二次不等式作图：完整的分步指南
二次不等式作图直接建立在二次方程作图的基础之上——你画出同一条抛物线，然后决定使用哪种边界线以及给哪个区域涂上阴影。二次不等式把 y = ax² + bx + c 中的等号换成 <、>、≤ 或 ≥，其解不再是一条曲线，而是坐标平面上一整片二维区域。本指南通过三个完整例题带你完成二元二次不等式的作图，说明抛物线何时画成虚线、何时画成实线，展示如何选取并检验测试点以确定正确的阴影区域，并介绍与之相关的技能：用区间表示法求解一元二次不等式。
目录
什么是二次不等式？
二元二次不等式的形式为 y > ax² + bx + c、y < ax² + bx + c、y ≥ ax² + bx + c 或 y ≤ ax² + bx + c。它的解集不是一条曲线，而是坐标平面上的一片区域——要么是抛物线上方的全部点，要么是下方的全部点，或者把抛物线本身也作为边界包含进来。二次不等式作图的起点始终相同：先把不等号当作等号，画出对应的二次方程 y = ax² + bx + c，然后再决定这条边界怎么画、给哪一侧涂阴影。此外还有一元形式，例如 x² − 5x + 6 ≥ 0，它的解是一组用区间表示法写出的 x 值，而不是一片阴影区域——本指南两种形式都会讲到。
二元二次不等式作图总是从抛物线 y = ax² + bx + c 开始——不等号只改变你如何绘制和涂阴影，并不改变曲线本身的位置。
抛物线什么时候画虚线、什么时候画实线？
边界曲线遵循与一次不等式作图完全相同的规则。严格不等式（< 或 >）意味着恰好落在抛物线上的点并不满足不等式，因此要画成虚线（断线）以表示边界被排除在外。非严格不等式（≤ 或 ≥）意味着抛物线上的点确实满足不等式，因此要画成实线以表示边界被包含在内。这个判断只需两秒钟，但每次都值得做，因为它正是阅卷人最先检查的细节。
1. 严格不等式（< 或 >）→ 虚线曲线
对于 y > x² − 4x + 3 或 y < x² − 4x + 3，抛物线本身不属于解集——它标出区域的边缘，但要用虚线绘制。你在曲线上任取一点代入不等式，都应该得到不成立的结果。
2. 非严格不等式（≤ 或 ≥）→ 实线曲线
对于 y ≥ x² − 4x + 3 或 y ≤ x² − 4x + 3，抛物线属于解集，因此要画成实线。曲线上的任意一点都以等号的形式满足不等式，这正是它属于阴影区域的原因。
严格的 < 或 > → 虚线曲线（不含边界）。非严格的 ≤ 或 ≥ → 实线曲线（含边界）。这与一次不等式作图所用的规则完全一致。
怎么知道该给哪一侧涂阴影？
边界画好之后，一个测试点就能确定整片阴影区域。因为抛物线恰好把平面分成两个区域——内侧/上方和外侧/下方——所以只要取一个明显不在曲线上的点，就能同时判定这两个区域。这比仅凭不等号去推理更快也更可靠，尤其当抛物线不是简单的开口向上形状时。
1. 第 1 步：选一个不在抛物线上的测试点
只要抛物线不经过原点 (0, 0)，它就是最方便的选择。如果 (0, 0) 恰好落在曲线上，就换一个简单的点，例如 (0, 5) 或 (1, 0)。
2. 第 2 步：把测试点代入不等式
把测试点的 x 和 y 值代入原不等式（不是方程），然后把两边化简。
3. 第 3 步：确定给哪个区域涂阴影
如果测试点使不等式成立，就给包含该测试点的区域涂阴影。如果测试点使不等式不成立，就给相反的区域涂阴影——也就是不包含该测试点的那一侧。
4. 第 4 步：用不等号方向做常识性检查
作为快速交叉验证：对于开口向上的曲线，y >（或 y ≥）某个表达式通常表示在抛物线上方/外侧涂阴影，而 y <（或 y ≤）通常表示在下方/内侧涂阴影——但一定要用测试点确认，不要凭记忆，因为开口向下的抛物线会让这个规律反过来。
一个不在曲线上的测试点就能告诉你整片阴影区域——把它代入原不等式，然后给使该式成立的那一侧涂阴影。
例题 1：画出 y > x² − 4x + 3
本例使用的是严格的大于号不等式，抛物线开口向上。对应方程 y = x² − 4x + 3 中 a = 1、b = −4、c = 3，正是先前作图指南中用过的同一条抛物线，所以这条边界的形状应该已经很熟悉了。
1. 第 1 步：画出边界抛物线
