Calculatrice de Transformation Inverse de Laplace : Méthodes Étape par Étape et Exemples Résolus
Une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace récupère la fonction de domaine temporel f(t) à partir de sa représentation de domaine s, F(s) — en montrant chaque étape de réarrangement algébrique, recherche de table et fraction partielle pour que vous compreniez le raisonnement derrière chaque mouvement, pas seulement la réponse finale. La transformation de Laplace convertit une équation différentielle en une équation algébrique dans la variable complexe s ; la transformation inverse est la façon de revenir à une réponse utilisable en t. Ce guide couvre les quatre techniques que vous rencontrerez le plus souvent : recherche directe en tableau, décomposition en fractions partielles, complétion de carrés avec le premier théorème de décalage et application de la transformation inverse pour résoudre un problème de valeur initiale — chacun avec des exemples complètement résolus et une étape de vérification que vous pouvez vérifier manuellement.
Sommaire
- 01Qu'est-ce que la Transformation Inverse de Laplace, et pourquoi une Calculatrice Étape par Étape montre-t-elle chaque Transformation ?
- 02Comment une Calculatrice Étape par Étape de Transformation Inverse de Laplace Identifie-t-elle la Bonne Technique ?
- 03Comment Trouver la Transformation Inverse de Laplace à l'aide d'une Table ?
- 04Comment Appliquer les Fractions Partielles dans une Calculatrice Étape par Étape de Transformation Inverse de Laplace ?
- 05Quelle est la Technique de Complétion de Carrés pour les Transformations Inverses de Laplace ?
- 06Comment Utilise-t-on la Transformation Inverse de Laplace pour Résoudre une Équation Différentielle ?
- 07Exemple d'EDO Résolu : Résoudre y'' + 3y' + 2y = 0 en utilisant la Transformation Inverse de Laplace
- 08Quelles sont les Erreurs les Plus Courantes lors de la Recherche de Transformations Inverses de Laplace ?
- 09Questions Fréquemment Posées sur les Calculatrices de Transformation Inverse de Laplace
Qu'est-ce que la Transformation Inverse de Laplace, et pourquoi une Calculatrice Étape par Étape montre-t-elle chaque Transformation ?
La transformation de Laplace L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(-st) dt convertit une fonction de temps t en une fonction F(s) de la variable complexe s. Cela transforme une équation différentielle — difficile à résoudre en t — en une équation algébrique en s que vous pouvez réarranger avec l'algèbre ordinaire. La transformation inverse de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) va dans la direction opposée : étant donné F(s), trouvez la fonction de domaine temporel original. En pratique, l'inverse n'est presque jamais calculée à partir de l'intégrale de contour de Bromwich formelle. Au lieu de cela, F(s) est manipulée algébriquement — en utilisant des fractions partielles, la complétion de carrés ou l'appariement direct de motifs — jusqu'à ce qu'elle corresponde à une ou plusieurs entrées d'une table de Laplace standard. Chaque entrée dans cette table est une paire de transformation : un f(t) connu et son F(s) correspondant. L'inverse est simplement de lire la table à l'envers. Une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace rend ce processus transparent. Elle montre quelle manipulation algébrique a été appliquée, quelle entrée de table a été appariée et comment le théorème de décalage a été utilisé — pour que la méthode soit reproductible lors d'un examen sans aide, pas une réponse de boîte noire.
La transformation inverse de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) est trouvée en manipulant F(s) algébriquement jusqu'à ce qu'elle corresponde à des entrées de table connues — pas en évaluant une intégrale de contour complexe. L'algèbre est la compétence.
Comment Trouver la Transformation Inverse de Laplace à l'aide d'une Table ?
