二次不等式のグラフの描き方：完全ステップバイステップガイド
二次不等式のグラフ化は、二次方程式のグラフ化の延長線上にあります。同じ放物線を描き、その後どの境界線を使うか、どの領域を塗りつぶすかを決めるだけです。二次不等式は y = ax² + bx + c の等号を <、>、≤、≥ に置き換えたもので、解はもはや曲線ではなく、座標平面の二次元領域全体になります。このガイドでは、2変数の二次不等式のグラフ化を3つの完全な例題で解説し、放物線を破線で描く場合と実線で描く場合を説明し、正しい塗りつぶし領域を見つけるためのテスト点の選び方と代入方法を示し、さらに関連する技能として区間記法を使った1変数の二次不等式の解法も扱います。
目次
二次不等式とは何か？
2変数の二次不等式は y > ax² + bx + c、y < ax² + bx + c、y ≥ ax² + bx + c、y ≤ ax² + bx + c のいずれかの形をしています。解集合は1本の曲線ではなく座標平面の領域で、放物線より上の全体、下の全体、あるいは境界として放物線自体を含むものになります。二次不等式のグラフ化はいつも同じ手順で始まります。まず不等号を等号だと思って関連する二次方程式 y = ax² + bx + c のグラフを描き、次にその境界をどう描くか、どちら側を塗りつぶすかを決めます。x² − 5x + 6 ≥ 0 のような1変数版もあり、この場合の解は塗りつぶした領域ではなく、区間記法で書かれた x の値の集合になります。本ガイドでは両方の形を扱います。
2変数の二次不等式のグラフ化は必ず放物線 y = ax² + bx + c から始まります。不等号は描き方と塗りつぶし方を変えるだけで、曲線の位置は変えません。
放物線を破線にするのはいつ、実線にするのはいつ？
境界曲線のルールは一次不等式のグラフ化と同じです。厳密な不等号（< または >）の場合、放物線上の点は不等式を満たさないので、境界が含まれないことを示すために破線（点線）で描きます。厳密でない不等号（≤ または ≥）の場合、放物線上の点も不等式を満たすので、境界が含まれることを示すために実線で描きます。この確認は2秒で終わりますが、採点者が最初に見る箇所なので毎回行う価値があります。
1. 厳密な不等号（< または >）→ 破線
y > x² − 4x + 3 や y < x² − 4x + 3 では、放物線自体は解に含まれません。領域の境目を示すだけなので破線で描きます。曲線上の点を選んで代入すると、必ず不等式が成り立たなくなるはずです。
2. 厳密でない不等号（≤ または ≥）→ 実線
y ≥ x² − 4x + 3 や y ≤ x² − 4x + 3 では、放物線は解集合の一部なので実線で描きます。曲線上の点は等号で不等式を満たすため、塗りつぶし領域に属します。
厳密な < や > → 破線（境界は含まない）。厳密でない ≤ や ≥ → 実線（境界を含む）。これは一次不等式のグラフ化とまったく同じルールです。
どちら側を塗りつぶすかはどうやって分かる？
境界を描いたら、テスト点を1つ調べるだけで塗りつぶす領域全体が決まります。放物線は平面をちょうど2つの領域（内側／上側と外側／下側）に分けるため、曲線上にないことが明らかな点を1つ取れば、両方の領域を一度に判定できます。これは不等号だけで考えるより速く確実で、放物線が単純な上に開く形でない場合はなおさらです。
1. ステップ1：放物線上にないテスト点を選ぶ
放物線が原点を通らない限り、原点 (0, 0) が最も簡単な選択です。もし (0, 0) が曲線上にある場合は、(0, 5) や (1, 0) など別の簡単な点を選びます。
2. ステップ2：テスト点を不等式に代入する
テスト点の x と y の値を（方程式ではなく）元の不等式に代入し、両辺を簡単にします。
3. ステップ3：塗りつぶす領域を決める
テスト点で不等式が成り立つなら、その点を含む領域を塗りつぶします。成り立たないなら、反対側の領域、つまりテスト点を含まない方の領域を塗りつぶします。
4. ステップ4：不等号の向きで確認する
簡単な確認として、上に開く放物線では y >（または y ≥）は放物線の上側／外側、y <（または y ≤）は下側／内側を塗りつぶすのが普通です。ただし下に開く放物線ではこのパターンが逆になるため、記憶に頼らず必ずテスト点で確認してください。
曲線上にないテスト点を1つ取れば塗りつぶし領域全体が分かります。元の不等式に代入し、式が成り立つ側を塗りつぶしましょう。
例題1：y > x² − 4x + 3 のグラフ
この例題では、上に開く放物線と厳密な「より大きい」不等号を使います。関連する方程式 y = x² − 4x + 3 は a = 1、b = −4、c = 3 で、以前のグラフ化ガイドで使ったのと同じ放物線なので、境界の形はすでに見覚えがあるはずです。
