Problemas de Geometria com Triângulos: Guia Completo com Soluções Passo a Passo
Problemas de geometria com triângulos aparecem em quase todas as provas de matemática do ensino fundamental e médio, e com razão — triângulos são a base do raciocínio geométrico. Se você está procurando um ângulo faltante, calculando área usando a fórmula de Heron, ou trabalhando com proporções de triângulos semelhantes, todo problema de geometria com triângulos segue um padrão previsível quando você conhece os teoremas corretos. Este guia decompõe os tipos mais comuns de problemas com triângulos, mostra passo a passo como resolver cada um, e fornece exemplos reais resolvidos com soluções completas para que você possa ver o raciocínio por trás de cada cálculo.
Conteúdo
- 01O Que São Problemas de Geometria com Triângulos?
- 02Teoremas e Fórmulas Essenciais sobre Triângulos
- 03Resolvendo Problemas de Ângulos Faltantes em Triângulos
- 04Encontrando Lados Faltantes em Problemas com Triângulos
- 05Problemas de Área de Triângulo: Três Métodos
- 06Problemas com Triângulos Retângulos Especiais: 30-60-90 e 45-45-90
- 07Problemas de Triângulos Semelhantes
- 08Pratique Problemas de Geometria com Triângulos com Soluções Completas
- 09Erros Comuns em Problemas de Geometria com Triângulos
- 10Dicas Rápidas para Resolver Problemas com Triângulos Mais Rápido
- 11Perguntas Frequentes Sobre Problemas com Triângulos
O Que São Problemas de Geometria com Triângulos?
Um triângulo é um polígono com três lados cujos ângulos internos sempre somam 180°. Problemas de geometria com triângulos se dividem em cinco categorias amplas: encontrar ângulos faltantes, encontrar comprimentos de lados faltantes, calcular área, trabalhar com triângulos semelhantes ou congruentes, e resolver problemas envolvendo triângulos retângulos especiais. Cada categoria depende de um conjunto específico de teoremas, portanto o primeiro passo em qualquer problema com triângulo é identificar qual tipo de questão você está enfrentando. As quatro principais classificações de triângulos pelos lados são escaleno (todos os lados diferentes), isósceles (dois lados iguais), equilátero (todos os lados iguais) e retângulo (um ângulo de 90°). Por ângulos, os triângulos são acutângulo (todos os ângulos abaixo de 90°), retângulo (um ângulo de 90°) ou obtusângulo (um ângulo acima de 90°). Identificar o tipo de triângulo antes de começar o guia direto para o teorema correto.
Os três ângulos internos de qualquer triângulo sempre somam exatamente 180° — essa regra se aplica a todo triângulo, independentemente de sua forma ou tamanho.
Teoremas e Fórmulas Essenciais sobre Triângulos
Antes de trabalhar com problemas de geometria com triângulos, revise estes teoremas e fórmulas centrais. Eles cobrem as relações que aparecem com mais frequência em exercícios de aula, testes padronizados e problemas de aplicação.
1. Teorema da Soma dos Ângulos
Os três ângulos internos de qualquer triângulo somam 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Se você conhece dois ângulos, subtraia sua soma de 180° para obter o terceiro. O teorema do ângulo externo adiciona um atalho útil: um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes.
2. Teorema de Pitágoras (Apenas Triângulos Retângulos)
Para um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c: a² + b² = c². Esta fórmula funciona em três direções — encontre c quando conhecer a e b, encontre um cateto faltante quando conhecer um cateto e a hipotenusa, ou verifique se um triângulo é retângulo verificando se a² + b² = c² vale.
3. Fórmulas de Área
Área básica: A = ½ × base × altura, onde a altura é a distância perpendicular da base ao vértice oposto. Fórmula de Heron (quando os três lados são conhecidos): primeiro calcule o semiperímetro s = (a + b + c) ÷ 2, depois Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Área trigonométrica: A = ½ × a × b × sen(C), onde C é o ângulo incluído entre os lados a e b.
4. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Lei dos Senos: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C). Use isso quando conhecer dois ângulos e um lado (AAS ou ASA) ou dois lados e um ângulo não incluído (SSA). Lei dos Cossenos: c² = a² + b² − 2ab × cos(C). Use isso quando conhecer os três lados (SSS) ou dois lados e o ângulo incluído (SAS). A Lei dos Cossenos reduz ao Teorema de Pitágoras quando C = 90°, já que cos(90°) = 0.
Resolvendo Problemas de Ângulos Faltantes em Triângulos
Problemas de geometria com triângulos de ângulos faltantes são o tipo mais comum no ensino fundamental. A abordagem é sempre a mesma: escreva a equação da soma dos ângulos, substitua os ângulos conhecidos, e resolva para o desconhecido. O teorema do ângulo externo fornece um caminho mais rápido quando um ângulo interno e um ângulo externo estão ambos rotulados.
1. Exemplo 1 — Encontre o Terceiro Ângulo Interno
Um triângulo tem ângulos medindo 54° e 73°. Encontre o ângulo faltante. Solução: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. 54° + 73° + ∠C = 180°. 127° + ∠C = 180°. ∠C = 53°. Verificação: 54° + 73° + 53° = 180° ✓. O triângulo é acutângulo porque todos os ângulos estão abaixo de 90°.
2. Exemplo 2 — Ângulo Faltante em Triângulo Isósceles
Um triângulo isósceles tem um ângulo do vértice de 40°. Encontre os dois ângulos da base iguais. Solução: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. Deixe cada ângulo da base = x. 40° + x + x = 180°. 40° + 2x = 180°. 2x = 140°. x = 70°. Os dois ângulos da base cada um medem 70°. Verificação: 40° + 70° + 70° = 180° ✓.
3. Exemplo 3 — Teorema do Ângulo Externo
Um ângulo externo de um triângulo mede 128°. Um dos dois ângulos internos não adjacentes é 55°. Encontre o outro ângulo interno não adjacente. Solução: Pelo teorema do ângulo externo, o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes: 128° = 55° + x. x = 128° − 55° = 73°. O terceiro ângulo interno = 180° − 128° = 52°. Verificação: 55° + 73° + 52° = 180° ✓.
Quando um ângulo é 90°, os outros dois devem somar exatamente 90° — eles são complementares. Rotule isso imediatamente para que você não configure a equação com a soma errada.
Encontrando Lados Faltantes em Problemas com Triângulos
Problemas de geometria com triângulos envolvendo lados faltantes requerem escolher entre o Teorema de Pitágoras, a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos dependendo de quais informações você possui. A árvore de decisão é simples: se o triângulo é um triângulo retângulo, use o Teorema de Pitágoras. Se você tem dois ângulos e um lado, use a Lei dos Senos. Se você tem dois lados e o ângulo incluído, ou os três lados, use a Lei dos Cossenos.
1. Exemplo 4 — Teorema de Pitágoras: Encontre a Hipotenusa
Um triângulo retângulo tem catetos de 8 cm e 15 cm. Encontre a hipotenusa. Solução: c² = a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289. c = √289 = 17 cm. Este é o terno pitagórico 8-15-17 — um conjunto de três inteiros satisfazendo a² + b² = c². Reconhecer ternos comuns (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) permite ler a resposta imediatamente sem aritmética.
2. Exemplo 5 — Teorema de Pitágoras: Encontre um Cateto Faltante
Um triângulo retângulo tem uma hipotenusa de 13 cm e um cateto de 5 cm. Encontre o outro cateto. Solução: a² + b² = c². 5² + b² = 13². 25 + b² = 169. b² = 144. b = √144 = 12 cm. Este é o terno pitagórico 5-12-13. Verificação: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓.
3. Exemplo 6 — Lei dos Senos
No triângulo ABC, ângulo A = 40°, ângulo B = 65°, e lado a = 12 cm. Encontre o lado b. Solução: Primeiro encontre o ângulo C = 180° − 40° − 65° = 75°. Usando a Lei dos Senos: a/sen(A) = b/sen(B). 12/sen(40°) = b/sen(65°). b = 12 × sen(65°)/sen(40°). b = 12 × 0,9063/0,6428 ≈ 12 × 1,410 ≈ 16,9 cm.