Les paires de Laplace principales à connaître pour les problèmes inverses sont : - L⁻¹{1/s} = 1 (échelon unitaire) - L⁻¹{1/(s - a)} = e^(at) - L⁻¹{n!/s^(n+1)} = tⁿ, donc L⁻¹{1/s²} = t, L⁻¹{2/s³} = t² - L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt) - L⁻¹{s/(s² + b²)} = cos(bt) Le théorème de décalage étend chaque ligne : L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t). Exemple 1 — Exponentielle unique : Trouvez L⁻¹{6/(s + 4)}. Réécrivez : 6·[1/(s - (-4))]. Correspondance : L⁻¹{1/(s - a)} = e^(at) avec a = -4. Résultat : f(t) = 6e^(-4t) ✓ Vérification : L{6e^(-4t)} = 6·1/(s + 4) ✓ Exemple 2 — Sinus et cosinus combinés : Trouvez L⁻¹{(3s + 8)/(s² + 16)}. Divisez en utilisant la linéarité : L⁻¹{3s/(s² + 16)} + L⁻¹{8/(s² + 16)} Pour le terme cosinus : 3·L⁻¹{s/(s² + 4²)} = 3cos(4t) Pour le terme sinus : (8/4)·L⁻¹{4/(s² + 4²)} = 2sin(4t) Résultat : f(t) = 3cos(4t) + 2sin(4t) ✓ Vérification : L{3cos(4t) + 2sin(4t)} = 3s/(s² + 16) + 8/(s² + 16) = (3s + 8)/(s² + 16) ✓ Exemple 3 — Puissance de t avec décalage : Trouvez L⁻¹{2/(s + 3)²}. Correspondance : L⁻¹{n!/s^(n+1)} = tⁿ → L⁻¹{1!/s²} = t, donc L⁻¹{1/(s - a)²} = te^(at) avec a = -3. Résultat : f(t) = 2te^(-3t) ✓ Vérification : L{2te^(-3t)} = 2·1/(s + 3)² ✓ Faire attention à quel b appartient au numérateur (pour le sinus) par rapport à s (pour le cosinus) détecte l'erreur de recherche de table la plus courante.
Paires clés : L⁻¹{1/(s-a)} = e^(at) · L⁻¹{b/(s²+b²)} = sin(bt) · L⁻¹{s/(s²+b²)} = cos(bt). Chaque ligne se décale en remplaçant s par s-a et en multipliant f(t) par e^(at).
Comment Appliquer les Fractions Partielles dans une Calculatrice Étape par Étape de Transformation Inverse de Laplace ?
La décomposition en fractions partielles décompose un F(s) rationnel complexe en une somme de fractions plus simples, chacune correspondant à une entrée de table standard. L'algèbre suit les mêmes règles que dans l'intégration, mais l'objectif est la recherche de table, pas une primitive logarithmique. Exemple 4 — Deux facteurs linéaires distincts : Trouvez L⁻¹{(2s + 5)/[(s + 1)(s + 3)]}. Étape 1 : Écrivez le modèle. (2s + 5)/[(s + 1)(s + 3)] = A/(s + 1) + B/(s + 3) Étape 2 : Éliminez le dénominateur. 2s + 5 = A(s + 3) + B(s + 1) Étape 3 : Résolvez en substituant des valeurs stratégiques. s = -1 : 3 = 2A → A = 3/2 s = -3 : -1 = -2B → B = 1/2 Étape 4 : Inversez chaque terme en utilisant la table. L⁻¹{(3/2)/(s + 1)} + L⁻¹{(1/2)/(s + 3)} = (3/2)e^(-t) + (1/2)e^(-3t) ✓ Vérification : L{(3/2)e^(-t) + (1/2)e^(-3t)} = (3/2)/(s+1) + (1/2)/(s+3) = [3(s+3) + (s+1)] / [2(s+1)(s+3)] = (4s+10)/[2(s+1)(s+3)] = (2s+5)/[(s+1)(s+3)] ✓ Exemple 5 — Facteur linéaire répété : Trouvez L⁻¹{1/[s(s + 2)²]}. Modèle : A/s + B/(s + 2) + C/(s + 2)² Éliminez : 1 = A(s + 2)² + Bs(s + 2) + Cs Fixez s = 0 : 1 = 4A → A = 1/4 Fixez s = -2 : 1 = -2C → C = -1/2 Développez et faites correspondre le coefficient s² : A + B = 0 → B = -1/4 Vérifiez le coefficient s : 4A + 2B + C = 4(1/4) + 2(-1/4) + (-1/2) = 1 - 1/2 - 1/2 = 0 ✓ (correspond au coefficient de s à gauche, qui est 0) Inversez chaque terme : L⁻¹{(1/4)/s} = 1/4 L⁻¹{(-1/4)/(s + 2)} = -(1/4)e^(-2t) L⁻¹{(-1/2)/(s + 2)²} = -(1/2)te^(-2t) Résultat : f(t) = 1/4 - (1/4)e^(-2t) - (1/2)te^(-2t) ✓
Fractions partielles pour transformation inverse de Laplace : factorisez Q(s), écrivez le modèle, éliminez les dénominateurs, substituez les valeurs stratégiques de s pour trouver chaque constante, puis inversez chaque morceau individuellement en utilisant la table.
