Calculateur de la loi des cosinus : formule, étapes et exemples résolus
Un calculateur de la loi des cosinus détermine un côté ou un angle manquant dans n'importe quel triangle lorsque la loi des sinus ne s'applique pas — précisément dans les cas CAC (deux côtés et l'angle compris entre eux) et CCC (trois côtés), où aucun couple côté-angle opposé n'est connu. Ce guide parcourt les deux directions de la formule à la main — le calcul d'un côté manquant et celui d'un angle manquant — avec des exemples entièrement résolus, une vérification pour chacun et les erreurs qui faussent le plus souvent un calcul avec la loi des cosinus.
Sommaire
- 01Qu'est-ce que la loi des cosinus et quand un calculateur de la loi des cosinus s'applique-t-il ?
- 02Comment réarranger la loi des cosinus pour calculer un angle ?
- 03Comment calculer un côté manquant avec la loi des cosinus ?
- 04Comment calculer un angle manquant avec la loi des cosinus ?
- 05Comment vérifier le résultat d'un calculateur de la loi des cosinus ?
- 06Quelles erreurs éviter en utilisant la loi des cosinus ?
- 07Exercices d'entraînement : savez-vous résoudre ces triangles avec la loi des cosinus ?
- 08Où la loi des cosinus est-elle utilisée dans des problèmes concrets ?
- 09Comment Solvify peut-il vous aider à vérifier un calcul avec la loi des cosinus ?
Qu'est-ce que la loi des cosinus et quand un calculateur de la loi des cosinus s'applique-t-il ?
La loi des cosinus relie les trois côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles, étendant ainsi le théorème de Pythagore aux triangles qui ne sont pas rectangles. Un calculateur de la loi des cosinus est l'outil adapté dès que vous disposez de deux côtés et de l'angle compris entre eux (CAC) ou des trois côtés (CCC) — les deux cas de triangle où la loi des sinus n'offre aucun couple côté-angle pour démarrer. La forme « côté » de la formule s'écrit a² = b² + c² − 2bc cos A, où a est le côté opposé à l'angle A, et b et c les deux autres côtés. Posez b = c et A = 90° : le terme −2bc cos A s'annule et il reste a² = b² + c² — le théorème de Pythagore n'est rien d'autre que la loi des cosinus appliquée à un angle droit. Tous les exemples résolus ci-dessous reposent sur cette même relation.
a² = b² + c² − 2bc cos A — calculez un côté manquant lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle compris entre eux.
Comment calculer un côté manquant avec la loi des cosinus ?
Voici un exemple CAC complet : un triangle a un côté b = 8, un côté c = 10 et l'angle compris A = 60°. Trouvez le côté manquant a.
1. Étape 1 — Écrire la formule
a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. Étape 2 — Substituer les valeurs connues
a² = 8² + 10² − 2(8)(10) cos 60° = 64 + 100 − 160 cos 60°.
3. Étape 3 — Évaluer le cosinus et multiplier
cos 60° = 0,5, donc 160 × 0,5 = 80. On obtient a² = 64 + 100 − 80 = 84.
4. Étape 4 — Prendre la racine carrée
a = √84 ≈ 9,17.
5. Étape 5 — Vérifier le résultat
Le côté opposé à l'angle de 60° doit être plus court que le plus grand côté donné (10) tout en restant du même ordre de grandeur que les deux — 9,17 entre bien dans cet intervalle. En réinjectant la valeur : 9,17² ≈ 84,09, assez proche de 84 pour confirmer le calcul (le petit écart vient de l'arrondi de la racine carrée).
b = 8, c = 10, A = 60° → a² = 64 + 100 − 80 = 84 → a ≈ 9,17.
Comment calculer un angle manquant avec la loi des cosinus ?
Voici un exemple CCC complet : un triangle a les côtés a = 7, b = 9 et c = 12. Trouvez l'angle C, l'angle opposé au côté c.
1. Étape 1 — Écrire la forme « angle » pour C
cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab). Remarquez que C est opposé à c, donc c² est le terme soustrait.
