주어진 근으로 이차방정식을 작성하는 방법
주어진 근으로 이차방정식을 작성하려면 일반적인 풀이 과정을 역으로 진행합니다. 즉, 방정식에서 근을 찾는 것이 아니라 근으로부터 방정식을 구성합니다. 이 방법은 하나의 핵심 개념에 기반합니다 — r₁과 r₂가 이차방정식의 근이면 (x − r₁)(x − r₂) = 0입니다. 이 가이드는 정수 근부터 분수, 무리수, 복소켤레수까지 모든 경우를 다루며, 각각을 완전한 풀이 예제와 자가검토 단계로 설명합니다.
목차
근으로부터 이차방정식을 작성한다는 것이 무엇을 의미하는가?
이차방정식의 표준형은 ax² + bx + c = 0이며, 여기서 a ≠ 0입니다. 이 방정식의 근(영점 또는 해라고도 함)은 방정식을 만족하는 x의 값입니다. 예를 들어 근이 3과 5인 이차방정식을 작성하라는 문제는 역으로 작업하는 것입니다 — 풀었을 때 정확히 그 두 근을 생성하는 방정식을 찾는 것입니다. 이것은 대수학 2부터 미적분학 이전까지 시험되는 핵심 대수 기술이며, 인수분해, 포물선 그래프 작성, 고차 다항식 구성과 직접 연결됩니다. 핵심 통찰력은 근과 인수는 같은 동전의 양면이라는 것입니다. x = r이 근이면 (x − r)은 이차식의 인수입니다.
근이 r₁과 r₂인 모든 이차방정식은 a(x − r₁)(x − r₂) = 0 형태로 나타낼 수 있습니다. 여기서 a는 0이 아닌 상수입니다 — 문제에서 명시되지 않으면 보통 1을 사용합니다.
인수분해형 방법 — 단계별
가장 직접적인 접근법은 인수분해된 형태를 사용하는 것입니다. 근은 인수를 0으로 만드는 값이므로, 두 인수는 (x − r₁)과 (x − r₂)여야 합니다. 이 인수들을 곱하고 전개하면 표준형 방정식을 얻습니다. 이 세 단계 과정은 부호나 크기와 관계없이 모든 실근 쌍에 대해 작동합니다. 부호 치환을 주의 깊게 진행하세요 — 가장 흔한 오류가 발생하는 단계입니다.
1. 1단계 — 인수분해형 쓰기
(x − r₁)(x − r₂) = 0부터 시작합니다. 주어진 근의 값을 r₁과 r₂에 대입하며, 부호에 주의합니다. 근이 3과 5인 경우: (x − 3)(x − 5) = 0.
2. 2단계 — FOIL을 사용하여 전개
두 이항식을 곱합니다. (x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15.
3. 3단계 — 표준형으로 작성하고 검증
전개된 식을 0으로 놓습니다: x² − 8x + 15 = 0. 이것이 근이 3과 5인 이차방정식입니다. 대입하여 검증: x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓. x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓.
비에타의 정리 — 합과 곱 공식
비에타의 정리는 전개 단계를 완전히 건너뛸 수 있는 더 빠른 경로를 제공합니다. 최고차 계수가 1인 이차방정식 x² + bx + c = 0에서, 근의 합은 −b와 같고 근의 곱은 c와 같습니다. 이를 다시 정리하면 x² − (근의 합)x + (근의 곱) = 0 형태를 얻습니다. 비에타의 정리는 근이 특정 수가 아닌 대수식으로 주어졌을 때 이차방정식을 작성해야 할 때나 인수분해 결과를 빠르게 확인하고 싶을 때 특히 유용합니다.
1. 1단계 — 근의 합 구하기
두 근을 더합니다. 예: 근이 −2와 7입니다. 합 = −2 + 7 = 5.
2. 2단계 — 근의 곱 구하기
두 근을 곱합니다. 곱 = (−2) × 7 = −14.
3. 3단계 — 비에타 공식에 대입
x² − (합)x + (곱) = 0은 x² − 5x + (−14) = 0이 되고, 이를 간단히 하면 x² − 5x − 14 = 0입니다.
4. 4단계 — 인수분해로 검증
x² − 5x − 14는 (x − 7)(x + 2) = 0으로 인수분해되며, 근은 x = 7과 x = −2 ✓입니다.
모든 이차방정식 x² + bx + c = 0에서: 근의 합 = −b이고 근의 곱 = c입니다.
정수 근을 가진 풀이 예제
정수 근은 퀴즈와 표준화 시험에서 가장 일반적입니다. 아래의 네 예제는 양수 근, 혼합 부호, 모두 음수인 근, 0인 근을 다루며 — 각 경우는 결과 방정식에서 예측 가능한 부호 패턴을 만듭니다. 이러한 패턴을 인식하면 방정식을 더 빨리 작성하고 확인할 수 있습니다.
