Calculadora de la prueba t de una muestra: fórmula, pasos y ejemplos resueltos
Una calculadora de prueba t de una muestra compara la media de una única muestra con un valor poblacional afirmado cuando la desviación estándar de la población es desconocida, usando en su lugar la desviación estándar muestral y la distribución t. Los estudiantes recurren a una calculadora de prueba t de una muestra cuando quieren comprobar si un nuevo método de estudio cambia realmente la nota media, si un lote de piezas cumple una especificación objetivo o si una media muestral está lo bastante cerca de una referencia histórica como para considerarla sin cambios. Esta guía construye desde cero la fórmula de la calculadora de prueba t de una muestra — el estadístico t, los grados de libertad, las decisiones de una y dos colas y el intervalo de confianza con el que se conecta — con ejemplos completamente resueltos para que puedas verificar cada número a mano.
Contenido
- 01¿Qué calcula realmente una calculadora de prueba t de una muestra?
- 02¿Por qué usar aquí una prueba t en lugar de una prueba z?
- 03¿Cuál es la fórmula de la prueba t de una muestra?
- 04¿Cómo se realiza paso a paso una prueba t de una muestra de dos colas?
- 05¿En qué se diferencia una prueba t de una cola de una de dos colas?
- 06¿Cómo se relaciona un intervalo de confianza con una prueba t de una muestra?
- 07¿Qué supuestos exige una prueba t de una muestra?
- 08¿Qué errores debes evitar con una calculadora de prueba t de una muestra?
- 09Problemas de práctica de la prueba t de una muestra con soluciones
- 10¿Qué más preguntan los estudiantes sobre las calculadoras de prueba t de una muestra?
- 11Más ayuda con los deberes de la prueba t de una muestra
¿Qué calcula realmente una calculadora de prueba t de una muestra?
Una calculadora de prueba t de una muestra toma una media muestral, una media poblacional afirmada, una desviación estándar muestral y un tamaño de muestra, y devuelve un estadístico t, los grados de libertad y un valor p que comparas con tu nivel de significancia. Responde a una pregunta concreta: ¿la diferencia entre tu media muestral y el valor afirmado es mayor de lo que cabría esperar solo por el muestreo aleatorio, o lo bastante pequeña como para explicarse por azar? La prueba se apoya en dos afirmaciones que compiten entre sí: la hipótesis nula H0 (la media afirmada es correcta) y la hipótesis alternativa Ha (la media verdadera es distinta). Una calculadora de prueba t de una muestra nunca demuestra que H0 sea cierta: solo mide si la muestra aporta evidencia lo bastante fuerte para rechazarla.
Una calculadora de prueba t de una muestra nunca demuestra que la media afirmada sea correcta. Solo decide si la muestra aporta evidencia lo bastante fuerte para rechazar esa afirmación.
¿Por qué usar aquí una prueba t en lugar de una prueba z?
La prueba t de una muestra y la prueba z de una muestra responden a la misma pregunta, pero se diferencian en un único supuesto: si conoces o no la desviación estándar de la población.
1. Usa una prueba t cuando solo conoces la desviación estándar muestral (s)
Este es el caso realista en el que cae casi cualquier ejercicio de clase y cualquier estudio real, ya que la verdadera desviación estándar poblacional rara vez está disponible de antemano. Una calculadora de prueba t de una muestra utiliza s, la desviación estándar calculada a partir de tu propia muestra, en lugar de la σ desconocida.
2. La distribución t tiene en cuenta la incertidumbre adicional
Como s se estima a partir de la propia muestra, arrastra un error de muestreo adicional frente a una σ conocida. La distribución t es más ancha y más plana que la distribución normal, sobre todo en muestras pequeñas, lo que hace más difícil alcanzar la significancia estadística: una penalización incorporada por esa incertidumbre extra. A medida que crece el tamaño de la muestra (aproximadamente n ≥ 30), la distribución t converge hacia la distribución normal.
3. Por qué los pasos manuales siguen importando
Una calculadora de prueba t de una muestra te da el estadístico t final y el valor p al instante, pero los deberes y los exámenes casi siempre exigen mostrar las hipótesis, la sustitución en la fórmula y la comparación con un valor crítico o un valor p. Trabajar los pasos siguientes es lo que construye la intuición que necesitarás más adelante para las pruebas t de dos muestras, el ANOVA y la regresión.
¿Cuál es la fórmula de la prueba t de una muestra?
La fórmula de la prueba t de una muestra convierte tus datos muestrales en una única puntuación estandarizada y después compara esa puntuación con un umbral de la distribución t.
1. La fórmula del estadístico t
t = (x̄ − μ₀) ÷ (s ÷ √n), donde x̄ es la media muestral, μ₀ es la media poblacional afirmada (hipotética), s es la desviación estándar muestral y n es el tamaño de la muestra. El denominador, s ÷ √n, es el error estándar de la media: mide cuánto suelen variar las medias muestrales respecto a la media poblacional verdadera solo por azar.
