Distributiv egenskap räknare steg för steg: Komplett guide med exempel
Distributiv egenskap är ett av de mest använda verktygen inom algebra — när du väl förstår det kommer du att tillämpa det i nästan varje ekvation du löser, varje polynom du expanderar och varje uttryck du förenklar. Oavsett om du använder en distributiv egenskap räknare steg för steg eller arbetar genom problem för hand, är den underliggande processen alltid densamma. Den här guiden går igenom varje steg från den grundläggande definitionen till uttryck med flera termer, med verkliga lösta exempel, vanliga misstag att passa sig för och övningsproblem du kan försöka på egen hand.
Innehåll
- 01Vad är distributiv egenskap?
- 02Hur man tillämpar distributiv egenskap steg för steg
- 03Lösta exempel: Distributiv egenskap steg för steg
- 04Använd distributiv egenskap i omvänd riktning: Faktorisering
- 05Distributiv egenskap med dubbeldistribution (FOIL)
- 06Vanliga misstag och hur man undviker dem
- 07Övningsproblem med fullständiga lösningar
- 08Där distributiv egenskap dyker upp i verkliga problem
- 09Vanliga frågor om distributiv egenskap
Vad är distributiv egenskap?
Distributiv egenskap säger att multiplicering av ett tal med en summa (eller differens) ger samma resultat som att multiplicera det talet med varje term inuti parenteserna och sedan addera (eller subtrahera) resultaten. I formell notation: a × (b + c) = a × b + a × c. Denna regel fungerar för alla reella tal — positiva, negativa, hela eller bråktal. Ordet "distributiv" kommer från idén om att distribuera, eller sprida, multiplikationen över varje term inuti parenteserna. Du ändrar inte värdet — du skriver bara om det i en form som är lättare att arbeta med. Att förstå denna regel är nyckeln till att expandera parenteser, kombinera likartade termer och lösa flerstegiga ekvationer.
1. Grundregeln
a × (b + c) = a × b + a × c Även skrivet som: a(b + c) = ab + ac Exempel: 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27 Kontroll: 3 × 9 = 27 ✓
2. Det fungerar även med subtraktion
a × (b - c) = a × b - a × c Exempel: 5 × (8 - 3) = 5 × 8 - 5 × 3 = 40 - 15 = 25 Kontroll: 5 × 5 = 25 ✓
3. Det fungerar från båda håll
Multiplikationen kan vara på vänster eller höger om parenteserna: (b + c) × a = b × a + c × a Exempel: (6 + 2) × 4 = 6 × 4 + 2 × 4 = 24 + 8 = 32 Kontroll: 8 × 4 = 32 ✓
4. Varför det fungerar
Tänk på 3 × (4 + 5) som tre grupper av (4 + 5). Varje grupp innehåller en 4 och en 5, så tre grupper ger dig tre 4or och tre 5or — det är 3 × 4 + 3 × 5. Totalen förändras inte; du räknar den bara på ett annat sätt.
Distributiv egenskap: a(b + c) = ab + ac. Multiplicera den externa termen med varje term inuti parenteserna.
Hur man tillämpar distributiv egenskap steg för steg
Att använda distributiv egenskap är en pålitlig trestegsprocess. Stegen är alltid desamma oavsett hur komplicerad uttrycket ser ut — och en distributiv egenskap räknare steg för steg följer exakt samma sekvens. Arbeta igenom dessa steg noggrant på varje problem tills processen är automatisk — de fel som kräklar upp studenter kommer nästan alltid från att skynda igenom ett av dessa steg.
1. Steg 1 — Identifiera faktorn utanför parenteserna
Hitta det tal eller den variabel som multipliceras med hela parentesuttrycket. Det här är den term du kommer att distribuera. Exempel: I 4(3x + 7) är faktorn utanför 4. Exempel: I -2(5x - 1) är faktorn utanför -2 (inklusive minustecknet). Exempel: I x(x + 6) är faktorn utanför x.
