Läxa 13: Ordproblem med andragradsekvationer — 5 fullständigt lösta exempel
Ordproblemen med andragradsekvationer från Läxa 13 är när många algebraelever för första gången upptäcker att lösa x² + 5x + 6 = 0 bara är halva jobbet— den svårare hälften är att bygga ekvationen från en textmening i första hand. Ordproblem kräver ett översättningssteg som omvandlar ett verkligt scenario till en kvadratisk modell, och det oversättningssteget får mycket mindre explicit övning än själva algebraen. Den här guiden täcker fem fullständigt lösta exempel från de vanligaste typerna av Läxa 13-ordproblem— område, projektilrörelse, talförhållanden, intäkter och avstånd-hastighet-tid—med varje beräkning visad så att du kan följa och upprepa metoden på dina egna problem.
Innehåll
- 01Vad är ordproblem med andragradsekvationer och varför dyker de upp i Läxa 13?
- 02The 4-steg-ramverk för något ordproblem med andragradsekvation
- 03Areaproblem: Den vanligaste typen av ordproblem med andragradsekvation
- 04Projektilrörelseproblem: Höjd och tid
- 05Nummerförhållandeproblem med andragradsekvationer
- 06Intäkter och prissättning: Affärs-andragradsekvation ordproblem
- 07Avstånd-, hastighets- och tidsproblem som leder till andragradsekvationer
- 08Vanliga misstag som elever gör på Läxa 13 andragradsproblem
- 09Fem praktikproblem med andragradsekvationer med fullständiga lösningar
- 10Strategier och genvägar för att lösa ordproblem med andragradsekvationer snabbare
- 11Vanliga frågor om Läxa 13 ordproblem med andragradsekvationer
Vad är ordproblem med andragradsekvationer och varför dyker de upp i Läxa 13?
Ett ordproblem med en andragradsekvation är något tillämpningsproblem vars matematiska modell innehåller en term med en variabel i kvadrat (x²). Till skillnad från linjära ordproblem, där förhållandet mellan storheter är proportionellt och grafen är en rät linje, modellerar ordproblem med andragradsekvationer situationer där två storheter multipliceras tillsammans— längden och bredden på en rektangel, tiden och initialhastigheten för ett kastat föremål, antalet sålda artiklar och pris per artikel. Ordproblemen med andragradsekvationer från Läxa 13 kommer vanligtvis efter att elever har behärskat att lösa andragradsekvationer algebraiskt, så uppgiften är utformad för att testa om du kan känna igen ett kvadratisk samband inuti en historia. De fem kategorier som förekommer oftast är: områdes- och geometriproblem, projektilrörelseproblem, talföljdsproblem, intäkts- och optimeringsproblem samt avstånd-hastighet-tidsproblem där hastigheten ändras. Varje kategori har ett standardinställningsmönster, och när du väl känner till dessa mönster blir översättningssteget mycket mer systematiskt.
Ett ordproblem med en andragradsekvation innehåller alltid en storhet multiplicerad med sig själv eller två relaterade storheter multiplicerade tillsammans— leta efter område, produkter av okända eller kvadratiska termer i någon given formel.
The 4-steg-ramverk för något ordproblem med andragradsekvation
Oavsett om problemet handlar om en flygande boll eller en rektangulär trädgård, följer varje ordproblem med andragradsekvation från Läxa 13 samma fyrstegiga översättnings- och lösningsprocess. Att hoppa över steg 1— definiera variabeln tydligt— är den största felkällan, eftersom elever antingen glömmer vad x representerar eller väljer x som en storhet som gör algebran onödigt komplicerad. Arbeta igenom dessa fyra steg i ordning varje gång.
1. Steg 1 — Definiera din variabel exakt
Välj en okänd att kallas x, och skriv den explicit: 'Låt x = trädgårdens bredd i meter.' Om en andra storhet dyker upp, uttrycka den i termer av x— till exempel, 'längd = x + 3'. Använd aldrig två separata variabler när du kan uttrycka en i termer av en annan; det håller problemet som en enda ekvation i en okänd.