4. Exemplo 7 — Lei dos Cossenos
Um triângulo tem lados a = 7 cm, b = 10 cm, e o ângulo incluído C = 50°. Encontre o lado c. Solução: c² = a² + b² − 2ab × cos(C). c² = 7² + 10² − 2 × 7 × 10 × cos(50°). c² = 49 + 100 − 140 × 0,6428. c² = 149 − 89,99 = 59,01. c = √59,01 ≈ 7,68 cm.
Sempre identifique primeiro se você tem um triângulo retângulo — o Teorema de Pitágoras só se aplica quando um ângulo é exatamente 90°. Para todos os outros triângulos, a Lei dos Senos ou Lei dos Cossenos é a ferramenta correta.
Problemas de Área de Triângulo: Três Métodos
Problemas de área com triângulos testam três fórmulas diferentes dependendo de quais medidas você possui. Se você tem a base e a altura perpendicular, use a fórmula básica. Se você conhece os três lados mas não a altura, use a fórmula de Heron. Se você tem dois lados e o ângulo incluído, use a fórmula de área trigonométrica. Saber qual fórmula usar — e por quê — evita os erros mais comuns em problemas de área de triângulo.
1. Método 1 — Base e Altura
Um triângulo tem uma base de 14 cm e uma altura perpendicular de 9 cm. Encontre sua área. Solução: A = ½ × base × altura = ½ × 14 × 9 = ½ × 126 = 63 cm². Importante: a altura deve ser perpendicular à base. Se o problema oferece um lado oblíquo em vez da altura, você primeiro precisa usar o Teorema de Pitágoras para extrair a altura perpendicular.
2. Método 2 — Fórmula de Heron (Os Três Lados Conhecidos)
Um triângulo tem lados de 7 cm, 9 cm e 12 cm. Encontre sua área. Solução: Passo 1 — Calcule o semiperímetro: s = (7 + 9 + 12)/2 = 28/2 = 14. Passo 2 — Aplique a fórmula de Heron: A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √(14 × (14 − 7) × (14 − 9) × (14 − 12)) = √(14 × 7 × 5 × 2) = √980 ≈ 31,3 cm².
3. Método 3 — Área Trigonométrica (Dois Lados e Ângulo Incluído)
Um triângulo tem lados de 10 cm e 8 cm com um ângulo incluído de 60°. Encontre sua área. Solução: A = ½ × a × b × sen(C) = ½ × 10 × 8 × sen(60°) = ½ × 80 × (√3/2) = 40 × 0,8660 ≈ 34,6 cm². Esta fórmula é especialmente útil quando uma altura não é dada e calculá-la diretamente seria mais trabalho do que aplicar a fórmula do seno.
Problemas com Triângulos Retângulos Especiais: 30-60-90 e 45-45-90
Dois triângulos retângulos especiais aparecem constantemente em problemas de geometria com triângulos e testes padronizados: o triângulo 30-60-90 e o triângulo 45-45-90. Suas razões de lados são fixas, o que significa que você pode encontrar qualquer lado faltante em um único passo uma vez que identifique qual tipo você tem. Reconhecê-los cedo economiza tempo significativo em exames cronometrados.
1. Triângulos 30-60-90
Os lados de um triângulo 30-60-90 estão sempre na razão 1 : √3 : 2, onde 1 é oposto ao ângulo de 30°, √3 é oposto ao ângulo de 60°, e 2 é a hipotenusa. Exemplo: Um triângulo 30-60-90 tem uma hipotenusa de 16 cm. Encontre os outros dois lados. Solução: O cateto curto (oposto a 30°) = 16/2 = 8 cm. O cateto longo (oposto a 60°) = 8 × √3 ≈ 8 × 1,732 ≈ 13,9 cm. Verificação usando o Teorema de Pitágoras: 8² + (8√3)² = 64 + 192 = 256 = 16² ✓.
