Calculatrice de la propriété distributive étape par étape : Guide complet avec exemples
La propriété distributive est l'un des outils les plus utilisés en algèbre — une fois que vous la comprenez, vous l'appliquerez dans presque chaque équation que vous résolvez, chaque polynôme que vous développez et chaque expression que vous simplifiez. Que vous utilisiez une calculatrice de propriété distributive étape par étape ou que vous travailliez sur des problèmes à la main, le processus sous-jacent est toujours le même. Ce guide parcourt chaque étape, de la définition de base aux expressions multi-termes, avec des exemples travaillés réels, des erreurs courantes à surveiller et des problèmes de pratique que vous pouvez essayer par vous-même.
Sommaire
- 01Qu'est-ce que la propriété distributive ?
- 02Comment appliquer la propriété distributive étape par étape
- 03Exemples travaillés : Propriété distributive étape par étape
- 04Utiliser la propriété distributive en arrière : Factorisation
- 05Propriété distributive avec double distribution (FOIL)
- 06Erreurs courantes et comment les éviter
- 07Problèmes de pratique avec solutions complètes
- 08Où la propriété distributive apparaît dans les vrais problèmes
- 09Questions fréquemment posées sur la propriété distributive
Qu'est-ce que la propriété distributive ?
La propriété distributive stipule que multiplier un nombre par une somme (ou une différence) donne le même résultat que multiplier ce nombre par chaque terme à l'intérieur des parenthèses puis additionner (ou soustraire) les résultats. En notation formelle : a × (b + c) = a × b + a × c. Cette règle fonctionne pour tous les nombres réels — positifs, négatifs, entiers ou fractionnaires. Le mot « distributive » vient de l'idée de distribuer, ou de répartir, la multiplication sur chaque terme à l'intérieur des parenthèses. Vous ne changez pas la valeur — vous la réécrivez simplement dans une forme plus facile à utiliser. Comprendre cette règle est la clé pour développer les parenthèses, combiner les termes semblables et résoudre les équations multi-étapes.
1. La règle de base
a × (b + c) = a × b + a × c Également écrit comme : a(b + c) = ab + ac Exemple : 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27 Vérification : 3 × 9 = 27 ✓
2. Cela fonctionne aussi avec la soustraction
a × (b - c) = a × b - a × c Exemple : 5 × (8 - 3) = 5 × 8 - 5 × 3 = 40 - 15 = 25 Vérification : 5 × 5 = 25 ✓
3. Cela fonctionne dans les deux directions
La multiplication peut être à gauche ou à droite des parenthèses : (b + c) × a = b × a + c × a Exemple : (6 + 2) × 4 = 6 × 4 + 2 × 4 = 24 + 8 = 32 Vérification : 8 × 4 = 32 ✓
4. Pourquoi cela fonctionne
Pensez à 3 × (4 + 5) comme trois groupes de (4 + 5). Chaque groupe contient un 4 et un 5, donc trois groupes vous donnent trois 4 et trois 5 — c'est 3 × 4 + 3 × 5. Le total ne change pas ; vous le comptez simplement d'une manière différente.
La propriété distributive : a(b + c) = ab + ac. Multipliez le terme extérieur par chaque terme à l'intérieur des parenthèses.
Exemples travaillés : Propriété distributive étape par étape
Vous trouverez ci-dessous huit exemples entièrement travaillés qui augmentent en difficulté. Chacun montre le processus complet afin que vous puissiez voir exactement comment gérer différentes situations — facteurs positifs et négatifs, variables, fractions et expressions avec plus de deux termes.
1. Exemple 1 (Basique) : 5(x + 3)
Distribuez 5 à chaque terme : 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15
2. Exemple 2 (Facteur négatif) : -3(2x - 4)
Distribuez -3 à chaque terme — observez les signes : (-3) × 2x + (-3) × (-4) = -6x + 12 Note : négatif × négatif = positif, donc -3 × -4 = +12.
