Forma Fatorada de uma Equação Quadrática: Guia Completo com Exemplos
A forma fatorada de uma equação quadrática é a versão que torna suas soluções visíveis à primeira vista — em vez de ax² + bx + c = 0, você vê a(x − r₁)(x − r₂) = 0, onde r₁ e r₂ são as raízes. Compreender a forma fatorada de uma equação quadrática é uma das habilidades mais úteis em álgebra porque conecta três coisas ao mesmo tempo: as raízes (onde a parábola cruza o eixo x), a direção da abertura e a estrutura do polinômio. Os alunos frequentemente veem forma fatorada em testes, em tarefas de gráficos e ao resolver problemas aplicados, mas a transição da forma padrão para a forma fatorada deixa muitas pessoas confusas. Este guia explica exatamente o que forma fatorada significa, como chegar lá a partir de qualquer quadrática, o que você pode ler diretamente disso e como evitar os erros que custam pontos.
Conteúdo
- 01O que é a Forma Fatorada de uma Equação Quadrática?
- 02O que Você Pode Ler Diretamente da Forma Fatorada
- 03Como Converter Forma Padrão para Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
- 04Seis Exemplos Resolvidos: Forma Padrão para Forma Fatorada
- 05Movendo Entre Todas as Três Formas de Quadrática
- 06Forma Fatorada em Problemas de Palavra e Aplicações
- 07Erros Comuns ao Escrever a Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
- 08Problemas de Prática: Escreva a Forma Fatorada de Cada Quadrática
- 09Perguntas Frequentes — Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
O que é a Forma Fatorada de uma Equação Quadrática?
Uma equação quadrática em forma padrão é escrita como ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. A forma fatorada de uma equação quadrática reescreve essa mesma expressão como um produto de dois fatores lineares: a(x − r₁)(x − r₂) = 0, onde r₁ e r₂ são as duas raízes (também chamadas de zeros ou soluções). A constante a na frente é o mesmo coeficiente líder que na forma padrão — ela controla se a parábola se abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0) e quão larga ou estreita ela é. A forma fatorada existe sempre que a quadrática tem duas raízes reais (incluindo o caso em que ambas as raízes são iguais — uma raiz repetida). Se o discriminante b² − 4ac é negativo, as raízes são números complexos e a quadrática não pode ser fatorada sobre os números reais. Existem três formas comuns que uma quadrática pode assumir: forma padrão (ax² + bx + c), forma de vértice (a(x − h)² + k) e forma fatorada (a(x − r₁)(x − r₂)). Cada forma destaca recursos diferentes: forma padrão mostra os coeficientes diretamente, forma de vértice mostra as coordenadas do vértice e forma fatorada mostra as raízes diretamente. Saber como se mover entre essas três formas é o que torna as quadráticas práticas e não misteriosas.
Forma fatorada: a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Os valores r₁ e r₂ são as raízes — substitua qualquer uma delas por x e a equação é igual a zero.
O que Você Pode Ler Diretamente da Forma Fatorada
Uma razão pela qual os professores insistem na forma fatorada é que ela coloca informações críticas sobre a quadrática bem na superfície. Você não precisa resolver nada — três características-chave são visíveis por inspeção. Primeiro, as raízes: se a forma fatorada é (x − 3)(x + 5) = 0, as raízes são x = 3 e x = −5 (note que o sinal muda — x − 3 = 0 dá x = 3, não x = −3). Segundo, os interceptos x da parábola são os mesmos que as raízes, então o gráfico cruza o eixo x em (3, 0) e (−5, 0). Terceiro, o eixo de simetria fica exatamente no meio das duas raízes: x = (r₁ + r₂) / 2. Para o exemplo acima, o eixo de simetria é x = (3 + (−5)) / 2 = −2/2 = −1. A partir do eixo de simetria você também pode encontrar a coordenada x do vértice sem completar o quadrado. Se a forma fatorada completa é a(x − r₁)(x − r₂) = 0 e você substitui x = (r₁ + r₂)/2 de volta na equação, você obtém também a coordenada y do vértice. Essa cadeia de raciocínio — da forma fatorada para as raízes para o eixo de simetria para o vértice — é muito mais rápida do que partir da forma padrão quando as raízes são conhecidas.