2. Triângulos 45-45-90
Os lados de um triângulo 45-45-90 estão sempre na razão 1 : 1 : √2. Ambos os catetos são iguais, e a hipotenusa é um cateto multiplicado por √2. Exemplo: Um quadrado tem um lado de 10 cm. Encontre o comprimento de sua diagonal. Solução: A diagonal divide o quadrado em dois triângulos 45-45-90. Hipotenusa = cateto × √2 = 10 × √2 ≈ 14,1 cm. Isso significa que a diagonal de qualquer quadrado com lado s é igual a s√2 — um fato que aparece frequentemente em problemas de geometria com triângulos envolvendo quadrados.
Em um triângulo 30-60-90, os três lados estão sempre na razão 1 : √3 : 2. Em um triângulo 45-45-90, a razão é 1 : 1 : √2. Memorize estas duas razões e você pode pular o Teorema de Pitágoras completamente para estes tipos de problema.
Problemas de Triângulos Semelhantes
Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. A semelhança é provada usando três critérios: AA (dois pares de ângulos iguais), LLL (todos os três pares de lados em proporção), ou LAL (dois pares de lados em proporção com o mesmo ângulo incluído). Problemas de geometria com triângulos semelhantes geralmente pedem que você encontre um comprimento de lado faltante configurando uma proporção. O passo chave é corresponder corretamente os lados correspondentes antes de escrever a razão.
1. Exemplo — Encontrando um Lado Faltante com Triângulos Semelhantes
O triângulo ABC e o triângulo DEF são semelhantes (∠A = ∠D, ∠B = ∠E). O triângulo ABC tem lados AB = 6, BC = 9, CA = 12. O triângulo DEF tem DE = 10. Encontre EF e FD. Solução: O fator de escala de ABC para DEF é DE/AB = 10/6 = 5/3. EF = BC × (5/3) = 9 × 5/3 = 15. FD = CA × (5/3) = 12 × 5/3 = 20. Verificação: 10/6 = 15/9 = 20/12 = 5/3 ✓. Todas as três razões são iguais, confirmando que os triângulos são semelhantes.
2. Exemplo — Problema de Sombra e Altura (Aplicação Real)
Uma pessoa de 1,8 m de altura lança uma sombra de 2,4 m. No mesmo momento, uma árvore lança uma sombra de 16 m. Qual é a altura da árvore? Solução: A pessoa e a árvore criam dois triângulos retângulos semelhantes com os raios solares como linhas paralelas. Altura/Sombra = 1,8/2,4 = 3/4. Altura da árvore = (3/4) × 16 = 12 m. A árvore tem 12 m de altura. Este tipo de problema real de geometria com triângulos aparece em avaliações Core e testes de matemática estaduais.
Se dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes são proporcionais — configure a razão com lados conhecidos em ambos os lados da equação, multiplique em cruz, e resolva.
Pratique Problemas de Geometria com Triângulos com Soluções Completas
Estes cinco problemas de geometria com triângulos abrangem a gama completa de níveis de dificuldade encontrados tipicamente no ensino fundamental e início do ensino médio. Tente cada um antes de ler a solução. Os problemas aumentam em dificuldade do Problema 1 (aritmética de ângulos) para o Problema 5 (aplicação multi-etapas).
1. Problema de Prática 1 — Ângulo Faltante (Iniciante)
Um triângulo tem ângulos de 38° e 112°. Encontre o terceiro ângulo e classifique o triângulo por seus ângulos. Solução: Terceiro ângulo = 180° − 38° − 112° = 30°. Como um ângulo (112°) é maior que 90°, este é um triângulo obtusângulo. Verificação: 38° + 112° + 30° = 180° ✓.
2. Problema de Prática 2 — Teorema de Pitágoras (Iniciante)
Um triângulo retângulo tem catetos de 9 m e 40 m. Encontre a hipotenusa. Solução: c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. c = √1681 = 41 m. Este é o terno pitagórico 9-40-41. Verificação: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² ✓.
3. Problema de Prática 3 — Área de Triângulo com Fórmula de Heron (Intermediário)
Um triângulo tem lados de 5 cm, 6 cm e 7 cm. Encontre sua área. Solução: s = (5 + 6 + 7)/2 = 18/2 = 9. A = √(9 × (9−5) × (9−6) × (9−7)) = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 = 6√6 ≈ 14,7 cm².
