Calculateur du khi-deux : comment calculer un test du khi-deux à la main
Un calculateur du khi-deux compare les données observées à celles que l'on attendrait si une affirmation à leur sujet était vraie, puis indique si l'écart est assez faible pour relever du hasard ou assez important pour rejeter cette affirmation. Les étudiants recourent à un calculateur du khi-deux lorsqu'un exercice demande si un dé est équilibré, si les réponses d'un sondage correspondent à la répartition prévue par un service marketing, ou si deux variables catégorielles — comme la matière préférée et le genre — sont liées. Ce guide explique la formule du khi-deux depuis le début, déroule un test d'ajustement complet et un test d'indépendance complet avec de vrais chiffres, et montre comment trouver les degrés de liberté et interpréter une valeur p, afin que vous compreniez exactement ce que calcule un calculateur du khi-deux avant de faire confiance à son résultat.
Sommaire
- 01Qu'est-ce qu'un test du khi-deux ?
- 02Comment fonctionne un calculateur du khi-deux ?
- 03Comment calculer un test d'ajustement du khi-deux ?
- 04Comment calculer un test d'indépendance du khi-deux ?
- 05Que signifient vraiment les degrés de liberté et la valeur p ?
- 06Quelles conditions faut-il réunir pour utiliser un test du khi-deux ?
- 07Erreurs fréquentes avec un calculateur du khi-deux
- 08Exercices de khi-deux corrigés
- 09Quelles autres questions les étudiants posent-ils sur les calculateurs du khi-deux ?
- 10Obtenir plus d'aide pour les devoirs de khi-deux
Qu'est-ce qu'un test du khi-deux ?
Un test du khi-deux mesure l'écart entre un ensemble d'effectifs observés et les effectifs attendus sous une certaine hypothèse, puis convertit cette distance en un seul nombre appelé statistique du khi-deux. Contrairement au test z ou au test t, qui comparent des moyennes de données numériques, les tests du khi-deux portent sur des données catégorielles — des effectifs répartis dans des catégories comme des couleurs, des réponses à un sondage ou des réponses oui/non. Un calculateur du khi-deux est utile car il automatise le calcul des carrés des écarts et la division par les effectifs théoriques, mais la formule elle-même est assez courte pour être appliquée à la main dès que l'on comprend ses trois éléments : les effectifs observés (O), les effectifs théoriques (E) et le nombre de catégories comparées.
Formule du khi-deux : χ² = Σ [(O − E)² / E], où O est chaque effectif observé et E l'effectif théorique correspondant sous l'hypothèse nulle.
Comment calculer un test d'ajustement du khi-deux ?
Un test d'ajustement vérifie si les effectifs observés dans un seul ensemble de catégories correspondent à une distribution affirmée — par exemple si un dé est équilibré ou si la répartition réelle des ventes d'une entreprise correspond à ses prévisions. Voici un exemple entièrement résolu à partir d'une question classique d'équité.
1. Énoncer les hypothèses et relever les effectifs observés
Un dé est lancé 60 fois pour vérifier s'il est équilibré. H0 : le dé est équilibré (chaque face a une probabilité de 1/6). Ha : le dé n'est pas équilibré. Effectifs observés pour les faces 1 à 6 : O = 8, 12, 9, 14, 7, 10 (leur somme vaut 60, ce qui correspond au nombre total de lancers).
2. Calculer les effectifs théoriques
Sous H0, chaque face devrait apparaître avec une probabilité de 1/6, donc E = 60 × (1/6) = 10 pour chacune des six faces. Effectifs théoriques : E = 10, 10, 10, 10, 10, 10. En général, les effectifs théoriques n'ont pas besoin d'être des nombres entiers, mais ils le sont commodément ici.
3. Calculer chaque terme (O − E)²/E
Face 1 : (8−10)²/10 = 4/10 = 0,4. Face 2 : (12−10)²/10 = 4/10 = 0,4. Face 3 : (9−10)²/10 = 1/10 = 0,1. Face 4 : (14−10)²/10 = 16/10 = 1,6. Face 5 : (7−10)²/10 = 9/10 = 0,9. Face 6 : (10−10)²/10 = 0/10 = 0.
4. Additionner les termes pour obtenir χ²
χ² = 0,4 + 0,4 + 0,1 + 1,6 + 0,9 + 0 = 3,4.
