Calculadora de series de Taylor: fórmula, pasos y ejemplos resueltos
Una calculadora de series de Taylor reescribe una función como una suma infinita de términos polinómicos construidos a partir de sus derivadas en un único punto, de modo que una curva difícil de evaluar directamente se comporta como simples sumas y multiplicaciones. Toda calculadora de series de Taylor no hace más que automatizar una fórmula —derivación repetida en un punto central, dividida entre factoriales crecientes— que puedes aplicar a mano para cualquier función lo bastante suave como para derivarla repetidamente. Esta guía cubre la fórmula de la serie de Taylor, el caso especial llamado serie de Maclaurin, cuatro ejemplos completamente resueltos (eˣ, sin x, ln(1+x) y √x expandida en torno a un centro distinto de cero), cómo estimar el residuo para saber qué precisión tiene realmente tu polinomio y los errores que con más frecuencia arruinan una expansión hecha a mano.
Contenido
- 01¿Qué es una calculadora de series de Taylor y cómo funciona?
- 02¿Cuál es la fórmula de la serie de Taylor y en qué se diferencia de una serie de Maclaurin?
- 03¿Cómo se construye un polinomio de Taylor paso a paso?
- 04Ejemplo resuelto 1: serie de Maclaurin de eˣ hasta el grado 4
- 05Ejemplo resuelto 2: serie de Maclaurin de sin x hasta el grado 5
- 06Ejemplo resuelto 3: serie de Maclaurin de ln(1+x) en x = 0.2, con análisis del error
- 07Ejemplo resuelto 4: serie de Taylor de √x en torno a un centro distinto de cero, a = 4
- 08¿Cómo se estima el residuo para saber qué precisión tiene un polinomio de Taylor?
- 09¿Qué errores arruinan una serie de Taylor calculada a mano?
- 10Problemas de práctica y preguntas frecuentes sobre la calculadora de series de Taylor
¿Qué es una calculadora de series de Taylor y cómo funciona?
Una calculadora de series de Taylor toma una función f(x) y un punto central a, y después construye una aproximación polinómica usando el valor de la función y sus derivadas —primera, segunda, tercera, y así sucesivamente— evaluadas en ese único punto. La idea central, desarrollada por Brook Taylor a principios del siglo XVIII, es que si conoces todo sobre cómo se comporta una función justo en un punto (su valor, su pendiente, su curvatura, etc.), puedes predecir su comportamiento en las cercanías con un polinomio que reproduce todas esas propiedades a la vez. Detrás de toda calculadora de series de Taylor está la misma fórmula: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ..., que continúa con derivadas de orden superior divididas entre factoriales crecientes. Cada término añadido usa una derivada más y, por lo general, hace que el polinomio se ajuste más a la función real cerca de x = a. Los estudiantes se encuentran con las calculadoras de series de Taylor en los cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales, normalmente aplicadas al mismo puñado de funciones bien portadas —eˣ, sin x, cos x, ln(1+x)— que esta guía resuelve a mano, junto con un ejemplo de centro distinto de cero usando √x. Ingenieros y físicos emplean la misma expansión para sustituir una función complicada por una aproximación polinómica sencilla siempre que los números se vuelven demasiado engorrosos de manejar de forma exacta.
f(x) = Σₙ₌₀^∞ f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! — toda calculadora de series de Taylor no es más que esta suma, truncada tras tantos términos como necesites.
¿Cuál es la fórmula de la serie de Taylor y en qué se diferencia de una serie de Maclaurin?
La fórmula general de la serie de Taylor, centrada en cualquier punto a, es: f(x) = Σₙ₌₀^∞ f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... Aquí f⁽ⁿ⁾(a) significa la n-ésima derivada de f evaluada en x = a, y n! es el factorial de n (0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, y así sucesivamente). Cada término recoge un aspecto distinto del comportamiento de la función en a: la derivada de orden 0 da el valor, la primera da la pendiente, la segunda da la curvatura y las derivadas superiores afinan aún más la forma. Una serie de Maclaurin es simplemente el caso especial en el que el centro es a = 0: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + .... Como a = 0, cada término (x-a) se simplifica a solo x, y por eso las fórmulas de la serie de Maclaurin para eˣ, sin x, cos x y ln(1+x) parecen más limpias que las series de Taylor generales centradas en otro punto. En la práctica, la mayoría de las series «famosas» que memorizas —para eˣ, sin x, cos x— son series de Maclaurin, mientras que una calculadora de series de Taylor completa hace falta siempre que el centro no sea cero, como al expandir √x en torno a a = 4.