顶点：h = −(−4)/(2×1) = 2，k = (2)² − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1。顶点为 (2, −1)。y 轴截距：(0, 3)。x 轴截距：把 x² − 4x + 3 = 0 因式分解 → (x − 3)(x − 1) = 0 → x = 1 和 x = 3，即 (1, 0) 和 (3, 0)。由于不等式是严格的（>），这条抛物线要画成虚线。
2. 第 2 步：检验一个点
取 (0, 0)，它不在抛物线上，因为 0 ≠ (0)² − 4(0) + 3 = 3。代入 y > x² − 4x + 3：0 > (0)² − 4(0) + 3 → 0 > 3。这是不成立的。
3. 第 3 步：给正确的区域涂阴影
既然 (0, 0) 使不等式不成立，就给不包含 (0, 0) 的区域涂阴影——即抛物线上方/外侧的区域（包含诸如 (2, 5) 这类远高于顶点的点）。用 (2, 5) 验证：5 > (2)² − 4(2) + 3 → 5 > −1，成立 ✓，确认 (2, 5) 属于阴影区域。
4. 第 4 步：描述最终图像
y > x² − 4x + 3 的解是虚线抛物线严格上方的所有点，该抛物线顶点为 (2, −1)，x 轴截距为 (1, 0) 和 (3, 0)，并经过 (0, 3)。恰好落在曲线上的点（例如顶点 (2, −1) 本身）不包含在内。
对于 y > x² − 4x + 3，阴影落在远离那个不成立的测试点的一侧——永远让测试点来决定，而不是单凭对不等号的直觉。
例题 2：画出 y ≤ −x² + 2x + 3
这个例子同时改变了两点：抛物线开口向下（a = −1），并且不等式是非严格的（≤），因此边界是实线而不是虚线。请留意这两处变化与例题 1 相比如何同时影响曲线和阴影区域。
1. 第 1 步：画出边界抛物线
对于 y = −x² + 2x + 3：a = −1，b = 2，c = 3。顶点：h = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = 1，k = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4。顶点为 (1, 4)——由于 a < 0，这是最大值点。y 轴截距：(0, 3)。x 轴截距：令 −x² + 2x + 3 = 0 → 两边乘以 −1：x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 或 x = −1，得到 (3, 0) 和 (−1, 0)。由于不等式是 ≤（非严格），这条开口向下的抛物线要画成实线。
2. 第 2 步：检验一个点
取 (0, 0)，它不在曲线上，因为 0 ≠ 3。代入 y ≤ −x² + 2x + 3：0 ≤ −(0)² + 2(0) + 3 → 0 ≤ 3。这是成立的。
3. 第 3 步：给正确的区域涂阴影
既然 (0, 0) 使不等式成立，就给包含 (0, 0) 的区域涂阴影——即这条开口向下的抛物线下方/外侧的区域。用顶点 (1, 4) 正下方的 (1, 0) 验证：0 ≤ −(1)² + 2(1) + 3 → 0 ≤ 4，成立 ✓，确认这个区域是正确的。
4. 第 4 步：描述最终图像
y ≤ −x² + 2x + 3 的解是实线抛物线上及其下方的所有点，该抛物线顶点为 (1, 4)，x 轴截距为 (−1, 0) 和 (3, 0)，并经过 (0, 3)。由于边界是实线，顶点 (1, 4) 以及曲线上的其他所有点都包含在解集之中。
开口向下的抛物线配上 y ≤ 时，阴影在曲线下方——与例题 1 的视觉规律正好相反，这正是检验一个点比死记规则更重要的原因。
如何求解像 x² − 5x + 6 ≥ 0 这样的一元二次不等式？
一元二次不等式是把一个二次表达式与零作比较，例如 x² − 5x + 6 ≥ 0。它的解不是一片二维阴影区域，而是数轴上的一组 x 值，用区间表示法写出。解题策略是：先求出对应方程的根，用这些根把数轴分成若干区间，再逐个检验每个区间是否满足不等式。
1. 第 1 步：解对应方程，找出临界点
令 x² − 5x + 6 = 0 并因式分解：找两个数，乘积为 6、和为 −5 →（−2, −3）。于是 (x − 2)(x − 3) = 0，得 x = 2 和 x = 3。这两个根就是把数轴分成三个区间的临界点：x < 2、2 < x < 3 和 x > 3。