2. Steg 2 — Bygg ekvationen från ordproblemet
Identifiera det förhållande som problemet anger (område = l × b, eller avstånd = hastighet × tid, eller produkten av två tal = givet värde), ersätt dina uttryck från steg 1, och ställ in ekvationen. De flesta ordproblem med andragradsekvationer ger dig ett numeriskt värde som produkten är lika med— det är din ekvation. Expandera alla parenteser så att du kan se x²-termen.
3. Steg 3 — Lös andragradsekvationen
Ordna om till standardform ax² + bx + c = 0, välj sedan din metod: factoring om talen är snälla, fylla ut kvadraten om den ledande koefficienten är 1, eller andragradsformeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) för någon ekvation. Du får ofta två lösningar— det är normalt.
4. Steg 4 — Tolka svaret och förkasta omöjliga värden
Fråga dig själv: är den här lösningen meningsfull i sammanhanget? En negativ längd, ett negativt antal sekunder innan bollen kastas, eller ett negativt antal människor är alla matematiskt giltiga lösningar på en andragradsekvation men fysiskt omöjliga svar. Förkasta den negativa roten (eller på annat sätt meningslös) och angiv ditt slutliga svar i de enheter som problemet begärde. Verifiera sedan genom att ersätta tillbaka in i den ursprungliga ordproblemet— inte bara ekvationen du skrev.
Skriv alltid 'Låt x = ____' innan du skriver någon ekvation. Elever som hoppar över det här steget blir nästan alltid förvirrade om vilken rot de ska behålla.
Areaproblem: Den vanligaste typen av ordproblem med andragradsekvation
Areaproblem är de oftast tilldelade ordproblemen med andragradsekvationer eftersom de uppstår naturligt från formeln Area = längd × bredd. När längden och bredden uttrycks i termer av samma variabel, multipliceras de för att producera en x²-term. Standardinställningen är: en dimension definieras som x, den andra som x plus (eller minus) någon konstant, området ges som ett tal, och du måste hitta båda dimensionerna. Här är ett helt löst exempel på denna typ av problem.
1. Problem
En rektangulär trädgård har en längd som är 3 meter längre än bredden. Trädgårdens yta är 40 m². Hitta bredden och längden.
2. Steg 1 — Definiera variabeln
Låt x = trädgårdens bredd i meter. Då är längden = x + 3 meter.
3. Steg 2 — Bygg ekvationen
Area = längd × bredd, så (x + 3)(x) = 40. Expanderande: x² + 3x = 40.
4. Steg 3 — Lös
Ordna om till standardform: x² + 3x − 40 = 0. Faktorisera: leta efter två tal som multipliceras till −40 och lägger till +3. Dessa tal är +8 och −5. Så: (x + 8)(x − 5) = 0. Ställ in varje faktor på noll: x + 8 = 0 → x = −8, eller x − 5 = 0 → x = 5.
5. Steg 4 — Tolka
Bredden kan inte vara negativ, så förkasta x = −8. Bredd = 5 m, Längd = 5 + 3 = 8 m. Kontrollera: 5 × 8 = 40 m² ✓. Trädgården är 5 meter bred och 8 meter lång.
För areaproblem: ställ alltid in Area = längd × bredd med dina variabeluttryck, expandera, flytta allt till ena sidan och faktorisera.
Projektilrörelseproblem: Höjd och tid
Projektilrörelseproblem är den andra huvudkategorin i problemsatser med andragradsekvationer från Läxa 13. De förlitar sig på fysikformeln h = −(g/2)t² + v₀t + h₀, där h är höjd, t är tid, v₀ är initialhastigheten uppåt, h₀ är initialhöjden, och g är gravitationsacceleration (ungefär 10 m/s² i metrisk eller 32 ft/s² i imperiska enheter). De flesta husarbetsversioner är förförenklade, så du använder bara formeln som given och löser för t när h = 0 (marknivå) eller h = någon målhöjd. Här är ett rent exempel med runda siffror som låter dig faktorisera snarare än att använda formeln.
1. Problem
En boll kastas uppåt från marknivå med en initialhastighet på 20 m/s. Dess höjd efter t sekunder är h = −5t² + 20t. Vid vilka tidpunkter är bollen på marknivå?
