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So schreibst du die quadratische Gleichung mit gegebenen Nullstellen

March 28, 2026·9 min read·Solvify Team

Um die quadratische Gleichung mit gegebenen Nullstellen zu schreiben, kehrst du den üblichen Lösungsprozess um: Anstatt Nullstellen aus einer Gleichung zu extrahieren, konstruierst du die Gleichung aus ihren Nullstellen. Die Methode beruht auf einer einfachen Idee — wenn r₁ und r₂ Nullstellen einer quadratischen Gleichung sind, dann ist (x − r₁)(x − r₂) = 0. Dieser Leitfaden behandelt jeden Fall, dem du begegnen wirst, von ganzzahligen Nullstellen über Brüche, irrationale Zahlen bis hin zu komplexen Konjugierten, jeweils illustriert mit vollständig durchgerechneten Beispielen und Selbstkontrollschritten.

Inhalt

01Was bedeutet es, eine quadratische Gleichung aus ihren Nullstellen zu schreiben?
02Die Faktor-Form-Methode — Schritt für Schritt
03Vieta-Formeln — Die Summen- und Produktabkürzung
04Durchgerechnete Beispiele mit ganzzahligen Nullstellen
05Durchgerechnete Beispiele mit Bruch- und irrationalen Nullstellen
06Schreiben von quadratischen Gleichungen mit komplexen Nullstellen
07Häufige Fehler, die du vermeiden solltest
08Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen
09Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet es, eine quadratische Gleichung aus ihren Nullstellen zu schreiben?

Eine quadratische Gleichung hat die Standardform ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0. Ihre Nullstellen (auch Lösungen oder Wurzeln genannt) sind die x-Werte, die die Gleichung erfüllen. Wenn eine Aufgabe dich bittet, die quadratische Gleichung mit den Nullstellen, sagen wir, 3 und 5 zu schreiben, verlangt sie von dir, rückwärts zu arbeiten — eine Gleichung zu finden, die genau diese beiden Nullstellen hat, wenn gelöst. Dies ist eine wichtige Algebrafähigkeit, die von Algebra 2 bis zur Vorrechnung getestet wird, und sie verbindet sich direkt mit Faktorisierung, Parabelgraphen und dem Aufbau höhergradiger Polynome. Die Schlüsseleinsicht ist, dass Nullstellen und Faktoren zwei Seiten derselben Münze sind: wenn x = r eine Nullstelle ist, dann ist (x − r) ein Faktor der quadratischen Gleichung.

Jede quadratische Gleichung mit Nullstellen r₁ und r₂ kann geschrieben werden als a(x − r₁)(x − r₂) = 0, wobei a eine beliebige von null verschiedene Konstante ist — normalerweise 1, sofern das Problem nichts anderes vorsieht.

Die Faktor-Form-Methode — Schritt für Schritt

Der direkteste Ansatz ist die Verwendung der Faktorform. Da eine Nullstelle ein Wert ist, der einen Faktor null macht, müssen die beiden Faktoren (x − r₁) und (x − r₂) sein. Das Multiplizieren dieser Faktoren und Expandieren ergibt die Standardformgleichung. Dieser dreistufige Prozess funktioniert für jedes Paar von reellen Nullstellen, unabhängig von Vorzeichen oder Größe. Arbeite die Vorzeichensubstitution sorgfältig durch — dies ist der Schritt, in dem die meisten Fehler auftreten.

1. Schritt 1 — Schreibe die Faktorform

Beginne mit (x − r₁)(x − r₂) = 0. Setze die gegebenen Nullstellen für r₁ und r₂ ein und achte genau auf die Vorzeichen. Für Nullstellen 3 und 5: (x − 3)(x − 5) = 0.

2. Schritt 2 — Expandiere mit FOIL

Multipliziere die beiden Binome. (x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15.

3. Schritt 3 — Schreibe in Standardform und verifiziere

Setze den erweiterten Ausdruck gleich null: x² − 8x + 15 = 0. Dies ist die quadratische Gleichung mit Nullstellen 3 und 5. Verifiziere durch Einsetzen: x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓. x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓.

