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平方完成：ステップバイステップガイドと実践例

March 16, 2026·15分の読解·Solvify Team

平方完成は、二次式を完全平方式と定数の和に書き直す代数手法です。因数分解できない方程式を解くこと、標準形を頂点形式に変換すること、さらには二次公式を導出することを可能にします。高校代数、大学入試、そして二次式が現れるあらゆる場所で見られます。二次公式とは異なり答えを直接与えるのではなく、平方完成はその答えがどのように構築されるかを示します。このガイドでは、完全に解かれた数値例、主係数が1でない場合の扱い、二次公式の完全な導出、学生がよく引っかかる質問に答えるFAQセクションなど、すべてのステップを網羅しています。

平方完成とは何か？

x² + bx + cの形の二次式は、その根、頂点、最大値と最小値を自動的には明らかにしません。平方完成は、この式を(x + p)² + qの形に再構成する代数手法です。ここで、標準形に隠れていたすべてのものが一度に見えるようになります。重要な観察は、任意の完全平方二項式(x + p)²がx² + 2px + p²に展開されるということです。したがって、x² + bxから始めて完全平方三項式を作りたい場合、正確に(b/2)² — xの係数の半分の二乗 -- を加える必要があります。加えられたこの定数が、正方形を'完成'させるものです。二変数方程式y = ax² + bx + cに適用される場合、結果の形は頂点形式と呼ばれます。変換後、方程式はy = a(x − h)² + kになり、放物線の頂点は点(h, k)として直ちに見えます。ax² + bx + c = 0を解く(左辺をゼロに設定)ときは、技術は左辺を書き直すので、両辺の平方根を取るのが次の明白なステップです。二次公式が存在するのに、なぜこの方法を学ぶのか？3つの重要な理由があります。第一に、いくつかの問題 -- 頂点形式の変換、円錐曲線の方程式、微積分での積分設定 -- は、根だけでなく、この特定の代数形式を必要とします。第二に、二次公式そのものは、一般形ax² + bx + c = 0に対して平方完成を適用することで導出されます。したがって、このプロセスを理解することは、その公式がどこから来ているのかについての洞察を与えます。第三に、主係数が1で数値が扱いやすい場合、このアプローチはしばしば公式よりも速いです。これはあなたの代数ツールキットに、因数分解と二次公式と一緒に属します。

平方完成は、両辺に(b/2)²を加えることで、x² + bxを完全平方三項式に変換します。y = ax² + bx + cの場合、まずaを因数分解し、括弧内に(b/(2a))²を加えて引きます。結果は放物線の頂点を明らかにし、方程式を頂点形式y = a(x − h)² + kに変換します。

ステップバイステップで平方完成を行う方法（a = 1）

x²の係数が1である場合、プロセスは6つのステップの明確なシーケンスに従います。すべての6つのステップはx² + 6x + 1 = 0で下記に示され、次に第2の例で即座に繰り返され、パターンを確認します。両方の方程式は無理数解を持ちます。これは二次公式が扱えるが因数分解では到達できない種類です。これは正にこの方法が価値を発揮する状況です。

1. ステップ1 — 定数を右側に移動

x²とxの項が左側にあり、定数が右側にあるように方程式を書き直します。x² + 6x + 1 = 0の場合、両辺から1を引きます：x² + 6x = −1。定数がすでに0の場合（例：x² + 6x = 0）、右側に0のままにします。プロセスは同じように動作します。

2. ステップ2 — 平方完成定数を見つける：(b/2)²

xの係数はb = 6です。2で割って3を得た後、二乗します：(6/2)² = 3² = 9。これは、x² + 6xに加えられると、完全平方三項式x² + 6x + 9 = (x + 3)²を作成する数です。常に割った後に二乗します。単に二乗せずに割らないでください。また、割る前に二乗しないでください。

3. ステップ3 — 平方完成定数を両辺に加える

等式を保つために両辺に9を加えます：x² + 6x + 9 = −1 + 9で、x² + 6x + 9 = 8を得ます。左辺は今、完全平方三項式の3つの項を含みます。両辺への加算は等式を保存します。多くの学生が片側だけに定数を加えて方程式を壊すのはこのステップです。