2. Étape 2 — Substituer les valeurs connues
cos C = (7² + 9² − 12²) ÷ (2 × 7 × 9) = (49 + 81 − 144) ÷ 126.
3. Étape 3 — Simplifier le numérateur et le dénominateur
49 + 81 − 144 = −14, donc cos C = −14 ÷ 126 ≈ −0,1111.
4. Étape 4 — Appliquer le cosinus inverse
C = arccos(−0,1111) ≈ 96,38°.
5. Étape 5 — Vérifier le résultat
Le côté c = 12 est le plus long côté du triangle, donc l'angle C qui lui est opposé doit être le plus grand angle — et 96,38°, obtus (juste au-delà de 90°), correspond à cette attente. Une valeur de cosinus négative signale toujours un angle obtus avant même d'appliquer arccos, ce qui constitue en soi une vérification utile.
a = 7, b = 9, c = 12 → cos C = −14 ÷ 126 ≈ −0,1111 → C ≈ 96,38°.
Comment vérifier le résultat d'un calculateur de la loi des cosinus ?
Le résultat d'un calculateur de la loi des cosinus ne vaut que par la vérification qui l'accompagne. Une fois un angle manquant trouvé avec la loi des cosinus, la loi des sinus offre un moyen indépendant de contrôler les angles restants, puisque les trois angles de tout triangle doivent totaliser exactement 180°. En poursuivant l'exemple CCC ci-dessus (a = 7, b = 9, c = 12, C ≈ 96,38°), utilisez la loi des sinus pour trouver l'angle A : sin A ÷ a = sin C ÷ c, donc sin A = a × sin C ÷ c = 7 × sin(96,38°) ÷ 12 ≈ 7 × 0,9938 ÷ 12 ≈ 0,5797, ce qui donne A = arcsin(0,5797) ≈ 35,42°. Ensuite B = 180° − 96,38° − 35,42° = 48,20°. En additionnant les trois — 96,38° + 35,42° + 48,20° = 180,00° — on confirme que chaque angle a été calculé correctement.
Les trois angles de tout triangle totalisent toujours 180° — servez-vous de ce fait pour contrôler chaque résultat obtenu avec la loi des cosinus.
Quelles erreurs éviter en utilisant la loi des cosinus ?
Une poignée d'erreurs explique la plupart des résultats faux avec la loi des cosinus, qu'ils soient calculés à la main ou contrôlés avec un calculateur.
1. Erreur 1 — Utiliser la loi des cosinus alors que la loi des sinus est plus rapide
Si vous disposez de deux angles et d'un côté quelconque (AAC ou ACA), ou de deux côtés et d'un angle non compris (CCA), la loi des sinus est la bonne formule de départ — la loi des cosinus est conçue spécifiquement pour les cas CAC et CCC.
2. Erreur 2 — Oublier le signe moins dans la formule du côté
a² = b² + c² − 2bc cos A comporte une soustraction, pas une addition. Ajouter 2bc cos A au lieu de le soustraire produit une longueur de côté complètement fausse.
3. Erreur 3 — Associer le mauvais angle au mauvais côté dans la formule de l'angle
Lorsque vous résolvez cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab), la lettre soustraite (c) doit correspondre à l'angle recherché (C) et doit être exclue du dénominateur. Une confusion ici donne l'angle d'un autre sommet.
4. Erreur 4 — Confondre le mode degrés et le mode radians
cos 60° = 0,5, mais le cosinus de 60 radians est un tout autre nombre. Vérifiez toujours le mode angulaire de la calculatrice avant d'évaluer un cosinus ou un cosinus inverse.
5. Erreur 5 — Ne pas vérifier que cos A reste entre −1 et 1
Si une valeur de cosinus calculée sort de l'intervalle −1 à 1, les trois longueurs de côtés données ne peuvent pas former un triangle — revérifiez les valeurs avant d'appliquer arccos, car arccos d'un nombre hors intervalle n'a aucune solution réelle.
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) doit tomber entre −1 et 1 — sinon, le triangle tel qu'il est donné ne peut pas exister.