2. Grados de libertad
df = n − 1. Los grados de libertad disminuyen en uno porque la desviación estándar muestral s se calcula usando la propia media muestral, lo que consume una unidad de información independiente. Necesitas df para buscar el valor t crítico o el valor p correcto en una tabla de la distribución t.
3. Cómo leer el resultado
Un |t| mayor significa que la media muestral está más lejos del valor afirmado, medido en errores estándar. Un estadístico t cercano a 0 significa que la media muestral está próxima a μ₀ en relación con la variabilidad natural de los datos, lo que apunta a no rechazar H0.
t = (x̄ − μ₀) ÷ (s ÷ √n), con grados de libertad df = n − 1.
¿Cómo se realiza paso a paso una prueba t de una muestra de dos colas?
Aquí tienes un ejemplo completamente resuelto que comprueba si una media muestral difiere de un valor afirmado en cualquiera de las dos direcciones.
1. Plantea las hipótesis y recoge los datos
Un fabricante de vitaminas afirma que sus cápsulas contienen una media de 500 mg de principio activo. Una analista de calidad toma una muestra de n = 20 cápsulas y obtiene una media muestral de x̄ = 494 mg con una desviación estándar muestral de s = 15 mg. H0: μ = 500 (la media coincide con la afirmación). Ha: μ ≠ 500 (la media difiere de la afirmación). Es una prueba de dos colas, ya que importa una desviación en cualquier dirección: demasiado poco o demasiado principio activo. Se contrasta con α = 0,05.
2. Calcula el estadístico t
t = (x̄ − μ0) ÷ (s ÷ √n) = (494 − 500) ÷ (15 ÷ √20) = −6 ÷ (15 ÷ 4,472) = −6 ÷ 3,354 ≈ −1,789.
3. Halla los grados de libertad y el valor crítico
df = n − 1 = 20 − 1 = 19. Para una prueba de dos colas con α = 0,05 y df = 19, el valor t crítico es aproximadamente ±2,093. El valor p de dos colas para t ≈ −1,789 con df = 19 es de alrededor de 0,090.
4. Toma la decisión e interprétala
Dado que |t| ≈ 1,789 no supera el valor crítico de 2,093 (equivalentemente, p ≈ 0,090 es mayor que α = 0,05), no se rechaza H0. La muestra no aporta evidencia lo bastante fuerte, al nivel de significancia del 5 %, de que el contenido medio real de principio activo difiera de 500 mg, aunque la media muestral de 494 mg quede algo por debajo de lo afirmado. Comprobación: con un error estándar menor (por ejemplo, s = 8 en vez de 15), esa misma diferencia de 6 mg produciría un |t| mayor y podría invertir la decisión, y por eso la dispersión de los datos importa tanto como la diferencia en sí.
t = (494 − 500) ÷ (15 ÷ √20) ≈ −1,789 con df = 19: en magnitud queda por debajo del valor crítico de 2,093, así que no rechazamos H0.
¿En qué se diferencia una prueba t de una cola de una de dos colas?
La dirección de la hipótesis alternativa decide si haces una prueba de una cola o de dos colas, y confundirlas cambia tanto el valor crítico como la conclusión.
1. Las pruebas de una cola comprueban una dirección concreta
Ha: μ > μ0 (cola derecha) o Ha: μ < μ0 (cola izquierda) coloca toda la región de rechazo en una cola de la distribución t, lo que facilita detectar un efecto en la dirección prevista pero impide detectar un efecto en la dirección contraria, por extremo que sea.
2. Un ejemplo resuelto: prueba t de cola derecha
Una academia de refuerzo afirma que su programa sube las notas de los exámenes en más de 5 puntos de media. Una muestra de n = 12 estudiantes muestra una mejora media de x̄ = 6,2 puntos con s = 1,8 puntos. H0: μ = 5. Ha: μ > 5 (cola derecha, ya que la afirmación dice específicamente «más de»). t = (6,2 − 5) ÷ (1,8 ÷ √12) = 1,2 ÷ 0,5196 ≈ 2,309. df = 11, y el valor t crítico de cola derecha con α = 0,05 es aproximadamente 1,796. Como t ≈ 2,309 supera 1,796 (p ≈ 0,021 < 0,05), se rechaza H0: la muestra respalda la afirmación de que la mejora media supera los 5 puntos.
3. Ajustar la cola a la redacción de la afirmación
«Mayor que» o «más de» señala una prueba de cola derecha; «menos que» señala una prueba de cola izquierda; «distinto de» o «no igual a» señala una prueba de dos colas. Usar un valor crítico de dos colas para una afirmación de una cola (o al revés) puede convertir una decisión de rechazo en una de no rechazo, o a la inversa.
