guidealgebra

二次方程的因式分解形式：完整指南与示例

March 22, 2026·12 min read·Solvify Team

二次方程的因式分解形式是把方程的解清晰地显示出来的版本——不是 ax² + bx + c = 0，而是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是根。掌握二次方程的因式分解形式是代数中最有用的技能之一，因为它同时连接了三个要素：根（抛物线与 x 轴的交点）、开口方向和多项式的结构。学生在考试、绘图任务和求解实际问题时经常会遇到因式分解形式，但从标准形式转换到因式分解形式对许多人来说很困难。本指南准确解释了因式分解形式的含义、如何从任何二次方程得到它、你可以直接从中读出什么，以及如何避免扣分的常见错误。

什么是二次方程的因式分解形式？

标准形式的二次方程写为 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。二次方程的因式分解形式将同样的表达式改写为两个一次因式的乘积：a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是两个根（也称为零点或解）。前面的常数 a 是与标准形式中相同的首项系数——它控制抛物线是向上开口（a > 0）还是向下开口（a < 0），以及它的宽度。因式分解形式存在于二次方程有两个实根的情况下（包括两个根相等的情况——重根）。如果判别式 b² − 4ac 为负，则根是复数，二次方程在实数范围内无法因式分解。二次方程有三种常见形式：标准形式（ax² + bx + c）、顶点形式（a(x − h)² + k）和因式分解形式（a(x − r₁)(x − r₂)）。每种形式突出不同的特点：标准形式直接显示系数，顶点形式显示顶点坐标，因式分解形式直接显示根。学会在这三种形式之间转换是使二次方程易于理解而不是神秘的关键。

因式分解形式：a(x − r₁)(x − r₂) = 0。值 r₁ 和 r₂ 是根——将其中任何一个代入 x，方程都等于零。

你可以从因式分解形式直接读出什么

教师坚持使用因式分解形式的一个原因是它将二次方程的关键信息放在表面上。你无需求解任何东西——三个关键特征通过观察就能看到。首先是根：如果因式分解形式是 (x − 3)(x + 5) = 0，则根是 x = 3 和 x = −5（注意符号翻转——x − 3 = 0 得到 x = 3，不是 x = −3）。其次是抛物线的 x 截距与根相同，所以图像在 (3, 0) 和 (−5, 0) 处与 x 轴相交。第三，对称轴位于两个根之间的正中间：x = (r₁ + r₂) / 2。对于上面的例子，对称轴是 x = (3 + (−5)) / 2 = −2/2 = −1。从对称轴，你也可以直接找到顶点的 x 坐标，无需配方。如果完整的因式分解形式是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，并将 x = (r₁ + r₂)/2 代入方程，你也会得到顶点的 y 坐标。这个推理链——从因式分解形式到根到对称轴到顶点——比从已知根的标准形式开始快得多。

1. 读出根

将每个因式设为零。在 2(x − 4)(x + 1) = 0 中，因式给出 x − 4 = 0 → x = 4，和 x + 1 = 0 → x = −1。首项系数 2 从不影响根；它只改变抛物线的陡峭程度。

2. 读出 x 截距

抛物线 y = 2(x − 4)(x + 1) 的 x 截距在 (4, 0) 和 (−1, 0)。每个根对应曲线与 x 轴接触的点。重根如 (x − 3)² = 0 只给出一个 x 截距 (3, 0)——抛物线在该点与轴相切。

3. 求对称轴

对称轴 x = (r₁ + r₂) / 2。对于根 4 和 −1：x = (4 + (−1)) / 2 = 3/2 = 1.5。抛物线关于竖直线 x = 1.5 完全对称。这也告诉你顶点的 x 坐标是 1.5。

4. 求顶点的 y 坐标

将对称轴的 x 值代入原方程。对于 y = 2(x − 4)(x + 1) 在 x = 1.5：y = 2(1.5 − 4)(1.5 + 1) = 2(−2.5)(2.5) = 2(−6.25) = −12.5。顶点在 (1.5, −12.5)。因为 a = 2 > 0，抛物线向上开口，这是最小值。