4. ステップ4 — 左辺を完全平方式として因数分解

左辺x² + 6x + 9は(x + 3)²として因数分解されます。書きます：(x + 3)² = 8。括弧内の数字は常にb/2です：ここで6/2 = 3。規則は：x² + bx + (b/2)²は常に(x + b/2)²として因数分解されます。推測は必要ありません。

5. ステップ5 — 両辺の平方根を取る

両辺に平方根を適用します：√[(x + 3)²] = ±√8。左辺はx + 3に簡略化されます。右辺は±√8 = ±2√2です。なぜなら√8 = √(4 × 2) = 2√2だからです。書きます：x + 3 = ±2√2。±記号は任意ではありません。1つの根は正の平方根から、もう1つは負から来ており、±を省略すると1つの解を完全に失います。

6. ステップ6 — xについて解く

両辺から3を引きます：x = −3 ± 2√2。これは2つの解を与えます：x = −3 + 2√2 ≈ −0.17およびx = −3 − 2√2 ≈ −5.83。x = −3 + 2√2を元の方程式に代入して検証します：x² + 6x + 1 = (−3 + 2√2)² + 6(−3 + 2√2) + 1 = (9 − 12√2 + 8) + (−18 + 12√2) + 1 = 17 − 12√2 − 18 + 12√2 + 1 = 0 ✓。

7. 解説例2 — x² − 8x + 3 = 0

ステップ1：x² − 8x = −3。ステップ2：b = −8；定数 = (−8/2)² = (−4)² = 16。負数の二乗は正であるため、定数は常に非負です。ステップ3：x² − 8x + 16 = −3 + 16 = 13。ステップ4：(x − 4)² = 13。内側の符号はb/2 = −4です：(x − 4)を書きます、(x + 4)ではなく。ステップ5：x − 4 = ±√13。ステップ6：x = 4 ± √13。数値的に：x ≈ 7.61またはx ≈ 0.39。ビエタ検証：根の合 = 4 + √13 + 4 − √13 = 8 = −(−8)/1 = −b/a ✓。

x² + bxの場合、加える定数は(b/2)²です。両辺に加え、左を(x + b/2)²として因数分解し、平方根を取り、解きます。平方根の±は必須です。両方の解を生み出します。

a ≠ 1の場合の平方完成

x²の係数が1でない場合、追加のステップが最初に来ます。x²とxの項から主係数を因数分解します。定数cは外に残されます。これにより、括弧内の式がx² + (b/a)x -- 主係数が1 -- の形になり、標準法が適用されます。臨界詳細は、平方完成定数が括弧内に加えられると、外に出されるときにaで乗算されることです。これは右側の算術を変更します。

1. 解説例1 — 2x² − 12x + 5 = 0

ステップ1：定数を移動：2x² − 12x = −5。ステップ2：左側からa = 2を因数分解：2(x² − 6x) = −5。ステップ3：内部の式の定数を見つけます。内部のxの係数は−6；定数 = (−6/2)² = (−3)² = 9。ステップ4：括弧内に9を加えます。9は2で乗算された括弧内にあるため、内部に9を加えると左側に2 × 9 = 18を加えます。右側に18を加えます：2(x² − 6x + 9) = −5 + 18 = 13。ステップ5：完全平方三項式を因数分解：2(x − 3)² = 13。ステップ6：両辺を2で割ります：(x − 3)² = 13/2。ステップ7：x − 3 = ±√(13/2) = ±√26/2。ステップ8：x = 3 ± √26/2。数値的に：√26 ≈ 5.099なので、x ≈ 5.55またはx ≈ 0.45。

2. 解説例2 — 3x² + 6x − 2 = 0

ステップ1：3x² + 6x = 2。ステップ2：3を因数分解：3(x² + 2x) = 2。ステップ3：定数 = (2/2)² = 1² = 1。内部に1を加えると左側に3 × 1 = 3を加えます；右側に3を加えます：3(x² + 2x + 1) = 2 + 3 = 5。ステップ4：3(x + 1)² = 5。ステップ5：(x + 1)² = 5/3。ステップ6：x + 1 = ±√(5/3) = ±√15/3。ステップ7：x = −1 ± √15/3。数値的に：√15 ≈ 3.873なので、x ≈ 0.291またはx ≈ −2.291。二次公式で検証：x = (−6 ± √(36 + 24)) / 6 = (−6 ± √60) / 6 = (−6 ± 2√15) / 6 = −1 ± √15/3 ✓。

