코사인 법칙 계산기: 공식, 풀이 단계와 예제
코사인 법칙 계산기는 사인 법칙을 쓸 수 없는 삼각형에서 빠진 변이나 각을 구해 줍니다. 구체적으로는 서로 마주 보는 변-각 쌍이 주어지지 않는 SAS(두 변과 끼인각)와 SSS(세 변) 경우입니다. 이 가이드에서는 공식의 두 방향, 즉 빠진 변을 구하는 과정과 빠진 각을 구하는 과정을 손으로 직접 풀어 보고, 각각의 검산 방법과 코사인 법칙 계산을 가장 자주 망가뜨리는 실수까지 함께 살펴봅니다.
목차
코사인 법칙이란 무엇이며, 코사인 법칙 계산기는 언제 쓸까?
코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 그중 한 각의 코사인 값을 연결해 주며, 피타고라스 정리를 직각삼각형이 아닌 삼각형까지 확장한 것입니다. 두 변과 끼인각(SAS)을 알고 있거나 세 변(SSS)을 모두 알고 있을 때, 즉 사인 법칙이 출발점으로 삼을 변-각 쌍이 존재하지 않는 두 가지 삼각형 경우에 코사인 법칙 계산기가 알맞은 도구가 됩니다. 공식의 변 형태는 a² = b² + c² − 2bc cos A이며, 여기서 a는 각 A의 대변이고 b와 c는 나머지 두 변입니다. b = c로 두고 A = 90°로 두면 −2bc cos A 항이 0이 되어 a² = b² + c²만 남습니다. 피타고라스 정리는 직각에서의 코사인 법칙일 뿐인 셈입니다. 아래의 모든 예제는 바로 이 같은 관계 위에 세워집니다.
a² = b² + c² − 2bc cos A — 두 변과 끼인각을 알고 있을 때 빠진 변을 구하는 식입니다.
코사인 법칙을 각에 대해 풀려면 어떻게 변형할까?
세 변은 모두 알지만 각은 하나도 주어지지 않은 경우(SSS)에는, 코사인 법칙의 변 형태를 변형해 어떤 각이든 곧바로 구할 수 있습니다.
1. 변 형태에서 출발하기
a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. 코사인 항을 분리하기
2bc cos A = b² + c² − a². 양변에 2bc cos A를 더하고 양변에서 a²를 빼면 얻어집니다.
3. 나누어 cos A 구하기
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). 이 비에 역코사인(arccos)을 적용하면 각 A 자체를 얻습니다.
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) — 세 변을 모두 알고 각 하나가 빠졌을 때 쓰는 코사인 법칙의 각 형태입니다.
코사인 법칙으로 빠진 변을 어떻게 구할까?
완전한 SAS 예제를 살펴봅시다. 어떤 삼각형에서 변 b = 8, 변 c = 10이고 끼인각은 A = 60°입니다. 빠진 변 a를 구해 보세요.
1. 1단계 — 공식 쓰기
a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. 2단계 — 알고 있는 값 대입하기
a² = 8² + 10² − 2(8)(10) cos 60° = 64 + 100 − 160 cos 60°.
3. 3단계 — 코사인 값을 구해 곱하기
cos 60° = 0.5이므로 160 × 0.5 = 80입니다. 따라서 a² = 64 + 100 − 80 = 84가 됩니다.
4. 4단계 — 제곱근 구하기
a = √84 ≈ 9.17.
5. 5단계 — 답 검산하기
60° 각의 대변은 주어진 변 중 더 긴 변(10)보다는 짧으면서도 두 변과 비슷한 크기여야 하는데, 9.17은 그 범위에 잘 들어맞습니다. 다시 대입해 보면 9.17² ≈ 84.09로 84에 충분히 가까워 계산이 맞았음을 확인할 수 있습니다(작은 차이는 제곱근을 반올림해서 생긴 것입니다).
b = 8, c = 10, A = 60° → a² = 64 + 100 − 80 = 84 → a ≈ 9.17.
코사인 법칙으로 빠진 각을 어떻게 구할까?
완전한 SSS 예제를 살펴봅시다. 어떤 삼각형의 세 변이 a = 7, b = 9, c = 12입니다. 변 c의 대각인 각 C를 구해 보세요.