1. 예제 1 — 두 근이 모두 양수: 근 4와 6
합 = 4 + 6 = 10. 곱 = 4 × 6 = 24. 방정식: x² − 10x + 24 = 0. 두 근이 모두 양수일 때 중간 항과 상수항이 모두 양수입니다. 확인: (x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓.
2. 예제 2 — 혼합 부호: 근 −3과 8
합 = −3 + 8 = 5. 곱 = (−3) × 8 = −24. 방정식: x² − 5x − 24 = 0. 근이 반대 부호일 때 상수항이 음수입니다. 확인: (x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓.
3. 예제 3 — 두 근이 모두 음수: 근 −5와 −2
합 = −5 + (−2) = −7. 곱 = (−5)(−2) = 10. 방정식: x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0. 두 음수의 곱이 양수이므로 두 항이 모두 양수입니다. 확인: (x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓.
4. 예제 4 — 한 근이 0: 근 0과 9
합 = 0 + 9 = 9. 곱 = 0 × 9 = 0. 방정식: x² − 9x + 0 = 0, 이를 간단히 하면 x² − 9x = 0입니다. 확인: x(x − 9) = 0은 x = 0 또는 x = 9 ✓를 줍니다.
두 근이 모두 음수일 때, 중간항 계수와 상수항이 모두 양수입니다 — 두 근이 모두 양수일 때의 패턴의 반대입니다.
분수 근과 무리수 근을 가진 풀이 예제
분수 근과 무리수 근은 표준화 시험과 미적분학 이전에 나타납니다. 분수 근의 경우, 비에타의 정리를 적용한 후 최소공배수로 나누어 분모를 제거하는 것이 더 깔끔합니다. 무리수 근은 거의 항상 a + √b와 a − √b 형태의 켤레 쌍으로 나타나므로 편리합니다. 무리수 부분이 합에서 소거되고 곱은 제곱의 차로 되어 남은 근호가 없습니다.
1. 예제 1 — 분수 근: 1/2와 3/4
합 = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. 곱 = (1/2)(3/4) = 3/8. 기본 방정식: x² − (5/4)x + 3/8 = 0. 모든 항에 8을 곱하여 분수 제거: 8x² − 10x + 3 = 0. 검증: 판별식 = 100 − 96 = 4, 근 = (10 ± 2)/16 = 3/4 또는 1/2 ✓.
2. 예제 2 — 순수 무리수 근: √5와 −√5
합 = √5 + (−√5) = 0. 곱 = (√5)(−√5) = −5. 방정식: x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0. 확인: x² = 5, x = ±√5 ✓.
3. 예제 3 — 켤레 무리수 근: 2 + √3과 2 − √3
합 = (2 + √3) + (2 − √3) = 4. 곱 = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. 방정식: x² − 4x + 1 = 0. 확인: 근의 공식은 x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓을 줍니다.
켤레 무리수 근 (a ± √b)은 항상 정수 계수를 가진 이차방정식을 만듭니다 — 근의 합과 곱이 모두 유리수입니다.
복소수 근을 가진 이차방정식 작성
복소수 근은 항상 켤레 쌍으로 나타납니다. 한 근이 a + bi이면 다른 하나는 a − bi입니다 (i = √(−1)). 이것은 실수 계수를 가진 다항식의 복소켤레근 정리에 의해 보장됩니다. 대수는 무리수 경우와 동일합니다 — 비에타의 정리를 사용하고 허수 부분이 합에서 소거되는 동안 곱은 제곱의 합이 되어 항상 양수 상수를 줍니다.
1. 예제 1 — 근 3 + 2i와 3 − 2i
합 = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6. 곱 = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13. 방정식: x² − 6x + 13 = 0.
2. 근의 공식으로 검증
x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓.
3. 예제 2 — 순허수 근: 4i와 −4i
합 = 4i + (−4i) = 0. 곱 = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16. 방정식: x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0. 확인: x² = −16, x = ±4i ✓.
복소켤레근 a ± bi는 항상 x² − 2ax + (a² + b²) = 0 형태의 이차방정식을 만들며, 두 계수 모두 실수입니다.
피해야 할 흔한 오류
이 네 가지 오류는 학생들이 주어진 근으로 이차방정식을 작성하는 문제에서 잃는 점수의 대부분을 차지합니다. 각 오류는 시간 압박 아래에서 범하기 쉽고, 무엇을 주의할지 알면 그만큼 쉽게 피할 수 있습니다.
1. 오류 1 — 인수분해형의 부호 오류
근 r의 인수는 (x + r)이 아니라 (x − r)입니다. 근 −3의 경우, 인수는 (x − (−3)) = (x + 3)이며, (x − 3)이 아닙니다. (x − 3)을 대신 쓰면 근이 3이 되어 −3이 아닙니다 — 상수항의 부호가 잘못됩니다.
2. 오류 2 — 인수분해형에서 멈추기
(x − r₁)(x − r₂) = 0을 작성한 후, 일부 학생들은 답을 인수분해된 형태로 남겨둡니다. 문제가 특별히 인수분해된 형태를 요청하지 않으면, ax² + bx + c = 0 형태로 완전히 전개하세요.
