Résoudre les Équations Quadratiques et Radicales: Guide Complet Étape par Étape
Résoudre les équations quadratiques et radicales représente deux des compétences les plus importantes en algèbre — et elles apparaissent ensemble dans la plupart des programmes d'Algèbre 2, au SAT Math et dans chaque cours de précalcul. Une équation quadratique a x² comme terme de plus haut degré; une équation radicale a la variable à l'intérieur d'un signe radical. Les deux thèmes partagent plus qu'un chapitre : élever les deux côtés au carré pour éliminer un radical produit presque toujours une équation quadratique comme la suivante à résoudre. Ce guide couvre chaque méthode principale pour les quadratiques — factorisation, complétude du carré, la formule quadratique et graphique — plus la technique centrale d'isoler-et-élever au carré pour les équations radicales, la vérification critique des solutions étrangères, et la situation très courante où une équation radicale devient quadratique en cours de route. Chaque méthode est montrée avec un exemple numérique entièrement résolu en utilisant des nombres réels afin que vous puissiez suivre chaque étape exactement.
Sommaire
- 01Que sont les équations quadratiques et radicales?
- 02Résoudre les équations quadratiques: quatre méthodes
- 03Solving Radical Equations Step by Step
- 04When Squaring a Radical Produces a Quadratic
- 05Common Mistakes and How to Avoid Them
- 06Practice Problems with Full Solutions
- 07FAQ — Solving Quadratic and Radical Equations
Que sont les équations quadratiques et radicales?
Une équation quadratique est toute équation qui peut être écrite sous la forme standard ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0. La puissance la plus élevée de la variable est 2. Les équations quadratiques apparaissent partout où une quantité change à un taux non constant — dans le mouvement des projectiles, les problèmes de surface et les questions de géométrie impliquant le théorème de Pythagore. Le graphique de y = ax² + bx + c est une parabole, et les solutions réelles de ax² + bx + c = 0 sont les valeurs x où la parabole croise l'axe des x. Le nombre de croisements dépend du discriminant D = b² − 4ac: si D > 0, il y a deux racines réelles distinctes; si D = 0, il y a exactement une racine réelle (le sommet touche l'axe des x); si D < 0, il n'y a pas de racines réelles et les solutions sont des nombres complexes. Une équation radicale contient une variable à l'intérieur d'un signe radical — le plus souvent une racine carrée (√), bien que des racines cubiques et des radicaux d'ordre supérieur existent également. Exemples: √(2x + 3) = 5, √(x − 1) = x − 3, ³√(x + 2) = 4. Le défi définisseur est que vous ne pouvez pas résoudre ceux-ci par simple manipulation algébrique — vous devez élever les deux côtés à la puissance correspondant à l'indice du radical pour éliminer la racine. Pour une racine carrée, cela signifie mettre au carré les deux côtés; pour une racine cubique, cuber. La complication cruciale est que mettre au carré les deux côtés n'est pas une opération réversible. Parce que 3 et −3 se mettent au carré à 9, mettre au carré peut introduire des solutions qui satisfont l'équation au carré mais violent l'originale. Celles-ci s'appellent des solutions étrangères, et chaque solution d'une équation radicale doit être vérifiée dans l'équation originale avant d'être acceptée. Cette étape de vérification supplémentaire distingue les équations radicales de la plupart des autres types d'équations et est la plus grande source d'erreurs aux évaluations. La connexion entre les deux sujets est directe: de nombreuses équations radicales, après mise au carré, produisent une quadratique qui doit alors être résolue. Résoudre les équations quadratiques et radicales comme un ensemble de compétences combinées signifie que vous pouvez gérer cette classe entière de problèmes du début à la fin.
Règle du discriminant: pour ax² + bx + c = 0, D = b² − 4ac. D > 0 → deux racines réelles. D = 0 → une racine répétée. D < 0 → pas de racines réelles. Pour chaque équation radicale: vérifiez TOUTES les solutions dans l'originale — ne sautez jamais cette étape.