Una prueba de dos colas reparte α entre ambas colas; una prueba de una cola coloca todo α en una sola cola, lo que reduce el valor t crítico necesario para rechazar H0 en la dirección prevista.
¿Cómo se relaciona un intervalo de confianza con una prueba t de una muestra?
Un intervalo de confianza basado en t y una prueba t de una muestra de dos colas son dos vistas del mismo cálculo: si el valor afirmado queda fuera del intervalo, la prueba de dos colas al nivel de significancia correspondiente rechaza H0.
1. La fórmula del intervalo de confianza
IC = x̄ ± t* × (s ÷ √n), donde t* es el valor t crítico para el nivel de confianza deseado y df = n − 1. Usando el ejemplo anterior de las cápsulas de vitaminas (x̄ = 494, s = 15, n = 20, df = 19, t* ≈ 2,093 para una confianza del 95 %): IC = 494 ± 2,093 × (15 ÷ √20) = 494 ± 2,093 × 3,354 = 494 ± 7,02, lo que da un intervalo aproximado de (486,98; 501,02).
2. Leer el intervalo frente a la afirmación
Como 500 mg cae dentro del intervalo (486,98; 501,02), el intervalo de confianza del 95 % coincide con la decisión de no rechazo de la prueba de dos colas del ejemplo anterior: los datos son compatibles con la media afirmada de 500 mg. Si el valor afirmado hubiera quedado fuera del intervalo, la prueba de dos colas correspondiente habría rechazado H0.
3. Por qué esto importa en la práctica
Un intervalo de confianza ofrece un rango de valores plausibles para la media verdadera, no solo un veredicto de rechazo o no rechazo, lo que suele ser más útil al comunicar resultados: muestra la estimación y su precisión en una sola frase.
Si el intervalo de confianza x̄ ± t* × (s ÷ √n) excluye el valor afirmado μ0, la prueba de dos colas correspondiente al mismo nivel de significancia rechaza H0.
¿Qué supuestos exige una prueba t de una muestra?
Una calculadora de prueba t de una muestra da una respuesta válida solo cuando se cumplen aproximadamente los supuestos subyacentes; comprobarlos lleva un minuto y evita una conclusión engañosa.
1. Los datos deben ser una muestra aleatoria e independiente
Cada observación debe extraerse de forma independiente de la población de interés, sin un patrón sistemático (como muestrear solo en un lugar o en un periodo concreto) que pueda sesgar la media.
2. La población debe ser aproximadamente normal, o la muestra lo bastante grande
En muestras pequeñas (aproximadamente n < 30), la población subyacente debe distribuirse de forma aproximadamente normal para que la prueba t sea fiable. En muestras mayores, el teorema central del límite hace que la distribución muestral de la media sea aproximadamente normal aunque la población no lo sea, por lo que la prueba t sigue siendo válida.
3. Los datos deben medirse en una escala continua
La prueba t de una muestra está pensada para datos numéricos y continuos (pesos, puntuaciones, tiempos) en los que una media tiene sentido; no es adecuada para datos categóricos u ordinales, que requieren otra prueba, como la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste.
¿Qué errores debes evitar con una calculadora de prueba t de una muestra?
Estos fallos aparecen constantemente en los deberes de estadística evaluados, tanto si el cálculo se hace a mano como si se comprueba después con una calculadora de prueba t de una muestra.
1. Usar n en lugar de n − 1 para los grados de libertad
Olvidar restar 1 desplaza la fila de la tabla de la distribución t que consultas, lo que cambia el valor crítico y puede invertir una decisión ajustada.
2. Elegir la dirección de cola equivocada
Ajusta Ha a la redacción exacta de la afirmación: «más de» significa cola derecha, «menos de» significa cola izquierda, «distinto de» significa dos colas. Una elección errónea de cola lleva a usar el valor crítico equivocado.
3. Confundir la desviación estándar con el error estándar
La fórmula divide s entre √n antes de compararlo con la diferencia x̄ − μ0; introducir solo s en lugar de s ÷ √n produce un estadístico t con una magnitud demasiado pequeña.
4. Tratar «no rechazar» como «se ha demostrado la afirmación»
No rechazar H0 solo significa que la muestra no aportó evidencia suficiente en contra de la afirmación; nunca demuestra que la afirmación sea correcta. Otra muestra, o una mayor, podría llevar aun así a rechazar H0 en la misma población subyacente.
Problemas de práctica de la prueba t de una muestra con soluciones
Trabaja estos tres problemas del más fácil al más difícil. Intenta resolver cada uno antes de leer la solución y luego compara tu planteamiento con los pasos mostrados.