5. Trouver les degrés de liberté et interpréter
Pour un test d'ajustement, ddl = (nombre de catégories − 1) = 6 − 1 = 5. La lecture de χ² = 3,4 avec ddl = 5 dans une table du khi-deux donne une valeur p bien supérieure à 0,05 (environ 0,64). Comme la valeur p est bien plus grande que α = 0,05, nous ne rejetons pas H0 : cet échantillon de 60 lancers ne fournit pas de preuve que le dé est truqué. Un calculateur du khi-deux renverrait instantanément ce même χ² = 3,4 et p ≈ 0,64, mais vous pouvez désormais vérifier vous-même le nombre et expliquer chaque étape sur le papier.
Pour les tests d'ajustement, degrés de liberté = nombre de catégories − 1. Retranchez toujours 1 pour tenir compte du fait que l'effectif total est fixé.
Comment calculer un test d'indépendance du khi-deux ?
Un test d'indépendance vérifie si deux variables catégorielles sont liées, à partir de données présentées dans un tableau croisé. C'est le test que les étudiants confondent le plus souvent avec le test d'ajustement, car il utilise la même formule χ² mais une autre façon de trouver les effectifs théoriques et les degrés de liberté.
1. Construire le tableau croisé et poser les hypothèses
Un sondage interroge 200 élèves sur leur matière préférée (mathématiques ou arts) et leur niveau scolaire (première année ou dernière année). H0 : la matière préférée et le niveau scolaire sont indépendants. Ha : la matière préférée et le niveau scolaire sont liés. Tableau observé : Première année-Maths = 40, Première année-Arts = 60 (total de ligne 100) ; Dernière année-Maths = 50, Dernière année-Arts = 50 (total de ligne 100). Totaux de colonnes : Maths = 90, Arts = 110. Total général = 200.
2. Calculer chaque effectif théorique
Formule : E = (total de la ligne × total de la colonne) / total général. E(Première année, Maths) = (100 × 90)/200 = 45. E(Première année, Arts) = (100 × 110)/200 = 55. E(Dernière année, Maths) = (100 × 90)/200 = 45. E(Dernière année, Arts) = (100 × 110)/200 = 55. Remarquez que les effectifs théoriques redonnent toujours les bons totaux de lignes et de colonnes, ce qui est un bon moyen de vérifier vos calculs.
3. Calculer chaque terme (O − E)²/E
Première année-Maths : (40−45)²/45 = 25/45 ≈ 0,556. Première année-Arts : (60−55)²/55 = 25/55 ≈ 0,455. Dernière année-Maths : (50−45)²/45 = 25/45 ≈ 0,556. Dernière année-Arts : (50−55)²/55 = 25/55 ≈ 0,455.
4. Additionner les termes pour obtenir χ²
χ² ≈ 0,556 + 0,455 + 0,556 + 0,455 = 2,022.
5. Trouver les degrés de liberté et interpréter
Pour un test d'indépendance, ddl = (lignes − 1) × (colonnes − 1) = (2−1) × (2−1) = 1. La lecture de χ² ≈ 2,02 avec ddl = 1 donne une valeur p d'environ 0,155. Comme p > 0,05, nous ne rejetons pas H0 : ce sondage ne fournit pas de preuve solide que la matière préférée et le niveau scolaire soient liés chez ces 200 élèves.
Pour un test d'indépendance, degrés de liberté = (nombre de lignes − 1) × (nombre de colonnes − 1), et les effectifs théoriques valent total de ligne × total de colonne ÷ total général.
Que signifient vraiment les degrés de liberté et la valeur p ?
Les degrés de liberté et la valeur p sont les deux nombres que les étudiants interprètent le plus souvent de travers, même après avoir calculé χ² correctement. Obtenir une réponse chiffrée n'est que la moitié du travail : expliquer ce qu'elle signifie rapporte généralement autant de points.
1. Les degrés de liberté façonnent la courbe de comparaison
La loi du khi-deux n'est pas une courbe unique et figée : sa forme change avec les ddl. Un petit ddl (1 ou 2) produit une courbe très pointue près de zéro, tandis qu'un ddl plus grand donne une courbe plus plate et plus étalée. C'est pourquoi une même valeur de χ² peut être significative avec un ddl et ne pas l'être avec un autre : associez toujours le ddl à la bonne loi du khi-deux avant de juger une statistique grande ou petite.