Vieta-Formeln — Die Summen- und Produktabkürzung

Vieta-Formeln bieten eine schnellere Route, die den Expansionsschritt ganz überspringt. Für eine normierte quadratische Gleichung x² + bx + c = 0 (Leitkoeffizient 1) ist die Summe der Nullstellen gleich −b und das Produkt der Nullstellen gleich c. Umgeordnet ergibt dies die Vorlage x² − (Summe der Nullstellen)x + (Produkt der Nullstellen) = 0. Vieta-Formeln sind besonders nützlich, wenn du die quadratische Gleichung mit gegebenen Nullstellen schreiben musst, die als algebraische Ausdrücke und nicht als spezifische Zahlen dargestellt sind, oder wenn du schnell ein Faktorisierungsergebnis überprüfen möchtest.

1. Schritt 1 — Finde die Summe der Nullstellen

Addiere die beiden Nullstellen. Beispiel: Nullstellen sind −2 und 7. Summe = −2 + 7 = 5.

2. Schritt 2 — Finde das Produkt der Nullstellen

Multipliziere die beiden Nullstellen. Produkt = (−2) × 7 = −14.

3. Schritt 3 — Ersetze in der Vieta-Vorlage

x² − (Summe)x + (Produkt) = 0 wird zu x² − 5x + (−14) = 0, was sich vereinfacht zu x² − 5x − 14 = 0.

4. Schritt 4 — Verifiziere durch Faktorisierung

x² − 5x − 14 wird faktorisiert als (x − 7)(x + 2) = 0, was die Nullstellen x = 7 und x = −2 ergibt ✓.

Für jede normierte quadratische Gleichung x² + bx + c = 0: Summe der Nullstellen = −b und Produkt der Nullstellen = c.

Durchgerechnete Beispiele mit ganzzahligen Nullstellen

Ganzzahlige Nullstellen sind der häufigste Typ bei Tests und standardisierten Prüfungen. Die vier folgenden Beispiele behandeln positive Nullstellen, gemischte Vorzeichen, beide negative Nullstellen und eine Nullstelle von null — jedes Szenario erzeugt ein vorhersehbares Vorzeichenmuster in der resultierenden Gleichung. Das Erkennen dieser Muster hilft dir, Gleichungen schneller zu schreiben und zu überprüfen.

1. Beispiel 1 — Beide Nullstellen positiv: Nullstellen 4 und 6

Summe = 4 + 6 = 10. Produkt = 4 × 6 = 24. Gleichung: x² − 10x + 24 = 0. Der mittlere Term und die Konstante sind beide positiv, wenn beide Nullstellen positiv sind. Überprüfung: (x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓.

2. Beispiel 2 — Gemischte Vorzeichen: Nullstellen −3 und 8

Summe = −3 + 8 = 5. Produkt = (−3) × 8 = −24. Gleichung: x² − 5x − 24 = 0. Die Konstante ist negativ, wenn die Nullstellen entgegengesetzte Vorzeichen haben. Überprüfung: (x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓.

3. Beispiel 3 — Beide Nullstellen negativ: Nullstellen −5 und −2

Summe = −5 + (−2) = −7. Produkt = (−5)(−2) = 10. Gleichung: x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0. Beide Terme sind positiv, weil zwei negative Zahlen ein positives Produkt ergeben. Überprüfung: (x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓.

4. Beispiel 4 — Eine Nullstelle ist null: Nullstellen 0 und 9

Summe = 0 + 9 = 9. Produkt = 0 × 9 = 0. Gleichung: x² − 9x + 0 = 0, was sich vereinfacht zu x² − 9x = 0. Überprüfung: x(x − 9) = 0 ergibt x = 0 oder x = 9 ✓.

Wenn beide Nullstellen negativ sind, sind sowohl der Mitteltermkoeffizient als auch die Konstante positiv — das entgegengesetzte Muster von beiden positiven Nullstellen.

Durchgerechnete Beispiele mit Bruch- und irrationalen Nullstellen

Bruchnullstellen und irrationale Nullstellen erscheinen in standardisierten Tests und in der Vorrechnung. Bei Bruchnullstellen ist es oft sauberer, Nenner zu eliminieren, indem man nach Anwendung von Vieta-Formeln mit dem KGV multipliziert. Irrationale Nullstellen kommen fast immer in konjugierten Paaren der Form a + √b und a − √b vor, was praktisch ist: Die Wurzeln heben sich in der Summe auf, und das Produkt wird zu einer Differenz von Quadraten ohne Radikale.

1. Beispiel 1 — Bruchnullstellen: 1/2 und 3/4

Summe = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Produkt = (1/2)(3/4) = 3/8. Basisgleichung: x² − (5/4)x + 3/8 = 0. Multipliziere jeden Term mit 8, um Brüche zu eliminieren: 8x² − 10x + 3 = 0. Verifiziere: Diskriminante = 100 − 96 = 4, Nullstellen = (10 ± 2)/16 = 3/4 oder 1/2 ✓.