3. Exemple 3 (Facteur variable) : x(x + 7)
Distribuez x à chaque terme : x × x + x × 7 = x² + 7x
4. Exemple 4 (Trois termes) : 2(3x² - 5x + 1)
Distribuez 2 à tous les trois termes : 2 × 3x² - 2 × 5x + 2 × 1 = 6x² - 10x + 2
5. Exemple 5 (Facteur fractionnaire) : (1/2)(4x + 6)
Distribuez 1/2 à chaque terme : (1/2) × 4x + (1/2) × 6 = 2x + 3 Astuce : multiplier par 1/2 est la même chose que diviser par 2, donc 4x ÷ 2 = 2x et 6 ÷ 2 = 3.
6. Exemple 6 (Puis résolvez) : Résolvez 3(x + 4) = 21
Étape 1 — Distribuez : 3x + 12 = 21 Étape 2 — Soustrayez 12 des deux côtés : 3x = 9 Étape 3 — Divisez par 3 : x = 3 Vérification : 3(3 + 4) = 3 × 7 = 21 ✓
7. Exemple 7 (Les deux côtés) : 2(x + 5) = 4(x - 1)
Étape 1 — Distribuez les deux côtés : 2x + 10 = 4x - 4 Étape 2 — Soustrayez 2x des deux côtés : 10 = 2x - 4 Étape 3 — Ajoutez 4 aux deux côtés : 14 = 2x Étape 4 — Divisez par 2 : x = 7 Vérification : 2(7 + 5) = 24 ; 4(7 - 1) = 24 ✓
8. Exemple 8 (Négatif à l'extérieur, puis résolvez) : -4(x - 3) = 8
Étape 1 — Distribuez -4 : -4x + 12 = 8 Étape 2 — Soustrayez 12 des deux côtés : -4x = -4 Étape 3 — Divisez par -4 : x = 1 Vérification : -4(1 - 3) = -4 × (-2) = 8 ✓
Lorsque vous distribuez un nombre négatif, chaque terme à l'intérieur change de signe. Écrivez-le soigneusement — n'essayez pas de le faire dans votre tête.
Utiliser la propriété distributive en arrière : Factorisation
Cette règle fonctionne dans les deux sens. En avant (de gauche à droite), a(b + c) = ab + ac, vous développez une expression. En arrière (de droite à gauche), ab + ac = a(b + c), vous factorisez une expression. Reconnaître quand développer et quand factoriser est une compétence clé en algèbre. La factorisation consiste essentiellement à se poser la question : « Quel nombre ou quelle variable a été distribué pour produire cette expression ? » La réponse est le plus grand facteur commun (PGFC) de tous les termes.
1. Exemple : Factorisez 6x + 10
Trouvez le PGFC de 6x et 10. Facteurs de 6x : 1, 2, 3, 6, x, 2x, 3x, 6x Facteurs de 10 : 1, 2, 5, 10 PGFC = 2 Écrivez chaque terme comme 2 × quelque chose : 6x + 10 = 2(3x) + 2(5) = 2(3x + 5) Vérification en distribuant : 2(3x + 5) = 6x + 10 ✓
2. Exemple : Factorisez 12x² - 8x
Trouvez le PGFC de 12x² et 8x. PGFC = 4x (le plus grand nombre et variable qui divise les deux) 12x² ÷ 4x = 3x 8x ÷ 4x = 2 Résultat : 4x(3x - 2) Vérification : 4x × 3x - 4x × 2 = 12x² - 8x ✓
3. Exemple : Factorisez 15a³ + 10a² - 5a
PGFC de 15a³, 10a² et 5a = 5a 15a³ ÷ 5a = 3a² 10a² ÷ 5a = 2a 5a ÷ 5a = 1 Résultat : 5a(3a² + 2a - 1) Vérification : 5a × 3a² + 5a × 2a - 5a × 1 = 15a³ + 10a² - 5a ✓
Développer et factoriser utilisent la même règle dans des directions opposées. Maîtrisez les deux et vous gérerez automatiquement la moitié de l'algèbre.
Propriété distributive avec double distribution (FOIL)
Lorsque vous multipliez deux binômes — des expressions avec deux termes chacune, comme (x + 3)(x + 5) — vous appliquez la même règle deux fois. Une approche courante est la méthode FOIL, qui signifie First (Premier), Outer (Extérieur), Inner (Intérieur), Last (Dernier). C'est simplement un dispositif mnémonique pour vous assurer de distribuer chaque terme du premier binôme à chaque terme du second. L'opération sous-jacente est toujours la propriété distributive appliquée étape par étape, utilisée simplement deux fois de suite.