Quelle est la Technique de Complétion de Carrés pour les Transformations Inverses de Laplace ?
Quand le dénominateur contient une quadratique irréductible — une dont le discriminant b² - 4c est négatif et n'a pas de racines réelles — vous ne pouvez pas la factoriser en termes linéaires sur les réels. La complétion de carrés la convertit en la forme (s + α)² + β², qui correspond aux entrées de table sinus et cosinus décalées. Le premier théorème de décalage : L⁻¹{F(s + α)} = e^(-αt)·f(t), où f(t) = L⁻¹{F(s)}. Exemple 6 — Dénominateur quadratique pur : Trouvez L⁻¹{1/(s² + 4s + 13)}. Compléter le carré : s² + 4s + 13 = (s + 2)² + 9 Réécrivez : 1/[(s + 2)² + 9] = (1/3)·3/[(s + 2)² + 9] Correspondance : L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt) avec b = 3, décalé par α = 2. Premier théorème de décalage : L⁻¹{3/[(s + 2)² + 9]} = e^(-2t)·sin(3t) Résultat : f(t) = (1/3)e^(-2t)·sin(3t) ✓ Vérification : L{(1/3)e^(-2t)sin(3t)} = (1/3)·3/[(s+2)²+9] = 1/(s²+4s+13) ✓ Exemple 7 — Numérateur qui correspond à s décalé : Trouvez L⁻¹{(s + 3)/(s² + 6s + 13)}. Compléter le carré : s² + 6s + 13 = (s + 3)² + 4 Le numérateur s + 3 égale déjà la variable décalée (s + 3). Correspondance : L⁻¹{(s + α)/[(s + α)² + β²]} = e^(-αt)·cos(βt) avec α = 3, β = 2. Résultat : f(t) = e^(-3t)·cos(2t) ✓ Exemple 8 — Numérateur qui doit être divisé : Trouvez L⁻¹{(2s + 1)/(s² + 4s + 8)}. Compléter le carré : s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 4 Divisez le numérateur : 2s + 1 = 2(s + 2) - 4 + 1 = 2(s + 2) - 3 Alors (2s + 1)/[(s + 2)² + 4] = 2(s + 2)/[(s + 2)² + 4] - 3/[(s + 2)² + 4] Inversez chaque terme : L⁻¹{2(s + 2)/[(s + 2)² + 4]} = 2e^(-2t)·cos(2t) L⁻¹{3/[(s + 2)² + 4]} = (3/2)·e^(-2t)·sin(2t) Résultat : f(t) = 2e^(-2t)·cos(2t) - (3/2)e^(-2t)·sin(2t) ✓
Complétion de carrés : s² + bs + c = (s + b/2)² + (c - b²/4). Alors le premier théorème de décalage donne L⁻¹{F(s + α)} = e^(-αt)·f(t), convertissant chaque entrée sinus/cosinus en sa version exponentiellement amortie.
Comment Utilise-t-on la Transformation Inverse de Laplace pour Résoudre une Équation Différentielle ?
Appliquer la transformation de Laplace à un problème de valeur initiale la convertit en une équation algébrique en Y(s). Résolvez Y(s), puis appliquez la transformation inverse de Laplace pour récupérer y(t). Ce flux de travail est où une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace est la plus puissante — chaque étape est une opération algébrique séparée.
1. Étape 1 — Transformez l'équation en utilisant les règles de dérivées standard
Pour y(t) avec y(0) = y₀ et y'(0) = y₁ : L{y'} = sY(s) - y₀ L{y''} = s²Y(s) - sy₀ - y₁ Appliquez ceux-ci à chaque terme. Les constantes du côté droit se transforment en utilisant la table (p. ex., L{e^(at)} = 1/(s - a)).
2. Étape 2 — Collectez Y(s) et résolvez algébriquement
Groupez tous les termes Y(s) sur le côté gauche, déplacez tout le reste vers le côté droit et factorisez Y(s). Cela produit Y(s) = [numérateur construit à partir des conditions initiales et des termes de forçage] / [polynôme en s du côté gauche]. Le résultat est une fonction rationnelle prête pour les fractions partielles.