2. La valeur p répond à une question conditionnelle
La valeur p est la probabilité d'observer une statistique χ² au moins aussi grande que celle calculée, en supposant que l'hypothèse nulle est vraie. Ce n'est pas la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie, ni la probabilité de commettre une erreur : elle mesure uniquement à quel point les données observées seraient surprenantes sous H0.
3. Comparer la valeur p au seuil alpha (α)
Si p ≤ α (couramment α = 0,05), rejetez H0 : il est peu probable que le schéma observé soit dû au seul hasard, il existe donc une preuve statistiquement significative en faveur de Ha. Si p > α, ne rejetez pas H0 : les données sont compatibles avec l'hypothèse nulle, mais cela ne prouve pas que H0 est vraie, seulement que cet échantillon n'a pas fourni de preuve assez forte contre elle.
Ne pas rejeter H0 ne signifie jamais que H0 est démontrée : cela signifie seulement que l'échantillon n'a pas fourni assez de preuves pour la rejeter.
Quelles conditions faut-il réunir pour utiliser un test du khi-deux ?
Un calculateur du khi-deux ne donne un résultat valide et fiable que si les données sous-jacentes satisfont quelques conditions précises. Violer ces conditions est l'une des raisons les plus fréquentes pour lesquelles une conclusion du khi-deux se révèle fausse alors même que les calculs sont justes.
1. Les données doivent être des effectifs, ni des pourcentages ni des moyennes
Les tests du khi-deux exigent des effectifs bruts dans chaque catégorie, et non des proportions ou des moyennes. Si un énoncé donne des pourcentages, reconvertissez-les en effectifs à l'aide de la taille de l'échantillon avant d'appliquer la formule.
2. Les catégories doivent être mutuellement exclusives
Chaque observation doit tomber dans exactement une catégorie : un répondant ne peut pas, par exemple, être compté à la fois en « première année » et en « dernière année ». Des catégories qui se chevauchent invalident le test.
3. Les effectifs théoriques doivent être assez grands
La règle empirique courante veut que chaque effectif théorique soit d'au moins 5. Lorsqu'un ou plusieurs effectifs théoriques passent sous 5, l'approximation du khi-deux devient peu fiable et une autre méthode (comme le test exact de Fisher) est généralement recommandée.
4. Les observations doivent être indépendantes
Chaque individu ou objet ne doit être compté qu'une fois et ne doit pas influencer la catégorie d'une autre observation. Des mesures répétées sur le même sujet, ou des échantillons tirés sans remise dans une population très petite, peuvent enfreindre cette condition.
Erreurs fréquentes avec un calculateur du khi-deux
Ces erreurs reviennent sans cesse dans les devoirs de statistiques notés, que le calcul soit fait à la main ou vérifié ensuite avec un calculateur du khi-deux.
1. Utiliser la mauvaise formule des degrés de liberté
Le test d'ajustement utilise ddl = catégories − 1. Le test d'indépendance utilise ddl = (lignes − 1)(colonnes − 1). Les confondre est de loin l'erreur la plus fréquente sur le khi-deux, puisque les deux tests emploient la même formule de somme χ² et qu'on oublie facilement quelle règle de ddl s'applique.
2. Mal calculer les effectifs théoriques dans un test d'indépendance
Les effectifs théoriques d'un test d'indépendance valent (total de ligne × total de colonne) / total général — et non le total général réparti également entre toutes les cases, ni les effectifs observés eux-mêmes. Vérifiez deux fois que vos effectifs théoriques redonnent bien les bons totaux de lignes et de colonnes.
3. Oublier d'élever l'écart au carré
Il est facile de calculer (O − E)/E au lieu de (O − E)²/E, surtout lorsqu'on travaille vite. Comme O − E peut être négatif, oublier le carré peut produire un χ² négatif ou trompeusement petit : une statistique du khi-deux ne peut jamais être négative, donc une somme partielle négative est un signal d'alerte immédiat.
4. Lire la valeur p comme la probabilité que H0 soit vraie
Une petite valeur p signifie que les données observées seraient peu probables si H0 était vraie : elle n'indique pas directement la probabilité que H0 elle-même soit vraie ou fausse. Gardez la formulation conditionnelle (« probabilité de ces données, sachant H0 ») en tête lors de la rédaction d'une conclusion.
