Représenter graphiquement les inéquations du second degré : guide complet étape par étape
Représenter graphiquement les inéquations du second degré s'appuie directement sur le tracé d'une équation du second degré — vous dessinez la même parabole, puis vous décidez quelle courbe frontière utiliser et quelle région hachurer. Une inéquation du second degré remplace le signe égal de y = ax² + bx + c par <, >, ≤ ou ≥, et la solution n'est plus une courbe mais une région bidimensionnelle entière du plan de coordonnées. Ce guide détaille le tracé des inéquations du second degré à deux variables avec trois exemples entièrement résolus, explique quand la parabole est en pointillés ou pleine, montre comment choisir et tester un point pour trouver la bonne région hachurée, et couvre la compétence connexe de la résolution des inéquations du second degré à une variable avec la notation d'intervalle.
Sommaire
- 01Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?
- 02Quand la parabole est-elle en pointillés ou pleine ?
- 03Comment savoir quel côté hachurer ?
- 04Exemple résolu 1 : tracer y > x² − 4x + 3
- 05Exemple résolu 2 : tracer y ≤ −x² + 2x + 3
- 06Comment résoudre une inéquation du second degré à une variable comme x² − 5x + 6 ≥ 0 ?
- 07Relier la solution sur la droite numérique au graphique de la parabole
- 08Erreurs fréquentes lors du tracé des inéquations du second degré
- 09Exercices : tracer des inéquations du second degré
- 10FAQ : tracer des inéquations du second degré
- 11Entraînez-vous à tracer des inéquations du second degré avec un retour instantané
Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?
Une inéquation du second degré à deux variables a la forme y > ax² + bx + c, y < ax² + bx + c, y ≥ ax² + bx + c ou y ≤ ax² + bx + c. Au lieu d'une seule courbe, l'ensemble des solutions est une région du plan de coordonnées — soit tout ce qui se trouve au-dessus de la parabole, soit tout ce qui se trouve en dessous, la parabole elle-même étant incluse ou non comme frontière. Le tracé des inéquations du second degré commence toujours de la même façon : représentez l'équation du second degré associée y = ax² + bx + c comme si le symbole d'inéquation était un signe égal, puis décidez comment dessiner cette frontière et quel côté hachurer. Il existe aussi une version à une variable, comme x² − 5x + 6 ≥ 0, où la solution est un ensemble de valeurs de x écrit en notation d'intervalle plutôt qu'une région hachurée — ce guide couvre les deux formes.
Le tracé des inéquations du second degré à deux variables commence toujours par la parabole y = ax² + bx + c — le symbole d'inéquation ne change que la façon de la dessiner et de la hachurer, pas la position de la courbe.
Quand la parabole est-elle en pointillés ou pleine ?
La courbe frontière suit la même règle que pour les inéquations linéaires. Une inéquation stricte (< ou >) signifie que les points situés exactement sur la parabole ne satisfont PAS l'inéquation : on trace donc une courbe en pointillés pour montrer que la frontière est exclue. Une inéquation large (≤ ou ≥) signifie que les points de la parabole satisfont bien l'inéquation : on trace alors une courbe pleine pour montrer que la frontière est incluse. Cette simple vérification prend deux secondes, mais elle vaut la peine d'être faite à chaque fois, car c'est le détail que les correcteurs regardent en premier.
1. Inéquations strictes (< ou >) → courbe en pointillés
Pour y > x² − 4x + 3 ou y < x² − 4x + 3, la parabole elle-même ne fait pas partie de la solution — elle marque le bord de la région mais se trace en pointillés. Tout point choisi directement sur la courbe doit rendre l'inéquation fausse lorsqu'on le substitue.
2. Inéquations larges (≤ ou ≥) → courbe pleine
Pour y ≥ x² − 4x + 3 ou y ≤ x² − 4x + 3, la parabole fait partie de l'ensemble des solutions, elle se trace donc en trait plein. Tout point de la courbe satisfait l'inéquation avec égalité, c'est pourquoi il appartient à la région hachurée.
Strict < ou > → courbe en pointillés (frontière exclue). Large ≤ ou ≥ → courbe pleine (frontière incluse). C'est exactement la même règle que pour les inéquations linéaires.
Exemple résolu 1 : tracer y > x² − 4x + 3
Cet exemple utilise une inéquation stricte, du type « supérieur à », avec une parabole ouverte vers le haut. L'équation associée y = x² − 4x + 3 a a = 1, b = −4, c = 3, la même parabole que dans les guides de tracé précédents : la forme de la frontière devrait donc déjà vous être familière.