2. Steg 1 — Definiera variabeln
t = tiden i sekunder efter att bollen kastas. Marknivå betyder h = 0.
3. Steg 2 — Bygg ekvationen
Ställ h = 0: −5t² + 20t = 0.
4. Steg 3 — Lös
Faktorisera −5t: −5t(t − 4) = 0. Ställ in varje faktor på noll: −5t = 0 → t = 0, eller t − 4 = 0 → t = 4.
5. Steg 4 — Tolka
t = 0 är det ögonblick då bollen kastas (den börjar på marknivå). t = 4 är när den återvänder till marken. Bollen är på marknivå vid t = 0 sekunder (lansering) och t = 4 sekunder (landning). Kontrollera: h(4) = −5(16) + 20(4) = −80 + 80 = 0 ✓.
6. Tillägg: När når bollen maximal höjd?
Maximalhöjden inträffar vid mittpunkten mellan de två rötterna: t = (0 + 4)/2 = 2 sekunder. Maximal höjd = −5(2²) + 20(2) = −20 + 40 = 20 m. Det här är ett användbart faktum som många Läxa 13-projektilproblem frågar om som en uppföljningsfråga.
För projektilproblem: ställ h = 0 för att ta reda på när objektet träffar marken. De två rötterna är lanseringssid och landningssid. Maximal höjd inträffar vid hörnpunkten, t = −b/(2a).
Nummerförhållandeproblem med andragradsekvationer
Nummerförhållandeproblem ber dig att hitta två okända tal baserat på deras summa, skillnad eller produkt. När problemet ger dig produkten av de två siffrorna, slutar du nästan alltid med en andragradsekvation. De vanligaste versionerna involverar på varandra följande heltal (som 8 och 9, eller 7 och −8), på varandra följande udda tal (som 5 och 7), eller två tal med en angiven skillnad. Dessa problem ser enkla ut men kräver noggrann inställning— det andra talet måste uttryckas i termer av x innan du kan skriva ekvationen.
1. Problem
Produkten av två på varandra följande positiva heltal är 72. Hitta heltalen.
2. Steg 1 — Definiera variabeln
Låt x = det mindre heltalet. Då är nästa på varandra följande heltal = x + 1.
3. Steg 2 — Bygg ekvationen
Produkten av de två heltalen = 72: x(x + 1) = 72. Expanderande: x² + x = 72.
4. Steg 3 — Lös
Ordna om: x² + x − 72 = 0. Faktorisera: hitta två tal som multipliceras till −72 och lägger till +1. Det är +9 och −8. Så: (x + 9)(x − 8) = 0. Lösningar: x = −9 eller x = 8.
5. Steg 4 — Tolka
Problemet säger positiva heltal, så förkasta x = −9. x = 8, och x + 1 = 9. Heltalen är 8 och 9. Kontrollera: 8 × 9 = 72 ✓.
6. Variation: Udda heltal på varandra följande
Om problemet sa 'två på varandra följande udda tal vars produkt är 63', låt x = första udda tal och x + 2 = andra udda tal (udda tal skiljer sig åt med 2). Då är x(x + 2) = 63 → x² + 2x − 63 = 0 → (x + 9)(x − 7) = 0 → x = 7. Heltalen är 7 och 9. Kontrollera: 7 × 9 = 63 ✓.
Heltal på varandra följande skiljer sig åt med 1: använd x och x + 1. Jämn- eller udda tal på varandra följande skiljer sig åt med 2: använd x och x + 2. Skriv detta högst upp på varje talproblem innan du gör någonting annat.
Intäkter och prissättning: Affärs-andragradsekvation ordproblem
Intäktsproblem förekommer ofta i problemsatser med andragradsekvationer från Läxa 13 eftersom intäkt = pris × såld mängd, och när pris och mängd är linjärt relaterade till varandra (höjning av priset minskar såld mängd), är deras produkt en andragradsekvation. Dessa problem frågar ofta vilket pris som maximerar intäkten, vilket innebär att hitta spetsen på parabeln. Spetsen på y = ax² + bx + c uppstår på x = −b/(2a). Här är ett fullständigt exempel.