3. Étape 3 — Appliquez les fractions partielles ou la complétion de carrés
Factorisez le dénominateur de Y(s). Si toutes les racines sont distinctes et réelles, utilisez A/(s - r₁) + B/(s - r₂) + … . Si des racines complexes apparaissent, complétez le carré et utilisez le théorème de décalage. Trouvez chaque constante en utilisant la méthode de couverture ou en développant et en faisant correspondre les coefficients.
4. Étape 4 — Inversez chaque terme en utilisant la table
Chaque terme de fraction partielle correspond exactement à une entrée de table. L'inverse de la somme est la somme des inverses. Écrivez y(t) comme la somme d'exponentielles, de sinus, de cosinus ou de produits polynôme-exponentielle comme indiqué par les entrées de table.
5. Étape 5 — Vérifiez en remplaçant dans l'équation originale et en vérifiant les conditions initiales
Différenciez y(t) le nombre de fois requis. Substituez y, y', y'' dans l'EDO originale et confirmez que les deux côtés sont égaux. Puis évaluez y(0) et y'(0) et confirmez qu'ils correspondent aux conditions initiales données. Les deux vérifications ensemble confirment la solution.
Exemple d'EDO Résolu : Résoudre y'' + 3y' + 2y = 0 en utilisant la Transformation Inverse de Laplace
Résolvez y'' + 3y' + 2y = 0, avec y(0) = 1 et y'(0) = 0. Étape 1 : Transformez chaque terme. L{y''} = s²Y(s) - s·y(0) - y'(0) = s²Y - s L{y'} = sY(s) - y(0) = sY - 1 L{y} = Y(s) Remplacez : (s²Y - s) + 3(sY - 1) + 2Y = 0 Y(s² + 3s + 2) = s + 3 Y(s) = (s + 3) / [(s + 1)(s + 2)] Étape 2 : Fractions partielles. A/(s + 1) + B/(s + 2) s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) s = -1 : 2 = A s = -2 : 1 = -B → B = -1 Y(s) = 2/(s + 1) - 1/(s + 2) Étape 3 : Inversez. y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t) Vérification : y(0) = 2 - 1 = 1 ✓ y'(t) = -2e^(-t) + 2e^(-2t); y'(0) = -2 + 2 = 0 ✓ y''(t) = 2e^(-t) - 4e^(-2t) Remplacez dans y'' + 3y' + 2y : (2e^(-t) - 4e^(-2t)) + 3(-2e^(-t) + 2e^(-2t)) + 2(2e^(-t) - e^(-2t)) = (2 - 6 + 4)e^(-t) + (-4 + 6 - 2)e^(-2t) = 0·e^(-t) + 0·e^(-2t) = 0 ✓ Cette vérification de bout en bout — vérification de l'EDO et des deux conditions initiales — est le standard utilisé dans tout cours d'ingénierie ou de mathématiques. Effectuer la même vérification en trois parties dans votre propre travail détecte la grande majorité des erreurs algébriques avant qu'elles vous coûtent des points.
Flux de travail d'EDO de Laplace : transformer → résoudre Y(s) algébriquement → fractions partielles → inverser → vérifier. L'étape de transformation inverse est les mêmes quatre techniques des sections précédentes — ce ne sont pas des compétences séparées, juste la dernière étape de la même méthode.
Quelles sont les Erreurs les Plus Courantes lors de la Recherche de Transformations Inverses de Laplace ?
Ces erreurs apparaissent régulièrement dans les solutions de devoirs et d'examens. Chacune est suffisamment spécifique pour être reconnue et corrigée dans votre propre travail.
1. Mal lire l'entrée de sinus — utiliser s au numérateur au lieu de b
L⁻¹{s/(s² + b²)} = cos(bt), pas sin(bt). L⁻¹{b/(s² + b²)} = sin(bt). La différence est le numérateur : s donne cosinus, b donne sinus. Les étudiants échangent souvent ceux-ci sous la pression du temps. Écrire les deux entrées de table côte à côte et vérifier le numérateur avant d'appliquer le résultat prévient cet échange.
2. Oublier d'ajuster le numérateur avant d'appliquer une entrée de table
L⁻¹{4/(s² + 9)} n'est pas sin(3t). L'entrée de table requiert que le numérateur soit exactement b = 3. L'expression doit être réécrite comme (4/3)·3/(s² + 9), donnant (4/3)sin(3t). Oublier le facteur scalaire 4/3 est l'une des erreurs d'étape unique les plus courantes dans les problèmes de transformation inverse.
