宿題13:二次方程式の文章問題 — 5つの完全に解かれた例
宿題13の二次方程式の文章問題は、多くの代数学生が初めて x² + 5x + 6 = 0 を解くことが仕事の半分に過ぎないことに気づく瞬間です—最も難しい半分は、最初にテキストの段落から方程式を構築することです。文章問題には、実世界のシナリオを二次モデルに変換する翻訳ステップが必要です。このステップは、代数自体よりもはるかに少ない明示的な練習を受けます。このガイドは、最も一般的な宿題13の文章問題タイプから抽出された5つの完全に解かれた例をカバーしています—面積、発射体の動き、数値関係、収益、および距離-速度-時間—すべての計算が示されているので、あなたは続けて自分の問題でメソッドを繰り返すことができます。
目次
二次方程式の文章問題とは何ですか、なぜ宿題13に現れるのですか?
二次方程式の文章問題は、数学モデルに二乗された変数(x²)を含む項が含まれているアプリケーション問題です。量の関係が比例で、グラフが直線である線形文章問題とは異なり、二次方程式の文章問題は、2つの量が乗算される状況をモデル化します—長方形の長さと幅、投げられたオブジェクトの時間と初期速度、販売されたアイテム数と単価。宿題13の二次方程式の文章問題は、通常、学生が二次方程式を代数的に解くことをマスターした後に到来するため、割り当ては、物語内の二次関係を認識できるかをテストするように設計されています。最も頻繁に現れる5つのカテゴリーは:面積と幾何学の問題、発射体運動の問題、連続した数値の問題、収益と最適化の問題、および速度が変化する距離-速度-時間の問題です。各カテゴリーには標準的なセットアップパターンがあり、これらのパターンを知ったら、翻訳ステップはより体系的になります。
二次方程式の文章問題には常に、それ自体で乗算された量、または一緒に乗算された2つの関連量が含まれています—面積、未知数の積、または与えられた公式の二乗項を探してください。
二次方程式の文章問題のための4段階フレームワーク
問題が飛行中のボールまたは長方形の庭について話すかどうかにかかわらず、宿題13のすべての二次方程式の文章問題は、同じ4段階の翻訳と解決プロセスに従います。ステップ1をスキップする—変数を明確に定義する—は最大のエラー源です。なぜなら、学生はxが何を表すかを忘れるか、代数を不必要に複雑にする量としてxを選択するからです。これらの4つのステップを毎回順番に実行してください。
1. ステップ1 — あなたの変数を正確に定義する
不明をxと呼ぶために選択し、明示的に書き込みます:「x =庭の幅(メートル)とします」もし第2の量が現れたら、xの観点から表現してください—たとえば、「長さ= x + 3」。2つの異なる変数を使用しないでください。それはあなたができます別の観点から1つを表現してください。それは単一の未知数で単一の方程式として問題を保ちます。
2. ステップ2 — 文章問題から方程式を構築する
問題が述べる関係を特定してください(面積= l×w、または距離=速度×時間、または2つの数値の積=与えられた値)、ステップ1から式を代替し、方程式を設定します。ほとんどの二次方程式の文章問題は、積が等しい数値を与えます—それがあなたの方程式です。すべての括弧を展開して、x²の項を見ることができます。
3. ステップ3 — 二次方程式を解く
標準形ax²+ bx + c = 0に再配置し、メソッドを選択します:数値が優しい場合は因数分解、先頭の係数が1の場合は正方形を完成させるか、二次公式x =(−b±√(b²−4ac))/(2a)任意の方程式のために。多くの場合、2つのソリューションが得られます—これは通常です。
4. ステップ4 — 回答を解釈し、不可能な値を拒否する