3. 代替案：最初にaで割る

いくつかの教師は、主係数をすぐに排除するために、進む前に方程式全体をaで割ることを好みます。2x² − 12x + 5 = 0の場合、2で割ります：x² − 6x + 5/2 = 0。5/2を右に移動：x² − 6x = −5/2。(−6/2)² = 9を加えます：x² − 6x + 9 = −5/2 + 9 = 13/2。因数分解：(x − 3)² = 13/2。これは同じ結果を与えます。トレードオフ：分数は早く出現しますが、計算の残りの部分をaで乗算して追跡するのを避けます。両方のアプローチは正しいです。

a ≠ 1のとき：x²とxの項からaを因数分解し、cを外に残します。括弧内の正方形を完成させます。括弧内に加えられた定数は、外に出るときにaで乗算されることを覚えておいてください。右側に(b/2a)²だけでなくa × (b/2a)²を加えることで補償してください。

標準形から頂点形式への変換

この技術の最も実用的な応用の1つは、y = ax² + bx + cを頂点形式y = a(x − h)² + kに変換することです。頂点形式は、頂点(h, k)、対称軸x = h、および放物線が開く方向を直ちに示します。この変換は、放物線をグラフ化するよう求められるか、最大値または最小値を特定するか、頂点を与えた方程式を書く問題に必要です。プロセスは平方完成で解くのとほぼ同じですが、重要な違いが1つあります。2変数の方程式で作業しているため、cを他方に移動しません。代わりに、同じ定数を片側に加えて引きます。そうすると方程式は均衡を保ちます。

1. 解説例1 — y = 2x² − 8x + 5を頂点形式に変換

ステップ1：x²とxの項をグループ化：y = (2x² − 8x) + 5。ステップ2：a = 2を因数分解：y = 2(x² − 4x) + 5。ステップ3：定数 = (−4/2)² = (−2)² = 4。ステップ4：括弧内に4を加えて引きます：y = 2(x² − 4x + 4 − 4) + 5。ステップ5：完全平方式を−4から分離：y = 2(x² − 4x + 4) + 2(−4) + 5。−4は括弧から2で乗算されて出ます。ステップ6：簡略化：y = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3。頂点形式：y = 2(x − 2)² − 3。頂点：(2, −3)。放物線は上に開きます(a = 2 > 0)、(2, −3)で最小値。対称軸：x = 2。交差検証：h = −(−8)/(2 × 2) = 8/4 = 2 ✓；k = 2(4) − 8(2) + 5 = 8 − 16 + 5 = −3 ✓。

2. 解説例2 — y = −x² + 6x − 4を頂点形式に変換

ステップ1：グループ化：y = (−x² + 6x) − 4。ステップ2：a = −1を因数分解：y = −(x² − 6x) − 4。ステップ3：定数 = (−6/2)² = (−3)² = 9。ステップ4：括弧内に9を加えて引く：y = −(x² − 6x + 9 − 9) − 4。ステップ5：y = −(x² − 6x + 9) − (−1)(9) − 4 = −(x − 3)² + 9 − 4。頂点形式：y = −(x − 3)² + 5。頂点：(3, 5)。放物線は下に開きます(a = −1 < 0)、(3, 5)で最大値。関数の値は5を超えることは決してありません。範囲：y ≤ 5。

y = ax² + bx + cを頂点形式に変換するために：x項からaを因数分解し、括弧内に(b/(2a))²を加えて引きます（他方に移動しません）、簡略化します。頂点(h, k)はy = a(x − h)² + kに直接現れます。

平方完成による二次公式の導出

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)を使用するたびに、一般形ax² + bx + c = 0に対してこの代数技術を適用することで導出された結果を使用しています。導出を理解することは価値があります。公式が恣意的でないことを示し、最も難しい場合(一般的なa、b、c)の仕組みに対するあなたの理解を深め、試験でその公式を忘れた場合に何かを再構築するものを与えます。下記の5つのステップは、上記のすべての特定の数値例で使用されたものと同じシーケンスに従います。

1. ステップ1 — cを右側に移動

ax² + bx + c = 0で開始します。両辺からcを引きます：ax² + bx = −c。

2. ステップ2 — すべての項をaで割る

aで割ります(有効です。なぜなら二次方程式ではa ≠ 0だからです)：x² + (b/a)x = −c/a。今、主係数は1で標準プロセスが続行できます。

3. ステップ3 — 平方完成定数を見つけて加える

xの係数はb/aです。その半分はb/(2a)です。二乗します：[b/(2a)]² = b²/(4a²)。両辺に加えます：x² + (b/a)x + b²/(4a²) = −c/a + b²/(4a²)。

4. ステップ4 — 左側を因数分解し、右側を簡略化

左側は完全平方式です：(x + b/(2a))² = b²/(4a²) − c/a。右側を共通分母4a²で組み合わせます：−c/aを−4ac/(4a²)に書き直します。右側は(b² − 4ac)/(4a²)になります。これは分子の判別式です。

5. ステップ5 — 平方根を取り、xを分離

両辺の平方根を取ります：x + b/(2a) = ±√[(b² − 4ac)/(4a²)] = ±√(b² − 4ac) / (2a)。両辺からb/(2a)を引きます： x = −b/(2a) ± √(b² − 4ac)/(2a) = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)。これが二次公式です。その中のすべての項は、一般形に対する平方完成から直接来ました。判別式b² − 4acは、左側が完全平方式になった後、右側に残された量です。

二次公式x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)は、完全な一般性でax² + bx + c = 0に対して平方完成を行う結果です。判別式b² − 4acは、左側が完全平方式になった後、右側に残される数です。

平方完成時の一般的なミス

この技術を学んでいる学生は、いくつかの予測可能なエラーを犯します。下記はそれぞれその情報源と正しいアプローチとペアになっています。最初の練習セッション後にこのリストを確認することは、習慣が根付く前にそれを捉える確実な方法です。ほとんどのこれらのエラーは、学生が何が悪かったのか気づかない試験で点を失います。

1. エラー1 — 定数を片側だけに加える

最も一般的なエラー：(b/2)²を左側に加えますが右側には加えません。x² + 6x = −1の場合、両辺に9を加える必要があります：x² + 6x + 9 = −1 + 9 = 8。x² + 6x + 9 = −1と書くことは方程式を壊します。両側はもはや等しくありません。片側に加える数字は、もう一方側にも加える必要があります。

2. エラー2 — b/2ではなくbを二乗

加える定数は(b/2)²であり、b²ではありません。x² + 10xの場合：定数は(10/2)² = 5² = 25です。10² = 100ではありません。有用な精神チェック：どのビノミアルがx² + 10x + ?を与えるために二乗するか尋ねてください。答えは(x + 5)² = x² + 10x + 25です。定数は25です。二項式内の数字は常にb/2であり、bではありません。

3. エラー3 — 定数が外に出る時のファクターaを忘れる

a ≠ 1で括弧内に定数を加えると、その定数は外に出る時にaで乗算されます。3(x² + 4x + 4 − 4)の場合：−4は3で乗算されて出て3(x + 2)² − 12を与えます。3(x + 2)² − 4と書く学生は2 × 4 = 8だけ外れています。簡略化する前に3(x + 2)² + 3(−4)を明確に書きます。

4. エラー4 — 因数分解されたビノミアル内の間違った符号

完全平方三項式を因数分解した後、括弧内の数字はb/2です。bではありません。x² − 8x + 16の場合、因数分解された形は(x − 4)²です。(x − 8)²ではありません。規則：x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²。bが負の場合、b/2も負です：b = −8の場合、b/2 = −4。因数は(x + (−4)) = (x − 4)です。

5. エラー5 — 平方根を取る時±を省略

√[(x − 4)²] = √13と書く時、結果はx − 4 = ±√13です。x − 4 = √13ではありません。すべての正の実数は2つの平方根を持ちます。±を省略すると常に1つの解を捨てます。「すべての解」または「何個の実根」を尋ねる試験問題では、このエラーは直接間違った答えにつながります。

6. エラー6 — 平方根を単純化されないままにしておく

右側が√8の場合、単純化します：√8 = √(4 × 2) = 2√2。x = −3 ± √8のままにしておくことは技術的には正しいですが、最も単純な根号形式ではなく、多くの採点ルーブリックは単純化を要求します。平方根を取った後、根号から最大の完全平方を因数分解します。4、9、16、25などの因数を探します。

完全な解決策を伴う実践問題

解決策を読む前に各問題を独立して行ってください。問題1と2は主係数が1で整数がきれいです。問題3は、割り出すと物事を単純化する共通因数を持ちます。問題4はa ≠ 1で共通因数がありません。問題5は頂点形式と放物線の追加の特徴を求めます。

1. 問題1（簡単）— x² + 4x − 3 = 0を解く

ステップ1：x² + 4x = 3。ステップ2：(4/2)² = 4。ステップ3：x² + 4x + 4 = 3 + 4 = 7。ステップ4：(x + 2)² = 7。ステップ5：x + 2 = ±√7。ステップ6：x = −2 ± √7。解：x = −2 + √7 ≈ 0.646およびx = −2 − √7 ≈ −4.646。正の根を検証：(−2 + √7)² + 4(−2 + √7) − 3 = (4 − 4√7 + 7) + (−8 + 4√7) − 3 = 11 − 4√7 − 8 + 4√7 − 3 = 0 ✓。

2. 問題2（簡単）— x² − 10x + 20 = 0を解く

ステップ1：x² − 10x = −20。ステップ2：(−10/2)² = 25。ステップ3：x² − 10x + 25 = −20 + 25 = 5。ステップ4：(x − 5)² = 5。ステップ5：x − 5 = ±√5。ステップ6：x = 5 ± √5。解：x = 5 + √5 ≈ 7.236およびx = 5 − √5 ≈ 2.764。ビエタチェック：根の合 = (5 + √5) + (5 − √5) = 10 = −(−10)/1 ✓。根の積 = (5 + √5)(5 − √5) = 25 − 5 = 20 = c/a ✓。

3. 問題3（中程度）— 2x² + 4x − 6 = 0を解く

すべての係数が2の因数を共有していることに注意してください。最初に2で割ります：x² + 2x − 3 = 0。今、a = 1で数字が小さいです。ステップ1：x² + 2x = 3。ステップ2：(2/2)² = 1。ステップ3：x² + 2x + 1 = 4。ステップ4：(x + 1)² = 4。ステップ5：x + 1 = ±2。ステップ6：x = −1 ± 2。解：x = 1またはx = −3。割った方程式を因数分解することで確認：(x − 1)(x + 3) = 0 ✓。aがbおよびcと因数を共有する場合、常に最初に割ります。分数で作業することを避けます。

4. 問題4（中程度）— 4x² − 24x + 11 = 0を解く

4、24、11の間に共通因数がありません。標準a ≠ 1手順を使用します。ステップ1：4x² − 24x = −11。ステップ2：4を因数分解：4(x² − 6x) = −11。ステップ3：定数 = (−6/2)² = 9。内部に9を加えると、左側に4 × 9 = 36を加えます；右側に36を加えます：4(x² − 6x + 9) = −11 + 36 = 25。ステップ4：4(x − 3)² = 25。ステップ5：(x − 3)² = 25/4。ステップ6：x − 3 = ±5/2。ステップ7：x = 3 ± 5/2。解：x = 3 + 5/2 = 11/2およびx = 3 − 5/2 = 1/2。因数分解で検証：4x² − 24x + 11 = (2x − 11)(2x − 1) → x = 11/2またはx = 1/2 ✓。

5. 問題5（難しい）— y = 3x² + 12x − 1を頂点形式に変換；頂点、対称軸、開く方向を述べる

ステップ1：グループ化：y = (3x² + 12x) − 1。ステップ2：3を因数分解：y = 3(x² + 4x) − 1。ステップ3：(4/2)² = 4。ステップ4：括弧内に4を加えて引く：y = 3(x² + 4x + 4 − 4) − 1。ステップ5：y = 3(x² + 4x + 4) + 3(−4) − 1 = 3(x + 2)² − 12 − 1。ステップ6：y = 3(x + 2)² − 13。頂点形式：y = 3(x + 2)² − 13。注意：(x + 2) = (x − (−2))なので、h = −2およびk = −13。頂点：(−2, −13)。対称軸：x = −2。方向：上に開きます(a = 3 > 0)、(−2, −13)での最小値。頂点公式による交差検証：h = −12/(2 × 3) = −12/6 = −2 ✓；k = 3(4) + 12(−2) − 1 = 12 − 24 − 1 = −13 ✓。

この方法と因数分解またはビークワッドラティック公式の使用時

平方完成は常に最速のアプローチではありません。使用する時を知っている -- そして別の方法がより速い時 -- は時間をかけたテストで節約し、算術エラーを減らします。方程式が小さい整数係数を持ち、判別式(b² − 4ac)が完全平方の場合、因数分解は最速です。x² + 5x + 6 = 0の場合、(x + 2)(x + 3) = 0を見つけることは10秒かかります。6ステップの手順を実行すると、同じ答えがより遅く生じます。平方完成は3つの特定の状況で正しい選択です：(1)問題が明確に頂点形式を求めています。根だけではなく；(2)主係数は1であり、xの係数は偶数で、(b/2)²のための清潔な整数を与えます；(3)式は円錐曲線または積分内に現れます。そこの二乗された形は最終目標です。二次公式はすべての二次でなく例外で機能します。しかし、特にaが大きい場合、最も算術が含まれます。b、またはc。不確実で時間が限られている場合、公式は常にあなたを答えに導きます。しかし、代数試験でのほとんどの標準形方程式では、最初に因数分解をスキャンし、a = 1およびbが偶数か確認し(平方完成を好む)、どちらの方法も清潔にフィットしない場合のみ公式に戻る価値があります。

FAQ — 平方完成

これはこのトピックについて学生が最もよく尋ねる質問です。回答は、混乱を引き起こす機械的詳細と、メソッドが他の代数トピックにどのように接続するかに焦点を当てます。

1. 平方完成は何に使用されますか？

技術には3つの主な用途があります：(1)因数分解できない二次方程式を解く -- 無理数または複雑な根を持つ方程式；(2)y = ax² + bx + cを頂点形式y = a(x − h)² + kに変換します。これは頂点、対称軸、および最大値または最小値を直接示します；および(3)二次公式を導出します -- 一般性でax² + bx + c = 0にこの技術を適用することの単なるこれは象徴としてa、b、cです。

2. 平方完成するときどの数字を加えるべきか、どうやって知りますか？

加える数字は常に(b/2)²です。ここで、b は、x²項の係数が1になった後、xの係数です。xの係数を2で割り、その結果を二乗します。x² + 10xの場合：b = 10；(10/2)² = 25を加えます。x² − 7xの場合：b = −7；(−7/2)² = 49/4を加えます。定数は負の数を二乗しているため常に正です。a ≠ 1の場合、最初にaを因数分解します。その結果、括弧内のx²の係数は1になります。

3. aが負の場合、平方完成できますか？

はい。x²とxの項からa(負)を因数分解します。括弧内にx²の係数1を残します。y = −2x² + 8x − 3の場合：−2を因数分解してy = −2(x² − 4x) − 3を得ます。内部の正方形を完成：(−4/2)² = 4。括弧内に4を加えて引く：y = −2(x² − 4x + 4 − 4) − 3 = −2(x − 2)² + 8 − 3 = −2(x − 2)² + 5。頂点：(2, 5)、放物線は下に開きます。

4. 平方完成後の右側が負の場合はどうなりますか？

右側が負の場合、方程式は実数解を持たないことを意味します。判別式が負です。x² + 2x + 5 = 0の場合：x² + 2x = −5；1を加えます：(x + 1)² = −4。実数は二乗して負の結果を与えないため、実数の根がありません。複素数システムでは、√(−4) = 2i。x = −1 ± 2iを与えます。しかし標準的な代数コースでは、右側が負であることは実数の解がないことを意味します。

5. 平方完成は二次公式と同じですか？

関連していますが同一ではありません。二次公式は、象徴的な係数を持つ一般形ax² + bx + c = 0に平方完成を適用することによって導出されます(上記の導出セクションを参照)。導出されたら、公式は有効期間です：プロセス全体を繰り返さずにa、b、cをプラグイン。平方完成はより柔軟です。それは根ではなく頂点形式を生むことができます。一方、公式は根のみを与えます。

6. bが奇数の場合、平方完成は機能しますか？

はい。ただし、分数が導入されます。x² + 5x + 3 = 0の場合：b = 5；定数 = (5/2)² = 25/4。3を右に移動：x² + 5x = −3。両辺に25/4を加えます：x² + 5x + 25/4 = −3 + 25/4 = −12/4 + 25/4 = 13/4。因数分解：(x + 5/2)² = 13/4。平方根を取ります：x + 5/2 = ±√13/2。解く：x = (−5 ± √13)/2。bが奇数の場合、分数は避けられませんが、手順は変わっていません。

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