2. Beispiel 2 — Reine Wurzelnullstellen: √5 und −√5

Summe = √5 + (−√5) = 0. Produkt = (√5)(−√5) = −5. Gleichung: x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0. Überprüfung: x² = 5, x = ±√5 ✓.

3. Beispiel 3 — Konjugierte Wurzelnullstellen: 2 + √3 und 2 − √3

Summe = (2 + √3) + (2 − √3) = 4. Produkt = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Gleichung: x² − 4x + 1 = 0. Überprüfung: Quadratische Formel ergibt x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓.

Konjugierte Wurzelnullstellen (a ± √b) erzeugen immer eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten — ihre Summe und ihr Produkt sind beide rationale Zahlen.

Schreiben von quadratischen Gleichungen mit komplexen Nullstellen

Komplexe Nullstellen treten immer als konjugierte Paare auf: wenn eine Nullstelle a + bi ist, ist die andere a − bi (wobei i = √(−1)). Dies wird durch den komplexen Konjugiertnullstellen-Satz für Polynome mit reellen Koeffizienten garantiert. Die Algebra ist identisch mit dem Wurzelfall — verwende Vieta-Formeln und die imaginären Teile heben sich in der Summe auf, während das Produkt zu einer Summe von Quadraten wird und immer eine positive Konstante ergibt.

1. Beispiel 1 — Nullstellen 3 + 2i und 3 − 2i

Summe = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6. Produkt = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13. Gleichung: x² − 6x + 13 = 0.

2. Verifiziere mit der quadratischen Formel

x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓.

3. Beispiel 2 — Rein imaginäre Nullstellen: 4i und −4i

Summe = 4i + (−4i) = 0. Produkt = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16. Gleichung: x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0. Überprüfung: x² = −16, x = ±4i ✓.

Komplexe konjugierte Nullstellen a ± bi ergeben immer die normierte quadratische Gleichung x² − 2ax + (a² + b²) = 0, wobei beide Koeffizienten reell sind.

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

Diese vier Fehler sind für die Mehrheit der verlorenen Punkte bei Aufgaben verantwortlich, die Schüler bitten, die quadratische Gleichung mit gegebenen Nullstellen zu schreiben. Jeder Fehler ist unter Zeitdruck leicht zu machen und genauso leicht zu vermeiden, wenn du weißt, worauf du achten musst.

1. Fehler 1 — Vorzeichenfehler in der Faktorform

Der Faktor für Nullstelle r ist (x − r), nicht (x + r). Für Nullstelle −3 ist der Faktor (x − (−3)) = (x + 3), nicht (x − 3). Das Schreiben von (x − 3) erzeugt stattdessen Nullstellen von 3, nicht −3 — das Vorzeichen des konstanten Terms wird falsch sein.

2. Fehler 2 — Bei der Faktorform stehen bleiben

Nach dem Schreiben von (x − r₁)(x − r₂) = 0 lassen einige Schüler die Antwort in Faktorform. Sofern das Problem nicht ausdrücklich die Faktorform verlangt, expandiere vollständig zu ax² + bx + c = 0.

3. Fehler 3 — Summe direkt ohne Minuszeichen verwenden

Die Vieta-Vorlage ist x² − (Summe)x + (Produkt) = 0, nicht x² + (Summe)x + (Produkt) = 0. Der Koeffizient von x ist das Negative der Summe. Wenn die Summe 7 ist, hat die quadratische Gleichung −7x als ihren Mitteltermm nicht +7x.

4. Fehler 4 — Nicht eliminieren von Brüchen, wenn erforderlich

Wenn das Problem ganzzahlige Koeffizienten verlangt und die Nullstellen Brüche sind, multipliziere nach Anwendung von Vieta-Formeln. Zum Beispiel muss x² − (5/4)x + 3/8 = 0 zu 8x² − 10x + 3 = 0 werden, indem man jeden Term mit 8 multipliziert.

Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen

Bearbeite jede Aufgabe, bevor du die Lösung liest. Verwende die Faktormethode für die Aufgaben 1 und 2, Vieta-Formeln für Aufgabe 3 und deine Wahl der Methode für die Aufgaben 4 und 5. Diese Aufgaben werden von einfachen ganzzahligen Nullstellen bis zu komplexen Nullstellen progressiv schwieriger und entsprechen dem Schwierigkeitsgrad bei Algebra-2- und SAT-Übungstests.