Exercices d'entraînement : savez-vous résoudre ces triangles avec la loi des cosinus ?
Essayez chaque exercice à la main en utilisant la forme appropriée de la loi des cosinus avant de consulter la réponse.
1. Exercice 1 — CAC, calculer le côté manquant
Un triangle a b = 5, c = 7 et l'angle compris A = 45°. Trouvez le côté a. Réponse : a² = 25 + 49 − 2(5)(7) cos 45° = 74 − 70(0,7071) ≈ 74 − 49,50 = 24,50, donc a = √24,50 ≈ 4,95.
2. Exercice 2 — CCC, calculer le plus grand angle
Un triangle a les côtés a = 4, b = 6, c = 9. Trouvez l'angle C (opposé au plus long côté). Réponse : cos C = (16 + 36 − 81) ÷ (2 × 4 × 6) = −29 ÷ 48 ≈ −0,6042, donc C = arccos(−0,6042) ≈ 127,16°.
3. Exercice 3 — CAC avec vérification par l'angle droit
Un triangle a b = 6, c = 8 et l'angle compris A = 90°. Trouvez le côté a. Réponse : a² = 36 + 64 − 2(6)(8) cos 90° = 100 − 96(0) = 100, donc a = 10 — on retrouve le triangle rectangle classique 6-8-10, puisque cos 90° = 0 réduit la formule au théorème de Pythagore.
Chacun de ces exercices se ramène aux deux mêmes gestes : choisir la forme « côté » ou la forme « angle » de la loi des cosinus, puis substituer et simplifier avec soin.
Où la loi des cosinus est-elle utilisée dans des problèmes concrets ?
La loi des cosinus n'est pas qu'un exercice de trigonométrie — elle apparaît partout où il faut retrouver le troisième côté ou l'angle d'un triangle à partir d'informations incomplètes. Les géomètres-topographes l'utilisent pour calculer des distances sur un terrain qui ne peut pas être mesuré directement, en combinant deux distances mesurées et l'angle entre elles. La navigation et la préparation de vol s'en servent pour déterminer la distance et le cap résultants lorsque deux étapes d'un trajet sont connues mais pas le chemin direct. En physique, la même formule calcule la norme d'un vecteur résultant — par exemple des forces ou des vitesses combinées — quand les deux vecteurs composants et l'angle entre eux sont connus, puisqu'un triangle de vecteurs obéit exactement à la même relation qu'un triangle géométrique.
La topographie, la navigation et l'addition de vecteurs en physique reposent toutes sur la même relation a² = b² + c² − 2bc cos A présentée dans ce guide.
Comment Solvify peut-il vous aider à vérifier un calcul avec la loi des cosinus ?
Une fois que vous maîtrisez les formes « côté » et « angle » présentées dans ce guide, le solveur assisté par IA de Solvify peut prendre en photo un problème de triangle — issu d'un devoir, d'un manuel ou d'une révision d'examen de trigonométrie — et dérouler les mêmes étapes de substitution et de cosinus inverse, afin que vous puissiez comparer son travail à votre résultat obtenu à la main et repérer une erreur de signe ou de calcul avant qu'elle ne se retrouve sur une copie notée.
Le moyen le plus rapide de gagner en assurance avec la loi des cosinus est de résoudre un triangle à la main et de n'utiliser un calculateur que pour le vérifier — et non l'inverse.
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Comment réarranger la loi des cosinus pour calculer un angle ?
Lorsque les trois côtés sont connus mais qu'aucun angle n'est donné (le cas CCC), la forme « côté » de la loi des cosinus peut être réarrangée pour calculer directement n'importe quel angle.
1. Partir de la forme « côté »
a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. Isoler le terme en cosinus
2bc cos A = b² + c² − a², obtenu en ajoutant 2bc cos A aux deux membres et en soustrayant a² des deux membres.
3. Diviser pour obtenir cos A
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Appliquez le cosinus inverse (arccos) à ce rapport pour obtenir l'angle A lui-même.