快捷方法：对称轴始终是两个根的平均值——(r₁ + r₂) / 2。当你有因式分解形式时，无需配方。

如何将标准形式转换为二次方程的因式分解形式

从 ax² + bx + c = 0 转换到因式分解形式需要先找到两个根。你选择的方法取决于系数。对于一次二次方程（a = 1），因式对方法最快。对于非一次二次方程（a ≠ 1），AC 方法或二次公式有效。一旦你有了根 r₁ 和 r₂，写因式分解形式是立即的：a(x − r₁)(x − r₂) = 0。下面是三条主要路径，分步骤列出。

1. 步骤 1——检查最大公因数并提取

首先查找所有三项的最大公因数。对于 3x² − 12x − 15 = 0，最大公因数是 3：写成 3(x² − 4x − 5) = 0。现在处理 x² − 4x − 5 = 0，这是一次的。跳过这一步会使数字比需要的更难。

2. 步骤 2（一次，a = 1）——使用因式对方法

对于 x² + bx + c = 0，找到两个数 p 和 q，其中 p × q = c 和 p + q = b。这些数进入因式分解形式为 (x + p)(x + q) = 0，给出根 x = −p 和 x = −q。示例：x² − 4x − 5 = 0。需要 p × q = −5 和 p + q = −4。配对 (−5, 1)：−5 × 1 = −5 ✓ 和 −5 + 1 = −4 ✓。因式分解形式：(x − 5)(x + 1) = 0。根：x = 5 或 x = −1。包括提取的最大公因数的完整因式分解形式：3(x − 5)(x + 1) = 0。

3. 步骤 2（非一次，a ≠ 1）——使用 AC 方法

对于 ax² + bx + c = 0 且 a ≠ 1，计算乘积 a × c。找到两个整数 m 和 n，其中 m × n = a × c 和 m + n = b。使用 m 和 n 重写中间项，然后按分组因式分解。示例：2x² + 5x − 3 = 0。a × c = 2 × (−3) = −6。需要 m × n = −6 和 m + n = 5。配对 (6, −1)：6 × (−1) = −6 ✓ 和 6 + (−1) = 5 ✓。重写：2x² + 6x − x − 3 = 0。分组：2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0。因式分解：(2x − 1)(x + 3) = 0。根：x = 1/2 或 x = −3。因式分解形式：2(x − 1/2)(x + 3) = 0，或等价地 (2x − 1)(x + 3) = 0。

4. 步骤 2（任何二次方程）——使用二次公式

当因式对不容易看到或判别式不是完全平方数时，使用 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 来数值计算 r₁ 和 r₂。然后直接写因式分解形式为 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。示例：x² − 6x + 7 = 0。判别式：(−6)² − 4(1)(7) = 36 − 28 = 8。根：x = (6 ± √8) / 2 = (6 ± 2√2) / 2 = 3 ± √2。因式分解形式：(x − (3 + √2))(x − (3 − √2)) = 0。根是无理数，所以这无法通过因式对方法找到。

5. 步骤 3——通过展开验证

始终展开你的因式分解形式，检查它是否与原始标准形式匹配。对于 (2x − 1)(x + 3)：使用 FOIL 展开：2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 ✓。这 30 秒的检查在符号错误扣分前就能捕获。

决策树：a = 1 → 因式对方法。a ≠ 1 → AC 方法。判别式不是完全平方数 → 二次公式，然后写 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。

六个详细示例：从标准形式到因式分解形式

下面的六个示例涵盖每个常见场景：两个正根的一次方程、两个负根、混合符号、非一次、完全平方三项式和平方差。在阅读解答前自己做每个示例——你从示例中建立的模式识别是使二次方程因式分解形式易于理解的关键。

1. 示例 1（一次，两个根都是负数）——x² + 7x + 12 = 0

b = 7，c = 12。需要 p × q = 12 和 p + q = 7。都是正数，因为 c > 0 且 b > 0。配对：(1, 12) → 13，否。(2, 6) → 8，否。(3, 4) → 7，是。因式分解形式：(x + 3)(x + 4) = 0。根：x = −3 或 x = −4。验证：(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 ✓。X 截距：(−3, 0) 和 (−4, 0)。对称轴：x = (−3 + (−4)) / 2 = −3.5。