Exercices de khi-deux corrigés
Traitez ces trois exercices du plus simple au plus difficile. Essayez chacun d'eux avant de lire la solution, puis comparez votre démarche aux étapes présentées.
1. Exercice 1 (débutant) : test d'ajustement sur des couleurs de bonbons
Un confiseur affirme que ses sachets contiennent un mélange équilibré de 4 couleurs. Une élève compte 80 bonbons : Rouge = 25, Bleu = 15, Vert = 22, Jaune = 18. Testez au seuil α = 0,05 si le mélange est équilibré. Solution : E = 80/4 = 20 pour chaque couleur. χ² = (25−20)²/20 + (15−20)²/20 + (22−20)²/20 + (18−20)²/20 = 25/20 + 25/20 + 4/20 + 4/20 = 1,25 + 1,25 + 0,2 + 0,2 = 2,9. ddl = 4 − 1 = 3. Avec ddl = 3, χ² = 2,9 donne p ≈ 0,41, bien au-dessus de 0,05, donc nous ne rejetons pas H0 : les données sont compatibles avec un mélange équilibré des couleurs.
2. Exercice 2 (intermédiaire) : préférence de mise en page d'un site (indépendance)
Une entreprise interroge 150 utilisateurs sur la mise en page préférée (A ou B), répartis par appareil (mobile ou ordinateur). Observé : Mobile-A = 30, Mobile-B = 45 (total de ligne 75) ; Ordinateur-A = 40, Ordinateur-B = 35 (total de ligne 75). Totaux de colonnes : A = 70, B = 80. Testez au seuil α = 0,05 si la préférence de mise en page est indépendante de l'appareil. Solution : E(Mobile,A) = (75×70)/150 = 35. E(Mobile,B) = (75×80)/150 = 40. E(Ordinateur,A) = 35. E(Ordinateur,B) = 40. χ² = (30−35)²/35 + (45−40)²/40 + (40−35)²/35 + (35−40)²/40 = 25/35 + 25/40 + 25/35 + 25/40 ≈ 0,714 + 0,625 + 0,714 + 0,625 = 2,678. ddl = (2−1)(2−1) = 1. Avec ddl = 1, χ² ≈ 2,68 donne p ≈ 0,10, au-dessus de 0,05, donc nous ne rejetons pas H0 : aucune preuve significative que la préférence de mise en page dépende de l'appareil.
3. Exercice 3 (avancé) : test d'ajustement à un rapport génétique
Une expérience de génétique prévoit une descendance dans un rapport 9:3:3:1 entre quatre phénotypes, sur 160 descendants au total. Observé : Phénotype 1 = 96, Phénotype 2 = 30, Phénotype 3 = 24, Phénotype 4 = 10. Testez l'ajustement au seuil α = 0,05. Solution : proportions attendues sur un total de 160 : E1 = (9/16)×160 = 90. E2 = (3/16)×160 = 30. E3 = (3/16)×160 = 30. E4 = (1/16)×160 = 10. χ² = (96−90)²/90 + (30−30)²/30 + (24−30)²/30 + (10−10)²/10 = 36/90 + 0 + 36/30 + 0 = 0,4 + 1,2 = 1,6. ddl = 4 − 1 = 3. Avec ddl = 3, χ² = 1,6 donne p ≈ 0,66, très au-dessus de 0,05, donc nous ne rejetons pas H0 : les effectifs observés de descendants sont compatibles avec le rapport génétique attendu 9:3:3:1.
Quelles autres questions les étudiants posent-ils sur les calculateurs du khi-deux ?
Voici les questions qui reviennent le plus souvent avec les devoirs de khi-deux et les révisions d'examen.
1. χ² peut-il être négatif ?
Non. Chaque terme (O − E)²/E élève l'écart au carré avant la division, donc chaque terme est nul ou positif et la somme ne peut jamais être négative. Une somme partielle négative signale toujours une erreur de calcul, le plus souvent un carré oublié.
2. Quelle est la différence entre un test d'ajustement et un test d'indépendance du khi-deux ?
Un test d'ajustement porte sur une seule variable catégorielle et compare sa distribution à un ensemble unique de proportions affirmées. Un test d'indépendance porte sur deux variables catégorielles à la fois, disposées dans un tableau croisé, et vérifie si elles sont liées. Ils partagent la même formule χ² mais diffèrent par la manière de trouver les effectifs théoriques et les degrés de liberté.