1. Étape 1 : tracer la parabole frontière
Sommet : h = −(−4)/(2×1) = 2, k = (2)² − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Sommet : (2, −1). Ordonnée à l'origine : (0, 3). Abscisses à l'origine : factorisez x² − 4x + 3 = 0 → (x − 3)(x − 1) = 0 → x = 1 et x = 3, donc (1, 0) et (3, 0). Comme l'inéquation est stricte (>), tracez cette parabole en pointillés.
2. Étape 2 : tester un point
Utilisez (0, 0), qui n'est pas sur la parabole puisque 0 ≠ (0)² − 4(0) + 3 = 3. Substituez dans y > x² − 4x + 3 : 0 > (0)² − 4(0) + 3 → 0 > 3. C'est faux.
3. Étape 3 : hachurer la bonne région
Puisque (0, 0) rend l'inéquation fausse, hachurez la région qui ne contient PAS (0, 0) — la région au-dessus/à l'extérieur de la parabole (celle qui contient des points comme (2, 5), bien au-dessus du sommet). Vérifiez avec (2, 5) : 5 > (2)² − 4(2) + 3 → 5 > −1, vrai ✓, ce qui confirme que (2, 5) appartient à la région hachurée.
4. Étape 4 : décrire le graphique final
La solution de y > x² − 4x + 3 est l'ensemble des points strictement au-dessus de la parabole en pointillés de sommet (2, −1), d'abscisses à l'origine (1, 0) et (3, 0), passant par (0, 3). Les points exactement sur la courbe, comme le sommet (2, −1) lui-même, ne sont pas inclus.
Pour y > x² − 4x + 3, le hachurage se trouve du côté opposé au point test qui échoue — laissez toujours le point test décider, et non votre intuition sur le seul symbole d'inéquation.
Exemple résolu 2 : tracer y ≤ −x² + 2x + 3
Cet exemple inverse deux choses à la fois : la parabole s'ouvre vers le bas (a = −1) et l'inéquation est large (≤), donc la frontière est pleine plutôt qu'en pointillés. Observez comment ces deux changements affectent à la fois la courbe et la région hachurée par rapport à l'exemple 1.
1. Étape 1 : tracer la parabole frontière
Pour y = −x² + 2x + 3 : a = −1, b = 2, c = 3. Sommet : h = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = 1, k = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4. Sommet : (1, 4) — un maximum puisque a < 0. Ordonnée à l'origine : (0, 3). Abscisses à l'origine : posez −x² + 2x + 3 = 0 → multipliez par −1 : x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 ou x = −1, ce qui donne (3, 0) et (−1, 0). Comme l'inéquation est ≤ (large), tracez cette parabole ouverte vers le bas en trait plein.
2. Étape 2 : tester un point
Utilisez (0, 0), qui n'est pas sur la courbe puisque 0 ≠ 3. Substituez dans y ≤ −x² + 2x + 3 : 0 ≤ −(0)² + 2(0) + 3 → 0 ≤ 3. C'est vrai.
3. Étape 3 : hachurer la bonne région
Puisque (0, 0) rend l'inéquation vraie, hachurez la région qui contient bien (0, 0) — la région en dessous/à l'extérieur de la parabole ouverte vers le bas. Vérifiez avec (1, 0), directement sous le sommet (1, 4) : 0 ≤ −(1)² + 2(1) + 3 → 0 ≤ 4, vrai ✓, ce qui confirme que cette région est la bonne.
4. Étape 4 : décrire le graphique final
La solution de y ≤ −x² + 2x + 3 est l'ensemble des points situés sur ou en dessous de la parabole pleine de sommet (1, 4), d'abscisses à l'origine (−1, 0) et (3, 0), passant par (0, 3). Comme la frontière est pleine, le sommet (1, 4) et tous les autres points de la courbe sont inclus dans la solution.
Une parabole ouverte vers le bas avec y ≤ se hachure en dessous de la courbe — le schéma visuel inverse de l'exemple 1, ce qui explique pourquoi tester un point compte plus que mémoriser une règle.
Comment résoudre une inéquation du second degré à une variable comme x² − 5x + 6 ≥ 0 ?
Une inéquation du second degré à une variable compare une expression du second degré à zéro, par exemple x² − 5x + 6 ≥ 0. Au lieu de hachurer une région bidimensionnelle, la solution est un ensemble de valeurs de x sur la droite numérique, écrit en notation d'intervalle. La stratégie consiste à trouver les racines de l'équation associée, à les utiliser pour découper la droite numérique en intervalles, puis à tester chaque intervalle pour voir s'il satisfait l'inéquation.