自問してください:この解決策は文脈で意味がありますか?負の長さ、ボールが投げられる前の負の秒数、または負の数の人々はすべて数学的に有効な二次方程式の解ですが、物理的に不可能な回答です。負のルート(または別の無意識の)を拒否し、問題が求めた単位で最終的な回答を述べます。その後、元の文章問題の説明に置き換えることで確認してください—書いた方程式だけでなく。
方程式を書く前に常に「x = ____」と書いてください。このステップをスキップする学生はほぼ常に、どのルートを保持するかについて混乱しています。
面積問題:最も一般的なタイプの二次方程式の文章問題
面積の問題は、最も頻繁に割り当てられた二次方程式の文章問題です。なぜなら、面積=長さ×幅の公式から自然に生じるからです。長さと幅が同じ変数の観点から表現される場合、それらを乗算するとx²の項が生成されます。標準的なセットアップは、1つの次元がxとして定義され、もう1つがx プラス(またはマイナス)あるいは定数として定義され、面積が数値として与えられ、両方の次元を見つける必要があります。このタイプの問題の完全に解かれた例があります。
1. 問題
長方形の庭は、その幅よりも3メートル長い長さを持っています。庭の面積は40平方メートルです。幅と長さを見つけます。
2. ステップ1 — 変数を定義する
x =庭の幅(メートル)としましょう。その後、長さ= x + 3メートル。
3. ステップ2 — 方程式を構築する
面積=長さ×幅、したがって(x + 3)(x)= 40。展開:x²+ 3x = 40。
4. ステップ3 — 解く
標準形に再配置:x²+ 3x−40 = 0。因数分解:−40に乗算して+3に加算する2つの数を探します。これらの数値は+8と−5です。したがって:(x + 8)(x−5)= 0。各因数をゼロに設定:x + 8 = 0 → x = −8、またはx−5 = 0 → x = 5。
5. ステップ4 — 解釈する
幅は負にすることができないため、x = −8を拒否します。幅= 5 m、長さ= 5 + 3 = 8 m。チェック:5×8 = 40平方メートル✓。庭は幅5メートル、長さ8メートルです。
面積の問題については:常に変数式を使用して面積=長さ×幅を設定し、展開し、すべてを片側に移動し、因数分解します。
発射体の動きの文章問題:高さと時間
発射体の動きの問題は、宿題13の二次方程式の問題セットの第2の主要なカテゴリーです。それらは物理公式h =−(g/2)t²+ v₀t + h₀に依存しており、hは高さ、tは時間、v₀は初期の上向きの速度、h₀は初期の高さ、gは重力加速度(メトリックで約10 m/s²またはインペリアルユニットで32 ft/s²)。ほとんどの宿題バージョンは事前に単純化されているため、与えられた公式を使用し、h = 0(地面レベル)またはh =目標高度のときのtについて解きます。これは、公式を使用するのではなく因数分解することができるラウンド数の例です。
1. 問題
ボールは地面レベルから初速度20 m/sで上向きに投げられます。t秒後の高さはh = −5t²+ 20tです。ボールはどの時間に地面レベルにありますか?
2. ステップ1 — 変数を定義する
t =ボールが投げられた後の秒数。地面レベルはh = 0を意味します。
3. ステップ2 — 方程式を構築する
h = 0を設定:−5t²+ 20t = 0。
4. ステップ3 — 解く
因数−5t:−5t(t−4)= 0。各因数をゼロに設定:−5t = 0 → t = 0、またはt−4 = 0 → t = 4。
5. ステップ4 — 解釈する
t = 0はボールが投げられた瞬間です(地面レベルで始まります)。t = 4は地面に戻る場合です。ボールはt = 0秒(発射)とt = 4秒(着陸)に地面レベルにあります。チェック:h(4)=−5(16)+ 20(4)=−80 + 80 = 0✓。
6. 拡張:ボールが最大高さに達する場合は?