2. 示例 2（一次，两个根都是正数）——x² − 9x + 20 = 0

b = −9，c = 20。都是负因式，因为 c > 0 且 b < 0。需要 p × q = 20 和 p + q = −9。都是负数。配对：(−4, −5) → 乘积 = 20 ✓ 和和 = −9 ✓。因式分解形式：(x − 4)(x − 5) = 0。根：x = 4 或 x = 5。验证：x² − 5x − 4x + 20 = x² − 9x + 20 ✓。对称轴：x = (4 + 5) / 2 = 4.5。

3. 示例 3（一次，混合符号根）——x² + 2x − 35 = 0

b = 2，c = −35。符号相反，因为 c < 0。需要 p × q = −35 和 p + q = 2。符号相反的配对：(7, −5) → 7 × (−5) = −35 ✓ 和 7 + (−5) = 2 ✓。因式分解形式：(x + 7)(x − 5) = 0。根：x = −7 或 x = 5。验证：x² − 5x + 7x − 35 = x² + 2x − 35 ✓。注意绝对值较大的数 (7) 取正号，因为 b = 2 是正数。

4. 示例 4（非一次）——6x² − 13x + 6 = 0

a × c = 6 × 6 = 36。需要 m × n = 36 和 m + n = −13。都是负数，因为乘积为正且和为负。配对：(−4, −9) → 乘积 = 36 ✓ 和和 = −13 ✓。分割中间项：6x² − 4x − 9x + 6 = 0。分组：2x(3x − 2) − 3(3x − 2) = 0。因式分解：(2x − 3)(3x − 2) = 0。根：x = 3/2 或 x = 2/3。因式分解形式：(2x − 3)(3x − 2) = 0。检查 x = 3/2：6(9/4) − 13(3/2) + 6 = 13.5 − 19.5 + 6 = 0 ✓。

5. 示例 5（完全平方三项式）——9x² − 24x + 16 = 0

检查：首项 9x² = (3x)²，末项 16 = 4²，中间项 24x = 2 × 3x × 4 ✓。这是完全平方三项式：(3x − 4)² = 0。单个根：3x − 4 = 0 → x = 4/3（重根）。因式分解形式：(3x − 4)² = 0，或等价地 9(x − 4/3)² = 0。抛物线 y = 9x² − 24x + 16 在 (4/3, 0) 处与 x 轴相切——它接触但不穿过。验证：(3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 ✓。

6. 示例 6（平方差）——25x² − 49 = 0

识别：25x² = (5x)² 和 49 = 7²。模式 a² − b² = (a + b)(a − b)。因式分解形式：(5x + 7)(5x − 7) = 0。根：5x + 7 = 0 → x = −7/5，和 5x − 7 = 0 → x = 7/5。验证：(5x + 7)(5x − 7) = 25x² − 35x + 35x − 49 = 25x² − 49 ✓。注意：没有中间项，这是平方差的标志。根是 ±7/5，关于 x = 0 对称。

找到因式分解形式后，始终展开它并与原始逐项比较。这一步捕获绝大多数符号和算术错误。

在三种二次方程形式之间移动

对二次方程的完整理解意味着能轻松在标准形式、顶点形式和因式分解形式之间转换。考试经常给一种形式并要求在另一种形式中最明显的信息。下面的转换表值得记住。

1. 标准形式 → 因式分解形式

如上所示进行因式分解：首先最大公因数，然后因式对方法或 AC 方法。标准形式 ax² + bx + c = 0 变为 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。示例：x² − x − 6 = 0。配对：(−3, 2) → 乘积 = −6 ✓，和 = −1 ✓。因式分解：(x − 3)(x + 2) = 0。

2. 因式分解形式 → 标准形式

使用 FOIL（或非一次情况的分配律）展开。示例：3(x − 2)(x + 5) = 0。首先展开 (x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10。然后乘以 3：3x² + 9x − 30 = 0。你可以通过将所有项除以 3 来简化：x² + 3x − 10 = 0。