1. Lendo as raízes
Defina cada fator como igual a zero. Em 2(x − 4)(x + 1) = 0, os fatores dão x − 4 = 0 → x = 4, e x + 1 = 0 → x = −1. O coeficiente líder 2 nunca afeta as raízes; ele apenas muda a inclinação da parábola.
2. Lendo os interceptos x
Os interceptos x da parábola y = 2(x − 4)(x + 1) estão em (4, 0) e (−1, 0). Cada raiz corresponde a um ponto onde a curva toca o eixo x. Uma raiz repetida como (x − 3)² = 0 dá apenas um intercepto x em (3, 0) — a parábola é tangente ao eixo naquele ponto.
3. Encontrando o eixo de simetria
Eixo de simetria x = (r₁ + r₂) / 2. Para as raízes 4 e −1: x = (4 + (−1)) / 2 = 3/2 = 1,5. A parábola é perfeitamente simétrica sobre a linha vertical x = 1,5. Isso também lhe diz que a coordenada x do vértice é 1,5.
4. Encontrando a coordenada y do vértice
Substitua o valor x do eixo de simetria na equação original. Para y = 2(x − 4)(x + 1) em x = 1,5: y = 2(1,5 − 4)(1,5 + 1) = 2(−2,5)(2,5) = 2(−6,25) = −12,5. O vértice está em (1,5, −12,5). Como a = 2 > 0, a parábola se abre para cima e este é um mínimo.
Atalho: o eixo de simetria é sempre a média das duas raízes — (r₁ + r₂) / 2. Nenhuma necessidade de completar o quadrado quando você tem forma fatorada.
Como Converter Forma Padrão para Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
Converter de ax² + bx + c = 0 para forma fatorada requer encontrar as duas raízes primeiro. O método que você escolhe depende dos coeficientes. Para quadráticas mônicas (a = 1), o método de pares de fatores é o mais rápido. Para quadráticas não-mônicas (a ≠ 1), o método AC ou a fórmula quadrática funciona. Uma vez que você tem as raízes r₁ e r₂, escrever a forma fatorada é imediato: a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Abaixo estão os três caminhos principais apresentados como passos.
1. Passo 1 — Procure pelo MDC e fatore-o
Antes de qualquer coisa, procure por um máximo divisor comum entre todos os três termos. Para 3x² − 12x − 15 = 0, o MDC é 3: escreva 3(x² − 4x − 5) = 0. Agora trabalhe com x² − 4x − 5 = 0, que é mônico. Pular esta etapa torna os números mais difíceis do que precisam ser.
2. Passo 2 (mônico, a = 1) — Use o método de pares de fatores
Para x² + bx + c = 0, encontre dois números p e q onde p × q = c e p + q = b. Esses números entram na forma fatorada como (x + p)(x + q) = 0, dando raízes x = −p e x = −q. Exemplo: x² − 4x − 5 = 0. Precisa p × q = −5 e p + q = −4. Par (−5, 1): −5 × 1 = −5 ✓ e −5 + 1 = −4 ✓. Forma fatorada: (x − 5)(x + 1) = 0. Raízes: x = 5 ou x = −1. Forma fatorada completa incluindo o MDC extraído: 3(x − 5)(x + 1) = 0.
3. Passo 2 (não-mônico, a ≠ 1) — Use o método AC
Para ax² + bx + c = 0 com a ≠ 1, calcule o produto a × c. Encontre dois inteiros m e n onde m × n = a × c e m + n = b. Reescreva o termo do meio usando m e n, depois fatore por agrupamento. Exemplo: 2x² + 5x − 3 = 0. a × c = 2 × (−3) = −6. Precisa m × n = −6 e m + n = 5. Par (6, −1): 6 × (−1) = −6 ✓ e 6 + (−1) = 5 ✓. Reescrever: 2x² + 6x − x − 3 = 0. Agrupar: 2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0. Fatorar: (2x − 1)(x + 3) = 0. Raízes: x = 1/2 ou x = −3. Forma fatorada: 2(x − 1/2)(x + 3) = 0, ou equivalentemente (2x − 1)(x + 3) = 0.