1. 1단계 — C에 대한 각 형태 쓰기
cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab). C는 c의 대각이므로 빼는 항이 c²라는 점에 주목하세요.
2. 2단계 — 알고 있는 값 대입하기
cos C = (7² + 9² − 12²) ÷ (2 × 7 × 9) = (49 + 81 − 144) ÷ 126.
3. 3단계 — 분자와 분모 정리하기
49 + 81 − 144 = −14이므로 cos C = −14 ÷ 126 ≈ −0.1111입니다.
4. 4단계 — 역코사인 적용하기
C = arccos(−0.1111) ≈ 96.38°.
5. 5단계 — 답 검산하기
변 c = 12는 이 삼각형에서 가장 긴 변이므로 그 대각인 C가 가장 큰 각이어야 하는데, 96.38°가 둔각(90°를 갓 넘은 값)이라는 점이 그 기대와 들어맞습니다. 코사인 값이 음수라면 arccos를 계산하기도 전에 이미 둔각임을 알 수 있으니, 이 자체가 유용한 검산이 됩니다.
a = 7, b = 9, c = 12 → cos C = −14 ÷ 126 ≈ −0.1111 → C ≈ 96.38°.
코사인 법칙 계산기의 결과를 어떻게 검증할까?
코사인 법칙 계산기의 결과는 그 뒤에 붙는 검산만큼만 믿을 수 있습니다. 코사인 법칙으로 빠진 각 하나를 구했다면, 사인 법칙이 나머지 각들을 독립적으로 확인할 방법을 제공합니다. 어떤 삼각형이든 세 각의 합은 정확히 180°가 되어야 하기 때문입니다. 위의 SSS 예제(a = 7, b = 9, c = 12, C ≈ 96.38°)를 이어서, 사인 법칙으로 각 A를 구해 봅시다. sin A ÷ a = sin C ÷ c이므로 sin A = a × sin C ÷ c = 7 × sin(96.38°) ÷ 12 ≈ 7 × 0.9938 ÷ 12 ≈ 0.5797이고, 따라서 A = arcsin(0.5797) ≈ 35.42°입니다. 그러면 B = 180° − 96.38° − 35.42° = 48.20°가 됩니다. 세 각을 다시 모두 더해 보면 96.38° + 35.42° + 48.20° = 180.00°가 되어 모든 각이 올바르게 계산되었음을 확인할 수 있습니다.
어떤 삼각형이든 세 각의 합은 항상 180°입니다. 이 사실을 이용해 코사인 법칙으로 구한 모든 답을 교차 검산하세요.
코사인 법칙을 쓸 때 피해야 할 실수는 무엇일까?
손으로 계산하든 계산기로 확인하든, 코사인 법칙에서 나오는 잘못된 결과의 대부분은 몇 가지 정해진 실수에서 비롯됩니다.
1. 실수 1 — 사인 법칙이 더 빠른데도 코사인 법칙을 쓰는 것
두 각과 아무 변 하나를 알고 있거나(AAS 또는 ASA), 두 변과 끼인각이 아닌 각을 알고 있다면(SSA) 사인 법칙이 올바른 출발 공식입니다. 코사인 법칙은 특히 SAS와 SSS 경우를 위해 만들어진 식입니다.
2. 실수 2 — 변 공식에서 빼기 부호를 빠뜨리는 것
a² = b² + c² − 2bc cos A에는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어 있습니다. 2bc cos A를 빼지 않고 더하면 완전히 잘못된 변의 길이가 나옵니다.
3. 실수 3 — 각 공식에서 각과 변을 잘못 짝짓는 것
cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab)를 풀 때, 빼는 문자(c)는 구하려는 각(C)과 짝이 맞아야 하고 분모에서는 빠져 있어야 합니다. 이를 헷갈리면 엉뚱한 꼭짓점의 각이 나옵니다.
4. 실수 4 — 도 모드와 라디안 모드를 혼동하는 것
cos 60° = 0.5이지만 60라디안의 코사인은 전혀 다른 값입니다. 코사인이나 역코사인을 계산하기 전에 반드시 계산기의 각 모드를 확인하세요.