2. Steg 2 — Multiplicera den yttre faktorn med varje term inuti
Ta den yttre faktorn och multiplicera den med den första termen, sedan den andra termen och så vidare. Håll ordning på tecknen noggrant. Exempel: 4(3x + 7) → 4 × 3x = 12x → 4 × 7 = 28 → Resultat: 12x + 28
3. Steg 3 — Skriv det utökade uttrycket och förenkla
Sätt ihop resultaten med lämplig operation (+ eller -) mellan dem. Kombinera sedan eventuella likartade termer om möjligt. Exempel: 4(3x + 7) = 12x + 28 (inga likartade termer att kombinera) Exempel med förenklingen: 3(2x + 4) + 5 → 6x + 12 + 5 → 6x + 17 (kombinera konstanterna: 12 + 5)
4. Steg 4 — Kontrollera ditt svar
Om det ursprungliga uttrycket hade ett specifikt värde för x, ersätt det i både den ursprungliga och utökade formen och verifiera att de ger samma resultat. Kontroll för 4(3x + 7) = 12x + 28 med x = 2: Ursprunglig: 4(3×2 + 7) = 4(6 + 7) = 4 × 13 = 52 Utökad: 12×2 + 28 = 24 + 28 = 52 ✓
Distribuera till varje term inuti — inte bara den första. Det här är det vanligaste misstaget, och det är lätt att undvika genom att rita pilar från den yttre faktorn till varje term.
Lösta exempel: Distributiv egenskap steg för steg
Nedan finns åtta helt lösta exempel som ökar i svårighet. Var och en visar den fullständiga processen så du kan se exakt hur du hanterar olika situationer — positiva och negativa faktorer, variabler, bråktal och uttryck med mer än två termer.
1. Exempel 1 (Grundläggande): 5(x + 3)
Distribuera 5 till varje term: 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15
2. Exempel 2 (Negativ faktor): -3(2x - 4)
Distribuera -3 till varje term — pass på tecknen: (-3) × 2x + (-3) × (-4) = -6x + 12 Notering: negativt × negativt = positivt, så -3 × -4 = +12.
3. Exempel 3 (Variabelfaktor): x(x + 7)
Distribuera x till varje term: x × x + x × 7 = x² + 7x
4. Exempel 4 (Tre termer): 2(3x² - 5x + 1)
Distribuera 2 till alla tre termer: 2 × 3x² - 2 × 5x + 2 × 1 = 6x² - 10x + 2
5. Exempel 5 (Bråkfaktor): (1/2)(4x + 6)
Distribuera 1/2 till varje term: (1/2) × 4x + (1/2) × 6 = 2x + 3 Tips: att multiplicera med 1/2 är detsamma som att dividera med 2, så 4x ÷ 2 = 2x och 6 ÷ 2 = 3.
6. Exempel 6 (Sedan lösa): Lös 3(x + 4) = 21
Steg 1 — Distribuera: 3x + 12 = 21 Steg 2 — Subtrahera 12 från båda sidor: 3x = 9 Steg 3 — Dividera med 3: x = 3 Kontroll: 3(3 + 4) = 3 × 7 = 21 ✓
7. Exempel 7 (Båda sidorna): 2(x + 5) = 4(x - 1)
Steg 1 — Distribuera båda sidorna: 2x + 10 = 4x - 4 Steg 2 — Subtrahera 2x från båda sidor: 10 = 2x - 4 Steg 3 — Addera 4 till båda sidor: 14 = 2x Steg 4 — Dividera med 2: x = 7 Kontroll: 2(7 + 5) = 24; 4(7 - 1) = 24 ✓
8. Exempel 8 (Negativt utanför, sedan lösa): -4(x - 3) = 8
Steg 1 — Distribuera -4: -4x + 12 = 8 Steg 2 — Subtrahera 12 från båda sidor: -4x = -4 Steg 3 — Dividera med -4: x = 1 Kontroll: -4(1 - 3) = -4 × (-2) = 8 ✓
När du distribuerar ett negativt tal, ändrar varje term inuti tecken. Skriv det noggrant — försök inte att göra det i huvudet.
Använd distributiv egenskap i omvänd riktning: Faktorisering
Denna regel är en tvåvägsväg. Framåt (vänster till höger), a(b + c) = ab + ac, expanderar du ett uttryck. Bakåt (höger till vänster), ab + ac = a(b + c), faktoriserar du ett uttryck. Att känna igen när man ska expandera och när man ska faktorisera är en viktig algebrafärdighet. Faktorisering är i huvudsak att fråga: "Vilket tal eller vilken variabel distribuerades för att producera detta uttryck?" Svaret är den största gemensamma faktorn (GCF) för alla termerna.