Résoudre les équations quadratiques: quatre méthodes
Il existe quatre méthodes standard pour résoudre une équation quadratique. Aucune n'est universellement la plus rapide — chacune fonctionne mieux dans des situations spécifiques. Savoir lequel choisir en premier évite l'arithmétique inutile. Les quatre méthodes sont: (1) factorisation, la plus rapide quand le trinôme a de petits facteurs entiers; (2) compléter le carré, meilleur quand la forme vertex est nécessaire ou le coefficient principal est 1 avec un terme moyen pair; (3) la formule quadratique, qui fonctionne pour toute quadratique mais implique le plus de calcul; et (4) les graphiques, utile pour estimer les racines ou vérifier les solutions algébriques. Les quatre sont démontrés ci-dessous sur différentes équations pour montrer où chaque approche fonctionne le mieux.
1. Méthode 1: Factorisation — Résolvez x² − 7x + 12 = 0
Cherchez deux entiers dont le produit égale c (ici, 12) et dont la somme égale b (ici, −7). Les paires d'entiers qui multiplient à 12: 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4, et leurs négatifs. Parmi ceux-ci, −3 et −4 multiplient à +12 et ajoutent à −7. Donc x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0. Par la propriété du produit nul, soit x − 3 = 0 soit x − 4 = 0, donnant x = 3 ou x = 4. Vérification: (3)² − 7(3) + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 ✓. (4)² − 7(4) + 12 = 16 − 28 + 12 = 0 ✓. La factorisation est le choix le plus rapide ici — tout le problème prend environ 20 secondes une fois que vous voyez la paire de facteurs. Essayez de factoriser d'abord chaque fois que tous les coefficients sont de petits entiers. Si vous ne pouvez pas trouver de facteurs entiers dans les 10–15 secondes, passez à la formule quadratique plutôt que de le forcer.
2. Method 2: Completing the Square — Solve x² + 6x − 7 = 0
Step 1: Move the constant to the right: x² + 6x = 7. Step 2: Find (b/2)² = (6/2)² = 3² = 9. Add 9 to both sides: x² + 6x + 9 = 7 + 9 = 16. Step 3: Factor the left side as a perfect square: (x + 3)² = 16. Step 4: Take the square root of both sides (include ±): x + 3 = ±4. Step 5: Solve for x: x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7. Check: (1)² + 6(1) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 ✓. (−7)² + 6(−7) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 ✓. This problem could also be solved quickly by factoring as (x + 7)(x − 1) = 0. Completing the square is shown here to illustrate the procedure. It becomes essential when the discriminant is not a perfect square or when vertex form is the actual goal.
3. Method 3: Quadratic Formula — Solve 2x² − 3x − 2 = 0
The quadratic formula applies to any equation ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) Here a = 2, b = −3, c = −2. Step 1: Compute the discriminant: D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25. Step 2: Since D = 25 > 0, there are two distinct real solutions. Step 3: Apply the formula: x = (−(−3) ± √25) / (2 × 2) = (3 ± 5) / 4. Step 4: Two solutions: x = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2 and x = (3 − 5)/4 = −2/4 = −1/2. Check: 2(2)² − 3(2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 ✓. 2(−1/2)² − 3(−1/2) − 2 = 1/2 + 3/2 − 2 = 0 ✓. The quadratic formula is the go-to choice when factoring is not obvious. It always works, produces exact answers (including irrational ones like (3 + √5)/2), and takes about the same time for any quadratic regardless of how messy the coefficients are.
4. Method 4: Graphing — Solve x² − x − 6 = 0 (conceptual)
Graphing means plotting y = x² − x − 6 and reading the x-intercepts. The parabola crosses the x-axis at x = −2 and x = 3. Verification: (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 ✓. (3)² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 ✓. Factoring gives the same roots instantly: (x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3 or x = −2. Graphing is primarily useful when you need a visual check on algebraic work, when you need to estimate irrational roots to one decimal place, or when a problem asks how many real solutions an equation has (which the discriminant also answers instantly without full solving).
5. Method Selector: When to Use Which
Factoring: try first whenever a = 1 and the constant is a small integer. If no factor pair appears within 15 seconds, move on. Completing the square: use when a = 1 and b is even, or when the problem specifically asks for vertex form or the vertex coordinates of the parabola. Quadratic formula: use when factoring fails, when a ≠ 1 with messy coefficients, or when you need exact irrational roots. Always compute D = b² − 4ac first — if D < 0, there are no real solutions and you can stop immediately. Graphing: use to visualize, estimate, or check — rarely as the primary method on a written algebra exam.