最大高さは2つの根の間の中点で発生します:t =(0 + 4)/2 = 2秒。最大高さ=−5(2²)+ 20(2)=−20 + 40 = 20 m。これは、宿題13の多くのプロジェクト問題がフォローアップの質問として尋ねる有用な事実です。
プロジェクト問題については:オブジェクトが地面に当たるときを見つけるためにh = 0を設定します。2つの根は発射時間と着陸時間です。最大高さはt =−b/(2a)での頂点で発生します。
二次方程式を使用した数値関係問題
数値関係の問題は、合計、差異、または産物に基づいて2つの未知数を見つけるよう求めます。問題が2つの数値の積を与えるとき、あなたはほぼ常に二次方程式で終わります。最も一般的なバージョンは、連続した整数(8と9、または7と−8など)、連続した奇数(5と7など)、または述べられた違いを持つ2つの数値を含みます。これらの問題は単純に見えますが、慎重なセットアップが必要です—方程式を書く前に、2番目の数値をxの観点から表現する必要があります。
1. 問題
2つの連続した正の整数の積は72です。整数を見つけます。
2. ステップ1 — 変数を定義する
x =より小さい整数としましょう。その後、次の連続した整数= x + 1。
3. ステップ2 — 方程式を構築する
2つの整数の積= 72:x(x + 1)= 72。展開:x²+ x = 72。
4. ステップ3 — 解く
再配置:x²+ x−72 = 0。因数分解:−72に乗算して+1に加算する2つの数を見つけます。これらは+9と−8です。したがって:(x + 9)(x−8)= 0。解:x = −9またはx = 8。
5. ステップ4 — 解釈する
問題は正の整数を言うので、x = −9を拒否します。x = 8、およびx + 1 = 9。整数は8と9です。チェック:8×9 = 72✓。
6. バリエーション:連続した奇数
問題が「積が63である2つの連続した奇数」と言った場合、x =最初の奇数とx + 2 =2番目の奇数(奇数は2で異なります)とします。その後、x(x + 2)= 63 → x²+ 2x−63 = 0 →(x + 9)(x−7)= 0 → x = 7。整数は7と9です。チェック:7×9 = 63✓。
連続した整数は1で異なります:xとx + 1を使用します。連続した偶数または奇数は2で異なります:xとx + 2を使用します。他に何かをする前に、すべての数値の問題の上部に書きます。
収益と価格:ビジネスの二次方程式の文章問題
収益の問題は、宿題13の二次方程式の問題セットに頻繁に表示されます。なぜなら、収益=価格×販売数量であり、価格と数量が線形に関連している場合(価格を上げると販売された数量が減少します)、彼らの積は二次方程式です。これらの問題は、収益を最大化する価格を尋ねることがよくあります。これは放物線の頂点を見つけることを意味します。y = ax²+ bx + cの頂点はx =−b/(2a)で発生します。完全な例があります。
1. 問題
映画館は1つのチケットあたり8ドルで充電され、ショーあたり200チケットを販売しています。1ドルの価格上昇ごとに、10枚のチケットが少なくなります。どのチケット価格が最大の収益を生成しますか?最大の収益は何ですか?
2. ステップ1 — 変数を定義する
x = 1ドル価格上昇の数とします。その後、チケット価格=(8 + x)ドルと販売されたチケット=(200−10x)。
3. ステップ2 — 収益方程式を構築する
収益R =価格×チケット販売=(8 + x)(200−10x)。展開:R = 1600−80x + 200x−10x²=−10x²+ 120x + 1600。
4. ステップ3 — 頂点を見つける
R =−10x²+ 120x + 1600は下向きの放物線(a =−10 < 0)であるため、頂点が最大です。x =−b/(2a)=−120 /(2×−10)=−120 /−20 = 6。したがって、最適な価格上昇の数は6です。
5. ステップ4 — 解釈する
最適な価格= 8 + 6 = $14。チケット販売= 200−10(6)= 140。最大収益= 14×140 = $1,960。公式を使用した確認:R =−10(36)+ 120(6)+ 1600 =−360 + 720 + 1600 = $1,960✓。
収益最大化については:R =(価格)(数量)と書き、展開してax²+ bx + cを取得し、x =−b/(2a)で頂点を見つけます。頂点は最大(または最小)の収益を生成する入力を提供します。
二次方程式につながる距離、速度、および時間の問題