Serie de Maclaurin = serie de Taylor centrada en a = 0. Toda serie de Maclaurin es una serie de Taylor, pero no toda serie de Taylor es una serie de Maclaurin.
¿Cómo se construye un polinomio de Taylor paso a paso?
Construir un polinomio de Taylor a mano es un proceso mecánico una vez que eliges un centro y un grado. Una calculadora de series de Taylor recorre internamente exactamente estos pasos.
1. Paso 1 — Elige el centro a y el grado n
Escoge el punto a donde evaluarás las derivadas (a = 0 da una serie de Maclaurin) y decide cuántos términos (grado n) necesitas. Un grado mayor suele significar una aproximación más precisa cerca de a, a costa de más derivaciones.
2. Paso 2 — Calcula f(a), f'(a), f''(a), ... hasta la n-ésima derivada
Deriva f(x) repetidamente y evalúa cada derivada en x = a. Mantener una tabla de derivada → valor en a facilita detectar patrones (como el ciclo que se repite en las derivadas de sin x) antes de que el proceso se vuelva tedioso.
3. Paso 3 — Divide cada valor de la derivada entre el factorial correspondiente
El coeficiente del término (x-a)ⁿ es f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Ese factorial en el denominador es lo que impide que los términos de grado alto se disparen: es el mismo factorial que aparece en los coeficientes binomiales y en la combinatoria.
4. Paso 4 — Ensambla el polinomio
Escribe la suma f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... hasta el grado n elegido. Esta suma finita se llama polinomio de Taylor de grado n y suele escribirse Pₙ(x).
5. Paso 5 — Comprueba el resultado con un valor conocido
Sustituye un valor de x cercano a a y compara la salida del polinomio con el valor real de la función (con una calculadora o una identidad conocida). Una diferencia pequeña confirma que la expansión se planteó bien; una diferencia grande suele indicar que se calculó mal una derivada o un factorial.
El patrón de los coeficientes nunca cambia: f⁽ⁿ⁾(a)/n! para el término (x-a)ⁿ. Acierta con las derivadas, divide entre el factorial correcto y el resto es solo sumar.
Ejemplo resuelto 1: serie de Maclaurin de eˣ hasta el grado 4
La función eˣ es el ejemplo más limpio posible porque todas las derivadas de eˣ son la propia eˣ, así que cada derivada evaluada en a = 0 vale e⁰ = 1.
1. Paso 1 — Enumera las derivadas en a = 0
f(x) = eˣ, f'(x) = eˣ, f''(x) = eˣ, f'''(x) = eˣ, f⁗(x) = eˣ. En x = 0: f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f⁗(0) = 1.
2. Paso 2 — Divide entre los factoriales
Coeficientes: 1/0! = 1, 1/1! = 1, 1/2! = 1/2, 1/3! = 1/6, 1/4! = 1/24.
3. Paso 3 — Ensambla el polinomio de grado 4
P₄(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24.
4. Paso 4 — Comprueba el resultado en x = 1
Valor real: e¹ ≈ 2.71828. Usando P₄(1) = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 = 2.7083. La aproximación se desvía unos 0.01, es decir, alrededor del 0.4 %: ya es precisa con solo cinco términos, y el error disminuye aún más con cada término adicional, ya que el siguiente término, x⁵/120, vale solo unos 0.0083 en x = 1.
Serie de Maclaurin de eˣ: 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + ... — cada coeficiente es 1/n! porque toda derivada de eˣ es igual a eˣ.