Avant de résoudre, calculez D = b² − 4ac. Si D < 0, il n'y a pas de solutions réelles — terminé. Si D ≥ 0, choisissez votre méthode: factorisez si une paire apparaît en 15 secondes, utilisez la formule sinon. Pour la forme vertex ou b pair avec a = 1, complétez le carré.
Solving Radical Equations Step by Step
La procédure de base pour résoudre une équation radicale comporte quatre étapes : isoler le radical d'un côté, élever les deux côtés à la puissance correspondant à l'indice, résoudre l'équation résultante, puis vérifier chaque solution candidate dans l'original. L'étape de vérification n'est pas facultative — les solutions étrangères sont courantes dans les problèmes d'examen et ne peuvent être détectées d'aucune autre façon. Ci-dessous, la procédure complète est démontrée sur quatre exemples de complexité croissante : une équation racine carrée simple, une équation racine carrée où l'équation résultante est linéaire, une équation racine cubique et une équation avec deux termes radicaux du même côté.
1. Step 1 — Always Isolate the Radical First
Move any constants not under the radical to the opposite side before squaring. For √(x − 3) + 5 = 9: subtract 5 first to get √(x − 3) = 4, then square. If you square with the +5 still present, you get (√(x − 3) + 5)² = 81, which expands to x − 3 + 10√(x − 3) + 25 = 81. That is a harder radical equation than the one you started with. Once isolated: √(x − 3) = 4 → square → x − 3 = 16 → x = 19. Check: √(19 − 3) + 5 = √16 + 5 = 4 + 5 = 9 ✓. Always isolate first.
2. Worked Example: Simple Square Root — Solve √(2x + 3) = 5
Step 1: The radical is already isolated. Step 2: Square both sides: (√(2x + 3))² = 5² → 2x + 3 = 25. Step 3: Solve: 2x = 22 → x = 11. Step 4: Check in the original equation: √(2(11) + 3) = √(22 + 3) = √25 = 5 ✓. Final answer: x = 11. One solution, no extraneous issue. This is the simplest case: after squaring, you get a linear equation with exactly one solution.
3. Worked Example: Cube Root — Solve ³√(x − 5) = 3
For a cube root, cube both sides (raise to the 3rd power) rather than squaring. Step 1: The radical is already isolated. Step 2: Cube both sides: (³√(x − 5))³ = 3³ → x − 5 = 27. Step 3: Solve: x = 32. Step 4: Check: ³√(32 − 5) = ³√27 = 3 ✓. Cube root equations rarely produce extraneous solutions because cubing is a one-to-one operation — no two distinct real numbers cube to the same value. Even so, checking is still good practice. General rule: for a radical with index n, raise both sides to the nth power. √ → square (power 2), ³√ → cube (power 3), ⁴√ → raise to the 4th power.
4. Worked Example: Two Radicals Equal — Solve √(3x + 1) = √(x + 9)
When both sides are square roots set equal to each other, squaring both sides eliminates both radicals at once. Step 1: The equation is ready to square. Step 2: Square: 3x + 1 = x + 9. Step 3: Solve: 2x = 8 → x = 4. Step 4: Check in the original: left = √(3(4) + 1) = √13. Right = √(4 + 9) = √13 ✓. Final answer: x = 4. Even when two-radical equations produce only one candidate, always check it — not all single-candidate equations are guaranteed to be valid.
The four steps for every radical equation: (1) isolate the radical, (2) raise both sides to the power matching the index, (3) solve the resulting equation, (4) check every solution in the original. Step 4 is mandatory — extraneous solutions cannot be detected any other way.
When Squaring a Radical Produces a Quadratic
The most frequently tested scenario on Algebra 2 exams is a radical equation where the right side is a linear or quadratic expression in x. After squaring, you get a quadratic equation that must then be solved, and both roots must be checked for extraneous solutions. This is where solving quadratic and radical equations overlap directly. Three fully worked examples below cover the three main forms: radical equal to a linear monomial (√ = x), radical equal to a binomial (√ = x + n), and a case where the radicand itself contains x².
1. Example 1 — √(x + 6) = x (radical equals a linear term)
Step 1: The radical is isolated. Step 2: Square both sides: x + 6 = x². Step 3: Rearrange into standard form: x² − x − 6 = 0. Step 4: Factor: (x − 3)(x + 2) = 0. Candidates: x = 3 or x = −2. Step 5: Check in the original √(x + 6) = x: x = 3: √(3 + 6) = √9 = 3. Right side = 3 ✓. Valid. x = −2: √(−2 + 6) = √4 = 2. Right side = −2. Since 2 ≠ −2, this is extraneous — reject. Final answer: x = 3 only. The value x = −2 is extraneous because √ always denotes the principal (non-negative) square root, which can never equal a negative number.
