등차수열 계산기: 임의의 항을 단계별로 구하는 방법

등차수열이란 무엇인가요?

등차수열은 이웃한 두 항의 차이가 항상 같은 수들의 나열입니다. 이 일정한 차이를 공차라고 부르고 d로 씁니다. 예를 들어 3, 7, 11, 15, 19는 각 항이 바로 앞 항보다 4만큼 크기 때문에 등차수열입니다. 7−3=4, 11−7=4, 15−11=4, 19−15=4가 되죠. 반면 2, 4, 8, 16은 각 항에 2를 더하는 것이 아니라 곱한 것이므로 등차수열이 아니라 등비수열입니다. 지금 보고 있는 것이 어떤 종류의 규칙인지 알아보는 일이, 공식이나 계산기에 값을 넣기 전 첫 번째 단계입니다.

이웃한 항을 뺐을 때 매번 같은 값이 나오지 않는다면, 그것은 진짜 등차수열이 아닙니다.

등차수열 공식 완전 정리

모든 등차수열은 하나의 공식으로 나타낼 수 있습니다. aₙ = a₁ + (n − 1)d에서 a₁은 첫째 항, d는 공차, n은 구하려는 항의 위치(첫째, 둘째, 열다섯째 등)입니다. 첫째 항에서 제n항까지 가려면 공차를 정확히 (n − 1)번 더해야 하기 때문에 이 공식이 성립합니다. 첫째 항 자체는 아무것도 더할 필요가 없으므로 n번이 아닙니다. n과 (n − 1)을 혼동하는 것이 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수이므로, 빼기가 들어간 형태 그대로 공식을 외워 두는 것이 좋습니다.

등차수열 계산기는 어떻게 작동하나요?

등차수열 계산기가 안에서 하는 일은 여러분이 손으로 하는 계산과 똑같습니다. 개별 항은 aₙ = a₁ + (n − 1)d로, 처음 n개 항의 합은 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)로 구합니다. 첫째 항, 공차, 원하는 항의 개수를 입력하면 계산기가 그 값들을 자동으로 대입하고 연산 순서를 정확히 처리해 결과를 곧바로 돌려줍니다. 계산기의 진짜 가치는 수학을 대신해 주는 데 있지 않습니다. 직접 손으로 푼 답을 몇 초 만에 확인하고, 시험에서 점수를 깎아먹기 전에 계산 실수를 잡아내는 데 있습니다.

계산기는 답을 빠르게 알려 주지만, 예제 하나를 손으로 풀어 봐야 정말로 이해했는지 알 수 있습니다.

공차 구하기

공차는 모든 등차수열 계산의 뼈대이므로 몸에 밸 때까지 연습할 가치가 있습니다. 수열 5, 12, 19, 26, 33을 보겠습니다. 이웃한 항을 빼면 12−5=7, 19−12=7, 26−19=7, 33−26=7이므로 d=7입니다. 문제에서 이웃하지 않은 두 항만 주어질 때도, 예를 들어 셋째 항(19)과 여섯째 항(40)만 알아도 값의 차이를 위치의 차이로 나누면 d를 구할 수 있습니다. (40−19)÷(6−3) = 21÷3 = 7로 앞의 결과와 일치합니다.

제n항 구하는 법: 단계별 예제

a₁=4에서 시작하고 공차가 d=6인 수열에서 15번째 항을 구해 봅시다. aₙ = a₁ + (n − 1)d를 쓰면 a₁₅ = 4 + (15 − 1) × 6 = 4 + 14 × 6 = 4 + 84 = 88입니다. 답을 확인하려면 앞쪽 몇 개 항을 나열해 규칙이 맞는지 보면 됩니다. 4, 10, 16, 22, 28…처럼 6씩 늘어나며, 이는 15번째 위치에서 88이 나온다는 공식의 결과와 맞아떨어집니다. 계산한 뒤 일부 항을 나열해 검증하는 이 두 단계 습관은 부호 실수와 계산 실수 대부분을 오답이 되기 전에 잡아냅니다.

등차수열의 합 계산하기

모든 숫자를 나열하지 않고 처음 n개 항을 더하려면 Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)를 쓰거나, 마지막 항을 아직 모른다면 이와 같은 뜻인 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)를 사용하세요. 수열 3, 7, 11, 15…에서 처음 20개 항의 합을 구해 봅시다. 먼저 a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79를 구합니다. 그다음 S₂₀ = 20/2 × (3 + 79) = 10 × 82 = 820입니다. 첫째 항과 마지막 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항을 짝지으면 언제나 같은 합이 나오기 때문에 이 공식이 성립하며, 이는 어린 시절의 카를 프리드리히 가우스 일화로 유명한 방법입니다.

첫째 항과 마지막 항을 짝짓는 방법은 가우스가 어린 학생 시절 1부터 100까지를 순식간에 더했다고 전해지는 바로 그 요령입니다.

