Calculadora de transformada de Laplace: guía paso a paso de la transformada directa

¿Qué es una calculadora de transformada de Laplace y cómo funciona?

Una calculadora de transformada de Laplace toma una función f(t) definida para t ≥ 0 y devuelve F(s), su representación en la variable de frecuencia compleja s, usando la definición L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(-st) dt. La variable s absorbe tanto el comportamiento de crecimiento o decaimiento como la frecuencia de oscilación, de modo que las operaciones difíciles en el dominio del tiempo —sobre todo resolver una ecuación diferencial— se vuelven algebraicas al pasar al dominio s. El valor real de una calculadora de transformada de Laplace no está en la aritmética de la integral en sí, ya que la mayoría de las transformadas se leen de una tabla después de las primeras deducciones. Su valor está en mostrar cada sustitución, cada paso de integración por partes y cada simplificación, para que el resultado sea reproducible en papel y no una respuesta de caja negra. Tres condiciones garantizan que L{f(t)} existe: f(t) debe ser continua a trozos en todo intervalo finito, f(t) debe ser de orden exponencial (acotada por M·e^(at) para ciertas constantes M y a), y s debe elegirse mayor que esa tasa de crecimiento a. Casi todas las funciones que aparecen en un curso introductorio de ecuaciones diferenciales —polinomios, exponenciales, senos, cosenos y sus productos— cumplen estas condiciones sin necesidad de comprobarlo.

Una calculadora de transformada de Laplace convierte f(t) en F(s) usando L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(-st) dt: convierte el cálculo en t en álgebra en s.

¿Cómo aplica una calculadora de transformada de Laplace la integral de definición?

Cada entrada de una tabla de transformadas de Laplace parte de la misma integral de definición. Resolver a mano las primeras muestra exactamente lo que hace una calculadora de transformada de Laplace paso a paso antes siquiera de recurrir a una tabla de consulta.

¿Qué es la tabla de transformadas de Laplace y qué entradas importan más?

Una vez trabajada la integral de definición para los bloques básicos, la tabla de transformadas de Laplace recoge los resultados para poder aplicarlos directamente en lugar de deducirlos cada vez. Las entradas que cubren la gran mayoría de los problemas introductorios de ecuaciones diferenciales son: - L{1} = 1/s - L{tⁿ} = n!/s^(n+1), de modo que L{t} = 1/s² y L{t²} = 2/s³ - L{e^(at)} = 1/(s - a) - L{sin(bt)} = b/(s² + b²) - L{cos(bt)} = s/(s² + b²) - L{e^(at)f(t)} = F(s - a), el primer teorema de desplazamiento Cualquier otra transformada que necesites en un primer curso —productos de polinomios con exponenciales, senos y cosenos amortiguados, funciones a trozos con la función escalón— se construye sobre estas seis entradas usando la linealidad y el teorema de desplazamiento de las secciones siguientes. Memorizar esta lista corta, en lugar de una tabla larga, suele bastar para avanzar rápido en los ejercicios y para verificar de forma razonable lo que devuelve una calculadora.

Seis entradas cubren casi todo un primer curso: 1/s, n!/s^(n+1), 1/(s-a), b/(s²+b²), s/(s²+b²) y la regla de desplazamiento F(s-a). Todo lo demás se construye a partir de ahí con linealidad y desplazamiento.

Cómo hallar la transformada de Laplace de funciones polinómicas y exponenciales

La linealidad —L{af(t) + bg(t)} = a·F(s) + b·G(s)— permite transformar una suma de términos transformando cada uno por separado y sumando los resultados. Es la propiedad clave detrás de casi todo cálculo de transformada de Laplace paso a paso. Ejemplo 1 — Polinomio más exponencial: Halla L{3t² + 5e^(-2t)}. Transforma cada término: L{3t²} = 3·(2!/s³) = 6/s³. L{5e^(-2t)} = 5·(1/(s - (-2))) = 5/(s + 2). Resultado: F(s) = 6/s³ + 5/(s + 2) ✓ Comprobación: sustituir n = 2 en L{tⁿ} = n!/s^(n+1) da 2!/s³ = 2/s³, y 3·(2/s³) = 6/s³, lo que confirma el primer término. Ejemplo 2 — Polinomio de tres términos con una constante y una exponencial: Halla L{4 - 7t + 2e^(3t)}. Transforma cada término: L{4} = 4/s. L{-7t} = -7/s². L{2e^(3t)} = 2/(s - 3). Resultado: F(s) = 4/s - 7/s² + 2/(s - 3) ✓ Comprobación: cada término coincide directamente con una entrada de la tabla (1/s, 1/s², 1/(s-a)) sin más álgebra que los coeficientes de la linealidad; es el tipo de problema de transformada de Laplace más rápido de verificar a simple vista.

