Calculadora de Transformada Inversa de Laplace: Métodos Paso a Paso y Ejemplos Resueltos
Una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace recupera la función de dominio de tiempo f(t) a partir de su representación de dominio s, F(s) — mostrando cada paso de reordenamiento algebraico, búsqueda de tablas y fracciones parciales para que comprenda el razonamiento detrás de cada movimiento, no solo la respuesta final. La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable compleja s; la transformada inversa es cómo vuelve a una respuesta utilizable en t. Esta guía cubre las cuatro técnicas que encontrará con más frecuencia: búsqueda directa en tablas, descomposición en fracciones parciales, completación de cuadrados con el primer teorema de desplazamiento y aplicación de la transformada inversa para resolver un problema de valores iniciales — cada una con ejemplos completamente resueltos y un paso de verificación que puede verificar manualmente.
Contenido
- 01¿Qué es la Transformada Inversa de Laplace, y por qué una Calculadora Paso a Paso muestra cada Transformación?
- 02¿Cómo Identifica una Calculadora Paso a Paso de Transformada Inversa de Laplace la Técnica Correcta?
- 03¿Cómo Se Encuentra la Transformada Inversa de Laplace Usando una Tabla?
- 04¿Cómo Se Aplican Fracciones Parciales en una Calculadora Paso a Paso de Transformada Inversa de Laplace?
- 05¿Cuál es la Técnica de Completación de Cuadrados para Transformadas Inversas de Laplace?
- 06¿Cómo Se Usa la Transformada Inversa de Laplace para Resolver una Ecuación Diferencial?
- 07Ejemplo de EDO Resuelto: Resolver y'' + 3y' + 2y = 0 Usando la Transformada Inversa de Laplace
- 08¿Cuáles son los Errores Más Comunes al Encontrar Transformadas Inversas de Laplace?
- 09Preguntas Frecuentes Sobre Calculadoras de Transformada Inversa de Laplace
¿Qué es la Transformada Inversa de Laplace, y por qué una Calculadora Paso a Paso muestra cada Transformación?
La transformada de Laplace L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(-st) dt convierte una función de tiempo t en una función F(s) de la variable compleja s. Esto convierte una ecuación diferencial — difícil de resolver en t — en una ecuación algebraica en s que puede reordenar con álgebra ordinaria. La transformada inversa de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) va en la dirección opuesta: dado F(s), encuentre la función de dominio de tiempo original. En la práctica, la inversa casi nunca se calcula a partir de la integral de contorno de Bromwich formal. En su lugar, F(s) se manipula algebraicamente — usando fracciones parciales, completación de cuadrados o coincidencia directa de patrones — hasta que coincida con una o más entradas en una tabla de Laplace estándar. Cada entrada en esa tabla es un par de transformación: un f(t) conocido y su F(s) correspondiente. La inversa es simplemente leer la tabla al revés. Una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace hace este proceso transparente. Muestra qué manipulación algebraica se aplicó, qué entrada de tabla se coincidió y cómo se usó el teorema de desplazamiento — para que el método sea reproducible en un examen sin recursos, no una respuesta de caja negra.
La transformada inversa de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) se encuentra manipulando F(s) algebraicamente hasta que coincida con entradas de tabla conocidas — no evaluando una integral de contorno compleja. El álgebra es la habilidad.
¿Cómo Identifica una Calculadora Paso a Paso de Transformada Inversa de Laplace la Técnica Correcta?
Antes de aplicar cualquier fórmula, una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace clasifica F(s). La clasificación determina el método. Saltarse este paso es donde la mayoría de los errores comienzan — los estudiantes aplican fracciones parciales a una función que ya coincide con una entrada de tabla, o pierden el desplazamiento necesario para un denominador de cuadrado completado.
1. Paso 1 — Verificar si hay una coincidencia directa en la tabla
Inspeccione F(s) contra entradas de tabla estándar: 1/s, 1/(s-a), n!/s^(n+1), b/(s²+b²), s/(s²+b²), y sus formas desplazadas. Si la coincidencia es exacta, lea el resultado de la tabla inmediatamente. Muchos problemas de libros de texto están diseñados para ser coincidencias directas — identificarlas ahorra tiempo significativo.