3. 오류 3 — 음수 기호 없이 합을 직접 사용하기
비에타 공식은 x² − (합)x + (곱) = 0이지, x² + (합)x + (곱) = 0이 아닙니다. x의 계수는 합의 음수입니다. 합이 7이면 이차방정식은 +7x가 아니라 −7x를 중간항으로 가집니다.
4. 오류 4 — 필요할 때 분수 제거 안 하기
문제가 정수 계수를 요구하고 근이 분수라면, 비에타의 정리를 적용한 후 곱하세요. 예를 들어, x² − (5/4)x + 3/8 = 0은 모든 항에 8을 곱하여 8x² − 10x + 3 = 0이 되어야 합니다.
완전한 풀이를 가진 연습 문제
각 문제를 풀이를 읽기 전에 직접 풀어보세요. 문제 1과 2는 인수분해 방법을 사용하고, 문제 3은 비에타의 정리를 사용하고, 문제 4와 5는 선호하는 방법을 선택하세요. 이 문제들은 간단한 정수 근부터 복소수 근까지 진행되며, 대수학 2와 SAT 연습 시험의 난이도 범위와 일치합니다.
1. 문제 1 — 근 2와 9
합 = 2 + 9 = 11. 곱 = 2 × 9 = 18. 답: x² − 11x + 18 = 0. 확인: (x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓.
2. 문제 2 — 근 −6과 −1
합 = −6 + (−1) = −7. 곱 = (−6)(−1) = 6. 답: x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0. 확인: (x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓.
3. 문제 3 — 근 1/3과 2
합 = 1/3 + 2 = 7/3. 곱 = (1/3)(2) = 2/3. 기본 방정식: x² − (7/3)x + 2/3 = 0. 3을 곱하기: 3x² − 7x + 2 = 0. 확인: (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓.
4. 문제 4 — 근 1 + √2와 1 − √2
합 = (1 + √2) + (1 − √2) = 2. 곱 = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1. 답: x² − 2x − 1 = 0. 근의 공식으로 확인: x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓.
5. 문제 5 — 근 5 + i와 5 − i
합 = 10. 곱 = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26. 답: x² − 10x + 26 = 0. 확인: 판별식 = 100 − 104 = −4, 근 = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓.
빠른 자가검사: 각 근을 방정식에 대입합니다. 둘 다 0을 만들면 방정식이 맞습니다.
자주 묻는 질문
이 질문들은 학생들이 처음 주어진 근으로 이차방정식을 작성하는 법을 배울 때 자주 나옵니다. 답변은 다중 유효한 답부터 중근, 소수점 입력까지 가장 흔한 혼동점을 다룹니다.
1. 같은 근 쌍에 대해 하나 이상의 올바른 이차방정식이 있을 수 있습니까?
네. x² − 8x + 15 = 0이 한 답이라면, 2x² − 16x + 30 = 0과 5x² − 40x + 75 = 0도 올바릅니다 — 0이 아닌 어떤 스칼라배수든 작동합니다. 유일한 답을 원하는 문제는 보통 '정규형' (최고차 계수 1) 또는 '최대공약수가 1인 정수 계수'를 명시합니다.
2. 두 근이 같은 경우 (중근)?
중근 r은 r₁ = r₂ = r을 의미합니다. 방정식은 (x − r)² = 0이고, 이를 전개하면 x² − 2rx + r² = 0입니다. 중근이 4인 경우: (x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0.
3. 소수점 근을 어떻게 다루나요?
비에타의 정리를 같은 방식으로 적용합니다. 근이 0.5와 1.5인 경우: 합 = 2.0, 곱 = 0.75. 방정식: x² − 2x + 0.75 = 0. 정수 계수를 위해 4를 곱합니다: 4x² − 8x + 3 = 0. 검증: 근의 공식은 (8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1.5 또는 0.5 ✓를 줍니다.
4. 근의 순서가 중요합니까?
아니요. (x − r₁)(x − r₂)과 (x − r₂)(x − r₁)은 곱셈의 교환 법칙에 의해 같은 전개를 만듭니다. 근을 어떤 순서로든 나열하세요 — 방정식은 동일합니다.
5. 근 하나만 주어진다면?
근 하나만으로는 근의 합이나 곱 같은 추가 정보가 없으면 유일한 이차방정식을 정의할 수 없습니다. 또는 그 근이 무리수/복소수인 경우 (이 경우 켤레가 자동으로 두 번째 근임). 예를 들어, 한 근이 3 + √7이라고 알려졌다면, 다른 근은 3 − √7이어야 하고, 합 = 6이고 곱 = 9 − 7 = 2이므로 방정식은 x² − 6x + 2 = 0입니다.
관련 게시물
관련 수학 풀이
단계별 풀이
최종 답뿐만 아니라 모든 단계에 대한 자세한 설명을 얻으세요.
인공지능 수학 튜터
후속 질문을 하고 24/7 맞춤형 설명을 받으세요.
연습 모드
유사한 문제를 생성하여 연습하고 자신감을 얻으세요.