2. 第 2 步：在每个区间取一个值检验
区间 x < 2：取 x = 0。(0)² − 5(0) + 6 = 6 ≥ 0 ✓ 成立。区间 2 < x < 3：取 x = 2.5。(2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 ≥ 0 —— 不成立。区间 x > 3：取 x = 4。(4)² − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≥ 0 ✓ 成立。
3. 第 3 步：判断临界点是否包含在内
由于不等式是 ≥（非严格），两个根本身也满足不等式：当 x = 2 时，(2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 成立。当 x = 3 时，(3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 成立。两个临界点都包含在内。
4. 第 4 步：用区间表示法写出解
把成立的区间与包含的端点合并起来：x ≤ 2 或 x ≥ 3，写作 (−∞, 2] ∪ [3, ∞)。这与 y = x² − 5x + 6 的图像一致：除了两根 x = 2 与 x = 3 之间那段向下的开区间之外，抛物线处处位于 x 轴上或 x 轴上方（y ≥ 0）。
对于开口向上的抛物线，ax² + bx + c ≥ 0 在两根之外（或两根之上）成立，而 ax² + bx + c ≤ 0 在两根之间成立——符号总是在每个临界点处改变。
把数轴上的解与抛物线图像联系起来
一元不等式 x² − 5x + 6 ≥ 0 与二元不等式 y ≥ x² − 5x + 6 密切相关，看清这层联系能让两者都更容易记住。如果你把 y = x² − 5x + 6 画成抛物线，那么一元问题「x² − 5x + 6 ≥ 0 在哪里成立？」其实就是在问「抛物线在哪里位于 x 轴上或 x 轴上方（y ≥ 0）？」曲线画好之后，直接读图就能回答这个不等式，无需再做任何代数运算。
1. 在 x 轴上方 → 正值区域
当 x < 2 或 x > 3 时，抛物线 y = x² − 5x + 6 位于 x 轴上方，即那里 y > 0，这与逐区间检验得到的成立区间一致。
2. 在 x 轴下方 → 负值区域
当 2 < x < 3 时，抛物线在两根之间下沉到 x 轴以下，即那里 y < 0——这正是上面例题中未能通过 ≥ 0 检验的那个区间。
3. 在 x 轴上 → 两个根本身
当 x = 2 和 x = 3 时，抛物线恰好与 x 轴相接，因此 y = 0——这些边界点会被 ≥ 或 ≤ 的不等式包含，而被 > 或 < 的不等式排除。
一元二次不等式 ax² + bx + c ≥ 0 或 ≤ 0，不过是对抛物线图像的一次竖直读图：看曲线在每个 x 值处位于 x 轴上方、下方，还是正好在 x 轴上。
二次不等式作图中的常见错误
二次不等式作图中的大多数错误，都来自把看起来相似但适用于不同情形的规则搞混。提前认清这些模式，能避免作业和考试中最常见的丢分。
1. 严格不等式忘记把曲线画成虚线
给 y > x² − 4x + 3 画实线抛物线是错误的——严格的 > 意味着边界本身被排除在外，所以必须画虚线。永远在画曲线之前检查不等号，而不是画完之后。
2. 不检验测试点就给错误的一侧涂阴影
对 > 猜「上方」、对 < 猜「下方」，这只对开口向上的抛物线有效，而对开口向下的抛物线就反过来了，正如例题 2 所示。永远代入一个真实的测试点，不要依赖一个只有一半情况下管用的捷径。
3. 把二元形式和一元形式弄混
y ≥ x² − 5x + 6 在 xy 平面上给出一片二维阴影区域；x² − 5x + 6 ≥ 0 则在数轴上给出一维的 x 值集合，用区间表示法写出。两者用的是同一条抛物线，但回答的是不同的问题——仔细读题，看清题中是否出现 y。
4. 在区间表示法中错误地包含或排除临界点
对于 x² − 5x + 6 > 0（严格），根 x = 2 和 x = 3 被排除，因此答案用小括号：(−∞, 2) ∪ (3, ∞)。对于 x² − 5x + 6 ≥ 0（非严格），根被包含，因此答案用中括号：(−∞, 2] ∪ [3, ∞)。让括号类型与不等号类型相匹配，这正是区间表示法通用的规则。