2. Paso 2 — Verificar si F(s) es una función racional propia
Si F(s) = P(s)/Q(s) donde el grado de P es menor que el grado de Q, se aplican fracciones parciales. Factorice Q(s) en factores lineales (s - a) y cuadráticas irreducibles (s² + bs + c con b² - 4c < 0). Cada factor lineal distinto produce un término A/(s - a); cada factor lineal repetido (s - a)^k produce términos A₁/(s-a) + A₂/(s-a)² + … + Aₖ/(s-a)^k; cada cuadrática irreducible produce términos en s y constantes sobre esa cuadrática.
3. Paso 3 — Completar el cuadrado para denominadores cuadráticos irreducibles
Cuando el denominador contiene s² + bs + c sin raíces reales, reescríbalo como (s + b/2)² + (c - b²/4). El desplazamiento a = -b/2 revela qué versión del seno o coseno de la entrada de tabla se aplica. El primer teorema de desplazamiento da: L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t), donde f(t) = L⁻¹{F(s)}.
4. Paso 4 — Si F(s) no es propia, haga división larga de polinomios primero
Si el grado de P(s) es mayor o igual al grado de Q(s), divida P entre Q para obtener un polinomio más un resto propio. La parte polinomial se invierte término a término usando L⁻¹{sⁿ} = δ^(n)(t) (derivadas del delta de Dirac, raramente necesarias en cursos introductorios); el resto propio se invierte por fracciones parciales.
5. Paso 5 — Verificar tomando la transformada de Laplace hacia adelante
Después de encontrar f(t), calcule L{f(t)} usando la tabla de transformada hacia adelante y verifique que reproduzca F(s). Esta verificación cuesta alrededor de un minuto y confirma o refuta el resultado definitivamente. Atrapa errores de signo en las constantes de fracciones parciales y factores faltantes del teorema de desplazamiento.
Identificar: coincidencia directa → fracciones parciales → completar el cuadrado → división larga. Este orden de decisión — aplicado antes de escribir una sola fórmula — es lo que separa un flujo de calculadora confiable de adivinar.
¿Cómo Se Encuentra la Transformada Inversa de Laplace Usando una Tabla?
Los pares de Laplace principales a conocer para problemas inversos son: - L⁻¹{1/s} = 1 (escalón unitario) - L⁻¹{1/(s - a)} = e^(at) - L⁻¹{n!/s^(n+1)} = tⁿ, así L⁻¹{1/s²} = t, L⁻¹{2/s³} = t² - L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt) - L⁻¹{s/(s² + b²)} = cos(bt) El teorema de desplazamiento extiende cada fila: L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t). Ejemplo 1 — Exponencial única: Encontre L⁻¹{6/(s + 4)}. Reescriba: 6·[1/(s - (-4))]. Coincidencia: L⁻¹{1/(s - a)} = e^(at) con a = -4. Resultado: f(t) = 6e^(-4t) ✓ Verificación: L{6e^(-4t)} = 6·1/(s + 4) ✓ Ejemplo 2 — Seno y coseno combinados: Encontre L⁻¹{(3s + 8)/(s² + 16)}. Dividir usando linealidad: L⁻¹{3s/(s² + 16)} + L⁻¹{8/(s² + 16)} Para el término de coseno: 3·L⁻¹{s/(s² + 4²)} = 3cos(4t) Para el término de seno: (8/4)·L⁻¹{4/(s² + 4²)} = 2sin(4t) Resultado: f(t) = 3cos(4t) + 2sin(4t) ✓ Verificación: L{3cos(4t) + 2sin(4t)} = 3s/(s² + 16) + 8/(s² + 16) = (3s + 8)/(s² + 16) ✓ Ejemplo 3 — Potencia de t con desplazamiento: Encontre L⁻¹{2/(s + 3)²}. Coincidencia: L⁻¹{n!/s^(n+1)} = tⁿ → L⁻¹{1!/s²} = t, así L⁻¹{1/(s - a)²} = te^(at) con a = -3. Resultado: f(t) = 2te^(-3t) ✓ Verificación: L{2te^(-3t)} = 2·1/(s + 3)² ✓ Poner atención a cuál b pertenece al numerador (para seno) versus s (para coseno) atrapa el error de búsqueda de tabla más común.