3. 因式分解形式 → 顶点形式

求对称轴 x = (r₁ + r₂) / 2，然后代入因式分解方程以得到顶点 y 坐标 k。写顶点形式为 a(x − h)² + k = 0，其中 h 是对称轴。示例：(x − 3)(x + 2) = 0。对称轴：x = (3 + (−2)) / 2 = 0.5。顶点 y：y = (0.5 − 3)(0.5 + 2) = (−2.5)(2.5) = −6.25。顶点形式：(x − 0.5)² − 6.25 = 0。

4. 标准形式 → 顶点形式

配方。对于 x² − x − 6：b 系数的一半是 −1/2，而 (−1/2)² = 1/4。写 x² − x + 1/4 − 1/4 − 6 = (x − 1/2)² − 25/4 = 0。所以 h = 1/2 = 0.5 和 k = −25/4 = −6.25，与上面的计算匹配。两条路径导出相同的顶点。

所有三种形式描述同一条抛物线。标准形式显示 a、b、c。顶点形式显示转折点。因式分解形式显示曲线与 x 轴相交的位置。

因式分解形式在词题和应用中

因式分解形式不断出现在应用二次数学中——抛体运动、面积问题、利润最大化和数字谜题都导致二次方程。关键技能是首先在标准形式中设置方程，然后转换为因式分解形式以找到答案。根的物理解释很重要：有时只有一个根在上下文中有意义（负时间不可能，负长度不可能），所以你必须检查哪个根有效。

1. 应用 1——抛体运动

一个球从 20 米建筑物顶部以 10 米/秒的初速度向上发射。其在 t 秒时的高度 h(t) 米是 h(t) = −5t² + 10t + 20。球何时击中地面？设 h(t) = 0：−5t² + 10t + 20 = 0。除以 −5：t² − 2t − 4 = 0。判别式：4 + 16 = 20（不是完全平方数）。使用二次公式：t = (2 ± √20) / 2 = 1 ± √5。√5 ≈ 2.236。根：t ≈ 3.236 或 t ≈ −1.236。丢弃负时间。球在 t ≈ 3.24 秒时击中地面。因式分解形式：−5(t − (1 + √5))(t − (1 − √5)) = 0。

2. 应用 2——面积问题

一个矩形花园的宽度是 w，长度是宽度的两倍加 5 米。如果面积是 63 平方米，求其尺寸。面积方程：w(2w + 5) = 63。展开：2w² + 5w = 63。标准形式：2w² + 5w − 63 = 0。AC 方法：a × c = 2 × (−63) = −126。找 m × n = −126 和 m + n = 5。配对：(14, −9) → 14 × (−9) = −126 ✓ 和 14 + (−9) = 5 ✓。分割：2w² + 14w − 9w − 63 = 0。分组：2w(w + 7) − 9(w + 7) = 0。因式分解：(2w − 9)(w + 7) = 0。根：w = 9/2 = 4.5 或 w = −7。丢弃负宽度。宽度 = 4.5 米，长度 = 2(4.5) + 5 = 14 米。检查：4.5 × 14 = 63 平方米 ✓。

3. 应用 3——数字问题

两个连续偶数的乘积是 168。求这两个数。设这两个整数为 n 和 n + 2。方程：n(n + 2) = 168。展开：n² + 2n = 168。标准形式：n² + 2n − 168 = 0。因式对方法：需要 p × q = −168 和 p + q = 2。配对：(14, −12) → 14 × (−12) = −168 ✓ 和 14 + (−12) = 2 ✓。因式分解：(n + 14)(n − 12) = 0。根：n = −14 或 n = 12。两个都是有效的整数。对于 n = 12：整数是 12 和 14。对于 n = −14：整数是 −14 和 −12。检查两者：12 × 14 = 168 ✓ 和 (−14)(−12) = 168 ✓。两组答案都有效。

