Ejercicios de tiro parabólico: 10 problemas con soluciones completas
Los ejercicios de tiro parabólico son la forma más rápida de dominar las trayectorias, porque trabajas con números reales en lugar de solo leer las fórmulas. Este conjunto de 10 ejercicios va desde calentamientos fáciles hasta problemas de nivel avanzado, y cubre lanzamientos horizontales, lanzamientos con ángulo y lanzamientos desde una altura. Cada problema usa g = 9,8 m/s², muestra toda la aritmética y termina con un resultado final con el que puedes contrastar tu propio trabajo, además de una sección sobre los errores que más puntos cuestan a los estudiantes y cómo verificar cualquier respuesta sin una app de calculadora.
Contenido
- 01¿Por qué practicar problemas de tiro parabólico en lugar de solo repasar las fórmulas?
- 02¿Qué fórmulas necesitas antes de empezar estos ejercicios?
- 033 ejercicios fáciles de calentamiento (con soluciones completas)
- 04¿Cómo se resuelve un lanzamiento horizontal de nivel medio?
- 05¿Cómo se resuelve un ejercicio de lanzamiento con ángulo?
- 06¿Qué cambia cuando el punto de lanzamiento está por encima del de llegada?
- 074 ejercicios de nivel avanzado para ponerte a prueba
- 08¿Qué errores cuestan más puntos en los ejercicios de tiro parabólico?
- 09¿Cómo puedes verificar que tus respuestas de tiro parabólico son correctas?
- 10¿Listo para comprobar tu propio trabajo de tiro parabólico?
¿Por qué practicar problemas de tiro parabólico en lugar de solo repasar las fórmulas?
Leer las ecuaciones del tiro parabólico da la sensación de entender, pero no es la misma habilidad que resolver un problema en frío: reconocer qué fórmula encaja con cada situación, mantener separadas las componentes y detectar tus propios errores de álgebra antes de que se conviertan en un resultado equivocado. El tiro parabólico complica a los estudiantes no tanto porque las fórmulas sean difíciles, sino porque hay varias y elegir la correcta depende de detalles fáciles de pasar por alto: ¿la altura de lanzamiento es igual a la de llegada?, ¿el objeto parte con alguna velocidad vertical?, ¿la pregunta pide un valor por encima del punto de lanzamiento o por encima del suelo? Los ejercicios te obligan a fijarte en esos detalles cada vez, que es exactamente lo que se evalúa en pruebas y exámenes. Los 10 ejercicios de abajo están agrupados en niveles fácil, medio y avanzado. Resuelve cada uno en papel antes de leer la solución: incluso avanzar solo una parte y comparar tu planteamiento con los pasos resueltos genera mucha más comprensión que leer pasivamente una solución terminada. Todos los problemas usan g = 9,8 m/s² y muestran la aritmética completa, así que si tu resultado no coincide podrás encontrar exactamente dónde se desvió tu trabajo.
Lo que separa una buena nota en tiro parabólico de una mala no son las fórmulas en sí, sino reconocer qué fórmula pide cada situación.
¿Qué fórmulas necesitas antes de empezar estos ejercicios?
Cuatro ecuaciones cubren prácticamente cualquier ejercicio de tiro parabólico que te vayas a encontrar. Tenlas delante mientras resuelves los problemas de abajo y fíjate en la única condición que acompaña al atajo del alcance: es la causa más común de respuestas incorrectas.
1. Componentes de la velocidad
vₓ₀ = v₀ × cos(θ) y v_y₀ = v₀ × sin(θ), donde v₀ es la rapidez de lanzamiento y θ es el ángulo de lanzamiento sobre la horizontal. En un lanzamiento puramente horizontal, θ = 0°, así que vₓ₀ = v₀ y v_y₀ = 0.
2. Tiempo de vuelo
Cuando las alturas de lanzamiento y de llegada son iguales: T = 2v_y₀ ÷ g. Cuando el punto de lanzamiento está por encima o por debajo del punto de llegada una altura h, resuelve en su lugar h + v_y₀t − ½gt² = 0 con la fórmula cuadrática: el atajo de alturas iguales no se aplica.
3. Altura máxima
H = v_y₀² ÷ (2g), medida sobre el punto de lanzamiento. Suma la altura de lanzamiento si la pregunta pide la altura sobre el suelo.
4. Alcance
R = vₓ₀ × T funciona siempre, usando el tiempo de vuelo que hayas obtenido arriba. El atajo R = v₀² × sin(2θ) ÷ g solo sirve cuando la altura de lanzamiento es igual a la de llegada; usarlo en un lanzamiento desde una altura es la manera más rápida de equivocarse.