Pares clave: L⁻¹{1/(s-a)} = e^(at) · L⁻¹{b/(s²+b²)} = sin(bt) · L⁻¹{s/(s²+b²)} = cos(bt). Cada fila se desplaza reemplazando s con s-a y multiplicando f(t) por e^(at).
¿Cómo Se Aplican Fracciones Parciales en una Calculadora Paso a Paso de Transformada Inversa de Laplace?
La descomposición en fracciones parciales descompone un F(s) racional complejo en una suma de fracciones más simples, cada una coincidiendo con una entrada de tabla estándar. El álgebra sigue las mismas reglas que en la integración, pero el objetivo es búsqueda de tabla, no una antiderivada logarítmica. Ejemplo 4 — Dos factores lineales distintos: Encontre L⁻¹{(2s + 5)/[(s + 1)(s + 3)]}. Paso 1: Escriba la plantilla. (2s + 5)/[(s + 1)(s + 3)] = A/(s + 1) + B/(s + 3) Paso 2: Limpie el denominador. 2s + 5 = A(s + 3) + B(s + 1) Paso 3: Resuelva sustituyendo valores estratégicos. s = -1: 3 = 2A → A = 3/2 s = -3: -1 = -2B → B = 1/2 Paso 4: Invierta cada término usando la tabla. L⁻¹{(3/2)/(s + 1)} + L⁻¹{(1/2)/(s + 3)} = (3/2)e^(-t) + (1/2)e^(-3t) ✓ Verificación: L{(3/2)e^(-t) + (1/2)e^(-3t)} = (3/2)/(s+1) + (1/2)/(s+3) = [3(s+3) + (s+1)] / [2(s+1)(s+3)] = (4s+10)/[2(s+1)(s+3)] = (2s+5)/[(s+1)(s+3)] ✓ Ejemplo 5 — Factor lineal repetido: Encontre L⁻¹{1/[s(s + 2)²]}. Plantilla: A/s + B/(s + 2) + C/(s + 2)² Limpiar: 1 = A(s + 2)² + Bs(s + 2) + Cs Establecer s = 0: 1 = 4A → A = 1/4 Establecer s = -2: 1 = -2C → C = -1/2 Expandir y coincidir el coeficiente s²: A + B = 0 → B = -1/4 Verifique el coeficiente s: 4A + 2B + C = 4(1/4) + 2(-1/4) + (-1/2) = 1 - 1/2 - 1/2 = 0 ✓ (coincide con el coeficiente de s a la izquierda, que es 0) Invierta cada término: L⁻¹{(1/4)/s} = 1/4 L⁻¹{(-1/4)/(s + 2)} = -(1/4)e^(-2t) L⁻¹{(-1/2)/(s + 2)²} = -(1/2)te^(-2t) Resultado: f(t) = 1/4 - (1/4)e^(-2t) - (1/2)te^(-2t) ✓
Fracciones parciales para transformada inversa de Laplace: factorizar Q(s), escribir la plantilla, limpiar denominadores, sustituir valores estratégicos de s para encontrar cada constante, luego invertir cada pieza individualmente usando la tabla.
¿Cuál es la Técnica de Completación de Cuadrados para Transformadas Inversas de Laplace?