4. Passo 2 (qualquer quadrática) — Use a fórmula quadrática
Quando pares de fatores são difíceis de ver ou o discriminante não é um quadrado perfeito, use x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) para calcular r₁ e r₂ numericamente. Então escreva a forma fatorada diretamente como a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Exemplo: x² − 6x + 7 = 0. Discriminante: (−6)² − 4(1)(7) = 36 − 28 = 8. Raízes: x = (6 ± √8) / 2 = (6 ± 2√2) / 2 = 3 ± √2. Forma fatorada: (x − (3 + √2))(x − (3 − √2)) = 0. As raízes são irracionais, então isso não poderia ter sido encontrado pelo método de pares de fatores.
5. Passo 3 — Verifique expandindo de volta
Sempre expanda sua forma fatorada e verifique se corresponde à forma padrão original. Para (2x − 1)(x + 3): expanda usando FOIL: 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 ✓. Esta verificação de 30 segundos captura erros de sinal antes de custarem-lhe pontos.
Árvore de decisão: a = 1 → método de pares de fatores. a ≠ 1 → método AC. Discriminante não é um quadrado perfeito → fórmula quadrática, depois escreva a(x − r₁)(x − r₂) = 0.
Seis Exemplos Resolvidos: Forma Padrão para Forma Fatorada
Os seis exemplos abaixo cobrem todo cenário comum: mônico com raízes positivas, mônico com raízes negativas, mônico com sinais mistos, não-mônico, trinômio quadrado perfeito e diferença de quadrados. Trabalhe em cada um independentemente antes de ler a solução — o reconhecimento de padrões que você constrói a partir dos exemplos é o que torna a forma fatorada de quadrática clicar.
1. Exemplo 1 (Mônico, ambas as raízes negativas) — x² + 7x + 12 = 0
b = 7, c = 12. Precisa p × q = 12 e p + q = 7. Ambas positivas desde que c > 0 e b > 0. Pares: (1, 12) → 13, não. (2, 6) → 8, não. (3, 4) → 7, sim. Forma fatorada: (x + 3)(x + 4) = 0. Raízes: x = −3 ou x = −4. Verificar: (x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 ✓. Interceptos x: (−3, 0) e (−4, 0). Eixo de simetria: x = (−3 + (−4)) / 2 = −3,5.
2. Exemplo 2 (Mônico, ambas as raízes positivas) — x² − 9x + 20 = 0
b = −9, c = 20. Ambos os fatores negativos desde que c > 0 e b < 0. Precisa p × q = 20 e p + q = −9. Ambas negativas. Pares: (−4, −5) → produto = 20 ✓ e soma = −9 ✓. Forma fatorada: (x − 4)(x − 5) = 0. Raízes: x = 4 ou x = 5. Verificar: x² − 5x − 4x + 20 = x² − 9x + 20 ✓. Eixo de simetria: x = (4 + 5) / 2 = 4,5.
3. Exemplo 3 (Mônico, raízes de sinais mistos) — x² + 2x − 35 = 0
b = 2, c = −35. Sinais opostos desde que c < 0. Precisa p × q = −35 e p + q = 2. Pares com sinais opostos: (7, −5) → 7 × (−5) = −35 ✓ e 7 + (−5) = 2 ✓. Forma fatorada: (x + 7)(x − 5) = 0. Raízes: x = −7 ou x = 5. Verificar: x² − 5x + 7x − 35 = x² + 2x − 35 ✓. Note que o número com magnitude maior (7) recebe o sinal positivo porque b = 2 é positivo.
4. Exemplo 4 (Não-mônico) — 6x² − 13x + 6 = 0
a × c = 6 × 6 = 36. Precisa m × n = 36 e m + n = −13. Ambas negativas desde que produto positivo e soma negativa. Pares: (−4, −9) → produto = 36 ✓ e soma = −13 ✓. Dividir do meio: 6x² − 4x − 9x + 6 = 0. Agrupar: 2x(3x − 2) − 3(3x − 2) = 0. Fatorar: (2x − 3)(3x − 2) = 0. Raízes: x = 3/2 ou x = 2/3. Forma fatorada: (2x − 3)(3x − 2) = 0. Verificar x = 3/2: 6(9/4) − 13(3/2) + 6 = 13,5 − 19,5 + 6 = 0 ✓.