1. Exempel: Faktorisera 6x + 10
Hitta GCF för 6x och 10. Faktorer för 6x: 1, 2, 3, 6, x, 2x, 3x, 6x Faktorer för 10: 1, 2, 5, 10 GCF = 2 Skriv varje term som 2 × något: 6x + 10 = 2(3x) + 2(5) = 2(3x + 5) Kontroll genom distribution: 2(3x + 5) = 6x + 10 ✓
2. Exempel: Faktorisera 12x² - 8x
Hitta GCF för 12x² och 8x. GCF = 4x (det största talet och variabeln som delas in i båda) 12x² ÷ 4x = 3x 8x ÷ 4x = 2 Resultat: 4x(3x - 2) Kontroll: 4x × 3x - 4x × 2 = 12x² - 8x ✓
3. Exempel: Faktorisera 15a³ + 10a² - 5a
GCF för 15a³, 10a² och 5a = 5a 15a³ ÷ 5a = 3a² 10a² ÷ 5a = 2a 5a ÷ 5a = 1 Resultat: 5a(3a² + 2a - 1) Kontroll: 5a × 3a² + 5a × 2a - 5a × 1 = 15a³ + 10a² - 5a ✓
Expansion och faktorisering använder samma regel i motsatta riktningar. Behärska båda och du hanterar hälften av algebran automatiskt.
Distributiv egenskap med dubbeldistribution (FOIL)
När du multiplicerar två binomialer — uttryck med två termer vardera, som (x + 3)(x + 5) — tillämpar du samma regel två gånger. En vanlig metod är FOIL-metoden, som står för First, Outer, Inner, Last. Detta är bara en minnesregel för att se till att du distribuerar varje term i den första binomialen till varje term i den andra. Den underliggande operationen är fortfarande den distributiva egenskapen tillämpad steg för steg, bara används två gånger i följd.
1. Exempel: Expandera (x + 3)(x + 5)
F — Första termerna: x × x = x² O — Yttre termerna: x × 5 = 5x I — Inre termerna: 3 × x = 3x L — Sista termerna: 3 × 5 = 15 Kombinera: x² + 5x + 3x + 15 Förenkla: x² + 8x + 15
2. Exempel: Expandera (2x - 1)(x + 4)
F: 2x × x = 2x² O: 2x × 4 = 8x I: (-1) × x = -x L: (-1) × 4 = -4 Kombinera: 2x² + 8x - x - 4 Förenkla: 2x² + 7x - 4
3. Exempel: Expandera (x - 6)²
(x - 6)² = (x - 6)(x - 6) F: x × x = x² O: x × (-6) = -6x I: (-6) × x = -6x L: (-6) × (-6) = 36 Kombinera: x² - 6x - 6x + 36 Förenkla: x² - 12x + 36 Notering: (a - b)² ger alltid a² - 2ab + b².
FOIL är ingen separat regel — det är den distributiva egenskapen tillämpad två gånger. Att förstå detta innebär att du kan utöka den till trinomialer utan att lära dig något nytt.
Vanliga misstag och hur man undviker dem
De flesta fel med den distributiva egenskapen faller in i ett litet antal kategorier. Oavsett om du kontrollerar ditt arbete med en distributiv egenskap räknare steg för steg eller för hand, hjälper det att känna igen dessa mönster innan du börjar att fånga misstag innan de händer istället för efter.
1. Misstag 1: Distribuera endast till den första termen
Fel: 4(3x + 7) = 12x + 7 (glömde att multiplicera 4 × 7) Rätt: 4(3x + 7) = 12x + 28 Lösning: Rita pilar från den yttre faktorn till varje term inuti innan du multiplicerar. Gå inte vidare förrän du har en pil till varje term.
2. Misstag 2: Förlora minustecknet när man distribuerar
Fel: -2(x - 5) = -2x - 10 (fel tecken på andra termen) Rätt: -2(x - 5) = -2x + 10 Resonemang: -2 × (-5) = +10. En negativ gånger en negativ är alltid positiv. Lösning: När den yttre faktorn är negativ kommer varje term inuti att ändra tecken. Förvänta dig det och dubbelkolla det.
3. Misstag 3: Distribuera när du borde lösa först
Inte alla problem med parenteser kräver distribution först. Om parenteserna innehåller en enda term är det ofta snabbare att inte distribuera. Exempel: 3(x + 4) = 21 Bättre tillvägagångssätt: x + 4 = 7, så x = 3 (dividera båda sidor med 3 först) Också giltigt: 3x + 12 = 21 → 3x = 9 → x = 3 Båda fungerar, men det första är snabbare när koefficienten delas jämnt.