R = vₓ₀ × T funciona en cualquier problema de tiro parabólico. R = v₀²sin(2θ)/g solo funciona cuando las alturas de lanzamiento y de llegada coinciden: trátalo como un atajo, no como una regla.
3 ejercicios fáciles de calentamiento (con soluciones completas)
Estos tres ejercicios usan números sencillos y planteamientos directos, sin necesidad de la fórmula cuadrática. Intenta cada uno antes de mirar la solución que hay debajo.
1. P1 (fácil) — Un libro se desliza de una mesa
Un libro se desliza de una mesa horizontal de 0,72 m de altura con una rapidez de 1,8 m/s. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo y a qué distancia de la mesa cae? Solución: como el lanzamiento es horizontal, v_y₀ = 0, así que t = √(2h ÷ g) = √(2 × 0,72 ÷ 9,8) = √(1,44 ÷ 9,8) = √0,1469 ≈ 0,38 s. Alcance: R = vₓ₀ × t = 1,8 × 0,38 ≈ 0,69 m. Respuesta: unos 0,38 s y 0,69 m.
2. P2 (fácil) — Solo la altura máxima
Se lanza una pelota desde el suelo a 8 m/s con 50° sobre la horizontal. Halla su altura máxima. Solución: v_y₀ = 8 × sin(50°) = 8 × 0,766 ≈ 6,13 m/s. H = v_y₀² ÷ (2g) = 6,13² ÷ 19,6 = 37,58 ÷ 19,6 ≈ 1,92 m. Respuesta: unos 1,92 m.
3. P3 (fácil) — Un dardo lanzado horizontalmente
Se lanza un dardo horizontalmente a 5 m/s desde una altura de 1,25 m. Halla el alcance. Solución: t = √(2 × 1,25 ÷ 9,8) = √(2,5 ÷ 9,8) = √0,2551 ≈ 0,51 s. R = 5 × 0,51 ≈ 2,53 m. Respuesta: unos 2,53 m.
Todo problema de lanzamiento horizontal se reduce al mismo atajo: t = √(2h/g). Reconocer de inmediato que v_y₀ = 0 es la vía más rápida en un ejercicio de nivel fácil.
¿Cómo se resuelve un lanzamiento horizontal de nivel medio?
Los lanzamientos horizontales de nivel medio usan el mismo método que los ejercicios fáciles, pero con números más grandes y menos cómodos: buena práctica para mantener la aritmética exacta bajo la presión del examen.
1. P4 (medio) — Una pelota de golf desde un acantilado
Una pelota de golf rueda por el borde de un acantilado de 22 m a una rapidez horizontal de 14 m/s. Halla el tiempo de vuelo y el alcance.
2. Paso 1 — Tiempo de vuelo
v_y₀ = 0, así que t = √(2h ÷ g) = √(2 × 22 ÷ 9,8) = √(44 ÷ 9,8) = √4,490 ≈ 2,12 s.
3. Paso 2 — Alcance
R = vₓ₀ × t = 14 × 2,12 ≈ 29,7 m.
4. Paso 3 — Verificar
Que un acantilado de 22 m (una caída de unos 7 pisos) tarde poco más de 2 segundos en llegar al suelo encaja con la intuición de la caída libre, y que 14 m/s lleven la pelota unos 30 m en ese tiempo es un alcance razonable y nada extremo. Respuesta: t ≈ 2,12 s, R ≈ 29,7 m.
Los números más grandes no cambian el método: solo hacen más fácil perder una coma decimal. Escribe cada valor intermedio en lugar de encadenar operaciones en la calculadora.
¿Cómo se resuelve un ejercicio de lanzamiento con ángulo?
Los lanzamientos con ángulo desde el suelo son el tipo de problema de tiro parabólico más común, y este ejemplo recorre las tres salidas estándar —altura máxima, tiempo de vuelo y alcance— a partir de un único lanzamiento.
1. P5 (medio) — Un lanzamiento de jabalina
Se lanza una jabalina desde el suelo a 22 m/s con 42° sobre la horizontal. Halla la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance.
2. Paso 1 — Componentes
vₓ₀ = 22 × cos(42°) = 22 × 0,7431 ≈ 16,35 m/s. v_y₀ = 22 × sin(42°) = 22 × 0,6691 ≈ 14,72 m/s.