1. Exemple : Développez (x + 3)(x + 5)
P — Premiers termes : x × x = x² E — Termes extérieurs : x × 5 = 5x I — Termes intérieurs : 3 × x = 3x D — Derniers termes : 3 × 5 = 15 Combinez : x² + 5x + 3x + 15 Simplifié : x² + 8x + 15
2. Exemple : Développez (2x - 1)(x + 4)
P : 2x × x = 2x² E : 2x × 4 = 8x I : (-1) × x = -x D : (-1) × 4 = -4 Combinez : 2x² + 8x - x - 4 Simplifié : 2x² + 7x - 4
3. Exemple : Développez (x - 6)²
(x - 6)² = (x - 6)(x - 6) P : x × x = x² E : x × (-6) = -6x I : (-6) × x = -6x D : (-6) × (-6) = 36 Combinez : x² - 6x - 6x + 36 Simplifié : x² - 12x + 36 Note : (a - b)² donne toujours a² - 2ab + b².
FOIL n'est pas une règle séparée — c'est la propriété distributive appliquée deux fois. Comprendre cela signifie que vous pouvez l'étendre aux trinômes sans rien apprendre de nouveau.
Erreurs courantes et comment les éviter
La plupart des erreurs avec la propriété distributive se répartissent en un petit nombre de catégories. Que vous vérifiiez votre travail avec une calculatrice de propriété distributive étape par étape ou à la main, reconnaître ces motifs avant de commencer vous aide à attraper les erreurs avant qu'elles ne se produisent plutôt qu'après.
1. Erreur 1 : Distribuer uniquement au premier terme
Faux : 4(3x + 7) = 12x + 7 (oublié de multiplier 4 × 7) Correct : 4(3x + 7) = 12x + 28 Solution : Tracez des flèches du facteur extérieur à chaque terme à l'intérieur avant de multiplier. Ne progressez pas tant que vous n'avez pas une flèche à chaque terme.
2. Erreur 2 : Perdre le signe négatif lors de la distribution
Faux : -2(x - 5) = -2x - 10 (mauvais signe au deuxième terme) Correct : -2(x - 5) = -2x + 10 Raisonnement : -2 × (-5) = +10. Un négatif fois un négatif est toujours positif. Solution : Quand le facteur extérieur est négatif, chaque terme à l'intérieur changera de signe. Attendez-vous à cela et vérifiez-le deux fois.
3. Erreur 3 : Distribuer quand vous devriez résoudre en premier
Pas tous les problèmes avec les parenthèses nécessitent de distribuer en premier. Si les parenthèses contiennent un seul terme, il est souvent plus rapide de ne pas distribuer. Exemple : 3(x + 4) = 21 Meilleure approche : x + 4 = 7, donc x = 3 (divisez les deux côtés par 3 en premier) Également valide : 3x + 12 = 21 → 3x = 9 → x = 3 Les deux fonctionnent, mais le premier est plus rapide quand le coefficient se divise uniformément.
4. Erreur 4 : Combiner incorrectement les termes non semblables après la distribution
Faux : 2(3x + 4) + 5x = 6x + 4 + 5x = 11x + 4x = 15x (combiné 4 et x incorrectement) Correct : 2(3x + 4) + 5x = 6x + 8 + 5x = 11x + 8 Solution : Vous ne pouvez combiner que les termes semblables — les termes avec la même variable et le même exposant. La constante 8 ne peut pas être additionnée à 11x.
5. Erreur 5 : Oublier de distribuer à tous les termes dans les expressions plus longues
Faux : 3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 5x + 1 (distribué uniquement au premier terme) Correct : 3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 15x + 3 Solution : Comptez le nombre de termes à l'intérieur des parenthèses avant de commencer. Assurez-vous que vous avez exactement ce nombre de résultats après la distribution.
Avant d'écrire quoi que ce soit, comptez les termes à l'intérieur des parenthèses. C'est exactement combien de multiplications vous devez faire — ni plus, ni moins.
Problèmes de pratique avec solutions complètes
Travaillez sur ces problèmes dans l'ordre — ils progressent de la distribution simple à la résolution complète d'équations. Essayez chacun par vous-même avant de lire la solution. L'objectif n'est pas seulement d'obtenir la bonne réponse, mais de l'obtenir en utilisant le processus correct.