5. 실수 5 — cos A가 −1과 1 사이에 있는지 확인하지 않는 것
계산한 코사인 값이 −1에서 1 사이를 벗어난다면, 주어진 세 변의 길이로는 실제로 삼각형을 만들 수 없습니다. 범위를 벗어난 수의 arccos에는 실수 해가 없으므로, arccos를 적용하기 전에 값을 다시 확인하세요.
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)는 반드시 −1과 1 사이에 들어와야 합니다. 그렇지 않다면 주어진 대로의 삼각형은 존재할 수 없습니다.
연습 문제: 이 코사인 법칙 삼각형들을 풀 수 있나요?
답을 확인하기 전에 코사인 법칙의 알맞은 형태를 골라 각 문제를 손으로 직접 풀어 보세요.
1. 문제 1 — SAS, 빠진 변 구하기
어떤 삼각형에서 b = 5, c = 7이고 끼인각은 A = 45°입니다. 변 a를 구하세요. 답: a² = 25 + 49 − 2(5)(7) cos 45° = 74 − 70(0.7071) ≈ 74 − 49.50 = 24.50이므로 a = √24.50 ≈ 4.95입니다.
2. 문제 2 — SSS, 가장 큰 각 구하기
어떤 삼각형의 세 변이 a = 4, b = 6, c = 9입니다. 가장 긴 변의 대각인 각 C를 구하세요. 답: cos C = (16 + 36 − 81) ÷ (2 × 4 × 6) = −29 ÷ 48 ≈ −0.6042이므로 C = arccos(−0.6042) ≈ 127.16°입니다.
3. 문제 3 — 직각으로 타당성을 확인하는 SAS 문제
어떤 삼각형에서 b = 6, c = 8이고 끼인각은 A = 90°입니다. 변 a를 구하세요. 답: a² = 36 + 64 − 2(6)(8) cos 90° = 100 − 96(0) = 100이므로 a = 10입니다. cos 90° = 0이 공식을 피타고라스 정리로 줄여 주기 때문에, 익숙한 6-8-10 직각삼각형과 일치합니다.
이 문제들은 모두 똑같은 두 가지 동작으로 귀결됩니다. 코사인 법칙의 변 형태와 각 형태 중 하나를 고른 다음, 값을 대입하고 차근차근 정리하는 것입니다.
코사인 법칙은 실제 문제에서 어디에 쓰일까?
코사인 법칙은 단순한 삼각법 연습이 아닙니다. 불완전한 정보에서 삼각형의 세 번째 변이나 각을 구해야 하는 곳이라면 어디에서든 등장합니다. 측량 기사는 직접 잴 수 없는 지형의 거리를 계산할 때, 측정한 두 거리와 그 사이의 각을 결합해 이 법칙을 씁니다. 항해와 비행 계획에서는 여정의 두 구간은 알지만 직항 경로는 모를 때 그 결과 거리와 방위를 구하는 데 사용합니다. 물리에서는 두 성분 벡터와 그 사이의 각을 알고 있을 때 합력이나 합속도 같은 합성 벡터의 크기를 같은 공식으로 계산합니다. 벡터 삼각형도 기하학적 삼각형과 정확히 같은 관계를 따르기 때문입니다.
측량, 항해, 그리고 물리의 벡터 덧셈은 모두 이 가이드에서 다룬 a² = b² + c² − 2bc cos A라는 같은 관계에 기대고 있습니다.
Solvify는 코사인 법칙 계산을 검증하는 데 어떤 도움을 줄까?
이 가이드의 변 형태와 각 형태를 이해했다면, Solvify의 AI 풀이 도구가 숙제, 교과서, 삼각법 시험 대비 자료에 있는 삼각형 문제를 사진으로 찍어 올리는 것만으로 똑같은 대입 과정과 역코사인 단계를 그대로 따라가며 풀어 줍니다. 덕분에 손으로 구한 답과 풀이를 비교해 부호 실수나 계산 실수를 채점되는 과제로 넘어가기 전에 잡아낼 수 있습니다.
코사인 법칙에 자신감을 붙이는 가장 빠른 방법은 삼각형 하나를 손으로 풀고 계산기는 검산에만 쓰는 것입니다. 그 반대가 아닙니다.
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