3. Paso 2 — Altura máxima
H = v_y₀² ÷ (2g) = 14,72² ÷ 19,6 = 216,7 ÷ 19,6 ≈ 11,06 m.
4. Paso 3 — Tiempo de vuelo
Las alturas de lanzamiento y de llegada son iguales (ambas a ras de suelo), así que T = 2v_y₀ ÷ g = 2 × 14,72 ÷ 9,8 = 29,44 ÷ 9,8 ≈ 3,00 s.
5. Paso 4 — Alcance
R = vₓ₀ × T = 16,35 × 3,00 ≈ 49,1 m. Comprobación cruzada con el atajo, ya que las alturas son iguales: R = v₀² × sin(2θ) ÷ g = 484 × sin(84°) ÷ 9,8 = 484 × 0,9945 ÷ 9,8 ≈ 49,1 m; los dos métodos coinciden. Respuesta: H ≈ 11,06 m, T ≈ 3,00 s, R ≈ 49,1 m.
Cuando las alturas de lanzamiento y de llegada son iguales, R = vₓ₀ × T y la fórmula abreviada deben coincidir siempre dentro del error de redondeo: una comprobación gratuita e incorporada.
¿Qué cambia cuando el punto de lanzamiento está por encima del de llegada?
Los problemas de lanzamiento desde una altura son el clásico de nivel avanzado, porque el atajo del tiempo para alturas iguales ya no sirve: hay que recurrir a la ecuación cuadrática completa.
1. P6 (avanzado) — Una bala de cañón desde una muralla
Se dispara una bala de cañón desde lo alto de una muralla de 30 m a 25 m/s con 30° sobre la horizontal. Halla el tiempo de vuelo y el alcance.
2. Paso 1 — Componentes
vₓ₀ = 25 × cos(30°) = 25 × 0,8660 ≈ 21,65 m/s. v_y₀ = 25 × sin(30°) = 25 × 0,5 = 12,5 m/s.
3. Paso 2 — Plantear la ecuación vertical
Midiendo el desplazamiento hacia abajo como −30 m respecto al punto de lanzamiento: −30 = 12,5t − 4,9t², que se reordena como 4,9t² − 12,5t − 30 = 0.
4. Paso 3 — Resolver con la fórmula cuadrática
t = [12,5 ± √(12,5² + 4 × 4,9 × 30)] ÷ (2 × 4,9) = [12,5 ± √(156,25 + 588)] ÷ 9,8 = [12,5 ± √744,25] ÷ 9,8 = [12,5 ± 27,28] ÷ 9,8. La raíz negativa no es física, así que t = (12,5 + 27,28) ÷ 9,8 ≈ 4,06 s.
5. Paso 4 — Alcance y verificación
R = vₓ₀ × t = 21,65 × 4,06 ≈ 87,9 m. Verifica sustituyendo t de nuevo en la ecuación vertical: 12,5 × 4,06 − 4,9 × 4,06² = 50,75 − 80,77 ≈ −30,0 m, que coincide con la altura de la muralla y con el signo correcto. Respuesta: t ≈ 4,06 s, R ≈ 87,9 m.
Siempre que las alturas de lanzamiento y de llegada sean distintas, olvida cualquier fórmula abreviada y ve directo a h + v_y₀t − ½gt² = 0 resuelta con la fórmula cuadrática: es el único método que nunca falla.
4 ejercicios de nivel avanzado para ponerte a prueba
Estos cuatro ejercicios combinan un lanzamiento con ángulo y una diferencia de altura, la combinación estándar más difícil. Recorre el método completo —componentes, ecuación cuadrática para el tiempo y después el alcance— y compara tus números finales con las respuestas de abajo.
1. P7 (avanzado) — Trabuquete desde una colina
Un trabuquete lanza una piedra a 30 m/s con 55° sobre la horizontal desde una colina situada 15 m por encima del campo objetivo. Halla el alcance. Respuesta: t ≈ 5,57 s, R ≈ 95,8 m.
2. P8 (fácil–medio) — Frisbee desde una cornisa
Se lanza un frisbee horizontalmente a 9 m/s desde una altura de 1,5 m. Halla el tiempo de vuelo y el alcance. Respuesta: t ≈ 0,55 s, R ≈ 4,98 m.
3. P9 (medio) — Lanzamiento con ángulo desde el suelo
Se lanza una pelota desde el suelo a 18 m/s con 25° sobre la horizontal. Halla la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance. Respuesta: H ≈ 2,95 m, T ≈ 1,55 s, R ≈ 25,3 m.