예제 풀이: 실제 문장제 해결하기

첫째 주에 50달러를 저축하고, 그 뒤로 매주 10달러씩 저축액을 늘려 총 12주 동안 모은다고 합시다. 이는 a₁=50, d=10인 등차수열입니다. 12주 차에 저축하는 금액은 a₁₂ = 50 + (12 − 1) × 10 = 50 + 110 = 160입니다. 12주 동안 모은 총액은 합의 공식으로 구합니다. S₁₂ = 12/2 × (50 + 160) = 6 × 210 = 1,260입니다. 검산해 보면 주당 평균 저축액은 첫 금액(50달러)과 마지막 금액(160달러)의 한가운데인 (50+160)/2 = 105달러여야 하고, 이 평균에 12주를 곱하면 105 × 12 = 1,260으로 공식의 결과와 정확히 일치합니다.

등차수열과 등비수열은 어떻게 다른가요?

등차수열은 덧셈으로 커집니다. 각 항은 바로 앞 항에 일정한 공차를 더한 값이며, d=4인 5, 9, 13, 17이 그 예입니다. 반면 등비수열은 곱셈으로 커집니다. 각 항은 앞 항에 일정한 공비를 곱한 값이며, 공비 r=2인 2, 4, 8, 16이 그 예입니다. 두 공식은 비슷해 보이지만 움직임은 크게 다릅니다. 등차수열의 항은 직선을 따라 늘거나 줄어들지만, 등비수열의 항은 지수적으로 위나 아래로 휘어집니다. 계산기를 잡기 전에 뺄셈과 나눗셈 중 무엇이 일정한 규칙을 만드는지 확인하면, 어떤 공식 계열을 써야 하는지 알 수 있습니다.

등차수열 계산기를 쓸 때 흔히 하는 실수

믿을 만한 등차수열 계산기를 쓰더라도 입력 실수는 끊임없이 나옵니다. 가장 잦은 실수는 (n − 1)이 들어가야 할 자리에 n을 넣는 것으로, 모든 답이 정확히 공차 하나만큼 어긋납니다. 다음으로 흔한 실수는 d의 부호를 잘못 넣는 것입니다. 빼는 순서를 반대로 하면 감소하는 수열이 증가하는 수열이 되거나 그 반대가 됩니다. 항의 값과 항의 위치를 헷갈려서 a₃=19의 19를 n 자리에 넣는 경우도 있습니다. 마지막으로 합의 공식을 쓸 때, 마지막 항이 주어지지 않았는데 aₙ을 먼저 구하지 않으면 계산이 끝까지 가지 못합니다.

등차수열의 공차가 음수나 분수여도 되나요?

됩니다. 공차는 음수, 분수, 소수일 수 있고 공식은 완전히 똑같이 작동합니다. 감소하는 수열 10, 7, 4, 1, −2를 보면 각 항이 3씩 줄어드니 d=−3입니다. 공식으로 8번째 항을 구하면 a₈ = 10 + (8 − 1) × (−3) = 10 + (−21) = −11입니다. 분수인 공차도 마찬가지입니다. 수열 1, 1.5, 2, 2.5에서 공차는 d=0.5이고, 10번째 항은 a₁₀ = 1 + (10 − 1) × 0.5 = 1 + 4.5 = 5.5입니다. 공식은 절대 바뀌지 않으며, 수열이 커지는지 작아지는지 아주 작은 폭으로 움직이는지는 d의 부호와 크기만이 결정합니다.

이해도를 확인하는 연습 문제

다음 세 문제를 손으로 풀고 계산기로 검산해 보세요. 문제 1: a₁=2, d=5일 때 a₁₀을 구하세요. 답: a₁₀ = 2 + 9 × 5 = 2 + 45 = 47입니다. 문제 2: 수열 9, 4, −1, −6…에서 8번째 항을 구하세요. 먼저 d = 4 − 9 = −5를 구한 뒤 a₈ = 9 + 7 × (−5) = 9 − 35 = −26입니다. 문제 3: 수열 6, 10, 14, 18…의 처음 15개 항의 합을 구하세요. 먼저 a₁₅ = 6 + 14 × 4 = 6 + 56 = 62를 구하고, S₁₅ = 15/2 × (6 + 62) = 7.5 × 68 = 510입니다. 최종 숫자를 확인하기 전에 각 문제를 단계별로 풀어 보세요. 답 자체보다 과정이 더 중요합니다.

Solvify 등차수열 계산기로 답 확인하기

공식을 손으로 직접 풀어 본 다음에는 Solvify의 AI Solve 기능으로 답을 확인하고 자체 단계별 풀이를 볼 수 있습니다. 비슷한 문제가 열 개 넘게 나오는 숙제를 해치울 때 특히 유용합니다. Smart Scan으로 인쇄된 수열 문제를 찍기만 하면 Solvify가 첫째 항과 공차를 자동으로 알아내고, 이 글에서 설명한 것과 같은 방식으로 제n항이나 합을 구하는 과정을 짚어 줍니다. 답이 서로 다르다면 추가 질문 기능으로 두 풀이가 정확히 어디서 갈라졌는지 물어볼 수 있어, 다른 최종 숫자만 보고 끝나지 않습니다.