5. Exemplo 5 (Trinômio quadrado perfeito) — 9x² − 24x + 16 = 0
Verificar: primeiro termo 9x² = (3x)², último termo 16 = 4², termo do meio 24x = 2 × 3x × 4 ✓. Este é um trinômio quadrado perfeito: (3x − 4)² = 0. Raiz única: 3x − 4 = 0 → x = 4/3 (raiz repetida). Forma fatorada: (3x − 4)² = 0, ou equivalentemente 9(x − 4/3)² = 0. A parábola y = 9x² − 24x + 16 é tangente ao eixo x em (4/3, 0) — ela toca mas não cruza. Verificar: (3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 ✓.
6. Exemplo 6 (Diferença de quadrados) — 25x² − 49 = 0
Reconhecer: 25x² = (5x)² e 49 = 7². Padrão a² − b² = (a + b)(a − b). Forma fatorada: (5x + 7)(5x − 7) = 0. Raízes: 5x + 7 = 0 → x = −7/5, e 5x − 7 = 0 → x = 7/5. Verificar: (5x + 7)(5x − 7) = 25x² − 35x + 35x − 49 = 25x² − 49 ✓. Nota: não há termo do meio, que é o sinal característico de diferença de quadrados. As raízes são ±7/5, simétricas sobre x = 0.
Após encontrar a forma fatorada, sempre expanda-a e compare termo a termo com o original. Este passo único captura a maioria dos erros de sinal e aritmética.
Movendo Entre Todas as Três Formas de Quadrática
Uma compreensão completa de quadráticas significa estar confortável convertendo entre forma padrão, forma de vértice e forma fatorada. Os testes frequentemente dão uma forma e pedem informações que são mais óbvias em outra forma. A tabela de conversões abaixo vale a pena memorizá-la.
1. Forma padrão → Forma fatorada
Fatore como mostrado acima: MDC primeiro, depois método de pares de fatores ou método AC. Forma padrão ax² + bx + c = 0 torna-se a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Exemplo: x² − x − 6 = 0. Par: (−3, 2) → produto = −6 ✓, soma = −1 ✓. Fatorada: (x − 3)(x + 2) = 0.
2. Forma fatorada → Forma padrão
Expanda usando FOIL (ou a propriedade distributiva para casos não-mônicos). Exemplo: 3(x − 2)(x + 5) = 0. Primeiro expanda (x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10. Depois multiplique por 3: 3x² + 9x − 30 = 0. Você pode simplificar dividindo todos os termos por 3: x² + 3x − 10 = 0.
3. Forma fatorada → Forma de vértice
Encontre o eixo de simetria x = (r₁ + r₂) / 2, depois substitua na equação fatorada para obter a coordenada y do vértice k. Escreva a forma de vértice como a(x − h)² + k = 0 onde h é o eixo de simetria. Exemplo: (x − 3)(x + 2) = 0. Eixo: x = (3 + (−2)) / 2 = 0,5. Y do vértice: y = (0,5 − 3)(0,5 + 2) = (−2,5)(2,5) = −6,25. Forma de vértice: (x − 0,5)² − 6,25 = 0.
4. Forma padrão → Forma de vértice
Complete o quadrado. Para x² − x − 6: a metade do coeficiente b é −1/2, e (−1/2)² = 1/4. Escreva x² − x + 1/4 − 1/4 − 6 = (x − 1/2)² − 25/4 = 0. Então h = 1/2 = 0,5 e k = −25/4 = −6,25, correspondendo ao cálculo acima. Ambos os caminhos levam ao mesmo vértice.
Todas as três formas descrevem a mesma parábola. Forma padrão mostra a, b, c. Forma de vértice mostra o ponto de virada. Forma fatorada mostra onde a curva cruza o eixo x.
Forma Fatorada em Problemas de Palavra e Aplicações
Forma fatorada aparece constantemente em matemática quadrática aplicada — movimento de projétil, problemas de área, maximização de lucro e quebra-cabeças de números levam todos a quadráticas. A habilidade-chave é configurar a equação em forma padrão primeiro, depois converter para forma fatorada para encontrar a resposta. A interpretação física das raízes é importante: às vezes apenas uma raiz faz sentido em contexto (um tempo negativo é impossível, um comprimento negativo é impossível), então você deve verificar qual raiz é válida.