4. P10 (avanzado) — Lanzamiento desde plataforma con ángulo pronunciado
Se lanza una pelota a 40 m/s con 60° sobre la horizontal desde una plataforma de 10 m de altura. Halla el tiempo de vuelo y el alcance. Respuesta: t ≈ 7,35 s, R ≈ 146,9 m.
Si tu respuesta a un ejercicio avanzado se desvía más que un error de redondeo, rehaz primero el paso de la fórmula cuadrática: un error de signo dentro de la raíz es donde más se tuercen estos problemas.
¿Qué errores cuestan más puntos en los ejercicios de tiro parabólico?
El mismo puñado de errores explica la mayoría de los puntos perdidos en los problemas de tiro parabólico, y todos se evitan yendo más despacio en un paso concreto.
1. Usar el atajo del alcance cuando las alturas no son iguales
R = v₀²sin(2θ)/g solo se cumple cuando las alturas de lanzamiento y de llegada son las mismas. Aplicarlo a un lanzamiento desde un acantilado o una plataforma da una respuesta rotundamente equivocada: usa por defecto R = vₓ₀ × T salvo que hayas comprobado explícitamente que las alturas coinciden.
2. Perder el signo de la altura en la cuadrática
Al resolver h + v_y₀t − ½gt² = 0 para un lanzamiento por encima del punto de llegada, h debe introducirse como un desplazamiento negativo respecto al punto de lanzamiento, o bien la ecuación debe plantearse como −h = v_y₀t − ½gt². Mezclar el convenio de signos invierte por completo el resultado.
3. Confundir grados y usar la función trigonométrica equivocada
Intercambiar seno y coseno —usar cos(θ) para la componente vertical en lugar del seno— es, con diferencia, el error más común al descomponer en componentes. Comprueba dos veces que la componente vertical usa sin(θ) y la horizontal cos(θ) antes de sustituir números.
4. Redondear los valores intermedios demasiado pronto
Redondear vₓ₀ o v_y₀ a dos cifras significativas antes de usarlos en pasos posteriores arrastra el error por el resto del problema. Lleva al menos cuatro cifras significativas en los pasos intermedios y redondea solo el resultado final.
La mayoría de los errores en tiro parabólico no son conceptuales: son una fórmula abreviada aplicada fuera de la única condición que exige.
¿Cómo puedes verificar que tus respuestas de tiro parabólico son correctas?
Tres comprobaciones detectan casi cualquier error de tiro parabólico antes de entregar una respuesta, y ninguna necesita una app de calculadora.
1. Comprobación de unidades
Sigue las unidades a lo largo de cada fórmula. √(m ÷ (m/s²)) debe simplificarse a segundos; (m/s)² ÷ (m/s²) debe simplificarse a metros. Si las unidades no se cancelan limpiamente, algún término se manejó mal en el álgebra.
2. Comprobación de magnitud
Pregúntate si el número tiene sentido para la situación. Una pelota que cae desde la altura de una mesa debería tardar bastante menos de un segundo en llegar al suelo; una bala de cañón lanzada a decenas de metros por segundo debería recorrer decenas o cientos de metros, no miles. Una respuesta desviada en un orden de magnitud suele significar que se perdió un término elevado al cuadrado.
3. Comprobación por sustitución
Sustituye el tiempo que has calculado en la ecuación original de la posición vertical y confirma que devuelve la altura de partida, como en P6 arriba. Este único paso detecta errores de signo y fallos de la fórmula cuadrática que las comprobaciones de unidades o magnitud podrían pasar por alto.
Sustituir tu respuesta en la ecuación de la que partiste es la comprobación más fiable que existe: detecta los errores que se les escapan tanto a la de unidades como a la de magnitud.
¿Listo para comprobar tu propio trabajo de tiro parabólico?
Resolver ejercicios a mano es lo que construye comprensión real, pero saber dónde se torció tu solución vale tanto como llegar a la respuesta correcta. El Smart Scan Solver de Solvify te permite fotografiar un problema de tiro parabólico —tus propios deberes, una ficha o una pregunta de esta lista— y ver una solución completa paso a paso para compararla con tu trabajo, de modo que encuentres exactamente en qué línea se desvió tu respuesta. Sigue resolviendo primero a mano; usa la herramienta para comprobar, no para saltarte la práctica.
El objetivo de los ejercicios no es el número final: es ser capaz de plantear correctamente el siguiente problema por tu cuenta.
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