距離-速度-時間の問題は通常、線形方程式(d = vt)を生成しますが、問題が相互に関連する異なる速度での旅行の2つの脚を含む場合、または異なる分母を持つ2つの時間式を追加して、分母にxが含まれる場合、二次になります。重要な公式は時間=距離÷速度です。分母にxがある2つの分数があり、掛け算によって分母をクリアする場合、二次方程式を生成します。このタイプの問題は、宿題13の二次方程式の問題セットに頻繁に表示されます。有理式と二次の2つのスキルを組み合わせているためです。
1. 問題
モーターボートは川上に24 km移動してから、川下に24 km戻ります。川の流れは時速3 km流れます。全体のトリップが6時間かかる場合、穏やかな水でボートの速度を見つけます。
2. ステップ1 — 変数を定義する
v =穏やかな水でのボートの速度(km/h)とします。アップストリーム速度= v−3 km/h(流に対して)。下流速度= v + 3 km/h(流に支援)。
3. ステップ2 — 方程式を構築する
時間=距離÷速度。上流時間= 24 /(v−3)。下流時間= 24 /(v + 3)。総時間= 6時間:24/(v−3)+ 24/(v + 3)= 6。
4. ステップ3 — 分母をクリアする
各項に(v−3)(v + 3)を掛ける:24(v + 3)+ 24(v−3)= 6(v−3)(v + 3)。左側の展開:24v + 72 + 24v−72 = 48v。右側を展開:6(v²−9)= 6v²−54。方程式:48v = 6v²−54。
5. ステップ4 — 解く
再配置:6v²−48v−54 = 0。6で分割:v²−8v−9 = 0。因子:(v−9)(v + 1)= 0。解:v = 9またはv = −1。
6. ステップ5 — 解釈する
速度は負にすることができないため、v = −1を拒否します。穏やかな水でのボートの速度は時速9 kmです。チェック:アップストリーム時間= 24/6 = 4 h、下流時間= 24/12 = 2 h、合計= 6 h✓。
距離-速度-時間の問題は、2つの分数(時間= d/v)を両方の分母にxで追加して、クロス乗算によってクリアするときに二次になります。分母が答えに対してゼロに等しくないことを常に確認してください。
学生が宿題13の二次問題で犯す一般的なエラー
宿題13の二次方程式の文章問題には予測可能な故障ポイントがあります。ほとんどのエラーは、代数が書かれる前に発生します—セットアップステージで。最も間違った答えを占める6つのエラーと、それぞれを避ける具体的な方法があります。
1. エラー1:方程式を書く前に変数を定義しない
「x = ___」を確立せずに方程式を書くことに直進すると、2つのソリューションが現れるときに混乱します。xがどの量を表すか、またはなぜ1つの答えを拒否する必要があるかはわかりません。修正:ソリューションの最初の行として「x = [具体的な量と単位]」と常に書きます。
2. エラー2:コンテキストをチェックせずに両方のルーツを保持する
二次方程式は2つのソリューションを生成します。学生は時々、問題で意味があるかをチェックすることなく、両方をレポートします。長方形は負の幅を持つことはできません。ボールはそれが投げられる前に着陸することはできません。修正:解決した後、「各ルートは物理的な意味がありますか?」と自問し、1つを拒否してください。
3. エラー3:すべてを一方の側に移動することを忘れる
拡張後、学生はx²+ 3x−40 = 0の代わりにx²+ 3x = 40のようなものを因数分解しようとします。因数分解は、一方の側がゼロのときにのみ信頼できます。修正:因数分解または二次公式を適用する前に、常にax²+ bx + c = 0に再配置します。
4. エラー4:(a + b)(a−b)vs(a−b)²を展開するときにエラーをサインインする
収益問題では、(8 + x)(200−10x)を展開すると、正と負の項が混在します。学生は一般的にマイナス記号を落とします。修正:各乗算ステップを明示的に書き、組み合わせる前に各項のサインに円を付けます。
5. エラー5:プロジェクト問題に間違った公式を使用する
いくつかの教科書はh =−16t²+ v₀t + h₀(フィート、g = 32 ft/s²)を使用し、他はh =−5t²+ v₀t + h₀(メートル、近似)を使用しています。間違った定数を使用すると、完全に間違った答えが生成されます。修正:問題が公式を明示的に与えるかどうかを確認するか、単位に注意してください—フィートは通常−16を意味し、メートルは通常−5または−4.9を意味します。
6. エラー6:元の文章問題で答えを確認しない
学生は彼らが書いた方程式で彼らの答えをチェックしますが、彼らが方程式を間違って設定した場合、正しい代数チェックはまだ文章問題に対して間違った答えを与えます。修正:xを見つけた後、元の問題の説明(英語の文)に置き換え、述べられた条件が満たされていることを確認してください。
セットアップステップは2分未満で実行されますが、ほとんどのエラーを排除します。「x = ___」と書いて、他の何かをする前に標準形に再配置することは、速度よりも価値があります。
完全なソリューションを備えた5つの実践的な二次方程式の問題
これらの5つの問題を使用して、宿題を送信する前にフレームワークをテストしてください。それらはシンプルから複雑に編成されています。ソリューションをカバーして、問題を自分で試して、ステップバイステップで作業を比較してください。
1. 実践的な問題1 —エリア
長方形の長さは幅の2倍です。その面積は98 cm²です。寸法を見つけます。解:x =幅としましょう。長さ= 2x。方程式:x(2x)= 98 → 2x²= 98 → x²= 49 → x = 7(−7を拒否)。幅= 7 cm、長さ= 14 cm。チェック:7×14 = 98✓。
2. 実践的な問題2 —数値関係
2つの正の数は5で異なります。彼らの製品は84です。数字を見つけます。解:x =より小さい数としましょう。大きい= x + 5。方程式:x(x + 5)= 84 → x²+ 5x−84 = 0。因子:(x + 12)(x−7)= 0 → x = 7(−12を拒否)。数字は7と12です。チェック:7×12 = 84、12−7 = 5✓。
3. 実践的な問題3 —プロジェクト
ロケットが上向きに発火します。t秒後の足での高さはh = −16t²+ 96tです。128フィートの高さに到達するのはいつですか?解:h = 128を設定:−16t²+ 96t = 128 → −16t²+ 96t−128 = 0。−16で除算:t²−6t + 8 = 0。因子:(t−2)(t−4)= 0 → t = 2またはt = 4。ロケットは2秒(上がり)で128フィートに達し、再び4秒(下り)。両方の答えは有効であり、両方とも指定する必要があります。
4. 実践的な問題4 —収益
店舗は週に300ユニットを5ドルで販売しています。0.50ドルの価格上昇ごとに、20ユニット少なく売却されます。どの価格が収益を最大化しますか?解:x = $ 0.50増加の数としましょう。価格= 5 + 0.5x、ユニット= 300−20x。収益R =(5 + 0.5x)(300−20x)= 1500−100x + 150x−10x²=−10x²+ 50x + 1500。頂点:x =−50/(2×−10)= 2.5増加。価格= 5 + 0.5(2.5)= $ 6.25。ユニット= 300−20(2.5)= 250。収益= 6.25×250 = $ 1,562.50。
5. 実践的な問題5 —距離-速度-時間
サイクリストは町に30 km走行します。帰りの旅では、彼女は時速5 km速く乗り、1時間少なく時間をかけます。彼女の往路での速度を見つけます。解:v =往路での速度(km/h)としましょう。帰りの速度= v + 5。時間は行き= 30/v、時間は戻る= 30/(v + 5)。差= 1:30/v−30/(v + 5)= 1。v(v + 5)で乗算:30(v + 5)−30v = v(v + 5) → 30v + 150−30v = v²+ 5v → 150 = v²+ 5v → v²+ 5v−150 = 0。因子:(v + 15)(v−10)= 0 → v = 10(−15を拒否)。往路での速度= 10 km/h。チェック:時間は行く= 3 h、時間戻る= 30/15 = 2 h、差= 1 h✓。
二次方程式の文章問題をより速く解くための戦略とショートカット
二次方程式の文章問題のカテゴリーを認識すると、セットアップはほぼ自動になります。これらの戦略は、精度を犠牲にすることなく、あらゆるタスクの二次方程式の文章問題を効率的に進むのに役立ちます。
1. 最初のカテゴリを特定する
何かを書く前に、問題を分類します:エリア(「矩形」、「寸法」、「面積=」を探します)、プロジェクト(「投げられた」、「高さ」、「落ちます」、「秒」を探します)、数値関係(「製品」、「連続」、「2つの数値」を探します)、収益(「価格」、「販売」、「収益」、「利益」を探します)、または距離-速度-時間(「上流」、「下流」、「速く」、「遅い」、「旅行」を探します)。各カテゴリーには既知の方程式構造があるため、分類は時間を節約します。
2. 二次公式の前に因数分解を試みる
判別式b²−4acが完全な正方形である場合、因数分解がより速くなります。b²−4acを迅速に計算:0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100などの場合、方程式はきれいに因数分解します。そうでない場合は、二次公式x =(−b±√(b²−4ac))/(2a)に直接進み、因数分解試行を保存します。
3. 各ステップ中に単位を保持します
各量:xメートル、v km/h、tセコンドに単位を書きます。方程式の単位が意味がない場合(例えば、それを通知することなくメートルをメートル²に追加する)、それはあなたのセットアップがエラーを持っているという早い兆候です。ステップ2でこれをキャッチすることは、完全なソリューションの後よりもはるかに優れています。
4. 判別式を使用してソリューションタイプを予測する
ax²+ bx + c = 0について、Δ= b²−4acを計算します。Δ > 0の場合:2つの実際のソリューション(ほとんどの文章問題)。Δ = 0の場合:正確に1つのソリューション(ボールは地面に触れるだけで、寸法は等しい、など)。Δ < 0の場合:実際のソリューションはありません。つまり、問題は物理的な答えを持たないか、方程式を間違って設定しました—戻って再度チェックしてください。
5. 最適化の問題については、二次公式をスキップしてください
収益と地域の最大化の問題は頂点を求め、根ではありません。x =−b/(2a)を直接使用-方程式をゼロに設定して解く必要はありません。xを計算し、最大値または最小値を取得するためにバックアップして、コンテキストで解釈します。
Δ= b²−4acはあなたが解く前にすべてを伝えます:正の意味は2つのルート、ゼロは1を意味し、否定的はあなたのセットアップを再確認することを意味します。
宿題13二次方程式の文章問題についてのよくある質問
これらの質問は、学生が宿題13の二次方程式の文章問題に初めて取り組むときに繰り返し発生します。回答は最も一般的な混乱点に対応しています。
1. 二次公式vs因数分解を使用する場合は?
判別式b²−4acが完全な正方形である場合、因数分解を使用します。根は有理数になり、因数分解がより速くなります。判別式が完全な正方形ではない場合、主要な係数が大きい場合、または因数分解されるかどうかわからない場合は、二次公式を使用します。公式は常に機能します。因数分解は時々速く機能するだけです。
2. 両方のルーツが肯定的な場合—どちらを使用しますか?
両方のルーツが正の場合、両方が有効な数学的な答えかもしれません。ただし、通常、問題のコンテキストは1つを除外しています。たとえば、問題が「より小さい整数」と言う場合、小さいルートを取ります。問題が「寸法」を求め、両方が有効な正の寸法を与える場合、「幅は10未満」などの追加の制約を満たすものを確認してください。制約がいずれも除外しない場合、両方は有効であり、両方を述べるべきです。
3. xが何を表すべきかをどうやって知りますか?
xを見つけるための量として定義します。問題が「幅を見つけます」と言う場合、x =幅とします。問題が「両方の数値を見つけます」と言う場合、x =より小さい数としましょう。xとして希望する量を選択すると、最終的な答えの解釈が些細なことになります—あなたはx = [答え]を読みます。
4. 方程式が因数分解しません—間違って設定しましたか?
必ずしも。多くの実際の二次方程式は整数を超えて因数分解されません。特に距離-速度-時間の問題といくつかのプロジェクト問題。判別式を計算:Δ > 0の場合、二次公式を使用し、簡略化されたラジカル形式または小数で回答のままにします。Δ < 0の場合、セットアップを再度確認してください—それは通常方程式にエラーを意味します。
5. 最終的な答えをどのように確認する必要がありますか?
xの値を元の文章問題の文に戻してください。方程式だけではなく。庭の問題について:「幅5mの庭と長さ8mの面積は40平方メートルですか?はい、5×8 = 40。」ボート問題について:「時速9 kmで上流に移動するボート(速度6 km/h)24 km〜4時間かかり、24 km下流(速度12 km/h)2時間で合計6時間ですか?はい。」この2文チェックは、代数の置き換えが逃す設定エラーをキャッチします。
6. 最も難しいタイプの二次方程式の文章問題は何ですか?
ほとんどの学生は、距離-速度-時間の問題が最も難しいと思います。2つの分数(時間= d/v)を構築し、それらを追加してから、二次代数が始まる前に分母をクリアする必要があるためです。2つの追加手順—分数セットアップと分母クリア—エラーをより可能性があります。これらを特に練習:各脚のためにtime = d/vを書き、式を追加し、合計時間に設定し、両側にLCMを乗算します。
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