3. Appliquer le théorème de décalage sans ajuster le numérateur
Pour L⁻¹{(2s + 1)/[(s + 2)² + 4]}, le numérateur 2s + 1 doit être réécrit en termes de (s + 2) avant que le théorème de décalage ne s'applique. Écrire 2s + 1 = 2(s + 2) - 3 est l'étape requise. Appliquer le théorème de décalage directement au numérateur inmodifié produit un résultat incorrect qui semble plausible mais échoue à la vérification.
4. Signe incorrect dans une constante de fraction partielle
Lors de l'utilisation de la méthode de couverture pour A/(s + 1) + B/(s + 3), couvrir à s = -3 donne le numérateur évalué à s = -3 divisé par le facteur restant évalué à s = -3. Les erreurs de signe ici se propagent directement dans le f(t) final. Après avoir trouvé toutes les constantes, substituez une valeur de test de s dans l'expression originale et la forme de fraction partielle — si elles correspondent, les constantes sont correctes.
5. Ne pas vérifier les conditions initiales après l'étape inverse
Si le problème de valeur initiale donne y(0) = 2 et y'(0) = 1, ces valeurs doivent être satisfaites par la solution y(t). Évaluez y(0) et y'(0) de votre réponse et comparez. Cela prend moins d'une minute. Si l'une d'elles échoue, les constantes de fraction partielle ou la transformation des dérivées est incorrecte — les deux valent la peine d'être revérifiées.
6. Oublier la restriction de domaine t ≥ 0
Les solutions de transformation de Laplace pour y(t) ne sont valides que pour t ≥ 0. Les fonctions e^(-2t), sin(3t) et te^(-t) sont définies pour tout t, mais la solution du problème de valeur initiale s'applique uniquement sur la demi-ligne où t ≥ 0. Écrire y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t) pour t ≥ 0 est techniquement complet ; omettre la restriction de domaine est une erreur de notation courante dans les écrits formels.
Questions Fréquemment Posées sur les Calculatrices de Transformation Inverse de Laplace
1. Quelle est la différence entre la transformation de Laplace et la transformation inverse de Laplace ?
La transformation de Laplace L{f(t)} = F(s) mappe une fonction de domaine temporel au domaine s, convertissant les équations différentielles en algébriques. La transformation inverse de Laplace L⁻¹{F(s)} = f(t) va dans la direction opposée, récupérant la fonction de domaine temporel original à partir de sa représentation de domaine s. Dans un flux de travail d'EDO, vous appliquez la transformation directe pour configurer F(s), résolvez algébriquement Y(s) et appliquez ensuite l'inverse pour obtenir y(t).
2. Quand dois-je utiliser une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace au lieu de méthodes directes ?
Une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace est plus précieuse quand F(s) nécessite des fractions partielles avec plus de deux termes, ou quand le dénominateur contient un facteur répété ou une quadratique irréductible nécessitant le théorème de décalage. Pour ces cas, les étapes algébriques sont assez longues pour qu'une erreur intermédiaire soit facile à manquer — voir chaque calcul de constante et chaque appariement de table étiquetés séparément rend simple de trouver exactement où votre calcul manuel s'est écartée du chemin correct.
3. Comment fonctionne le premier théorème de décalage, et pourquoi est-ce important ?
Le premier théorème de décalage énonce L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t), où f(t) = L⁻¹{F(s)}. C'est important parce que la plupart des systèmes du monde réel ont des oscillations amorties — des solutions impliquant e^(-αt)·sin(βt) ou e^(-αt)·cos(βt) plutôt que des sinus et cosinus purs. En complétant le carré pour révéler (s + α)² + β², vous appliquez le théorème avec a = -α et appariez immédiatement les entrées de table amorties. Sans le théorème de décalage, vous auriez besoin d'une ligne de table séparée pour chaque α possible, ce qui est impratique.
4. Puis-je vérifier un résultat de transformation inverse de Laplace sans calculer l'intégrale de contour ?
Oui — et c'est ainsi que tout manuel recommande la vérification. Prenez la transformation de Laplace directe de f(t) en utilisant la même table dans la direction directe. Si L{f(t)} reproduit exactement votre F(s) original, l'inverse est correct. Pour les problèmes d'EDO, la vérification supplémentaire consiste à substituer y(t) dans l'équation originale et évaluer numériquement les conditions initiales. Ces deux vérifications ensemble confirment le résultat sans aucune analyse complexe.