严格与非严格这条规则，既决定了二元图像中边界是虚线还是实线，也决定了区间表示法中用小括号还是中括号——同一套逻辑用了两次。
练习题：二次不等式作图
先自己做完每道题，再对照解答。对于二元题目，要指出边界抛物线、判断它是虚线还是实线，以及哪个区域涂阴影。对于一元题目，要找出临界点并用区间表示法写出答案。
1. 题 1 —— y < x² + 2x − 8
边界：y = x² + 2x − 8。顶点：h = −2/2 = −1，k = 1 − 2 − 8 = −9，顶点 (−1, −9)。x 轴截距：(x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4，x = 2。严格的 <，所以画虚线。检验 (0, 0)：0 < (0)² + 2(0) − 8 → 0 < −8，不成立，因此给不包含 (0, 0) 的区域涂阴影——抛物线下方/内侧。用 (−1, −20) 验证：−20 < −9，成立 ✓。
2. 题 2 —— y ≥ −x² + 4
边界：y = −x² + 4，顶点 (0, 4)，开口向下。x 轴截距：−x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2。非严格的 ≥，所以画实线。检验 (0, 0)：0 ≥ −(0)² + 4 → 0 ≥ 4，不成立，因此给不包含 (0, 0) 的区域涂阴影——抛物线上方/外侧，并包含曲线本身。
3. 题 3 —— 解 x² − x − 6 < 0
因式分解：(x − 3)(x + 2) = 0 → 临界点 x = −2 和 x = 3。检验 x = 0（位于两根之间）：(0)² − 0 − 6 = −6 < 0 ✓ 成立。检验 x = −5：25 + 5 − 6 = 24 < 0，不成立。检验 x = 5：25 − 5 − 6 = 14 < 0，不成立。由于只有两根之间的区间成立，且不等式是严格的，答案为：(−2, 3)。
常见问题：二次不等式作图
以下是学生初学二次不等式作图时最常问到的问题。
1. 画二次不等式的图像与画二次方程的图像有什么不同？
二次方程 y = ax² + bx + c 的图像是一条曲线——也就是抛物线本身。二次不等式把等号换成 <、>、≤ 或 ≥，因此解变成了这条抛物线某一侧整片阴影区域，而曲线画成虚线还是实线，取决于边界是否包含在内。
2. 我必须每次都检验一个点吗？还是只看不等号就行？
永远要检验一个点。对于开口向上的抛物线，> 和 ≥ 通常在上方/外侧涂阴影，< 和 ≤ 通常在下方/内侧涂阴影——但对于开口向下的抛物线，就像例题 2 那样，这个规律会反过来。代入一个测试点就能避免依赖那种只在部分情况下成立的规则。
3. x² − 5x + 6 ≥ 0 和 y ≥ x² − 5x + 6 有什么区别？
x² − 5x + 6 ≥ 0 是一元不等式，它的解是一组用区间表示法写出的 x 值，例如 (−∞, 2] ∪ [3, ∞)。y ≥ x² − 5x + 6 是二元不等式，它的解是坐标平面上同一条抛物线之上或其上方的一片阴影区域。两者用的是同一条抛物线，但回答的是不同的问题。
4. 二次不等式的解区域可能为空吗？
在特殊情形下会这样。例如，如果同时要求对所有 x 都有 y < 0，那么 y < x² + 1 就没有解，因为这条抛物线的最小值已经是 1。更常见的是一元情形：x² + 1 < 0 没有实数解，因为 x² + 1 恒为正，所以用区间表示法写出的答案是空集 ∅。
5. 怎样检查最终的阴影图像是否正确？
取两个点：一个明显落在阴影区域内，另一个明显落在阴影区域外。把两者都代入原不等式。区域内的点应当使不等式成立，区域外的点应当使它不成立。如果有任何一个检验失败，就回头重新审视测试点那一步，并确认边界抛物线的顶点和截距计算是否正确。
即时反馈，练习二次不等式作图
二次不等式作图会随着反复练习变得越来越容易，尤其是在你做完若干个开口向上和开口向下的例题之后。如果你想核对一条边界曲线、验证一片阴影区域，或者看一元不等式的分步解法，Solvify 的 AI 工具可以针对你输入的任何题目，走一遍本指南中展示的同样流程。
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