1. ステップ1：境界の放物線を描く
頂点：h = −(−4)/(2×1) = 2、k = (2)² − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1。頂点は (2, −1)。y切片：(0, 3)。x切片：x² − 4x + 3 = 0 を因数分解して (x − 3)(x − 1) = 0 → x = 1 と x = 3、つまり (1, 0) と (3, 0)。不等号が厳密（>）なので、この放物線は破線で描きます。
2. ステップ2：点を代入して調べる
(0, 0) を使います。0 ≠ (0)² − 4(0) + 3 = 3 なので、この点は放物線上にありません。y > x² − 4x + 3 に代入すると、0 > (0)² − 4(0) + 3 → 0 > 3。これは偽です。
3. ステップ3：正しい領域を塗りつぶす
(0, 0) で不等式が偽になるので、(0, 0) を含まない領域、つまり放物線の上側／外側（頂点よりずっと上の (2, 5) のような点を含む領域）を塗りつぶします。(2, 5) で確認すると、5 > (2)² − 4(2) + 3 → 5 > −1 で真 ✓ となり、(2, 5) が塗りつぶし領域に属することが確かめられます。
4. ステップ4：完成したグラフを説明する
y > x² − 4x + 3 の解は、頂点 (2, −1)、x切片 (1, 0) と (3, 0) を持ち (0, 3) を通る破線の放物線より厳密に上にあるすべての点です。頂点 (2, −1) など曲線上にある点は含まれません。
y > x² − 4x + 3 では、不等式を満たさなかったテスト点とは反対側が塗りつぶされます。不等号だけの直感ではなく、必ずテスト点に判断させましょう。
例題2：y ≤ −x² + 2x + 3 のグラフ
この例題では2つの条件が同時に変わります。放物線は下に開き（a = −1）、不等号は厳密でない（≤）ため、境界は破線ではなく実線になります。例題1と比べて、この2つの変化が曲線と塗りつぶし領域にどう影響するかを見てみましょう。
1. ステップ1：境界の放物線を描く
y = −x² + 2x + 3 では a = −1、b = 2、c = 3。頂点：h = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = 1、k = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4。頂点は (1, 4) で、a < 0 なので最大値です。y切片：(0, 3)。x切片：−x² + 2x + 3 = 0 とおき、−1 を掛けて x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 または x = −1、つまり (3, 0) と (−1, 0)。不等号が ≤（厳密でない）なので、この下に開く放物線は実線で描きます。
2. ステップ2：点を代入して調べる
(0, 0) を使います。0 ≠ 3 なので曲線上にはありません。y ≤ −x² + 2x + 3 に代入すると、0 ≤ −(0)² + 2(0) + 3 → 0 ≤ 3。これは真です。
3. ステップ3：正しい領域を塗りつぶす
(0, 0) で不等式が真になるので、(0, 0) を含む領域、つまり下に開く放物線の下側／外側を塗りつぶします。頂点 (1, 4) の真下にある (1, 0) で確認すると、0 ≤ −(1)² + 2(1) + 3 → 0 ≤ 4 で真 ✓ となり、この領域が正しいことが確かめられます。
4. ステップ4：完成したグラフを説明する
y ≤ −x² + 2x + 3 の解は、頂点 (1, 4)、x切片 (−1, 0) と (3, 0) を持ち (0, 3) を通る実線の放物線上、またはその下にあるすべての点です。境界が実線なので、頂点 (1, 4) をはじめ曲線上のすべての点が解に含まれます。
下に開く放物線で y ≤ の場合は曲線の下側を塗ります。例題1とは逆の見た目になるからこそ、ルールを暗記するよりテスト点で確かめることが大切です。
x² − 5x + 6 ≥ 0 のような1変数の二次不等式はどう解く？
1変数の二次不等式は、x² − 5x + 6 ≥ 0 のように二次式と 0 を比較します。二次元の領域を塗るのではなく、解は数直線上の x の値の集合で、区間記法で書きます。方針は、関連する方程式の解（根）を求め、それで数直線をいくつかの区間に分け、各区間が不等式を満たすかどうかを調べることです。
1. ステップ1：関連する方程式を解いて臨界点を求める
x² − 5x + 6 = 0 とおいて因数分解します。掛けて 6、足して −5 になる2数を探すと (−2, −3)。よって (x − 2)(x − 3) = 0 となり、x = 2 と x = 3 が得られます。これらの根が臨界点で、数直線を x < 2、2 < x < 3、x > 3 の3つの区間に分けます。