Ejemplo resuelto 2: serie de Maclaurin de sin x hasta el grado 5
Las derivadas de sin x recorren un patrón cíclico de cuatro funciones, lo que hace que la mitad de los coeficientes se anulen automáticamente.
1. Paso 1 — Recorre el ciclo de derivadas en a = 0
f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x, f'''(x) = -cos x, f⁗(x) = sin x, f⁽⁵⁾(x) = cos x. En x = 0: f(0) = 0, f'(0) = 1, f''(0) = 0, f'''(0) = -1, f⁗(0) = 0, f⁽⁵⁾(0) = 1.
2. Paso 2 — Divide entre los factoriales, conservando solo los términos no nulos
Toda derivada de orden par en 0 vale 0 (porque sin 0 = 0), así que solo sobreviven los términos de grado impar: x/1! = x, -x³/3! = -x³/6, x⁵/5! = x⁵/120.
3. Paso 3 — Ensambla el polinomio de grado 5
P₅(x) = x - x³/6 + x⁵/120. sin x es una función impar, así que su serie de Maclaurin contiene de forma natural solo potencias impares de x.
4. Paso 4 — Comprueba el resultado en x = π/6 (30°)
Valor real: sin(π/6) = 0.5 exactamente. Con x = π/6 ≈ 0.5236: P₅(0.5236) = 0.5236 - (0.5236)³/6 + (0.5236)⁵/120 = 0.5236 - 0.02392 + 0.000328 ≈ 0.5000. El polinomio de grado 5 coincide con el valor real hasta la cuarta cifra decimal para este x relativamente pequeño.
Serie de Maclaurin de sin x: x - x³/6 + x⁵/120 - ... — solo aparecen potencias impares, y los signos alternos provienen directamente de las derivadas -sin x y -cos x del ciclo.
Ejemplo resuelto 3: serie de Maclaurin de ln(1+x) en x = 0.2, con análisis del error
La función ln(1+x) no está definida en x = -1 y su serie solo converge para -1 < x ≤ 1, lo que la convierte en un buen ejemplo para hablar de hasta dónde puedes fiarte de un polinomio truncado.
1. Paso 1 — Enumera las derivadas en a = 0
f(x) = ln(1+x), f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = -1/(1+x)², f'''(x) = 2/(1+x)³, f⁗(x) = -6/(1+x)⁴. En x = 0: f(0) = 0, f'(0) = 1, f''(0) = -1, f'''(0) = 2, f⁗(0) = -6.
2. Paso 2 — Divide entre los factoriales
Coeficientes: 1/1! = 1, -1/2! = -1/2, 2/3! = 1/3, -6/4! = -1/4. Esto genera el conocido patrón ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ..., donde el n-ésimo coeficiente es (-1)ⁿ⁺¹/n.
3. Paso 3 — Evalúa en x = 0.2 hasta el grado 4
P₄(0.2) = 0.2 - (0.2)²/2 + (0.2)³/3 - (0.2)⁴/4 = 0.2 - 0.02 + 0.002667 - 0.0004 = 0.182267.
4. Paso 4 — Compara con el valor real y analiza el error
Valor real: ln(1.2) ≈ 0.182322. La aproximación de grado 4 se desvía unos 0.000055, es decir, alrededor del 0.03 %: muy poco, porque x = 0.2 está cerca del centro a = 0. Si en cambio probaras con x = 0.9 (mucho más cerca del límite de convergencia en x = 1), el mismo polinomio de grado 4 sería notablemente menos preciso, ya que el residuo crece rápido a medida que x se acerca al borde de la región donde la serie converge. Por eso comprobar a qué distancia está x del centro importa tanto como comprobar cuántos términos has usado.
Serie de Maclaurin de ln(1+x): x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ... — precisa hasta la cuarta cifra decimal en x = 0.2, pero el mismo polinomio de grado 4 pierde precisión rápidamente cuando x se acerca al límite de convergencia en x = 1.