Cuando el denominador contiene una cuadrática irreducible — una cuya discriminante b² - 4c es negativa y no tiene raíces reales — no puede factorizarla en términos lineales sobre los reales. La completación de cuadrados la convierte en la forma (s + α)² + β², que coincide con las entradas de tabla de seno y coseno desplazadas. El primer teorema de desplazamiento: L⁻¹{F(s + α)} = e^(-αt)·f(t), donde f(t) = L⁻¹{F(s)}. Ejemplo 6 — Denominador cuadrático puro: Encontre L⁻¹{1/(s² + 4s + 13)}. Completar el cuadrado: s² + 4s + 13 = (s + 2)² + 9 Reescribir: 1/[(s + 2)² + 9] = (1/3)·3/[(s + 2)² + 9] Coincidencia: L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt) con b = 3, desplazado por α = 2. Primer teorema de desplazamiento: L⁻¹{3/[(s + 2)² + 9]} = e^(-2t)·sin(3t) Resultado: f(t) = (1/3)e^(-2t)·sin(3t) ✓ Verificación: L{(1/3)e^(-2t)sin(3t)} = (1/3)·3/[(s+2)²+9] = 1/(s²+4s+13) ✓ Ejemplo 7 — Numerador que coincide con s desplazado: Encontre L⁻¹{(s + 3)/(s² + 6s + 13)}. Completar el cuadrado: s² + 6s + 13 = (s + 3)² + 4 El numerador s + 3 ya es igual a la variable desplazada (s + 3). Coincidencia: L⁻¹{(s + α)/[(s + α)² + β²]} = e^(-αt)·cos(βt) con α = 3, β = 2. Resultado: f(t) = e^(-3t)·cos(2t) ✓ Ejemplo 8 — Numerador que necesita dividirse: Encontre L⁻¹{(2s + 1)/(s² + 4s + 8)}. Completar el cuadrado: s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 4 Dividir el numerador: 2s + 1 = 2(s + 2) - 4 + 1 = 2(s + 2) - 3 Entonces (2s + 1)/[(s + 2)² + 4] = 2(s + 2)/[(s + 2)² + 4] - 3/[(s + 2)² + 4] Invierta cada término: L⁻¹{2(s + 2)/[(s + 2)² + 4]} = 2e^(-2t)·cos(2t) L⁻¹{3/[(s + 2)² + 4]} = (3/2)·e^(-2t)·sin(2t) Resultado: f(t) = 2e^(-2t)·cos(2t) - (3/2)e^(-2t)·sin(2t) ✓
Completación de cuadrados: s² + bs + c = (s + b/2)² + (c - b²/4). Luego el primer teorema de desplazamiento da L⁻¹{F(s + α)} = e^(-αt)·f(t), convirtiendo cada entrada de seno/coseno en su versión exponencialmente amortiguada.
¿Cómo Se Usa la Transformada Inversa de Laplace para Resolver una Ecuación Diferencial?
Aplicar la transformada de Laplace a un problema de valores iniciales lo convierte en una ecuación algebraica en Y(s). Resuelva Y(s), luego aplique la transformada inversa de Laplace para recuperar y(t). Este flujo de trabajo es donde una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace es más poderosa — cada etapa es una operación algebraica separada.
1. Paso 1 — Transforme la ecuación usando reglas de derivadas estándar
Para y(t) con y(0) = y₀ e y'(0) = y₁: L{y'} = sY(s) - y₀ L{y''} = s²Y(s) - sy₀ - y₁ Aplique estos a cada término. Las constantes en el lado derecho se transforman usando la tabla (p. ej., L{e^(at)} = 1/(s - a)).
2. Paso 2 — Recopile Y(s) y resuelva algebraicamente
Agrupe todos los términos Y(s) en el lado izquierdo, mueva todo lo demás al lado derecho y factorrice Y(s). Esto produce Y(s) = [numerador construido a partir de condiciones iniciales y términos de forzamiento] / [polinomio en s del lado izquierdo]. El resultado es una función racional lista para fracciones parciales.
3. Paso 3 — Aplique fracciones parciales o completación de cuadrados
Factorice el denominador de Y(s). Si todas las raíces son distintas y reales, use A/(s - r₁) + B/(s - r₂) + … . Si aparecen raíces complejas, complete el cuadrado y use el teorema de desplazamiento. Encuentre cada constante mediante el método de cobertura o expandiendo y comparando coeficientes.
4. Paso 4 — Invierta cada término usando la tabla
Cada término de fracción parcial coincide exactamente con una entrada de tabla. La inversa de la suma es la suma de las inversas. Escriba y(t) como la suma de exponenciales, senos, cosenos o productos polinomio-exponencial según lo indicado por las entradas de tabla.
5. Paso 5 — Verifique sustituyendo en la ecuación original y verificando condiciones iniciales
Diferencie y(t) el número requerido de veces. Sustituya y, y', y'' en la EDO original y confirme que ambos lados sean iguales. Luego evalúe y(0) e y'(0) y confirme que coincidan con las condiciones iniciales dadas. Ambas verificaciones juntas confirman la solución.