1. Problème 1 : Développez 6(x + 4)
Solution : 6 × x + 6 × 4 = 6x + 24
2. Problème 2 : Développez -5(2x - 3)
Solution : (-5) × 2x + (-5) × (-3) = -10x + 15 Note : -5 × -3 = +15
3. Problème 3 : Développez et simplifiez 4(x + 2) + 3x
Solution : 4x + 8 + 3x = 7x + 8
4. Problème 4 : Développez 3(2x² - x + 5)
Solution : 3 × 2x² - 3 × x + 3 × 5 = 6x² - 3x + 15
5. Problème 5 : Résolvez 5(x - 2) = 15
Solution : 5x - 10 = 15 5x = 25 x = 5 Vérification : 5(5 - 2) = 5 × 3 = 15 ✓
6. Problème 6 : Résolvez 3(2x + 1) = 2(x + 9)
Solution : 6x + 3 = 2x + 18 4x = 15 x = 15/4 = 3,75 Vérification : 3(2 × 3,75 + 1) = 3 × 8,5 = 25,5 2(3,75 + 9) = 2 × 12,75 = 25,5 ✓
7. Problème 7 : Factorisez 14x² + 21x
Trouvez le PGFC de 14x² et 21x : PGFC = 7x 14x² ÷ 7x = 2x 21x ÷ 7x = 3 Résultat : 7x(2x + 3) Vérification : 7x × 2x + 7x × 3 = 14x² + 21x ✓
8. Problème 8 : Développez (x + 4)(x - 2)
Utilisant FOIL : P : x × x = x² E : x × (-2) = -2x I : 4 × x = 4x D : 4 × (-2) = -8 Résultat : x² - 2x + 4x - 8 = x² + 2x - 8
Si vous pouvez travailler sur ces huit problèmes sans hésitation, vous avez couvert la propriété distributive au niveau de l'algèbre 1 et 2.
Où la propriété distributive apparaît dans les vrais problèmes
Cette règle n'est pas simplement une compétence isolée en algèbre — elle apparaît constamment dans la résolution d'équations réelles. Savoir comment la reconnaître et l'appliquer rapidement fait gagner du temps à chaque test et devoir à la maison. Voici trois contextes courants où vous aurez besoin de la propriété distributive.
1. Résolution d'équations avec parenthèses
Chaque fois qu'une équation a des parenthèses avec un coefficient, votre premier mouvement est généralement de distribuer et d'éliminer les parenthèses avant d'isoler la variable. Exemple : 2(3x - 4) + 6 = 20 Distribuez : 6x - 8 + 6 = 20 Simplifiez : 6x - 2 = 20 Résolvez : 6x = 22 → x = 11/3
2. Géométrie : formules d'aire et de périmètre
La formule du périmètre d'un rectangle, P = 2(l + w), utilise la propriété distributive. La développer donne P = 2l + 2w, ce qui vous permet de trouver les dimensions individuelles plus facilement. Exemple : Un rectangle a un périmètre de 40 cm et une longueur de 12 cm. Trouvez la largeur. 2(12 + w) = 40 Distribuez : 24 + 2w = 40 Résolvez : 2w = 16 → w = 8 cm
3. Travailler avec des formules en sciences et en finance
La propriété distributive apparaît lors de la réorganisation des formules. Exemple — Formule de profit : P = n(r - c), où n est l'unité vendue, r est le revenu par unité, c est le coût par unité. Développée : P = nr - nc Cette forme rend plus facile de voir comment les changements de revenu ou de coût affectent le profit indépendamment.
Une fois que vous vous entraînez à reconnaître ce motif dans n'importe quelle expression avec des parenthèses, beaucoup d'algèbre qui semblait compliquée devient simple.
Questions fréquemment posées sur la propriété distributive
Ce sont les questions qui reviennent le plus souvent quand les étudiants travaillent sur la propriété distributive pour la première fois, la révisent avant un test ou utilisent une calculatrice de propriété distributive étape par étape pour vérifier leur travail.