2. ステップ2：各区間から値を1つ選んで調べる
区間 x < 2：x = 0 を試す。(0)² − 5(0) + 6 = 6 ≥ 0 ✓ 真。区間 2 < x < 3：x = 2.5 を試す。(2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 ≥ 0 — 偽。区間 x > 3：x = 4 を試す。(4)² − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≥ 0 ✓ 真。
3. ステップ3：臨界点を含めるか除くかを判断する
不等号が ≥（厳密でない）なので、根そのものも不等式を満たします。x = 2 では (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 真。x = 3 では (3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 真。どちらの臨界点も含まれます。
4. ステップ4：解を区間記法で書く
真になった区間と含まれる端点を合わせると、x ≤ 2 または x ≥ 3 となり、(−∞, 2] ∪ [3, ∞) と書けます。これは y = x² − 5x + 6 のグラフと一致します。放物線は根 x = 2 と x = 3 の間のくぼみを除いて、どこでも x軸上またはその上（y ≥ 0）にあります。
上に開く放物線では、ax² + bx + c ≥ 0 は根の外側（または根上）で成り立ち、ax² + bx + c ≤ 0 は根の間で成り立ちます。符号は常に各臨界点で入れ替わります。
数直線の解と放物線のグラフをつなげる
1変数の不等式 x² − 5x + 6 ≥ 0 と2変数の不等式 y ≥ x² − 5x + 6 は密接に関係しており、そのつながりが見えると両方とも覚えやすくなります。y = x² − 5x + 6 を放物線として描くと、「x² − 5x + 6 ≥ 0 はどこか？」という1変数の問いは、実は「放物線が x軸上またはその上（y ≥ 0）にあるのはどこか？」を尋ねています。曲線さえ描けば、追加の計算なしにグラフを読むだけで不等式に答えられます。
1. x軸より上 → 正の領域
x < 2 または x > 3 では、放物線 y = x² − 5x + 6 は x軸より上にあり、そこでは y > 0 です。これは代入で求めた真の区間と一致します。
2. x軸より下 → 負の領域
2 < x < 3 では、放物線は2つの根の間で x軸より下に沈み、そこでは y < 0 です。これはまさに上の例題で ≥ 0 の判定に失敗した区間です。
3. x軸上 → 根そのもの
x = 2 と x = 3 では放物線はちょうど x軸に接し、y = 0 になります。これらは ≥ や ≤ の不等式では含まれ、> や < の不等式では除かれる境界点です。
1変数の二次不等式 ax² + bx + c ≥ 0 や ≤ 0 は、放物線のグラフを縦方向に読むだけのことです。各 x の値で曲線が x軸の上か下か、あるいは軸上かを確認しましょう。
二次不等式のグラフでよくある間違い
二次不等式のグラフ化で起きる誤りの多くは、似ているのに適用場面が違うルールを混同することから生じます。これらのパターンを先に知っておくと、宿題やテストでよくある失点を防げます。
1. 厳密な不等号なのに曲線を破線にし忘れる
y > x² − 4x + 3 で実線の放物線を描くのは誤りです。厳密な > は境界そのものを除くという意味なので、破線でなければなりません。曲線を描いた後ではなく、描く前に必ず不等号を確認しましょう。
2. テスト点を調べずに違う側を塗る
> なら「上」、< なら「下」と当てずっぽうにするやり方は、上に開く放物線では通用しますが、例題2のように下に開く放物線では逆になります。半分しか当たらない近道に頼らず、必ず実際にテスト点を代入してください。
3. 2変数版と1変数版を混同する
y ≥ x² − 5x + 6 は xy平面上に塗りつぶされた二次元の領域を与えます。x² − 5x + 6 ≥ 0 は数直線上の一次元の x の値の集合を与え、区間記法で書きます。同じ放物線を使いますが答える問いが違うので、問題文に y があるかどうかをよく読んで確かめましょう。
4. 区間記法で臨界点の含め方を間違える
x² − 5x + 6 > 0（厳密）では根 x = 2 と x = 3 は除かれるので、答えは丸括弧を使って (−∞, 2) ∪ (3, ∞) となります。x² − 5x + 6 ≥ 0（厳密でない）では根が含まれるので、答えは角括弧を使って (−∞, 2] ∪ [3, ∞) となります。括弧の種類を不等号の種類に合わせるのは、区間記法全体で使う共通のルールです。