1. Aplicação 1 — Movimento de projétil
Uma bola é lançada para cima do topo de um edifício de 20 m com uma velocidade inicial de 10 m/s. Sua altura h(t) em metros no tempo t segundos é h(t) = −5t² + 10t + 20. Quando a bola bate no chão? Defina h(t) = 0: −5t² + 10t + 20 = 0. Divida por −5: t² − 2t − 4 = 0. Discriminante: 4 + 16 = 20 (não é um quadrado perfeito). Use a fórmula quadrática: t = (2 ± √20) / 2 = 1 ± √5. √5 ≈ 2,236. Raízes: t ≈ 3,236 ou t ≈ −1,236. Descarte o tempo negativo. A bola bate no chão em t ≈ 3,24 segundos. Forma fatorada: −5(t − (1 + √5))(t − (1 − √5)) = 0.
2. Aplicação 2 — Problema de área
Um jardim retangular tem largura w e comprimento que é 5 m mais do que o dobro da largura. Se a área é 63 m², encontre as dimensões. Equação de área: w(2w + 5) = 63. Expanda: 2w² + 5w = 63. Forma padrão: 2w² + 5w − 63 = 0. Método AC: a × c = 2 × (−63) = −126. Encontre m × n = −126 e m + n = 5. Par: (14, −9) → 14 × (−9) = −126 ✓ e 14 + (−9) = 5 ✓. Dividir: 2w² + 14w − 9w − 63 = 0. Agrupar: 2w(w + 7) − 9(w + 7) = 0. Fatorada: (2w − 9)(w + 7) = 0. Raízes: w = 9/2 = 4,5 ou w = −7. Descarte a largura negativa. Largura = 4,5 m, comprimento = 2(4,5) + 5 = 14 m. Verificar: 4,5 × 14 = 63 m² ✓.
3. Aplicação 3 — Problema de número
Dois inteiros pares consecutivos têm um produto de 168. Encontre-os. Seja os inteiros n e n + 2. Equação: n(n + 2) = 168. Expanda: n² + 2n = 168. Forma padrão: n² + 2n − 168 = 0. Método de pares de fatores: precisa p × q = −168 e p + q = 2. Par: (14, −12) → 14 × (−12) = −168 ✓ e 14 + (−12) = 2 ✓. Fatorada: (n + 14)(n − 12) = 0. Raízes: n = −14 ou n = 12. Ambas são inteiros válidos. Para n = 12: inteiros são 12 e 14. Para n = −14: inteiros são −14 e −12. Verificar ambos: 12 × 14 = 168 ✓ e (−14)(−12) = 168 ✓. Dois pares de respostas são válidas.
Em problemas aplicados, sempre verifique se ambas as raízes são fisicamente significativas antes de dar sua resposta final. Comprimentos negativos, tempos negativos e contagens negativas geralmente indicam uma raiz a descartar.
Erros Comuns ao Escrever a Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
Os erros abaixo representam a maioria dos pontos perdidos em questões de forma fatorada. Cada um é específico e corrigível com um hábito direcionado.
1. Erro 1 — Confundindo o fator com a raiz
Em (x − 5)(x + 3) = 0, os fatores são (x − 5) e (x + 3), mas as raízes são x = 5 e x = −3. Os alunos frequentemente escrevem x = −5 e x = 3 — lendo o número do fator sem virar o sinal. Corrija: sempre defina cada fator igual a zero e resolva. x − 5 = 0 → x = 5. x + 3 = 0 → x = −3.
2. Erro 2 — Deixando cair o coeficiente líder a da forma fatorada
Para 3x² − 12x − 15 = 0, a forma completamente fatorada é 3(x − 5)(x + 1) = 0, não apenas (x − 5)(x + 1) = 0. O coeficiente 3 deve aparecer porque é parte da equação original. Quando solicitado a escrever a forma fatorada da equação quadrática 3x² − 12x − 15, sempre inclua o MDC ou fator líder: 3(x − 5)(x + 1).
3. Erro 3 — Não verificar com expansão
Após escrever a forma fatorada, muitos alunos pulam a etapa de verificação. Expandir (x + 4)(x − 7) leva 20 segundos: x² − 7x + 4x − 28 = x² − 3x − 28. Se o original era x² − 3x − 28, a forma fatorada está correta. Se o original era diferente, um sinal foi revertido. Esta verificação captura quase cada erro de fatoração antes do trabalho ser enviado.