1. Étape 1 : résoudre l'équation associée pour trouver les points critiques
Posez x² − 5x + 6 = 0 et factorisez : cherchez deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme −5 → (−2, −3). Donc (x − 2)(x − 3) = 0, ce qui donne x = 2 et x = 3. Ces racines sont les points critiques qui divisent la droite numérique en trois intervalles : x < 2, 2 < x < 3 et x > 3.
2. Étape 2 : tester une valeur de chaque intervalle
Intervalle x < 2 : testez x = 0. (0)² − 5(0) + 6 = 6 ≥ 0 ✓ vrai. Intervalle 2 < x < 3 : testez x = 2.5. (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 ≥ 0 — faux. Intervalle x > 3 : testez x = 4. (4)² − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≥ 0 ✓ vrai.
3. Étape 3 : inclure ou exclure les points critiques
Comme l'inéquation est ≥ (large), les racines elles-mêmes satisfont l'inéquation : en x = 2, (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ vrai. En x = 3, (3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ vrai. Les deux points critiques sont inclus.
4. Étape 4 : écrire la solution en notation d'intervalle
Réunissez les intervalles vrais avec leurs bornes incluses : x ≤ 2 ou x ≥ 3, ce qui s'écrit (−∞, 2] ∪ [3, ∞). Cela correspond au graphique de y = x² − 5x + 6 : la parabole se situe sur ou au-dessus de l'axe des x (y ≥ 0) partout, sauf dans le creux ouvert entre ses racines x = 2 et x = 3.
Pour une parabole ouverte vers le haut, ax² + bx + c ≥ 0 est vrai à l'extérieur des racines (ou sur celles-ci), et ax² + bx + c ≤ 0 est vrai entre les racines — le signe change toujours à chaque point critique.
Relier la solution sur la droite numérique au graphique de la parabole
L'inéquation à une variable x² − 5x + 6 ≥ 0 et l'inéquation à deux variables y ≥ x² − 5x + 6 sont étroitement liées, et voir ce lien rend les deux plus faciles à retenir. Si vous tracez y = x² − 5x + 6 sous forme de parabole, la question à une variable « où a-t-on x² − 5x + 6 ≥ 0 ? » revient en fait à demander « où la parabole se situe-t-elle sur ou au-dessus de l'axe des x (y ≥ 0) ? ». Lire le graphique répond directement à l'inéquation, sans aucune algèbre supplémentaire une fois la courbe tracée.
1. Au-dessus de l'axe des x → région positive
Pour x < 2 ou x > 3, la parabole y = x² − 5x + 6 se situe au-dessus de l'axe des x, ce qui signifie y > 0 à cet endroit, en accord avec les intervalles vrais trouvés par le test.
2. En dessous de l'axe des x → région négative
Pour 2 < x < 3, la parabole plonge sous l'axe des x entre ses deux racines, ce qui signifie y < 0 à cet endroit — c'est exactement l'intervalle qui a échoué au test ≥ 0 dans l'exemple ci-dessus.
3. Sur l'axe des x → les racines elles-mêmes
En x = 2 et x = 3, la parabole touche exactement l'axe des x, donc y = 0 — ce sont les points frontières qu'une inéquation ≥ ou ≤ inclut et qu'une inéquation > ou < exclut.
Une inéquation du second degré à une variable ax² + bx + c ≥ 0 ou ≤ 0 n'est qu'une lecture verticale du graphique de la parabole : vérifiez si la courbe se situe au-dessus, en dessous ou sur l'axe des x pour chaque valeur de x.
Erreurs fréquentes lors du tracé des inéquations du second degré
La plupart des erreurs liées au tracé des inéquations du second degré viennent de la confusion entre des règles qui se ressemblent mais s'appliquent à des situations différentes. Reconnaître ces schémas à l'avance évite les pertes de points les plus courantes aux devoirs et aux contrôles.
1. Oublier de tracer la courbe en pointillés pour les inéquations strictes
Une parabole pleine pour y > x² − 4x + 3 est incorrecte — le > strict signifie que la frontière elle-même est exclue, elle doit donc être en pointillés. Vérifiez toujours le symbole d'inéquation avant de tracer la courbe, et non après.
2. Hachurer le mauvais côté sans tester de point
Deviner « en haut » pour > et « en bas » pour < fonctionne avec les paraboles ouvertes vers le haut, mais s'inverse pour celles ouvertes vers le bas, comme dans l'exemple 2. Substituez toujours un vrai point test plutôt que de vous fier à un raccourci qui ne marche qu'une fois sur deux.