1. La propriété distributive fonctionne-t-elle avec trois ou plusieurs termes à l'intérieur des parenthèses ?
Oui. La règle s'étend à n'importe quel nombre de termes. a(b + c + d) = ab + ac + ad. Distribuez simplement le facteur extérieur à chaque terme. Plus il y a de termes, plus il y a de multiplications à faire — mais le processus est identique pour chacun.
2. Puis-je utiliser la propriété distributive avec la soustraction ?
Oui. a(b - c) = ab - ac. Le signe de soustraction reste entre les deux termes résultants. Soyez particulièrement prudent quand le facteur extérieur est négatif — un négatif à l'extérieur et une soustraction à l'intérieur ennuient souvent les étudiants. Écrivez chaque signe de multiplication pour éviter les erreurs.
3. Quelle est la différence entre la propriété distributive et la combinaison de termes semblables ?
La propriété distributive supprime les parenthèses en multipliant. Combiner les termes semblables simplifie une expression en additionnant ou en soustrayant les termes qui ont la même partie variable. Ils sont généralement faits en séquence : distribuez d'abord pour éliminer les parenthèses, puis combinez les termes semblables pour simplifier. Exemple : 2(x + 3) + 4x → 2x + 6 + 4x → 6x + 6.
4. FOIL est-il la même chose que la propriété distributive ?
Oui. FOIL est un dispositif mnémonique pour se souvenir de comment appliquer la règle deux fois lors de la multiplication de deux binômes. Les étiquettes « Premier, Extérieur, Intérieur, Dernier » vous aident simplement à suivre quelles paires de termes à multiplier afin de ne rien manquer. L'opération sous-jacente est toujours la propriété distributive — utilisée simplement deux fois de suite.
5. Quand dois-je factoriser au lieu de distribuer ?
Si une expression n'a pas de parenthèses et que vous devez résoudre une équation, la factorisation peut la simplifier considérablement. Si une expression a déjà des parenthèses avec un coefficient, distribuez d'abord pour les éliminer. En général : distribuez pour éliminer les parenthèses et développer, factorisez pour introduire les parenthèses et simplifier. Le contexte du problème rendra généralement clair quelle direction prendre.
6. La propriété distributive fonctionne-t-elle avec la division ?
Partiellement. Vous pouvez distribuer une somme au numérateur sur une division : (a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c). C'est valide car diviser par c est la même chose que multiplier par 1/c. Cependant, vous ne pouvez pas distribuer la division au dénominateur : a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c). C'est une erreur très courante — évitez-la.
La propriété distributive est au cœur de l'algèbre des polynômes. Obtenez-la correctement à ce stade et chaque sujet qui suit devient plus facile à comprendre.
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1. Étape 1 — Identifiez le facteur en dehors des parenthèses
Trouvez le nombre ou la variable qui est multiplié par l'expression parenthétique entière. C'est le terme que vous allez distribuer. Exemple : Dans 4(3x + 7), le facteur extérieur est 4. Exemple : Dans -2(5x - 1), le facteur extérieur est -2 (y compris le signe négatif). Exemple : Dans x(x + 6), le facteur extérieur est x.
2. Étape 2 — Multipliez le facteur extérieur par chaque terme à l'intérieur
Prenez le facteur extérieur et multipliez-le par le premier terme, puis le deuxième terme, et ainsi de suite. Gardez une trace des signes avec soin. Exemple : 4(3x + 7) → 4 × 3x = 12x → 4 × 7 = 28 → Résultat : 12x + 28
3. Étape 3 — Écrivez l'expression développée et simplifiez
Rassemblez les résultats avec l'opération appropriée (+ ou -) entre eux. Ensuite, combinez tous les termes semblables si possible. Exemple : 4(3x + 7) = 12x + 28 (aucun terme semblable à combiner) Exemple avec simplification : 3(2x + 4) + 5 → 6x + 12 + 5 → 6x + 17 (combinez les constantes : 12 + 5)
4. Étape 4 — Vérifiez votre réponse
Si l'expression originale avait une valeur spécifique pour x, substituez-la dans les deux formes originale et développée et vérifiez qu'elles donnent le même résultat. Vérification pour 4(3x + 7) = 12x + 28 avec x = 2 : Originale : 4(3×2 + 7) = 4(6 + 7) = 4 × 13 = 52 Développée : 12×2 + 28 = 24 + 28 = 52 ✓