̂ con una proporción poblacional afirmada p0, en lugar de comparar medias muestrales y poblacionales.
3. ¿«No rechazar H0» significa lo mismo que «aceptar H0»?
No. No rechazar H0 significa que la muestra no aportó evidencia suficiente para rechazar la afirmación; nunca demuestra que la afirmación sea verdadera. Por eso los estadísticos evitan deliberadamente la expresión «aceptar H0» y se quedan con «no rechazar».
4. ¿Cómo elijo el nivel de significación (α) para una prueba de hipótesis?
α = 0.05 es el valor por defecto estándar en la mayoría de los cursos y equilibra las tasas de error tipo I y tipo II. Los campos en los que un falso positivo es especialmente costoso, como los ensayos clínicos de fármacos, suelen usar un α = 0.01 más estricto, mientras que algunas investigaciones exploratorias usan un α = 0.10 más permisivo.
Más ayuda con los deberes de pruebas de hipótesis
Cuando te sientas cómodo enunciando H0 y Ha, eligiendo entre una prueba z y una prueba t y comparando tu estadístico de prueba con un valor crítico o un valor p, los problemas de pruebas de hipótesis se convierten en una cuestión de planteamiento cuidadoso más que en una fórmula misteriosa. Practica con una mezcla de preguntas de una y dos colas, ya que los exámenes a menudo esperan que reconozcas cuál se aplica solo por la redacción de la afirmación. Si te atascas planteando un problema concreto o quieres verificar un cálculo hecho a mano, el solucionador paso a paso de Solvify puede desarrollar la misma fórmula que se muestra en esta guía — el estadístico de prueba, el valor crítico o el valor p y la decisión final — para que veas exactamente en qué punto tu planteamiento se separa del correcto.
Antes de recurrir a una calculadora de pruebas de hipótesis, escribe H0, Ha y si la prueba es de una o de dos colas: esa única decisión determina tanto tu valor crítico como tu conclusión.
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