¿Cómo se usan la linealidad y las reglas de desplazamiento en una transformada de Laplace paso a paso?

La linealidad se ocupa de las sumas; el primer teorema de desplazamiento se ocupa de los productos con e^(at). Juntos amplían la tabla de seis entradas para cubrir polinomios amortiguados, senos amortiguados y cosenos amortiguados: las funciones que aparecen constantemente en las soluciones de ecuaciones diferenciales.

El primer teorema de desplazamiento: L{e^(at)f(t)} = F(s - a). Multiplicar por e^(at) en el dominio del tiempo siempre desplaza la función del dominio s exactamente en a.

Transformada de Laplace de seno, coseno y oscilaciones amortiguadas

Ejemplo 3 — Seno puro: Halla L{sin(4t)}. Compara directamente con L{sin(bt)} = b/(s² + b²) con b = 4. Resultado: F(s) = 4/(s² + 16) ✓ Ejemplo 4 — Combinación lineal de seno y coseno: Halla L{5sin(3t) - 2cos(3t)}. Transforma cada término con b = 3: L{5sin(3t)} = 5·3/(s² + 9) = 15/(s² + 9). L{2cos(3t)} = 2·s/(s² + 9) = 2s/(s² + 9). Resultado: F(s) = (15 - 2s)/(s² + 9) ✓ Comprobación: el numerador recoge el coeficiente del término del seno (15, de 5 × 3) y resta el coeficiente de s del término del coseno (2s), que es justo lo que resulta al combinar ambas fracciones sobre el denominador común (s² + 9). Ejemplo 5 — Coseno amortiguado con el teorema de desplazamiento: Halla L{e^(-3t)·cos(2t)}. Punto de partida: L{cos(2t)} = s/(s² + 4). Desplaza con a = -3, es decir, sustituye s por (s - (-3)) = (s + 3): L{e^(-3t)cos(2t)} = (s + 3)/[(s + 3)² + 4]. Resultado: F(s) = (s + 3)/(s² + 6s + 13) tras desarrollar (s + 3)² + 4 = s² + 6s + 13 ✓ Esta forma de oscilación amortiguada —una envolvente exponencial que multiplica a un seno o un coseno— es exactamente lo que aparece en la solución de la ecuación diferencial de un sistema masa-resorte-amortiguador, y por eso conviene memorizar el teorema de desplazamiento en vez de deducirlo cada vez.

¿Cómo se aplica la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial?

La razón principal para aprender la tabla de transformadas de Laplace y las reglas de desplazamiento es resolver problemas de valor inicial sin hallar por separado una solución homogénea y una particular. La transformada convierte toda la ecuación diferencial, condiciones iniciales incluidas, en una única ecuación algebraica en Y(s).

Transformar → despejar algebraicamente Y(s) → invertir de vuelta a y(t). La transformada de Laplace convierte un problema de cálculo en un problema de álgebra y solo vuelve al cálculo en el último paso.

Ejemplo resuelto: resolver y' + 5y = e^(-2t), y(0) = 1 con la transformada de Laplace