Ejemplo resuelto 4: serie de Taylor de √x en torno a un centro distinto de cero, a = 4
√x no responde a un patrón de derivadas sencillo como eˣ o sin x, y no puede expandirse en torno a a = 0 en absoluto (sus derivadas se disparan allí), lo que la convierte en el ejemplo ideal para una serie de Taylor con centro distinto de cero.
1. Paso 1 — Enumera las derivadas en a = 4
f(x) = √x = x^(1/2), f'(x) = (1/2)x^(-1/2), f''(x) = -(1/4)x^(-3/2), f'''(x) = (3/8)x^(-5/2). En x = 4: f(4) = 2, f'(4) = (1/2)(1/2) = 1/4, f''(4) = -(1/4)(1/8) = -1/32, f'''(4) = (3/8)(1/32) = 3/256.
2. Paso 2 — Divide entre los factoriales
Coeficientes: 2/0! = 2, (1/4)/1! = 1/4, (-1/32)/2! = -1/64, (3/256)/3! = 1/512.
3. Paso 3 — Ensambla el polinomio de Taylor de grado 3 centrado en a = 4
P₃(x) = 2 + (1/4)(x-4) - (1/64)(x-4)² + (1/512)(x-4)³. Todos los términos usan (x-4), no x, porque el centro es a = 4.
4. Paso 4 — Comprueba el resultado en x = 4.5
Valor real: √4.5 ≈ 2.12132. Con (x-4) = 0.5: P₃(4.5) = 2 + (1/4)(0.5) - (1/64)(0.25) + (1/512)(0.125) = 2 + 0.125 - 0.003906 + 0.000244 ≈ 2.12134. Esto queda a menos de 0.00002 del valor real, porque x = 4.5 está cerca del centro a = 4: la misma regla de cercanía que hizo precisa la aproximación de ln(1+x) en x = 0.2.
Serie de Taylor de √x en a = 4: 2 + (x-4)/4 - (x-4)²/64 + (x-4)³/512 - ... — centrarla en a = 4 evita las derivadas indefinidas que √x tiene en a = 0.
¿Cómo se estima el residuo para saber qué precisión tiene un polinomio de Taylor?
Un polinomio de Taylor de grado n es solo una aproximación, y la diferencia entre él y la función real se llama residuo, Rₙ(x). La forma de Lagrange del residuo ofrece una manera concreta de acotarlo: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)! para algún c entre a y x. Normalmente no conoces c con exactitud, pero puedes acotar f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) por su valor máximo posible en el intervalo entre a y x, lo que proporciona una cota superior del error incluso sin conocer c con precisión. En el ejemplo de eˣ, dado que eˣ y todas sus derivadas son crecientes y están acotadas por e¹ ≈ 2.71828 en [0,1], el residuo tras el término de grado 4 es como máximo e¹ · 1⁵/5! ≈ 2.71828/120 ≈ 0.02265, coherente con el error de 0.01 observado realmente, ya que la cota es un límite superior y no un valor exacto. Para una serie alternada como la de Maclaurin de sin x o de ln(1+x) hay un atajo más simple: el error no es mayor que el valor absoluto del primer término omitido. En el ejemplo de ln(1+x) en x = 0.2, el primer término omitido después del grado 4 es x⁵/5 = (0.2)⁵/5 = 0.0000064, lo que concuerda con el diminuto error real de unos 0.000055 de ese ejemplo resuelto (la cota alternada es una estimación superior segura, no siempre una coincidencia exacta).
Atajo del residuo en series alternadas: el error de truncar nunca es mayor que el tamaño del primer término que dejaste fuera, sin necesidad de acotar derivadas.
¿Qué errores arruinan una serie de Taylor calculada a mano?
Unos pocos fallos recurrentes explican la mayoría de los cálculos incorrectos de series de Taylor.
1. Olvidar dividir entre el factorial
Escribir el coeficiente de (x-a)ⁿ como f⁽ⁿ⁾(a) en lugar de f⁽ⁿ⁾(a)/n! es el error más común de todos: hace que cada término posterior al lineal sea muchísimo más grande de lo debido. Comprueba dos veces que n! crece en cada término sucesivo (1, 1, 2, 6, 24, 120, ...).