在应用问题中，在给出最终答案前，始终检查两个根在物理上是否有意义。负长度、负时间和负计数通常表示要丢弃的根。

写二次方程因式分解形式时的常见错误

下面的错误占因式分解形式问题扣分的绝大多数。每一个都是具体的且可以通过针对的习惯来修正。

1. 错误 1——将因式与根混淆

在 (x − 5)(x + 3) = 0 中，因式是 (x − 5) 和 (x + 3)，但根是 x = 5 和 x = −3。学生经常写 x = −5 和 x = 3——从因式读数字而不翻转符号。修正：始终将每个因式设为零并求解。x − 5 = 0 → x = 5。x + 3 = 0 → x = −3。

2. 错误 2——从因式分解形式中遗漏首项系数 a

对于 3x² − 12x − 15 = 0，完整因式分解形式是 3(x − 5)(x + 1) = 0，不只是 (x − 5)(x + 1) = 0。系数 3 必须出现，因为它是原始方程的一部分。当被要求写二次方程 3x² − 12x − 15 的因式分解形式时，始终包括最大公因数或首项因子：3(x − 5)(x + 1)。

3. 错误 3——未通过展开检验

写完因式分解形式后，许多学生跳过验证步骤。展开 (x + 4)(x − 7) 只需 20 秒：x² − 7x + 4x − 28 = x² − 3x − 28。如果原始是 x² − 3x − 28，因式分解形式是正确的。如果原始不同，一个符号被反转了。这个检查在提交前捕获几乎所有因式分解错误。

4. 错误 4——当判别式不是完全平方数时尝试因式分解

x² + 3x + 3 = 0 的判别式是 9 − 12 = −3，是负数。没有实根，二次方程在实数范围内无法因式分解。常见错误是花数分钟寻找根本不存在的整数因式对。修正：对任何看起来难以因式分解的二次方程，首先计算 b² − 4ac。如果结果不是非负完全平方数，不要尝试整数因式分解。

5. 错误 5——从顶点形式不先找根就写因式分解形式

给定顶点形式 a(x − h)² + k = 0，一些学生写 a(x − h)(x + h) 作为因式分解形式——将顶点与根混淆。这是错误的，除非 h 是根的中点且 k 恰好为零。正确过程：求解 a(x − h)² + k = 0 得到 x，找到实际根 r₁ 和 r₂，然后写 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。

6. 错误 6——AC 方法中的部分因式分解

在 AC 方法中，分割中间项后，学生有时只正确因式分解一组。对于 2x² + 5x − 3 = 0 分割为 2x² + 6x − x − 3，分组给出 2x(x + 3) − 1(x + 3)。错误是写 −1(x + 3) 为 −(x − 3) 或忽略公因式 (x + 3) 并只是合并项。修正：分组后，寻找重复的二项式因式并干净地提取：(2x − 1)(x + 3) = 0。

两个最常见的错误：(1) 将根读为因式中的数字而不翻转符号，(2) 未通过展开验证。两者都只需 30 秒来预防。

练习题：写出每个二次方程的因式分解形式

下面的题目范围从直接的一次情况到非一次和应用题。独立尝试每个，然后与解答比较。目标是看到将二次方程写成因式分解形式是一个自然的终点，而不是一个单独的程序。

1. 题目 1——x² + 11x + 30 = 0

需要 p × q = 30 和 p + q = 11。都是正数。配对：(5, 6) → 11 ✓。因式分解形式：(x + 5)(x + 6) = 0。根：x = −5 或 x = −6。检查：(x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30 ✓。

2. 题目 2——x² − 4x − 21 = 0

需要 p × q = −21 和 p + q = −4。符号相反，绝对值较大者为负。配对：(3, −7) → 乘积 = −21 ✓ 和和 = −4 ✓。因式分解形式：(x + 3)(x − 7) = 0。根：x = −3 或 x = 7。检查：x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21 ✓。

3. 题目 3——2x² + 9x + 10 = 0

AC 方法：a × c = 2 × 10 = 20。需要 m × n = 20 和 m + n = 9。配对：(4, 5) → 20 ✓ 和 9 ✓。分割：2x² + 4x + 5x + 10 = 0。分组：2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0。因式分解形式：(2x + 5)(x + 2) = 0。根：x = −5/2 或 x = −2。检查 x = −2：2(4) + 9(−2) + 10 = 8 − 18 + 10 = 0 ✓。