Paso 1 — Transformar ambos lados. L{y'} + 5L{y} = L{e^(-2t)} [sY(s) - y(0)] + 5Y(s) = 1/(s + 2) Sustituye y(0) = 1: sY(s) - 1 + 5Y(s) = 1/(s + 2) Paso 2 — Agrupar Y(s) y despejar. (s + 5)Y(s) = 1 + 1/(s + 2) = (s + 2 + 1)/(s + 2) = (s + 3)/(s + 2) Y(s) = (s + 3) / [(s + 2)(s + 5)] Paso 3 — Fracciones parciales. (s + 3)/[(s + 2)(s + 5)] = A/(s + 2) + B/(s + 5) s + 3 = A(s + 5) + B(s + 2) Con s = -2: 1 = 3A → A = 1/3 Con s = -5: -2 = -3B → B = 2/3 Y(s) = (1/3)/(s + 2) + (2/3)/(s + 5) Paso 4 — Invertir usando la tabla. y(t) = (1/3)e^(-2t) + (2/3)e^(-5t) Paso 5 — Verificar. Comprobación de la condición inicial: y(0) = 1/3 + 2/3 = 1 ✓ Comprobación de la ecuación diferencial: y'(t) = -(2/3)e^(-2t) - (10/3)e^(-5t) y' + 5y = [-(2/3)e^(-2t) - (10/3)e^(-5t)] + 5[(1/3)e^(-2t) + (2/3)e^(-5t)] = [-(2/3) + (5/3)]e^(-2t) + [-(10/3) + (10/3)]e^(-5t) = (3/3)e^(-2t) + 0 = e^(-2t) ✓ coincide exactamente con el lado derecho de la ecuación original. Ambas comprobaciones confirman que y(t) = (1/3)e^(-2t) + (2/3)e^(-5t) es correcta.

y(t) = (1/3)e^(-2t) + (2/3)e^(-5t) cumple tanto y(0) = 1 como y' + 5y = e^(-2t): las dos comprobaciones independientes que confirman una solución por transformada de Laplace de una ecuación diferencial.

¿Cómo se relaciona la transformada de Laplace con la transformada inversa de Laplace?

La transformada directa y la transformada inversa de Laplace son dos direcciones de lectura de la misma tabla. La directa parte de una función del dominio del tiempo f(t) y produce F(s); la inversa parte de F(s) —normalmente el resultado de despejar una ecuación algebraica como Y(s) en el ejemplo anterior— y recupera f(t) asociándola de nuevo a las entradas de la tabla, usando fracciones parciales y el teorema de desplazamiento en sentido inverso. Cada entrada usada en esta guía (1/s, n!/s^(n+1), 1/(s - a), b/(s² + b²), s/(s² + b²)) se lee de izquierda a derecha para la transformada directa y de derecha a izquierda para la inversa. Como ambas direcciones comparten una misma tabla, dominar la transformada directa de esta guía convierte la inversa en poco más que reconocer los mismos patrones al revés, algo que se trata con ejemplos adicionales de fracciones parciales y de completar el cuadrado en la guía complementaria sobre la transformada inversa de Laplace.

¿Qué errores comunes debo evitar al usar una calculadora de transformada de Laplace?

Los errores más frecuentes al reproducir a mano una calculadora de transformada de Laplace son: olvidar la condición de convergencia (s debe superar la tasa de crecimiento exponencial a, es decir s > a para L{e^(at)} = 1/(s - a)); confundir el signo de a en el teorema de desplazamiento y sustituir s por (s + a) en lugar de (s - a) o al revés; perder el coeficiente al comparar con L{sin(bt)} = b/(s² + b²), ya que el numerador debe ser b y no 1; y aplicar L{y'} = sY(s) - y(0) sin sustituir el valor real de la condición inicial antes de seguir despejando Y(s). Todos ellos se detectan con el mismo hábito: tras obtener F(s), vuelve a deducirla término a término desde las seis entradas esenciales de la tabla y confirma que cada coeficiente y cada signo coinciden, exactamente como hacen las comprobaciones de los ejemplos anteriores.

Verifica los resultados de tu calculadora de transformada de Laplace con Solvify

La integral de definición, la tabla esencial y el teorema de desplazamiento que cubre esta guía bastan para resolver a mano la mayoría de los problemas introductorios de transformada de Laplace y para revisar línea por línea la salida de cualquier calculadora. Cuando un problema implica una descomposición en fracciones parciales más larga, un factor cuadrático repetido o irreducible, o un problema de valor inicial completo en el que es fácil cometer un desliz aritmético y difícil detectarlo, la calculadora de transformada de Laplace de Solvify muestra los mismos pasos basados en la definición y en la tabla que se usan en todo este artículo —el planteamiento de la integral, la separación por linealidad, la aplicación del teorema de desplazamiento y las constantes de las fracciones parciales— para que compares tu trabajo manual con una solución completamente desarrollada y encuentres exactamente dónde divergen, si es que lo hacen.