2. Example 2 — √(2x + 9) = x + 3 (radical equals a binomial)
Step 1: The radical is isolated. Step 2: Square both sides: 2x + 9 = (x + 3)² = x² + 6x + 9. Step 3: Rearrange: x² + 6x + 9 − 2x − 9 = 0 → x² + 4x = 0. Step 4: Factor: x(x + 4) = 0. Candidates: x = 0 or x = −4. Step 5: Check in the original √(2x + 9) = x + 3: x = 0: √(0 + 9) = √9 = 3. Right side = 0 + 3 = 3 ✓. Valid. x = −4: √(2(−4) + 9) = √(−8 + 9) = √1 = 1. Right side = −4 + 3 = −1. Since 1 ≠ −1, extraneous — reject. Final answer: x = 0 only. Again, the extraneous root appears because the right side becomes negative at x = −4, which is impossible for a square root. This pattern — one valid root, one extraneous — is the most common outcome when the right side is a binomial.
3. Example 3 — √(x² − 4) = x − 1 (radicand already quadratic)
Step 1: The radical is isolated. Step 2: Square both sides: x² − 4 = (x − 1)² = x² − 2x + 1. Step 3: The x² terms cancel: −4 = −2x + 1 → −5 = −2x → x = 5/2. Step 4: Only one candidate: x = 5/2. Step 5: Check in the original √(x² − 4) = x − 1: x = 5/2: left = √((5/2)² − 4) = √(25/4 − 16/4) = √(9/4) = 3/2. Right = 5/2 − 1 = 3/2 ✓. Final answer: x = 5/2. Even though the radicand was already quadratic, the x² terms cancelled after squaring, leaving a linear equation with one solution. This is not always predictable — always work through the algebra fully rather than assuming the degree of the result.
When the right side of a radical equation is a binomial (like x − 2 or x + 3), squaring gives (x ± n)² on the right — expand it fully. The resulting quadratic will almost always have two roots, but typically only one survives the extraneous-solution check. Never assume both are valid.
Common Mistakes and How to Avoid Them
Specific, repeated errors account for most lost marks on quadratic and radical equation problems. The five mistakes below cover both equation types. Each is paired with a concrete correction so you can calibrate your technique before the next assessment.
1. Mistake 1 — Skipping the extraneous solution check (radical equations)
This is the most frequent and costly error. After solving √(x + 4) = x − 2, students obtain two algebraic roots (x = 0 and x = 5) and stop there. But at x = 0, the right side is 0 − 2 = −2 < 0, which is impossible for a square root. Only x = 5 is valid. Fix: after solving the squared equation, substitute every candidate back into the original equation (with the radical sign) and reject any that make the equation false. There is no algebraic shortcut for this — you must substitute.
2. Mistake 2 — Squaring before isolating the radical
For √(x − 3) + 5 = 9, squaring both sides immediately gives (√(x − 3) + 5)² = 81, which expands to x − 3 + 10√(x − 3) + 25 = 81 — a new, harder radical equation. Fix: subtract 5 from both sides first to get √(x − 3) = 4. Then square: x − 3 = 16 → x = 19. Check: √(19 − 3) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓. Isolating the radical first always makes the squaring step cleaner.
3. Mistake 3 — Expanding a binomial square incorrectly
A very common algebra error when squaring the right side: writing (x − 2)² = x² − 4 instead of x² − 4x + 4. The middle term 2ab is forgotten or miscalculated, which changes the quadratic you obtain and leads to wrong roots. Fix: always use (a − b)² = a² − 2ab + b². For (x − 2)²: a = x, b = 2, so (x)² − 2(x)(2) + (2)² = x² − 4x + 4. Write out all three terms. The middle term is 2 × x × 2 = 4x — write it explicitly before simplifying.