4. 题目 4——4x² − 25 = 0

平方差：(2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5) = 0。根：x = −5/2 或 x = 5/2。检查 x = 5/2：4(25/4) − 25 = 25 − 25 = 0 ✓。没有中间项确认平方差模式。

5. 题目 5——x² − 8x + 16 = 0

检查完全平方：首项 (x)²，末项 4²，中间项 8x = 2 × x × 4 ✓。因式分解形式：(x − 4)² = 0。单个重根：x = 4。抛物线 y = x² − 8x + 16 在 (4, 0) 处与 x 轴相切。对称轴：x = 4（如预期的重根）。

6. 题目 6（词题）——利润模型

一家公司的周利润 P（以百美元为单位）由 P(x) = −x² + 8x − 12 模型化，其中 x 是销售的单位数（以百为单位）。公司在 x 的哪些值处达到损益平衡（P = 0）？设 −x² + 8x − 12 = 0。乘以 −1：x² − 8x + 12 = 0。需要 p × q = 12 和 p + q = −8。都是负数：(−2, −6) → 乘积 = 12 ✓ 和和 = −8 ✓。因式分解形式：−(x − 2)(x − 6) = 0。损益平衡点：x = 2 或 x = 6（销售 200 或 600 单位）。公司在 2 < x < 6 时有利润。

常见问题解答——二次方程的因式分解形式

下面的问题解决学生首次学习二次方程因式分解形式时发现困惑的具体要点。答案是实用的，专注于问题中写什么。

1. 什么是二次方程的因式分解形式？

二次方程的因式分解形式是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是方程的两个根，a 是首项系数。例如，标准形式 x² − 5x + 6 = 0 变成因式分解形式 (x − 2)(x − 3) = 0，显示根 x = 2 和 x = 3。

2. 因式分解形式总是可能的吗？

具有实数根的因式分解形式仅在判别式 b² − 4ac ≥ 0 时存在。如果判别式为负，根是复数，二次方程不能在实数范围内写成因式分解形式。如果判别式等于零，有一个重实根，因式分解形式是 a(x − r)² = 0。

3. 因式分解形式与标准形式有何不同？

标准形式 ax² + bx + c = 0 显示系数 a、b 和 c，但隐藏根。因式分解形式 a(x − r₁)(x − r₂) = 0 直接显示根，但隐藏 b 和 c。你总可以从因式分解展开到标准形式。反向需要因式分解——对所有具有实根的二次方程都可能，尽管根可能是无理数。

4. 我可以用因式分解形式来勾勒抛物线吗？

是的——因式分解形式给了你基本勾勒所需的一切：(1) x 截距在 (r₁, 0) 和 (r₂, 0)，(2) 对称轴是竖直线 x = (r₁ + r₂) / 2，(3) 开口方向由 a 的符号决定（正 → 向上开口，负 → 向下开口），(4) 将对称轴的 x 值代入方程以得到顶点的 y 坐标。

5. 根总是有整数值吗？

否。整数根仅在判别式是完全平方数且二次公式给出可化简为整数的值时出现。许多二次方程有分数根（如 2x² + 5x − 3 = 0，根是 1/2 和 −3）或无理根（如 x² − 6x + 7 = 0，根是 3 ± √2）。因式分解形式处理所有情况——无论 r₁ 和 r₂ 是整数、分数还是根号，都只写 a(x − r₁)(x − r₂)。

6. 因式分解形式与完全因式分解形式有什么区别？

一个二次方程在以下情况下完全因式分解：(1) 首项系数或任何最大公因数已经提取，(2) 每个剩余二项式无法进一步因式分解。对于 6x² + 18x + 12 = 0，因式分解形式 (6)(x + 1)(x + 2) 仅在显式写出最大公因数 6 后才完全因式分解。只写 (x + 1)(x + 2) = 0 失去了系数，不是二次方程 6x² + 18x + 12 的因式分解形式——它是 x² + 3x + 2 的因式分解形式。

快速因式分解决策：计算 b² − 4ac。完全平方 (0, 1, 4, 9, …) → 在整数上因式分解。任何其他非负数 → 根存在但是无理数，使用二次公式。负数 → 没有实根。

标签: