合成関数計算機：f(g(x)) をステップごとに解く方法
合成関数計算機は、2 つの関数 f(x) と g(x) を受け取り、一方の関数の出力をもう一方の関数の入力に代入することで、1 つの新しい関数にまとめます。最もよく使われる形は f(g(x)) で、「f of g of x」と読みます。これは、まず g(x) を計算し、その結果を f に入れるという意味です。このガイドでは、文字式の関数を手計算で合成する方法、特定の数値で f(g(x)) と g(f(x)) を求める方法、平方根や分母を含む合成関数の定義域の求め方、そして 1 つの複雑な関数を 2 つのシンプルな関数に分解する方法を順に解説します。
目次
合成関数計算機は実際に何をしているのか？
合成関数計算機は、ある関数の出力をもう一方の関数の入力に直接渡すことで、既存の 2 つの関数から新しい関数を作ります。f(x) と g(x) が与えられたとき、合成 f(g(x))（(f ∘ g)(x) と書くこともあります）は、「任意の x をまず g に通し、その結果を f に通す」という意味です。順序は非常に重要で、だからこそ関数の合成計算機は、計算を始める前に必ずどちらの関数が内側でどちらが外側かを確認します。合成は、単位換算を連続して行う場面から微分の連鎖律まで、数学Ⅱ・Ⅲや微積分で頻繁に登場します。最終的に計算機で答えを確認するとしても、順序と式変形を正しく扱えるよう手計算で練習する価値は十分にあります。
f(g(x)) では g が先に計算され、その出力が f の入力になります。合成は常に内側から外側へ進みます。
合成関数計算機は数値での f(g(x)) をどう計算するのか？
数値を使って合成関数を計算するのは、文字式の合成に進む前に直感をつかむ最も簡単な方法です。f(x) = 2x + 3、g(x) = x² - 1 とします。合成関数計算機と同じ手順で f(g(2)) を求めましょう。
1. ステップ 1 — まず内側の関数を計算する
g(2) = (2)² - 1 = 4 - 1 = 3。
2. ステップ 2 — その結果を外側の関数に代入する
f(g(2)) = f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9。
3. ステップ 3 — 最終的な答えを書く
f(g(2)) = 9。
4. ステップ 4 — 逆算して確認する
f(3) 単独でも 9 になるはずです：2(3) + 3 = 9。一致するので、合成を正しく計算できたことが確認できます。
数値で f(g(x)) を求めるときは、必ず内側の関数の出力を先に計算しましょう。その数値こそが外側の関数が受け取る唯一の入力になります。
なぜ g(f(x)) は f(g(x)) と違う答えになるのか？
関数の合成は交換法則が成り立ちません。つまり、f(g(x)) と g(f(x)) は一般に異なる関数であり、異なる値になります。同じ f(x) = 2x + 3、g(x) = x² - 1 を使って g(f(2)) を求めてみましょう。
1. ステップ 1 — まず内側の関数を計算する
f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7。
2. ステップ 2 — その結果を外側の関数に代入する
g(f(2)) = g(7) = (7)² - 1 = 49 - 1 = 48。
3. ステップ 3 — f(g(2)) と比較する
前のセクションでは f(g(2)) = 9 でしたが、g(f(2)) = 48 です。順序が変わるだけでまったく異なる結果になります。
f(g(x)) と g(f(x)) が等しくなることはほとんどありません。内側と外側の関数を入れ替えると、どの演算が先に行われるかが変わるからです。
2 つの文字式の関数を代数的に合成するには？
文字式の合成は数値の合成と同じ仕組みですが、x が 1 つの数値にならず、最後まで変数のまま残る点が異なります。f(x) = √x、g(x) = 3x + 4 とします。f(g(x)) の一般式である (f ∘ g)(x) を求めましょう。
1. ステップ 1 — f の入力の位置に g(x) を書く
f(g(x)) とは、f(x) = √x に含まれるすべての x を、式 g(x) = 3x + 4 全体で置き換えることを意味します。
2. ステップ 2 — 代入して整理する
f(g(x)) = √(3x + 4)。f(x) = √x にはまとめるべき他の項がないため、代入した時点ですでに最も簡単な形になっています。
3. ステップ 3 — 練習として g(f(x)) と比較する
g(f(x)) = 3(√x) + 4 = 3√x + 4 となり、まったく別の式です。順序を変えると数値の答えだけでなく、得られる式そのものが変わることがわかります。
関数の合成計算機は、外側の関数の変数が現れるすべての場所に、内側の関数の式全体をそのまま代入することで文字式の合成を処理します。
合成関数の定義域とは？
合成関数 f(g(x)) の定義域は、2 つの条件を同時に満たすすべての x です：x が g の定義域に含まれること、そして g(x) が f の定義域に含まれること。合成関数の定義域を求めるときに最も多いミスは、この 2 つ目の条件を見落とすことです。f(x) = 1/x、g(x) = x - 5 とします。f(g(x)) の定義域を求めましょう。
1. ステップ 1 — 内側の関数 g(x) の定義域を求める
g(x) = x - 5 は多項式なので、定義域はすべての実数、つまり (負の無限大, 無限大) です。
2. ステップ 2 — 関数を合成する
f(g(x)) = 1/(x - 5)。
3. ステップ 3 — 外側の関数の制約を g(x) に適用する
f(x) = 1/x には x ≠ 0 という条件があるので、合成関数では g(x) ≠ 0、すなわち x - 5 ≠ 0 が必要になり、x ≠ 5 となります。
4. ステップ 4 — 合成関数の定義域を書く
定義域：(負の無限大, 5) ∪ (5, 無限大)。g(x) 単独には制約がなくても、外側の関数の分母に関する制約は合成関数にも引き継がれます。
合成関数の定義域は、内側の関数の定義域だけでは決まりません。外側の関数が g(x) に課すすべての制約も引き継ぎます。
平方根を含む合成関数の定義域はどう求める？
合成の中に平方根があると、もう 1 段階の確認が必要になります。代入後、根号の中の式全体が 0 以上でなければならないからです。f(x) = √x、g(x) = 4 - x² とします。f(g(x)) の定義域を求めましょう。
1. ステップ 1 — 関数を合成する
f(g(x)) = √(4 - x²)。
2. ステップ 2 — 平方根の制約を内側の式全体に適用する
f(x) = √x は 0 以上の入力に対してのみ定義されるので、根号の中身は 4 - x² ≥ 0 を満たす必要があります。
3. ステップ 3 — 不等式を解く
4 - x² ≥ 0 を変形すると x² ≤ 4 となり、-2 ≤ x ≤ 2 が得られます。
4. ステップ 4 — 定義域を区間で表す
定義域：[-2, 2]。x = ±2 のとき 4 - x² = 0 となり、√0 = 0 は有効な実数の出力なので、両端の値も含まれます。
合成関数の外側に平方根がある場合は、x を求める前に内側の式全体を 0 以上とおきましょう。
合成関数を 2 つのシンプルな関数に分解するには？
関数の分解は合成の逆の操作です。1 つの複雑な式が与えられたとき、f(g(x)) が元の式を再現するような内側の関数 g(x) と外側の関数 f(x) を見つけます。有効な分解は 1 通りとは限りませんが、通常は両方をできるだけシンプルにすることを目指します。h(x) = (2x + 1)³ を考えてみましょう。
1. ステップ 1 — 最後に行われる演算を見つける
x に対して最後に行われる演算は、(2x + 1) 全体を 3 乗することです。したがって、3 乗が外側の関数になります。
2. ステップ 2 — 外側の関数 f(x) を決める
最も外側の演算が何かを 3 乗することなので、f(x) = x³ です。
3. ステップ 3 — 内側の関数 g(x) を決める
3 乗される式である g(x) = 2x + 1 です。
4. ステップ 4 — 再び合成して分解を確認する
f(g(x)) = (g(x))³ = (2x + 1)³ となり、h(x) と完全に一致するので、分解が正しいことが確認できます。
関数を分解するときは、最後に行われる演算は何かを考えましょう。その演算がほぼ必ず外側の関数 f(x) になります。
関数の合成でよくあるミスは？
合成のミスは、概念を根本的に誤解していることよりも、繰り返し起こりがちないくつかのうっかりミスから生じることがほとんどです。
1. ミス 1 — 間違った順序で合成する
f(g(x)) は g が先、g(f(x)) は f が先です。気づかずに順序を入れ替えると、まったく別の関数になってしまいます。
2. ミス 2 — 定義域に対する外側の関数の制約を忘れる
g(x) 自体に制約がなくても、f(x) に分母、平方根、対数が含まれていれば、f(g(x)) には制約が生じることがあります。
3. ミス 3 — 内側の関数の一部しか代入しない
f(g(x)) を作るときは、最初に現れる x だけでなく、f(x) に含まれるすべての x を g(x) の式全体で置き換える必要があります。
4. ミス 4 — f(g(x)) を f(x) と g(x) の積と混同する
合成は代入であり、掛け算ではありません。初心者には表記が似て見えるかもしれませんが、f(g(x)) は f(x) · g(x) と同じではありません。
関数の合成ミスの大半は、f と g の順序の入れ替えか、代入の一部の書き漏らしが原因です。この 2 つのステップはゆっくり確認しましょう。
練習問題：関数の合成スキルを試そう
解答を見る前に各問題を自分で解いて、手計算で関数を合成する自信をつけましょう。
1. 問題 1 — f(x) = x + 6、g(x) = 2x のとき、f(g(3)) を求めよ
解答：g(3) = 2(3) = 6。f(g(3)) = f(6) = 6 + 6 = 12。
2. 問題 2 — f(x) = x²、g(x) = x - 1 のとき、(f ∘ g)(x) を求めよ
解答：f(g(x)) = (g(x))² = (x - 1)² = x² - 2x + 1。
3. 問題 3 — f(x) = 1/(x + 2)、g(x) = x² のとき、f(g(x)) の定義域を求めよ
解答：f(g(x)) = 1/(x² + 2)。x² + 2 は常に 2 以上なので分母が 0 になることはなく、定義域はすべての実数、つまり (負の無限大, 無限大) です。
内側の関数の式全体を代入し、その後で外側の関数の制約を確認すれば、ほとんどの合成ミスは誤答になる前に防げます。
Solvify は合成関数の問題の確認にどう役立つ？
関数の合成、特定の値での f(g(x)) と g(f(x)) の計算、合成関数の定義域の求め方は、微積分の連鎖律に直接つながるスキルです。だからこそ、まずは手計算で代入の手順を練習する価値があります。答えを確認したいときや、どこで代入を間違えたのかを正確に知りたいときは、Solvify で合成関数の問題を撮影するだけで、合成の順序、代入、得られる定義域までステップごとの詳しい解説を確認できます。
Solvify のような合成関数計算機は、代数の練習の代わりとしてではなく、自分で行った代入を確認するためのツールとして使うのが最も効果的です。
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