4. Erro 4 — Tentando fatorar quando o discriminante não é um quadrado perfeito
x² + 3x + 3 = 0 tem discriminante 9 − 12 = −3, que é negativo. Não há raízes reais e a quadrática não tem forma fatorada sobre os números reais. Um erro comum é gastar vários minutos procurando por pares de fatores inteiros que literalmente não existem. Corrija: calcule b² − 4ac primeiro para qualquer quadrática que pareça difícil de fatorar. Se o resultado não for um quadrado perfeito não-negativo, não tente fatoração inteira.
5. Erro 5 — Escrevendo forma fatorada a partir de forma de vértice sem encontrar as raízes primeiro
Dada forma de vértice a(x − h)² + k = 0, alguns alunos escrevem a(x − h)(x + h) como a forma fatorada — confundindo o vértice com as raízes. Isso está errado a menos que h seja o ponto médio das raízes e k aconteça ser zero. O processo correto: resolva a(x − h)² + k = 0 para x para encontrar as raízes reais r₁ e r₂, depois escreva a(x − r₁)(x − r₂) = 0.
6. Erro 6 — Fatoração parcial no método AC
No método AC, após dividir o termo do meio, os alunos às vezes fatoram apenas um grupo corretamente. Para 2x² + 5x − 3 = 0 dividido como 2x² + 6x − x − 3, o agrupamento dá 2x(x + 3) − 1(x + 3). O erro é escrever −1(x + 3) como −(x − 3) ou omitir o fator binomial comum (x + 3) e apenas combinar termos. Corrija: após agrupar, procure pelo fator binomial repetido e puxe-o limpo: (2x − 1)(x + 3) = 0.
Os dois erros mais comuns: (1) lendo a raiz como o número no fator sem virar o sinal, e (2) não verificar expandindo. Ambos levam 30 segundos para prevenir.
Problemas de Prática: Escreva a Forma Fatorada de Cada Quadrática
Os problemas abaixo variam de casos mônicos diretos a não-mônicos e problemas aplicados. Tente cada um independentemente, depois verifique contra a solução. O objetivo é ver escrever uma quadrática em forma fatorada como um ponto final natural em vez de um procedimento separado.
1. Problema 1 — x² + 11x + 30 = 0
Precisa p × q = 30 e p + q = 11. Ambas positivas. Pares: (5, 6) → 11 ✓. Forma fatorada: (x + 5)(x + 6) = 0. Raízes: x = −5 ou x = −6. Verificar: (x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30 ✓.
2. Problema 2 — x² − 4x − 21 = 0
Precisa p × q = −21 e p + q = −4. Sinais opostos, magnitude maior negativa. Par: (3, −7) → produto = −21 ✓ e soma = −4 ✓. Forma fatorada: (x + 3)(x − 7) = 0. Raízes: x = −3 ou x = 7. Verificar: x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21 ✓.
3. Problema 3 — 2x² + 9x + 10 = 0
Método AC: a × c = 2 × 10 = 20. Precisa m × n = 20 e m + n = 9. Par: (4, 5) → 20 ✓ e 9 ✓. Dividir: 2x² + 4x + 5x + 10 = 0. Agrupar: 2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0. Forma fatorada: (2x + 5)(x + 2) = 0. Raízes: x = −5/2 ou x = −2. Verificar x = −2: 2(4) + 9(−2) + 10 = 8 − 18 + 10 = 0 ✓.
4. Problema 4 — 4x² − 25 = 0
Diferença de quadrados: (2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5) = 0. Raízes: x = −5/2 ou x = 5/2. Verificar x = 5/2: 4(25/4) − 25 = 25 − 25 = 0 ✓. Nenhum termo do meio confirma o padrão de diferença de quadrados.
5. Problema 5 — x² − 8x + 16 = 0
Verifique quadrado perfeito: primeiro termo (x)², último termo 4², termo do meio 8x = 2 × x × 4 ✓. Forma fatorada: (x − 4)² = 0. Raiz repetida única: x = 4. A parábola y = x² − 8x + 16 é tangente ao eixo x em (4, 0). Eixo de simetria: x = 4 (como esperado para uma raiz repetida).