Ejemplo de EDO Resuelto: Resolver y'' + 3y' + 2y = 0 Usando la Transformada Inversa de Laplace
Resuelva y'' + 3y' + 2y = 0, con y(0) = 1 e y'(0) = 0. Paso 1: Transforme cada término. L{y''} = s²Y(s) - s·y(0) - y'(0) = s²Y - s L{y'} = sY(s) - y(0) = sY - 1 L{y} = Y(s) Sustituya: (s²Y - s) + 3(sY - 1) + 2Y = 0 Y(s² + 3s + 2) = s + 3 Y(s) = (s + 3) / [(s + 1)(s + 2)] Paso 2: Fracciones parciales. A/(s + 1) + B/(s + 2) s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) s = -1: 2 = A s = -2: 1 = -B → B = -1 Y(s) = 2/(s + 1) - 1/(s + 2) Paso 3: Invierta. y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t) Verificación: y(0) = 2 - 1 = 1 ✓ y'(t) = -2e^(-t) + 2e^(-2t); y'(0) = -2 + 2 = 0 ✓ y''(t) = 2e^(-t) - 4e^(-2t) Sustituya en y'' + 3y' + 2y: (2e^(-t) - 4e^(-2t)) + 3(-2e^(-t) + 2e^(-2t)) + 2(2e^(-t) - e^(-2t)) = (2 - 6 + 4)e^(-t) + (-4 + 6 - 2)e^(-2t) = 0·e^(-t) + 0·e^(-2t) = 0 ✓ Esta verificación de extremo a extremo — verificar la EDO y ambas condiciones iniciales — es el estándar utilizado en cualquier curso de ingeniería o matemáticas. Realizar la misma verificación de tres partes en su propio trabajo atrapa la gran mayoría de errores algebraicos antes de costarle puntos.
Flujo de trabajo de EDO de Laplace: transformar → resolver Y(s) algebraicamente → fracciones parciales → invertir → verificar. El paso de transformada inversa es las mismas cuatro técnicas de las secciones anteriores — no son habilidades separadas, solo la etapa final del mismo método.
¿Cuáles son los Errores Más Comunes al Encontrar Transformadas Inversas de Laplace?
Estos errores aparecen consistentemente en soluciones de tareas y exámenes. Cada uno es específico suficiente para reconocer y corregir en su propio trabajo.
1. Leer mal la entrada de seno — usando s en el numerador en lugar de b
L⁻¹{s/(s² + b²)} = cos(bt), no sin(bt). L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt). La diferencia es el numerador: s da coseno, b da seno. Los estudiantes a menudo intercambian estos bajo presión de tiempo. Escribir ambas entradas de tabla lado a lado y verificar el numerador antes de aplicar el resultado previene este intercambio.
2. Olvidar ajustar el numerador antes de aplicar una entrada de tabla
L⁻¹{4/(s² + 9)} no es sin(3t). La entrada de tabla requiere que el numerador sea exactamente igual a b = 3. La expresión debe reescribirse como (4/3)·3/(s² + 9), dando (4/3)sin(3t). Olvidar el factor escalar 4/3 es uno de los errores de paso único más comunes en problemas de transformada inversa.
3. Aplicar el teorema de desplazamiento sin ajustar el numerador
Para L⁻¹{(2s + 1)/[(s + 2)² + 4]}, el numerador 2s + 1 debe reescribirse en términos de (s + 2) antes de que se aplique el teorema de desplazamiento. Escribir 2s + 1 = 2(s + 2) - 3 es el paso requerido. Aplicar el teorema de desplazamiento directamente al numerador sin modificar produce un resultado incorrecto que parece plausible pero falla en la verificación.
4. Signo incorrecto en una constante de fracción parcial
Al usar el método de cobertura para A/(s + 1) + B/(s + 3), cubrir en s = -3 da el numerador evaluado en s = -3 dividido por el factor restante evaluado en s = -3. Los errores de signo aquí se propagan directamente al f(t) final. Después de encontrar todas las constantes, sustituya un valor de prueba de s en la expresión original y la forma de fracción parcial — si coinciden, las constantes son correctas.
5. No verificar condiciones iniciales después del paso inverso
Si el problema de valores iniciales da y(0) = 2 e y'(0) = 1, esos valores deben ser satisfechos por la solución y(t). Evalúe y(0) e y'(0) de su respuesta y compare. Esto toma menos de un minuto. Si alguno falla, las constantes de fracción parcial o la transformada de las derivadas es incorrecta — ambas valen la pena verificar nuevamente.