2. Usar x en lugar de (x-a) con un centro distinto de cero
Como se ve en el ejemplo de √x anterior, cuando a ≠ 0 todos los términos deben usar (x-a), no x. Escribir x⁴/4 en vez de (x-4)⁴/4! en una expansión centrada en a = 4 produce un polinomio que en realidad no aproxima la función cerca de x = 4.
3. Perder la cuenta del ciclo de derivadas
Funciones como sin x y cos x recorren cuatro derivadas (sin, cos, -sin, -cos) antes de repetirse. Equivocarse al contar en qué punto del ciclo estás —sobre todo pasada la tercera o cuarta derivada— es una forma fácil de invertir un signo o usar la función equivocada.
4. Confiar en el polinomio demasiado lejos del centro
Un polinomio de Taylor es más preciso cerca de su centro a y se vuelve progresivamente menos fiable a medida que x se aleja, como muestra el análisis de ln(1+x) anterior. Verifica siempre con la estimación del residuo o, como mínimo, pregúntate si x está «cerca» de a antes de fiarte de una serie truncada para un resultado numérico concreto.
La comprobación más rápida de cualquier polinomio de Taylor: ¿coincide con un valor conocido de la función en algún punto fácil, o la cota del residuo explica el tamaño de la diferencia? Un desajuste grande y sin explicación suele indicar un error de factorial o de signo.
Problemas de práctica y preguntas frecuentes sobre la calculadora de series de Taylor
Intenta resolverlos por tu cuenta y luego comprueba las respuestas más abajo. 1) Halla el polinomio de Maclaurin de grado 3 para cos x. 2) Halla el polinomio de Taylor de grado 2 para ln x centrado en a = 1. 3) Estima el residuo si truncas la serie de Maclaurin de eˣ después del término x², evaluado en x = 1. Respuestas: 1) f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-1, f'''(0)=0, lo que da P₃(x) = 1 - x²/2 (los términos en x y x³ se anulan porque cos x es par). 2) En a = 1: f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=-1, lo que da P₂(x) = (x-1) - (x-1)²/2. 3) La cota del residuo es e¹ · 1³/3! ≈ 2.71828/6 ≈ 0.4531, una cota holgada, ya que solo se conservaron dos términos, lo que muestra por qué hacen falta más términos para lograr buena precisión cerca de x = 1. Una calculadora de series de Taylor resulta realmente útil para comprobar estos ejercicios hechos a mano, sobre todo para detectar un error de factorial o de signo a lo largo de varios términos derivados, pero la fórmula subyacente —f(a), f'(a), f''(a), divididas entre los factoriales correspondientes— es lo que de verdad te permite plantear bien el problema desde el principio. Si quieres ver explícitamente cada paso de derivación y cada factorial en lugar de solo un polinomio final, el solucionador paso a paso de Solvify recorre cada cálculo de la serie de Taylor igual que esta guía, término a término.
1. ¿Es una calculadora de series de Taylor lo mismo que una calculadora de series de Maclaurin?
Una calculadora de series de Maclaurin no es más que una calculadora de series de Taylor con el centro fijado en a = 0. Cualquier herramienta que calcule una serie de Taylor general puede producir una serie de Maclaurin poniendo a = 0, pero una herramienta dedicada solo a Maclaurin no podrá tratar un centro distinto de cero como el del ejemplo de √x anterior.
2. ¿Cuántos términos debe incluir un polinomio de Taylor?
Depende de a qué distancia esté x del centro a y de cuánta precisión necesites. Cerca del centro, incluso 3 o 4 términos pueden coincidir con el valor real hasta varias cifras decimales, como se ve en los ejemplos de ln(1+x) y √x; lejos del centro pueden hacer falta muchos más términos —o directamente otro centro—, y la estimación del residuo es la forma fiable de comprobarlo.
La receta nunca cambia: deriva repetidamente en el centro, divide entre el factorial correspondiente y suma los términos. Todo lo demás —Maclaurin como caso especial, cotas del residuo, convergencia cerca del centro— se construye sobre esa misma base.
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