4. Misstag 4: Kombinera felaktigt olika termer efter distribution
Fel: 2(3x + 4) + 5x = 6x + 4 + 5x = 11x + 4x = 15x (kombinerade 4 och x felaktigt) Rätt: 2(3x + 4) + 5x = 6x + 8 + 5x = 11x + 8 Lösning: Du kan bara kombinera likartade termer — termer med samma variabel och exponent. Konstanten 8 kan inte adderas till 11x.
5. Misstag 5: Glömma att distribuera till alla termer i längre uttryck
Fel: 3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 5x + 1 (distribuerade endast till den första termen) Rätt: 3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 15x + 3 Lösning: Räkna antalet termer inuti parenteserna innan du börjar. Se till att du har det antalet resultat efter distribution.
Innan du skriver något, räkna termerna inuti parenteserna. Det är exakt hur många multiplikationer du behöver göra — inte mer, inte mindre.
Övningsproblem med fullständiga lösningar
Arbeta igenom dessa problem i ordning — de fortskrider från okomplicerad distribution till fullständig ekvationslösning. Försök med var och en på egen hand innan du läser lösningen. Målet är inte bara att få rätt svar, utan att få det med rätt process.
1. Problem 1: Expandera 6(x + 4)
Lösning: 6 × x + 6 × 4 = 6x + 24
2. Problem 2: Expandera -5(2x - 3)
Lösning: (-5) × 2x + (-5) × (-3) = -10x + 15 Notering: -5 × -3 = +15
3. Problem 3: Expandera och förenkla 4(x + 2) + 3x
Lösning: 4x + 8 + 3x = 7x + 8
4. Problem 4: Expandera 3(2x² - x + 5)
Lösning: 3 × 2x² - 3 × x + 3 × 5 = 6x² - 3x + 15
5. Problem 5: Lös 5(x - 2) = 15
Lösning: 5x - 10 = 15 5x = 25 x = 5 Kontroll: 5(5 - 2) = 5 × 3 = 15 ✓
6. Problem 6: Lös 3(2x + 1) = 2(x + 9)
Lösning: 6x + 3 = 2x + 18 4x = 15 x = 15/4 = 3,75 Kontroll: 3(2 × 3,75 + 1) = 3 × 8,5 = 25,5 2(3,75 + 9) = 2 × 12,75 = 25,5 ✓
7. Problem 7: Faktorisera 14x² + 21x
Hitta GCF för 14x² och 21x: GCF = 7x 14x² ÷ 7x = 2x 21x ÷ 7x = 3 Resultat: 7x(2x + 3) Kontroll: 7x × 2x + 7x × 3 = 14x² + 21x ✓
8. Problem 8: Expandera (x + 4)(x - 2)
Använd FOIL: F: x × x = x² O: x × (-2) = -2x I: 4 × x = 4x L: 4 × (-2) = -8 Resultat: x² - 2x + 4x - 8 = x² + 2x - 8
Om du kan arbeta igenom dessa åtta problem utan tveksamhet har du distributiv egenskap täckt på algebränivå 1 och 2.
Där distributiv egenskap dyker upp i verkliga problem
Denna regel är inte bara en isolerad algebrafärdighet — den dyker upp konstant i verklig ekvationslösning. Att veta hur man snabbt spottar och tillämpar det sparar tid på alla test och läxuppgifter. Här är tre vanliga sammanhang där du behöver distributiv egenskap.
1. Lösa ekvationer med parenteser
Varje gång en ekvation har parenteser med en koefficient är ditt första drag vanligtvis att distribuera och rensa parenteserna innan du isolerar variabeln. Exempel: 2(3x - 4) + 6 = 20 Distribuera: 6x - 8 + 6 = 20 Förenkla: 6x - 2 = 20 Lösa: 6x = 22 → x = 11/3
2. Geometri: area och omkretser formler
Omkretsformeln för en rektangel, P = 2(l + w), använder distributiv egenskap. Att expandera det ger P = 2l + 2w, vilket låter dig hitta enskilda dimensioner mer enkelt. Exempel: En rektangel har omkrets 40 cm och längd 12 cm. Hitta bredden. 2(12 + w) = 40 Distribuera: 24 + 2w = 40 Lösa: 2w = 16 → w = 8 cm
3. Arbeta med formler inom vetenskap och finans
Distributiv egenskap dyker upp när man omorganiserar formler. Exempel — Vinstformel: P = n(r - c), där n är enheter sålda, r är intäkt per enhet, c är kostnad per enhet. Expanderad: P = nr - nc Den här formen gör det lättare att se hur ändringar i intäkt eller kostnad påverkar vinsten oberoende.