6. Olvidar la restricción de dominio t ≥ 0
Las soluciones de transformada de Laplace para y(t) son válidas solo para t ≥ 0. Las funciones e^(-2t), sin(3t) y te^(-t) se definen para todo t, pero la solución del problema de valores iniciales se aplica solo en la media línea donde t ≥ 0. Escribir y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t) para t ≥ 0 es técnicamente completo; omitir la restricción de dominio es un error de notación común en escribes formales.
Preguntas Frecuentes Sobre Calculadoras de Transformada Inversa de Laplace
1. ¿Cuál es la diferencia entre la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace?
La transformada de Laplace L{f(t)} = F(s) asigna una función de dominio de tiempo al dominio s, convirtiendo ecuaciones diferenciales en algebraicas. La transformada inversa de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) va en la dirección opuesta, recuperando la función de dominio de tiempo original de su representación de dominio s. En un flujo de trabajo de EDO, aplica la transformada hacia adelante para configurar F(s), resuelve algebraicamente Y(s) y luego aplica la inversa para obtener y(t).
2. ¿Cuándo debo usar una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace en lugar de métodos directos?
Una calculadora paso a paso de transformada inversa de Laplace es más valiosa cuando F(s) requiere fracciones parciales con más de dos términos, o cuando el denominador contiene un factor repetido o una cuadrática irreducible que requiere el teorema de desplazamiento. Para estos casos, los pasos algebraicos son lo suficientemente largos como para que sea fácil pasar por alto un error intermedio — ver cada cálculo de constante y cada coincidencia de tabla etiquetada por separado hace que sea sencillo encontrar exactamente dónde su cálculo manual se desvió del camino correcto.
3. ¿Cómo funciona el primer teorema de desplazamiento, y por qué importa?
El primer teorema de desplazamiento establece L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t), donde f(t) = L⁻¹{F(s)}. Importa porque la mayoría de los sistemas del mundo real tienen oscilaciones amortiguadas — soluciones que involucran e^(-αt)·sin(βt) o e^(-αt)·cos(βt) en lugar de senos y cosenos puros. Al completar el cuadrado para revelar (s + α)² + β², aplica el teorema con a = -α y coincide inmediatamente con las entradas de tabla amortiguadas. Sin el teorema de desplazamiento, necesitaría una fila de tabla separada para cada α posible, lo cual es poco práctico.
4. ¿Puedo verificar un resultado de transformada inversa de Laplace sin calcular la integral de contorno?
Sí — y así es como recomienda todo libro de texto. Tome la transformada de Laplace hacia adelante de f(t) usando la misma tabla en la dirección hacia adelante. Si L{f(t)} reproduce su F(s) original exactamente, la inversa es correcta. Para problemas de EDO, la verificación adicional es sustituir y(t) en la ecuación original y evaluar las condiciones iniciales numéricamente. Estas dos verificaciones juntas confirman el resultado sin análisis complejo.
5. ¿Cuál es la diferencia entre el primer y segundo teorema de desplazamiento?
El primer teorema de desplazamiento (desplazamiento en s) establece L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t) — un desplazamiento en el dominio s multiplica f(t) por una exponencial en t. El segundo teorema de desplazamiento (desplazamiento en t) establece L⁻¹{e^(-as)·F(s)} = u(t - a)·f(t - a), donde u es la función de escalón unitario — un factor de e^(-as) en el dominio s corresponde a un retraso de tiempo en el dominio t. El primer teorema de desplazamiento es el que se usa para problemas de completación de cuadrados; el segundo aparece cuando la función de forzamiento se enciende en t = a en lugar de t = 0.
6. ¿Cómo manejo F(s) donde el grado del numerador es igual o excede el grado del denominador?
Realice primero la división larga de polinomios. Divida el numerador por el denominador para expresar F(s) como un polinomio más un resto propio. La parte polinomial se invierte término a término: una constante A se invierte en A·δ(t), y As + B requiere coincidir con formas derivadas-de-delta — aunque estas rara vez aparecen en cursos introductorios de EDO. El resto propio se invierte mediante los métodos estándar de fracciones parciales y completación de cuadrados. La mayoría de los problemas de libros de texto se escriben para que F(s) sea ya propio, pero siempre verifique los grados antes de empezar.
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