3. Confondre la version à deux variables et celle à une variable
y ≥ x² − 5x + 6 produit une région bidimensionnelle hachurée dans le plan xy ; x² − 5x + 6 ≥ 0 produit un ensemble unidimensionnel de valeurs de x sur la droite numérique, écrit en notation d'intervalle. Les deux utilisent la même parabole mais répondent à des questions différentes — lisez l'énoncé attentivement pour voir si y est présent.
4. Inclure ou exclure les points critiques à tort en notation d'intervalle
Pour x² − 5x + 6 > 0 (strict), les racines x = 2 et x = 3 sont exclues, la réponse utilise donc des parenthèses : (−∞, 2) ∪ (3, ∞). Pour x² − 5x + 6 ≥ 0 (large), les racines sont incluses, la réponse utilise donc des crochets : (−∞, 2] ∪ [3, ∞). Faire correspondre le type de délimiteur au type d'inéquation est la règle utilisée partout en notation d'intervalle.
La règle strict/large contrôle à la fois la frontière en pointillés ou pleine dans les graphiques à deux variables et le choix parenthèse/crochet en notation d'intervalle — c'est la même logique appliquée deux fois.
Exercices : tracer des inéquations du second degré
Traitez chaque exercice avant de consulter la solution. Pour les exercices à deux variables, identifiez la parabole frontière, déterminez si elle est en pointillés ou pleine, et quelle région est hachurée. Pour l'exercice à une variable, trouvez les points critiques et écrivez la réponse en notation d'intervalle.
1. Exercice 1 — y < x² + 2x − 8
Frontière : y = x² + 2x − 8. Sommet : h = −2/2 = −1, k = 1 − 2 − 8 = −9, sommet (−1, −9). Abscisses à l'origine : (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4, x = 2. < strict, donc courbe en pointillés. Test (0, 0) : 0 < (0)² + 2(0) − 8 → 0 < −8, faux, hachurez donc la région ne contenant PAS (0, 0) — en dessous/à l'intérieur de la parabole. Vérification (−1, −20) : −20 < −9, vrai ✓.
2. Exercice 2 — y ≥ −x² + 4
Frontière : y = −x² + 4, sommet (0, 4), ouverte vers le bas. Abscisses à l'origine : −x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2. ≥ large, donc courbe pleine. Test (0, 0) : 0 ≥ −(0)² + 4 → 0 ≥ 4, faux, hachurez donc la région ne contenant PAS (0, 0) — au-dessus/à l'extérieur de la parabole, courbe comprise.
3. Exercice 3 — Résoudre x² − x − 6 < 0
Factorisez : (x − 3)(x + 2) = 0 → points critiques x = −2 et x = 3. Testez x = 0 (entre les racines) : (0)² − 0 − 6 = −6 < 0 ✓ vrai. Testez x = −5 : 25 + 5 − 6 = 24 < 0, faux. Testez x = 5 : 25 − 5 − 6 = 14 < 0, faux. Comme seul l'intervalle entre les racines convient et que l'inéquation est stricte, la réponse est : (−2, 3).
FAQ : tracer des inéquations du second degré
Voici les questions que les élèves posent le plus souvent lorsqu'ils apprennent à tracer des inéquations du second degré.
1. En quoi tracer une inéquation du second degré diffère-t-il de tracer une équation du second degré ?
Une équation du second degré y = ax² + bx + c se représente par une seule courbe — la parabole elle-même. Une inéquation du second degré remplace le signe égal par <, >, ≤ ou ≥, si bien que la solution devient toute une région hachurée du plan d'un côté de cette même parabole, la courbe étant tracée en pointillés ou en trait plein selon que la frontière est incluse ou non.
2. Dois-je toujours tester un point, ou puis-je me contenter de regarder le symbole d'inéquation ?
Testez toujours un point. Pour une parabole ouverte vers le haut, > et ≥ hachurent généralement au-dessus/à l'extérieur, tandis que < et ≤ hachurent en dessous/à l'intérieur — mais pour une parabole ouverte vers le bas, comme dans l'exemple 2, ce schéma s'inverse. Une seule substitution de point test évite de dépendre d'une règle qui ne marche pas toujours.
3. Quelle est la différence entre x² − 5x + 6 ≥ 0 et y ≥ x² − 5x + 6 ?
x² − 5x + 6 ≥ 0 est une inéquation à une variable ; sa solution est un ensemble de valeurs de x écrit en notation d'intervalle, comme (−∞, 2] ∪ [3, ∞). y ≥ x² − 5x + 6 est une inéquation à deux variables ; sa solution est une région hachurée du plan de coordonnées située au-dessus de la même parabole ou sur celle-ci. Les deux utilisent la même parabole mais répondent à des questions différentes.