厳密か厳密でないかというルールは、2変数グラフでの破線／実線の選択と、区間記法での丸括弧／角括弧の選択の両方を決めます。同じ論理を2回使っているだけです。
練習問題：二次不等式のグラフ
解答を見る前に各問題を自分で解いてみましょう。2変数の問題では、境界の放物線、それが破線か実線か、どの領域を塗るかを答えます。1変数の問題では、臨界点を求めて区間記法で答えを書きます。
1. 問題1 — y < x² + 2x − 8
境界：y = x² + 2x − 8。頂点：h = −2/2 = −1、k = 1 − 2 − 8 = −9 なので頂点は (−1, −9)。x切片：(x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4、x = 2。厳密な < なので破線。(0, 0) を代入すると 0 < (0)² + 2(0) − 8 → 0 < −8 で偽。よって (0, 0) を含まない領域、放物線の下側／内側を塗ります。(−1, −20) で確認：−20 < −9 で真 ✓。
2. 問題2 — y ≥ −x² + 4
境界：y = −x² + 4、頂点 (0, 4)、下に開く。x切片：−x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2。厳密でない ≥ なので実線。(0, 0) を代入すると 0 ≥ −(0)² + 4 → 0 ≥ 4 で偽。よって (0, 0) を含まない領域、放物線の上側／外側を曲線自体も含めて塗ります。
3. 問題3 — x² − x − 6 < 0 を解く
因数分解：(x − 3)(x + 2) = 0 → 臨界点は x = −2 と x = 3。x = 0（根の間）を試す：(0)² − 0 − 6 = −6 < 0 ✓ 真。x = −5 を試す：25 + 5 − 6 = 24 < 0 で偽。x = 5 を試す：25 − 5 − 6 = 14 < 0 で偽。根の間の区間だけが成り立ち、不等号は厳密なので、答えは (−2, 3)。
FAQ：二次不等式のグラフ
二次不等式のグラフを初めて学ぶとき、学生が最もよく尋ねる質問をまとめました。
1. 二次不等式のグラフは二次方程式のグラフとどう違いますか？
二次方程式 y = ax² + bx + c のグラフは1本の曲線、つまり放物線そのものです。二次不等式は等号を <、>、≤、≥ に置き換えるので、解は同じ放物線の片側にある平面の塗りつぶし領域全体になり、境界を含むかどうかに応じて曲線を破線または実線で描きます。
2. 必ずテスト点を調べる必要がありますか、それとも不等号を見るだけでよいですか？
必ずテスト点を調べてください。上に開く放物線では > と ≥ は通常上側／外側を、< と ≤ は下側／内側を塗りますが、例題2のような下に開く放物線ではこのパターンが逆になります。テスト点を1つ代入すれば、半分しか当たらないルールに頼らずに済みます。
3. x² − 5x + 6 ≥ 0 と y ≥ x² − 5x + 6 の違いは何ですか？
x² − 5x + 6 ≥ 0 は1変数の不等式で、解は (−∞, 2] ∪ [3, ∞) のように区間記法で書かれた x の値の集合です。y ≥ x² − 5x + 6 は2変数の不等式で、解は同じ放物線の上側または放物線上にある座標平面の塗りつぶし領域です。どちらも同じ放物線を使いますが、答える問いが異なります。
4. 二次不等式の解の領域が空になることはありますか？
特別な場合にはあります。たとえば y < x² + 1 で、さらにすべての x について y が 0 より小さいことも要求すると、放物線の最小値がすでに 1 なので解はありません。より多いのは1変数の場合で、x² + 1 < 0 は x² + 1 が常に正のため実数解を持たず、区間記法の答えは空集合 ∅ になります。
5. 最終的な塗りつぶしグラフが正しいかどうか、どう確かめますか？
点を2つ選びます。1つは明らかに塗りつぶし領域の内側、もう1つは明らかに外側の点です。両方を元の不等式に代入します。内側の点では不等式が成り立ち、外側の点では成り立たないはずです。どちらかの確認が合わない場合は、テスト点の手順を見直し、境界の放物線の頂点と切片が正しく計算されているか確認しましょう。
即時フィードバックで二次不等式のグラフを練習
二次不等式のグラフ化は、上に開く放物線と下に開く放物線の両方で何度も例題をこなすうちに楽になります。境界の曲線を確かめたい、塗りつぶし領域を検証したい、1変数の不等式をステップごとに解いてほしいときは、Solvify の AI ツールが、入力したどんな問題でもこのガイドと同じ手順で解説します。
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