1. Problema 1 (principiante): prueba t de dos colas
Una panadería afirma que sus hogazas pesan 450 g de media. Una muestra de n = 16 hogazas tiene x̄ = 445 g y s = 12 g. Contrasta con α = 0,05 si la media verdadera difiere de 450 g. Solución: t = (445 − 450) ÷ (12 ÷ √16) = −5 ÷ 3 ≈ −1,667. df = 15, y el valor crítico de dos colas con α = 0,05 es ±2,131. Como |t| ≈ 1,667 < 2,131, no se rechaza H0: la muestra no aporta evidencia sólida de que la media verdadera difiera de 450 g.
2. Problema 2 (intermedio): prueba t de una cola
Un fabricante de pilas afirma que sus pilas duran más de 40 horas de media. Una muestra de n = 25 pilas tiene x̄ = 41,8 horas y s = 4,5 horas. Contrasta con α = 0,05, cola derecha. Solución: t = (41,8 − 40) ÷ (4,5 ÷ √25) = 1,8 ÷ 0,9 = 2,0. df = 24, y el valor crítico de cola derecha con α = 0,05 es de unos 1,711. Como t = 2,0 > 1,711, se rechaza H0: la muestra respalda la afirmación de que la duración media de las pilas supera las 40 horas, con p ≈ 0,028.
3. Problema 3 (avanzado): prueba t de dos colas con un α más estricto
Una afirmación farmacéutica sostiene que un comprimido contiene 250 mg de principio activo. Una muestra de n = 9 comprimidos tiene x̄ = 246 mg y s = 5 mg. Contrasta con α = 0,01 si la media verdadera difiere de 250 mg. Solución: t = (246 − 250) ÷ (5 ÷ √9) = −4 ÷ 1,667 ≈ −2,4. df = 8, y el valor crítico de dos colas con α = 0,01 es de unos ±3,355. Como |t| ≈ 2,4 es menor que 3,355 (p ≈ 0,043, por encima de 0,01), no se rechaza H0: esta muestra no aporta evidencia lo bastante fuerte al nivel del 1 % de que la media verdadera difiera de 250 mg, aunque sí habría rechazado con α = 0,05.
¿Qué más preguntan los estudiantes sobre las calculadoras de prueba t de una muestra?
Estas son las preguntas que surgen con más frecuencia junto a los deberes y el repaso de examen sobre la prueba t de una muestra.
1. ¿Cuándo debo usar una calculadora de prueba t de una muestra en lugar de una calculadora de prueba z?
Usa una calculadora de prueba t de una muestra siempre que la desviación estándar poblacional sea desconocida y solo dispongas de la desviación estándar muestral, que es el caso de casi cualquier estudio real. Usa una prueba z únicamente cuando se indique explícitamente una σ poblacional conocida y establecida.
2. ¿Qué es un «buen» valor del estadístico t?
No hay un valor «bueno» universal: lo que importa es comparar |t| con el valor crítico correspondiente a tus grados de libertad y tu nivel de significancia, o comparar directamente el valor p con α. Un |t| mayor simplemente significa que la media muestral está más lejos del valor afirmado, en unidades de error estándar.
3. ¿Puede una calculadora de prueba t de una muestra manejar datos apareados?
Sí, de forma indirecta: una prueba t para datos apareados (que compara mediciones antes y después en los mismos sujetos) es en realidad una prueba t de una muestra aplicada a las diferencias de cada par, para contrastar si la diferencia media es igual a cero.
4. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra a la prueba t de una muestra?
Un n mayor reduce el error estándar (s ÷ √n), lo que hace que el estadístico t sea mayor para la misma diferencia entre x̄ y μ0 y aumenta la potencia de la prueba para detectar una diferencia real. También incrementa los grados de libertad, lo que baja ligeramente el valor t crítico y acerca la distribución t a la distribución normal.
Más ayuda con los deberes de la prueba t de una muestra
Cuando ya te sientas cómodo planteando H0 y Ha, calculando el estadístico t término a término y comparándolo con un valor crítico o un valor p con los grados de libertad correctos, los problemas de prueba t de una muestra pasan a ser una cuestión de planteamiento cuidadoso y no una fórmula misteriosa. Practica con una mezcla de afirmaciones de una y de dos colas, porque los exámenes suelen esperar que reconozcas cuál se aplica solo por la redacción. Si te atascas al plantear un problema concreto o quieres verificar un cálculo hecho a mano, el solucionador paso a paso de Solvify puede recorrer la misma fórmula que se muestra en esta guía — el estadístico t, los grados de libertad y la decisión final — para que veas exactamente dónde se desvía tu planteamiento del correcto.
Antes de recurrir a una calculadora de prueba t de una muestra, escribe H0, Ha y si la prueba es de una o de dos colas: esa única decisión determina tanto tu valor crítico como tu conclusión.
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