5. Quelle est la différence entre le premier et le deuxième théorème de décalage ?
Le premier théorème de décalage (décalage en s) énonce L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t) — un décalage dans le domaine s multiplie f(t) par une exponentielle en t. Le deuxième théorème de décalage (décalage en t) énonce L⁻¹{e^(-as)·F(s)} = u(t - a)·f(t - a), où u est la fonction d'échelon unitaire — un facteur de e^(-as) dans le domaine s correspond à un délai de temps dans le domaine t. Le premier théorème de décalage est celui utilisé pour les problèmes de complétion de carrés ; le second apparaît quand la fonction de forçage s'active à t = a au lieu de t = 0.
6. Comment gère-t-on F(s) où le degré du numérateur égale ou dépasse le degré du dénominateur ?
Effectuez d'abord une division longue de polynômes. Divisez le numérateur par le dénominateur pour exprimer F(s) comme un polynôme plus un reste propre. La partie polynomiale est inversée terme par terme : une constante A est inversée en A·δ(t), et As + B nécessite une correspondance avec les formes dérivées-de-delta — bien que celles-ci apparaissent rarement dans les cours d'introduction aux EDO. Le reste propre est inversé par les méthodes standard de fractions partielles et complétion de carrés. La plupart des problèmes de manuels sont écrits pour que F(s) soit déjà propre, mais vérifiez toujours les degrés avant de commencer.
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Comment une Calculatrice Étape par Étape de Transformation Inverse de Laplace Identifie-t-elle la Bonne Technique ?
Avant d'appliquer une formule quelconque, une calculatrice étape par étape de transformation inverse de Laplace classifie F(s). La classification détermine la méthode. Sauter cette étape est où la plupart des erreurs commencent — les étudiants appliquent les fractions partielles à une fonction qui correspond déjà à une entrée de table, ou manquent le décalage nécessaire pour un dénominateur carré complété.
1. Étape 1 — Vérifier une correspondance directe dans la table
Inspectez F(s) par rapport aux entrées de table standard : 1/s, 1/(s-a), n!/s^(n+1), b/(s²+b²), s/(s²+b²) et leurs formes décalées. Si la correspondance est exacte, lisez le résultat directement dans la table. De nombreux problèmes de manuels sont conçus pour être des correspondances directes — les identifier économise du temps important.
2. Étape 2 — Vérifier si F(s) est une fonction rationnelle propre
Si F(s) = P(s)/Q(s) où le degré de P est inférieur au degré de Q, les fractions partielles s'appliquent. Factorisez Q(s) en facteurs linéaires (s - a) et quadratiques irréductibles (s² + bs + c avec b² - 4c < 0). Chaque facteur linéaire distinct produit un terme A/(s - a) ; chaque facteur linéaire répété (s - a)^k produit les termes A₁/(s-a) + A₂/(s-a)² + … + Aₖ/(s-a)^k ; chaque quadratique irréductible produit des termes en s et des constantes sur ce quadratique.
3. Étape 3 — Complétez le carré pour les dénominateurs quadratiques irréductibles
Quand le dénominateur contient s² + bs + c sans racines réelles, réécrivez-le comme (s + b/2)² + (c - b²/4). Le décalage a = -b/2 révèle quelle version de l'entrée de table sinus ou cosinus s'applique. Le premier théorème de décalage donne alors : L⁻¹{F(s - a)} = e^(at)·f(t), où f(t) = L⁻¹{F(s)}.
4. Étape 4 — Si F(s) n'est pas propre, faites d'abord une division longue de polynômes
Si le degré de P(s) est supérieur ou égal au degré de Q(s), divisez P par Q pour obtenir un polynôme plus un reste propre. La partie polynomiale est inversée terme par terme en utilisant L⁻¹{sⁿ} = δ^(n)(t) (dérivées du delta de Dirac, rarement nécessaires dans les cours d'introduction) ; le reste propre est inversé par fractions partielles.
5. Étape 5 — Vérifier en prenant la transformation de Laplace directe
Après avoir trouvé f(t), calculez L{f(t)} en utilisant la table de transformation directe et vérifiez qu'elle reproduit F(s). Cette vérification coûte environ une minute et confirme ou réfute le résultat définitivement. Elle détecte les erreurs de signe dans les constantes de fractions partielles et les facteurs manquants du théorème de décalage.