4. Problema de Prática 4 — Triângulo 30-60-90 (Intermediário)
O cateto curto de um triângulo 30-60-90 é 7 cm. Encontre a hipotenusa e o cateto longo. Solução: Em um triângulo 30-60-90, hipotenusa = 2 × cateto curto = 2 × 7 = 14 cm. Cateto longo = cateto curto × √3 = 7√3 ≈ 12,1 cm. Verificação: 7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14² ✓.
5. Problema de Prática 5 — Triângulos Semelhantes (Desafiador)
Um mastro lança uma sombra de 18 m de comprimento. No mesmo momento, um poste próximo que mede 2,5 m de altura lança uma sombra de 4,5 m. Qual é a altura do mastro? Solução: Os triângulos formados por cada objeto e sua sombra são semelhantes. Altura do mastro / 18 = 2,5 / 4,5. Altura do mastro = 18 × (2,5 / 4,5) = 18 × 0,5556 ≈ 10 m. O mastro tem 10 m de altura.
Erros Comuns em Problemas de Geometria com Triângulos
Mesmo alunos que conhecem os teoremas corretos perdem pontos em problemas com triângulos por causa de um punhado de erros repetidos. Compreender onde esses erros acontecem — e por quê — ajuda você a detectá-los antes que custem pontos.
1. Erro 1: Usar o Lado Oblíquo como a Altura
A fórmula de área A = ½ × base × altura requer a altura perpendicular — uma linha traçada do ápice reto para baixo até a base em um ângulo de 90°. Um lado oblíquo é sempre mais longo que a altura perpendicular (exceto em um triângulo retângulo onde um cateto serve diretamente como altura). Quando o problema não rotula a altura explicitamente, use o Teorema de Pitágoras para calculá-la a partir do lado oblíquo.
2. Erro 2: Aplicar o Teorema de Pitágoras a Triângulos Não Retângulos
A equação a² + b² = c² só vale para triângulos retângulos. Aplicá-la a um triângulo escaleno ou obtusângulo dará uma resposta errada sem indicação de que um erro ocorreu. Se o triângulo não tem um ângulo de 90° marcado, use a Lei dos Cossenos: c² = a² + b² − 2ab × cos(C).
3. Erro 3: Confundir Lados Correspondentes em Triângulos Semelhantes
Ao configurar uma proporção para triângulos semelhantes, os lados devem corresponder corretamente — lado curto para lado curto, lado longo para lado longo. Um erro comum é corresponder um lado curto de um triângulo com um lado longo do outro. Sempre rotule qual ângulo é igual a qual antes de escrever a razão, depois corresponda os lados opostos a esses ângulos.
4. Erro 4: Esquecer o Fator ½ na Fórmula de Área
A = ½ × base × altura, não A = base × altura. O fator de ½ está lá porque um triângulo é metade de um paralelogramo com a mesma base e altura. Esquecê-lo dobra a resposta de área. Escrever a fórmula completamente antes de substituir números — em vez de calcular mentalmente — mantém este fator visível.
Dicas Rápidas para Resolver Problemas com Triângulos Mais Rápido
Essas estratégias são usadas por alunos que consistentemente obtêm boas notas em problemas de geometria com triângulos. Nenhuma delas requer memorizar fórmulas extras — são hábitos de pensamento que ajudam você a evitar erros e trabalhar de forma mais eficiente em condições de exame.
1. Dica 1: Classifique o Triângulo Antes de Começar
Antes de tocar em qualquer fórmula, responda duas perguntas: Este é um triângulo retângulo? Eu conheço a altura? Se sim para a primeira, o Teorema de Pitágoras e as razões de triângulos especiais estão disponíveis. Se nenhuma altura é fornecida, decida se você precisa da fórmula de Heron ou da Lei dos Cossenos. Esta classificação de 10 segundos evita a maioria dos erros de fórmula errada.