1. Aufgabe 1 — Nullstellen 2 und 9

Summe = 2 + 9 = 11. Produkt = 2 × 9 = 18. Antwort: x² − 11x + 18 = 0. Überprüfung: (x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓.

2. Aufgabe 2 — Nullstellen −6 und −1

Summe = −6 + (−1) = −7. Produkt = (−6)(−1) = 6. Antwort: x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0. Überprüfung: (x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓.

3. Aufgabe 3 — Nullstellen 1/3 und 2

Summe = 1/3 + 2 = 7/3. Produkt = (1/3)(2) = 2/3. Basisgleichung: x² − (7/3)x + 2/3 = 0. Multipliziere mit 3: 3x² − 7x + 2 = 0. Überprüfung: (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓.

4. Aufgabe 4 — Nullstellen 1 + √2 und 1 − √2

Summe = (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Produkt = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1. Antwort: x² − 2x − 1 = 0. Überprüfung mit quadratischer Formel: x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓.

5. Aufgabe 5 — Nullstellen 5 + i und 5 − i

Summe = 10. Produkt = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26. Antwort: x² − 10x + 26 = 0. Überprüfung: Diskriminante = 100 − 104 = −4, Nullstellen = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓.

Schnelle Selbstkontrolle: Setze jede Nullstelle in deine Gleichung ein. Wenn beide null ergeben, ist die Gleichung richtig.

Häufig gestellte Fragen

Diese Fragen kommen regelmäßig auf, wenn Schüler zum ersten Mal lernen, die quadratische Gleichung mit angegebenen Nullstellen zu schreiben. Die Antworten behandeln die häufigsten Verwirrungspunkte, von mehreren gültigen Antworten über wiederholte Nullstellen bis hin zu Dezimaleingaben.

1. Kann es mehr als eine richtige quadratische Gleichung für dasselbe Nullstellenpaar geben?

Ja. Wenn x² − 8x + 15 = 0 eine Antwort ist, dann sind 2x² − 16x + 30 = 0 und 5x² − 40x + 75 = 0 auch richtig — jedes von null verschiedene skalare Vielfache funktioniert. Aufgaben, die eine eindeutige Antwort wünschen, geben typischerweise 'normierte Form' (Leitkoeffizient 1) oder 'ganzzahlige Koeffizienten mit ggT 1' an.

2. Was wenn beide Nullstellen gleich sind (wiederholte Nullstelle)?

Eine wiederholte Nullstelle r bedeutet r₁ = r₂ = r. Die Gleichung ist (x − r)² = 0, die sich zu x² − 2rx + r² = 0 expandiert. Für eine wiederholte Nullstelle von 4: (x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0.

3. Wie gehe ich mit Dezimalnullstellen um?

Verwende Vieta-Formeln auf die gleiche Weise. Für Nullstellen 0,5 und 1,5: Summe = 2,0, Produkt = 0,75. Gleichung: x² − 2x + 0,75 = 0. Multipliziere mit 4 für ganzzahlige Koeffizienten: 4x² − 8x + 3 = 0. Verifiziere: (4x − 2)(x − 1,5) → hmm, einfacher zu überprüfen: Quadratische Formel ergibt (8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1,5 oder 0,5 ✓.

4. Spielt die Reihenfolge der Nullstellen eine Rolle?

Nein. (x − r₁)(x − r₂) und (x − r₂)(x − r₁) erzeugen die gleiche Expansion durch das kommutative Multiplikationsprinzip. Liste die Nullstellen in jeder Reihenfolge auf — die Gleichung ist identisch.

5. Was wenn nur eine Nullstelle gegeben ist?

Eine Nullstelle allein ist nicht ausreichend, um eine eindeutige quadratische Gleichung zu definieren, es sei denn, du hast zusätzliche Informationen wie die Summe oder das Produkt, oder die Nullstelle ist irrational/komplex (in diesem Fall ist ihr Konjugiertes automatisch die zweite Nullstelle). Zum Beispiel, wenn dir mitgeteilt wird, dass eine Nullstelle 3 + √7 ist, muss die andere 3 − √7 sein, was Summe = 6 und Produkt = 9 − 7 = 2 ergibt, also ist die Gleichung x² − 6x + 2 = 0.

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