3. Que faire si mon effectif théorique est inférieur à 5 ?
Lorsqu'un ou plusieurs effectifs théoriques passent sous 5, l'approximation du khi-deux à la vraie loi d'échantillonnage devient peu fiable ; les résultats doivent être interprétés avec prudence ou remplacés par un test exact, comme le test exact de Fisher, en particulier pour de petits tableaux 2×2.
4. Faut-il utiliser une table du khi-deux unilatérale ou bilatérale ?
Ni l'une ni l'autre au sens habituel : le test du khi-deux est intrinsèquement unidirectionnel, car χ² ne fait que croître à mesure que O et E s'éloignent l'un de l'autre dans un sens comme dans l'autre. Il existe donc une seule région critique dans la queue supérieure, plutôt que des versions unilatérale et bilatérale distinctes comme pour un test z ou t.
Obtenir plus d'aide pour les devoirs de khi-deux
Dès que vous savez poser H0 et Ha, construire un tableau des effectifs théoriques et additionner (O − E)²/E terme à terme, les exercices de khi-deux deviennent une affaire de comptabilité soigneuse plutôt qu'une formule mystérieuse. Entraînez-vous avec un mélange de questions d'ajustement et d'indépendance, car les examens attendent souvent que vous reconnaissiez le test à appliquer à la seule lecture de l'énoncé. Si vous bloquez sur la mise en place d'un exercice de khi-deux précis ou si vous souhaitez vérifier un calcul fait à la main, le solveur pas à pas de Solvify peut dérouler la même formule que celle présentée dans ce guide — effectifs théoriques, chaque terme d'écart au carré et la valeur finale de χ² — pour que vous voyiez exactement où votre démarche s'écarte de la bonne.
Avant de recourir à un calculateur du khi-deux, notez si vous testez un ajustement ou une indépendance : cette seule décision détermine à la fois votre méthode de calcul des effectifs théoriques et votre formule des degrés de liberté.
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Comment fonctionne un calculateur du khi-deux ?
Tout calculateur du khi-deux a besoin des mêmes entrées essentielles, quel que soit celui des deux tests du khi-deux courants que vous réalisez, et il renvoie les mêmes trois sorties. Connaître ces entrées et sorties dès le départ facilite grandement la mise en place correcte de n'importe quel problème de khi-deux, que vous terminiez le calcul à la main ou que vous le vérifiiez ensuite avec un calculateur.
1. Les entrées dont a besoin un calculateur du khi-deux
Les effectifs observés — les données réellement collectées, saisies soit sous forme d'une liste unique d'effectifs par catégorie (test d'ajustement), soit sous forme d'un tableau croisé à deux entrées, lignes et colonnes (test d'indépendance). Les effectifs théoriques, ou assez d'informations pour les calculer — soit un ensemble de proportions affirmées (ajustement), soit simplement les totaux de lignes et de colonnes (indépendance, car les effectifs théoriques s'en déduisent automatiquement). Un seuil de signification choisi, presque toujours α = 0,05 sauf indication contraire de l'énoncé.
2. Les sorties que peut renvoyer un calculateur du khi-deux
χ² — la statistique de test du khi-deux elle-même, toujours nulle ou positive. ddl — les degrés de liberté, qui déterminent quelle courbe de la loi du khi-deux s'applique. Valeur p — la probabilité d'observer une statistique χ² au moins aussi grande si l'hypothèse nulle était réellement vraie. Une décision — rejeter ou ne pas rejeter l'hypothèse nulle, obtenue en comparant la valeur p à α ou en comparant χ² à une valeur critique lue dans une table du khi-deux.
3. Pourquoi apprendre malgré tout la méthode manuelle
Les devoirs et les examens exigent presque toujours la démarche complète — énoncer l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative, construire un tableau des effectifs théoriques et détailler chaque terme (O − E)²/E — et non un simple nombre décimal final. Un calculateur du khi-deux est le plus rapide pour vérifier une réponse ou traiter un grand tableau, mais ce sont les étapes manuelles ci-dessous qui rapportent réellement des points et construisent l'intuition nécessaire aux sujets ultérieurs comme l'ANOVA et la régression.