2. Dica 2: Memorize Ternos Pitagóricos
Os conjuntos 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e 7-24-25 aparecem constantemente em problemas de geometria com triângulos. Qualquer múltiplo destes também funciona: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26. Se dois lados correspondem a um terno, leia o terceiro lado imediatamente sem elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada — isso economiza 30 a 60 segundos por problema em um teste cronometrado.
3. Dica 3: Desenhe um Diagrama e Rotule Tudo
Para problemas de aplicação e problemas que apenas descrevem um triângulo verbalmente, esboce a forma e rotule cada medida fornecida antes de escrever uma única equação. Coloque um ponto de interrogação na quantidade desconhecida. Este hábito força você a reler o problema e frequentemente revela qual teorema é necessário. Alunos que pulam esta etapa e calculam diretamente cometem quase o dobro de erros.
4. Dica 4: Sempre Verifique com uma Etapa de Verificação
Para problemas de ângulos, verifique se os três ângulos somam 180°. Para problemas de Pitágoras, substitua de volta: a² + b² = c²? Para problemas de área, estime se a resposta é razoável — a área de um triângulo com base 14 e altura 9 deve ser notavelmente menor que a área 14 × 9 = 126 do retângulo envolvente, portanto 63 cm² é credível. Verificações rápidas detectam erros aritméticos antes que você envie.
A família 3-4-5 de ternos pitagóricos aparece em quase todo teste de geometria padronizado — reconhecer o padrão economiza o cálculo completo de quadrado e raiz.
Perguntas Frequentes Sobre Problemas com Triângulos
Essas perguntas surgem frequentemente quando alunos trabalham com problemas de geometria com triângulos pela primeira vez ou se preparam para um exame iminente.
1. Um triângulo pode ter dois ângulos retos?
Não. Dois ângulos retos sozinhos somariam 180°, deixando 0° para o terceiro ângulo, o que é impossível. Um triângulo válido deve ter três ângulos internos positivos que somem exatamente 180°. O máximo que qualquer ângulo único pode ser é ligeiramente menos de 180°, o que deixaria os outros dois ângulos infinitesimalmente pequenos — ou seja, um triângulo plano degenerado, não um real.
2. Quando devo usar a Lei dos Senos versus a Lei dos Cossenos?
Use a Lei dos Senos (a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)) quando você tem dois ângulos e qualquer lado (AAS ou ASA), ou dois lados e um ângulo não incluído (SSA). Use a Lei dos Cossenos (c² = a² + b² − 2ab × cos(C)) quando você tem dois lados e o ângulo incluído (SAS), ou os três lados e precisa de um ângulo (SSS). Se o triângulo é um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras é mais simples que qualquer uma das leis.
3. O que é o teorema da desigualdade triangular?
O teorema da desigualdade triangular afirma que a soma de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior que o terceiro lado. Para os lados a, b, c: a + b > c, a + c > b, e b + c > a. Isso é útil para verificar se três medidas fornecidas podem formar um triângulo. Por exemplo, lados 3, 4 e 8 não podem formar um triângulo porque 3 + 4 = 7 < 8.
4. Como encontro a altura de um triângulo se ela não é fornecida?
Solte uma perpendicular do ápice até a base. Em um triângulo retângulo, um cateto já é uma altura perpendicular. Em um triângulo isósceles, a altura perpendicular bisecta a base, criando dois triângulos retângulos — use o Teorema de Pitágoras. Em um triângulo escaleno, use a fórmula de área ao inverso se a área é conhecida, ou calcule a altura usando a Lei dos Senos: altura = b × sen(A), onde b é o lado ao longo da base e A é o ângulo da base.
5. O que são triângulos congruentes e como diferem de triângulos semelhantes?
Triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho — lados correspondentes são iguais em comprimento e ângulos correspondentes são iguais em medida. Triângulos semelhantes têm a mesma forma mas tamanhos diferentes — ângulos correspondentes são iguais mas lados correspondentes são proporcionais, não necessariamente iguais. Congruência é provada por LLL, LAL, ALA, AAL, ou HL (hipotenusa-cateto para triângulos retângulos). Semelhança é provada por AA, LLL (proporcional), ou LAL (proporcional com ângulo incluído igual).
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