När du tränar dig själv att känna igen detta mönster i något uttryck med parenteser blir mycket algebra som såg komplicerad rakt.
Vanliga frågor om distributiv egenskap
Det här är frågorna som dyker upp oftast när elever arbetar igenom distributiv egenskap för första gången, granskar det innan ett prov eller använder en distributiv egenskap räknare steg för steg för att kontrollera sitt arbete.
1. Fungerar distributiv egenskap med tre eller fler termer inuti parenteserna?
Ja. Regeln sträcker sig till vilket antal termer som helst. a(b + c + d) = ab + ac + ad. Distribuera bara den yttre faktorn till varje enda term. Ju fler termer det finns, desto fler multiplikationer behöver du — men processen är identisk för var och en.
2. Kan jag använda distributiv egenskap med subtraktion?
Ja. a(b - c) = ab - ac. Subtraktionstecknet förblir mellan de två resulterande termerna. Var särskilt försiktig när den yttre faktorn är negativ — en negativ utanför och en subtraktion inuti lurar ofta upp elever. Skriv ut varje multiplikationstecken tecken för tecken för att undvika fel.
3. Vad är skillnaden mellan distributiv egenskap och kombinera likartade termer?
Distributiv egenskap tar bort parenteser genom att multiplicera. Att kombinera likartade termer förenklar ett uttryck genom att addera eller subtrahera termer som har samma variabeldel. De görs vanligtvis i följd: distribuera först för att ta bort parenteserna, kombinera sedan likartade termer för att förenkla. Exempel: 2(x + 3) + 4x → 2x + 6 + 4x → 6x + 6.
4. Är FOIL samma som distributiv egenskap?
Ja. FOIL är en minnesregel för att komma ihåg hur man tillämpar regeln två gånger när man multiplicerar två binomialer. Etiketterna "First, Outer, Inner, Last" hjälper bara dig att spåra vilka termer som ska multipliceras så du inte missar någon. Den underliggande operationen är fortfarande distributiv egenskap — bara används två gånger i följd.
5. När bör jag faktorisera istället för distribuera?
Om ett uttryck inte har parenteser och du behöver lösa en ekvation kan faktorisering förenkla det avsevärt. Om ett uttryck redan har parenteser med en koefficient, distribuera först för att rensa dem. I allmänhet: distribuera för att ta bort parenteser och expandera, faktorisera för att introducera parenteser och förenkla. Sammanhanget med problemet gör vanligtvis klart vilken riktning man ska gå.
6. Fungerar distributiv egenskap med division?
Delvis. Du kan distribuera en summa i täljaren över en division: (a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c). Det här är giltigt eftersom dividering med c är detsamma som att multiplicera med 1/c. Du kan dock inte distribuera division i nämnaren: a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c). Det är ett mycket vanligt fel — undvik det.
Distributiv egenskap ligger i hjärtat av polynomialgebra. Få det rätt på detta stadium och varje ämne som följer blir lättare att förstå.
Relaterade artiklar
Enkla algebraproblem: En steg-för-steg guide
Bemästra grunderna för algebra med lösta exempel på en-steg, två-steg och flerstegiga ekvationer.
Hur man faktoriserar en kvadratisk ekvation
Lär dig tre metoder för faktorisering av kvadratiska uttryck, inklusive när du ska använda varje tillvägagångssätt.
Hur man löser formler i algebra
Lär dig att omorganisera och lösa algebraiska formler — en väsentlig färdighet som bygger tungt på distributiv egenskap.
Relaterade matematiklösare
Steg-för-steg lösningar
Få detaljerade förklaringar för varje steg, inte bara det slutliga svaret.
Smart Scan Solver
Ta ett foto av vilket matteproblem som helst och få en omedelbar steg-för-steg lösning.
Övningsläge
Skapa liknande problem för att öva och bygga självförtroende.