4. Mistake 4 — Sign error in the discriminant (quadratic formula)
For 2x² − 3x − 2 = 0 with a = 2, b = −3, c = −2: the discriminant is D = (−3)² − 4(2)(−2). Students frequently compute 9 − 8 = 1 instead of 9 + 16 = 25 because they drop the negative on c, treating −4(2)(−2) as if it were −4(2)(2). Fix: write out the substitution with explicit parentheses: D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 − (−16) = 9 + 16 = 25. When c is negative, the term −4ac becomes positive. Parentheses around the substituted value prevent sign errors.
5. Mistake 5 — Omitting ± when taking a square root
After completing the square and arriving at (x + 3)² = 16, many students write x + 3 = 4 and find only x = 1, missing x = −7. Fix: every time you take a square root to solve an equation (not read a radical sign in the original), write ±. The equation (x + 3)² = 16 gives x + 3 = ±4 → x = 1 or x = −7. The ± is where both solutions come from — omitting it always discards one root. This is distinct from radical equations: when the original equation has √ on the left, the radical denotes only the positive root, and the second solution appears only through the extraneous check.
Two rules that prevent the majority of errors: (1) every radical equation solution requires a substitution check in the original. (2) every square root taken during solving produces ±, not just +. Both rules protect you from losing valid solutions or accepting invalid ones.
Practice Problems with Full Solutions
Five problems cover the full range of skills involved in solving quadratic and radical equations. Problems 1 and 2 are pure quadratic equations using factoring and the formula. Problems 3 and 4 are radical equations — one clean, one with an extraneous solution. Problem 5 is a mixed radical-quadratic equation where both roots survive the check. Work each problem fully before reading the solution.
1. Problem 1 (Quadratic — Factoring) — Solve x² + 2x − 15 = 0
Look for two integers with product −15 and sum +2. Options: (1, −15), (−1, 15), (3, −5), (−3, 5). The pair (5, −3) multiplies to −15 and adds to 2. So x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) = 0. Solutions: x = −5 or x = 3. Check: (−5)² + 2(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓. (3)² + 2(3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓.
2. Problem 2 (Quadratic — Formula) — Solve 3x² + 5x − 1 = 0
Here a = 3, b = 5, c = −1. Factoring is not practical because there is no clean integer factor pair. Step 1: D = b² − 4ac = (5)² − 4(3)(−1) = 25 + 12 = 37. Step 2: D = 37 > 0, so two distinct real solutions exist. √37 is not a perfect square, so the roots are irrational. Step 3: x = (−5 ± √37) / 6. Solutions: x = (−5 + √37) / 6 ≈ (−5 + 6.083) / 6 ≈ 0.181 and x = (−5 − √37) / 6 ≈ −1.847. Vieta's check: sum of roots = −b/a = −5/3 ≈ −1.667. Computed sum: 0.181 + (−1.847) ≈ −1.666 ✓. Product of roots = c/a = −1/3 ≈ −0.333. Computed product: 0.181 × (−1.847) ≈ −0.334 ✓.
3. Problem 3 (Radical — No Extraneous Solution) — Solve √(3x − 2) = 4
Step 1: The radical is already isolated. Step 2: Square both sides: 3x − 2 = 16. Step 3: Solve: 3x = 18 → x = 6. Step 4: Check in the original: √(3(6) − 2) = √(18 − 2) = √16 = 4 ✓. Final answer: x = 6.
4. Problem 4 (Radical — Extraneous Solution Present) — Solve √(x + 12) = x
Step 1: The radical is isolated. Step 2: Square both sides: x + 12 = x². Step 3: Rearrange: x² − x − 12 = 0. Step 4: Factor: (x − 4)(x + 3) = 0. Candidates: x = 4 or x = −3. Step 5: Check in the original √(x + 12) = x: x = 4: √(4 + 12) = √16 = 4. Right side = 4 ✓. Valid. x = −3: √(−3 + 12) = √9 = 3. Right side = −3. Since 3 ≠ −3, extraneous — reject. Final answer: x = 4 only. This is a classic example: two algebraic roots, one real, one extraneous.
5. Problem 5 (Radical–Quadratic, Both Roots Valid) — Solve √(x² + 3x) = 2
Step 1: The radical is isolated. Step 2: Square both sides: x² + 3x = 4. Step 3: Rearrange: x² + 3x − 4 = 0. Step 4: Factor: (x + 4)(x − 1) = 0. Candidates: x = −4 or x = 1. Step 5: Check in the original √(x² + 3x) = 2: x = −4: √((−4)² + 3(−4)) = √(16 − 12) = √4 = 2 ✓. Valid. x = 1: √(1² + 3(1)) = √(1 + 3) = √4 = 2 ✓. Valid. Final answer: x = −4 or x = 1. Both solutions are valid — this is less common but fully possible. Both values of x give a radicand of 4, and neither makes a √ equal to a negative number, so neither is extraneous.