4. La région solution d'une inéquation du second degré peut-elle être vide ?
Oui, dans des cas particuliers. Par exemple, y < x² + 1 n'a aucune solution si l'on exige en plus que y soit inférieur à 0 pour tout x, puisque la valeur minimale de la parabole vaut déjà 1. Cela apparaît plus souvent dans le cas à une variable : x² + 1 < 0 n'a aucune solution réelle car x² + 1 est toujours positif, donc la réponse en notation d'intervalle est l'ensemble vide ∅.
5. Comment vérifier que mon graphique hachuré final est correct ?
Choisissez deux points : un clairement à l'intérieur de votre région hachurée et un clairement à l'extérieur. Substituez-les tous les deux dans l'inéquation d'origine. Le point intérieur doit rendre l'inéquation vraie, et le point extérieur doit la rendre fausse. Si l'une des vérifications échoue, reprenez l'étape du point test et confirmez que le sommet et les points d'intersection de la parabole frontière sont correctement calculés.
Entraînez-vous à tracer des inéquations du second degré avec un retour instantané
Tracer des inéquations du second degré devient plus facile avec la répétition, surtout après avoir traité plusieurs exemples avec des paraboles ouvertes vers le haut et vers le bas. Si vous souhaitez vérifier une courbe frontière, contrôler une région hachurée ou voir une inéquation à une variable résolue étape par étape, les outils d'IA de Solvify peuvent dérouler le même processus que celui présenté dans ce guide sur n'importe quel problème que vous saisissez.
Articles connexes
Comment tracer une équation quadratique : guide étape par étape
Apprenez la méthode de base pour tracer la parabole qui sert de frontière à toute inéquation du second degré, avec deux exemples entièrement résolus.
Notation d'intervalle : guide complet avec exemples et exercices
Maîtrisez les règles des parenthèses et des crochets utilisées pour écrire la solution de toute inéquation du second degré à une variable.
Problèmes d'équations du second degré : séries d'exercices avec solutions complètes
Travaillez 8 problèmes d'équations du second degré couvrant la factorisation, la formule quadratique et les problèmes rédigés — tous avec des solutions détaillées étape par étape.
Solveurs mathématiques
Solutions étape par étape
Obtenez des explications détaillées pour chaque étape, pas seulement la réponse finale.
Résolution par scan intelligent
Prenez en photo n'importe quel problème de maths et obtenez une solution instantanée étape par étape.
Tuteur de maths IA
Posez des questions complémentaires et recevez des explications personnalisées 24h/24 et 7j/7.
Matières connexes
Aide en algèbre
Guide complet pour résoudre les équations et inéquations d'algèbre.
Problèmes d'équations du second degré
Entraînez-vous à résoudre des équations du second degré avec 8 exemples résolus utilisant la factorisation, la formule quadratique et la complétion du carré.
Fiche d'exercices sur le tracé d'équations linéaires
Développez les mêmes compétences de pointillés/trait plein et de hachurage pour les inéquations linéaires avant d'aborder le second degré.
Comment savoir quel côté hachurer ?
Une fois la frontière tracée, un seul point test détermine toute la région hachurée. Comme la parabole divise le plan en exactement deux régions — intérieure/au-dessus et extérieure/en dessous — un seul point clairement hors de la courbe suffit à déterminer les deux régions d'un coup. C'est plus rapide et plus fiable que de raisonner uniquement sur le symbole d'inéquation, surtout dès que la parabole n'est plus une simple courbe ouverte vers le haut.
1. Étape 1 : choisir un point test qui n'est pas sur la parabole
L'origine (0, 0) est le choix le plus simple dès que la parabole ne passe pas par ce point. Si (0, 0) se trouve justement sur la courbe, choisissez plutôt un autre point simple comme (0, 5) ou (1, 0).
2. Étape 2 : substituer le point test dans l'inéquation
Remplacez x et y par les valeurs du point test dans l'inéquation d'origine (et non simplement dans l'équation), puis simplifiez les deux membres.
3. Étape 3 : décider quelle région hachurer
Si le point test rend l'inéquation vraie, hachurez la région qui contient ce point test. S'il rend l'inéquation fausse, hachurez la région opposée — celle qui ne contient PAS le point test.
4. Étape 4 : vérifier avec le sens de l'inéquation
Comme contrôle rapide, y > (ou y ≥) une expression hachure généralement au-dessus/à l'extérieur de la parabole pour une courbe ouverte vers le haut, et y < (ou y ≤) hachure généralement en dessous/à l'intérieur — mais confirmez toujours avec le point test plutôt que de vous fier à votre mémoire, car une parabole ouverte vers le bas inverse ce schéma.