6. Problema 6 (Problema de palavra) — Modelo de lucro
O lucro semanal de uma empresa P (em centenas de dólares) é modelado por P(x) = −x² + 8x − 12, onde x é o número de unidades vendidas (em centenas). Para quais valores de x a empresa iguala custos (P = 0)? Defina −x² + 8x − 12 = 0. Multiplique por −1: x² − 8x + 12 = 0. Precisa p × q = 12 e p + q = −8. Ambas negativas: (−2, −6) → produto = 12 ✓ e soma = −8 ✓. Forma fatorada: −(x − 2)(x − 6) = 0. Pontos de igualdade: x = 2 ou x = 6 (vendendo 200 ou 600 unidades). A empresa é lucrativa para 2 < x < 6.
Perguntas Frequentes — Forma Fatorada de uma Equação Quadrática
As perguntas abaixo abordam os pontos específicos que os alunos acham confusos ao aprender primeiro a forma fatorada de uma equação quadrática. As respostas são práticas e focadas no que escrever durante um problema.
1. O que é a forma fatorada de uma equação quadrática?
A forma fatorada de uma equação quadrática é a(x − r₁)(x − r₂) = 0, onde r₁ e r₂ são as duas raízes da equação e a é o coeficiente líder. Por exemplo, a forma padrão x² − 5x + 6 = 0 torna-se (x − 2)(x − 3) = 0 em forma fatorada, revelando raízes x = 2 e x = 3.
2. A forma fatorada é sempre possível?
A forma fatorada com raízes de números reais existe apenas quando o discriminante b² − 4ac ≥ 0. Se o discriminante é negativo, as raízes são complexas e a quadrática não pode ser escrita em forma fatorada sobre os números reais. Se o discriminante é igual a zero, há uma raiz real repetida e a forma fatorada é a(x − r)² = 0.
3. Como a forma fatorada é diferente da forma padrão?
Forma padrão ax² + bx + c = 0 mostra os coeficientes a, b e c mas esconde as raízes. Forma fatorada a(x − r₁)(x − r₂) = 0 mostra as raízes diretamente mas esconde b e c. Você sempre pode expandir da fatorada para forma padrão. Ir para a outra direção requer fatoração — que é possível para todas as quadráticas com raízes reais, embora as raízes possam ser irracionais.
4. Posso usar forma fatorada para esboçar a parábola?
Sim — forma fatorada dá tudo o que você precisa para um esboço básico: (1) os interceptos x estão em (r₁, 0) e (r₂, 0), (2) o eixo de simetria é a linha vertical x = (r₁ + r₂) / 2, (3) a direção da abertura é determinada pelo sinal de a (positivo → abre para cima, negativo → abre para baixo), e (4) substitua o valor x do eixo de simetria na equação para obter a coordenada y do vértice.
5. As raízes sempre têm valores inteiros?
Não. Raízes inteiras ocorrem apenas quando o discriminante é um quadrado perfeito e a fórmula quadrática dá valores que se reduzem a inteiros. Muitas quadráticas têm raízes fracionárias (como em 2x² + 5x − 3 = 0, onde as raízes são 1/2 e −3) ou raízes irracionais (como em x² − 6x + 7 = 0, onde as raízes são 3 ± √2). A forma fatorada lida com todos os casos — apenas escreva a(x − r₁)(x − r₂) independentemente de se r₁ e r₂ são inteiros, frações ou surds.
6. Qual é a diferença entre forma fatorada e forma completamente fatorada?
Uma quadrática é completamente fatorada quando (1) o coeficiente líder ou qualquer MDC foi fatorado, e (2) cada binômio restante não pode ser fatorado mais. Para 6x² + 18x + 12 = 0, a forma fatorada (6)(x + 1)(x + 2) é completamente fatorada apenas após o MDC de 6 ser escrito explicitamente. Escrever apenas (x + 1)(x + 2) = 0 perde o coeficiente e não é a forma fatorada da quadrática 6x² + 18x + 12 — é a forma fatorada de x² + 3x + 2.
Uma decisão rápida de fatoração: calcule b² − 4ac. Quadrado perfeito (0, 1, 4, 9, …) → fatore sobre inteiros. Qualquer outro número não-negativo → raízes existem mas são irracionais, use a fórmula quadrática. Negativo → nenhuma raiz real.
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