FAQ — Solving Quadratic and Radical Equations
These are the questions that come up most frequently when students work through this material. Each answer focuses on the specific mechanical or conceptual point most likely to cause errors.
1. What is an extraneous solution and why does it appear?
An extraneous solution is a value that satisfies the equation after squaring but not the original radical equation. It appears because squaring is not reversible: if the original equation had √(expression) = −5, that is already impossible since square roots are ≥ 0 — but squaring eliminates that impossibility, giving expression = 25, which can have a solution. The squaring step erased the sign constraint. The only way to detect extraneous solutions is to substitute each candidate into the original equation (the one with the radical) and reject any that fail. There is no algebraic shortcut. On exams, problems with radical equations are often designed specifically so that one root is extraneous — always check.
2. Which method should I use to solve a quadratic equation?
Scan for factoring first: look for two integers (or rationals) that multiply to ac and add to b. If you cannot find them in 15 seconds, compute D = b² − 4ac. If D is a perfect square, factoring works and you can try again; if not, the roots are irrational and the quadratic formula is the right tool. If the problem asks for vertex form or the vertex of the parabola, use completing the square. If it asks for the number of real solutions, you need only compute D — no full solving required.
3. Can a radical equation have no solution at all?
Yes — in two distinct ways. First, the equation can be immediately impossible: √(x + 1) = −3 has no solution because a square root is always ≥ 0 and can never equal −3. Second, all algebraic candidates can turn out to be extraneous after checking. Example: solve √(x + 2) = x − 4. Squaring: x + 2 = x² − 8x + 16 → x² − 9x + 14 = 0 → (x − 2)(x − 7) = 0. Check x = 2: √4 = 2 but right side = 2 − 4 = −2. Extraneous. Check x = 7: √9 = 3 and right side = 7 − 4 = 3 ✓. Valid. Here one solution survives, but if both had been extraneous, the equation would have no real solution.
4. Does the quadratic formula work for every quadratic?
Yes, without exception. The formula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) gives the correct solutions for any ax² + bx + c = 0 as long as a ≠ 0. When D < 0, the solutions are complex: x = (−b ± i√(4ac − b²)) / (2a). In a standard Algebra 2 course, you typically note 'no real solutions' and stop. When D = 0, the formula still works — it gives x = −b/(2a) twice, confirming the single repeated root. The formula always applies; use it as the reliable fallback whenever factoring fails.
5. How do I solve a radical equation that has two separate radicals?
When an equation contains two radical terms, isolate one radical and square. If the second radical remains, isolate it and square again. Example: solve √(x + 5) − √(x − 3) = 2. Step 1: Isolate one radical: √(x + 5) = √(x − 3) + 2. Step 2: Square: x + 5 = (x − 3) + 4√(x − 3) + 4 = x + 1 + 4√(x − 3). Step 3: Simplify: 5 − 1 = 4√(x − 3) → 4 = 4√(x − 3) → √(x − 3) = 1. Step 4: Square again: x − 3 = 1 → x = 4. Step 5: Check in the original: √(4 + 5) − √(4 − 3) = √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓. Final answer: x = 4. Two-radical equations almost always require two rounds of squaring and always require a final check.
6. How do I know how many real solutions a quadratic has without fully solving it?
Compute the discriminant D = b² − 4ac and read the result directly: D > 0 → two distinct real solutions (parabola crosses x-axis twice). D = 0 → one repeated real solution (vertex touches x-axis). D < 0 → no real solutions (parabola does not cross x-axis). Example: how many real solutions does 2x² − 4x + 3 = 0 have? D = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8 < 0. Answer: no real solutions — without any further work. This is the fastest approach to 'how many solutions' questions on multiple-choice tests.
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Techniques algébriques pour résoudre les équations avec des fractions — des compétences qui s'accumulent directement dans la gestion d'expressions radicales et quadratiques plus complexes.
Comment Résoudre les Formules en Algèbre
Apprenez à réorganiser et résoudre les formules algébriques — des compétences fondamentales pour travailler avec la formule quadratique et la forme vertex.