1. Problem
En biograf tar ut 8 dollar per biljett och säljer 200 biljetter per framställning. För varje 1 dollars prishöjning säljs 10 färre biljetter. Vilket biljettpris producerar maximal intäkt? Vad är maximal intäkt?
2. Steg 1 — Definiera variabeln
Låt x = antalet 1 dollars prishöjningar. Då är biljettpriset = (8 + x) dollar och sålda biljetter = (200 − 10x).
3. Steg 2 — Bygg intäktsekvationen
Intäkt R = pris × sålda biljetter = (8 + x)(200 − 10x). Expanderande: R = 1600 − 80x + 200x − 10x² = −10x² + 120x + 1600.
4. Steg 3 — Hitta spetsen
R = −10x² + 120x + 1600 är en nedåtvänd parabel (a = −10 < 0), så spetsen är maximalt. x = −b/(2a) = −120 / (2 × −10) = −120 / −20 = 6. Så det optimala antalet prishöjningar är 6.
5. Steg 4 — Tolka
Optimalt pris = 8 + 6 = $14. Sålda biljetter = 200 − 10(6) = 140. Maximal intäkt = 14 × 140 = $1,960. Kontrollera med formeln: R = −10(36) + 120(6) + 1600 = −360 + 720 + 1600 = $1,960 ✓.
För intäktmaximering: skriv R = (pris)(mängd), expandera för att få ax² + bx + c, hitta sedan spetsen på x = −b/(2a). Spetsen ger det ingångsvärde som producerar maximal (eller minimal) intäkt.
Avstånd-, hastighets- och tidsproblem som leder till andragradsekvationer
Avstånd-hastighets-tid-problem producerar vanligtvis linjära ekvationer (d = vt), men blir kvadratiska när problemet omfattar två ben av en resa vid olika hastigheter som är relaterade till varandra, eller när du lägger till två tidsuttryck med olika nämnare och nämnarna innehåller x. Nyckelformeln är tid = avstånd ÷ hastighet. När du har två fraktioner med x i nämnaren och rensar nämnarna genom multiplikation, producerar du en andragradsekvation. Denna typ av problem förekommer ofta i andragradsekvations-problemsatser från Läxa 13 eftersom det kombinerar två färdigheter: rationella uttryck och kvadratik.
1. Problem
En motorbåt reser 24 km uppströms och sedan 24 km tillbaka nedströms. Älvströmmen flödar med 3 km/h. Om hela resan tar 6 timmar, hitta båtens hastighet i stilla vatten.
2. Steg 1 — Definiera variabeln
Låt v = båtens hastighet i stilla vatten (km/h). Uppströms hastighet = v − 3 km/h (mot strömmen). Nedströms hastighet = v + 3 km/h (hjälpt av strömmen).
3. Steg 2 — Bygg ekvationen
Tid = avstånd ÷ hastighet. Uppströms tid = 24 / (v − 3). Nedströms tid = 24 / (v + 3). Total tid = 6 timmar: 24/(v − 3) + 24/(v + 3) = 6.
4. Steg 3 — Rensa nämnarna
Multiplicera varje term med (v − 3)(v + 3): 24(v + 3) + 24(v − 3) = 6(v − 3)(v + 3). Expandera vänster sida: 24v + 72 + 24v − 72 = 48v. Expandera höger sida: 6(v² − 9) = 6v² − 54. Ekvation: 48v = 6v² − 54.
5. Steg 4 — Lös
Ordna om: 6v² − 48v − 54 = 0. Dela med 6: v² − 8v − 9 = 0. Faktorisera: (v − 9)(v + 1) = 0. Lösningar: v = 9 eller v = −1.
6. Steg 5 — Tolka
Hastigheten kan inte vara negativ, så förkasta v = −1. Båtens hastighet i stilla vatten är 9 km/h. Kontrollera: uppströms tid = 24/6 = 4 h, nedströms tid = 24/12 = 2 h, totalt = 6 h ✓.
Avstånd-hastighets-tid-problem blir kvadratiska när du lägger till två fraktioner (tid = d/v) med x i båda nämnarna och rensar dem genom korssmultiplicering. Kontrollera alltid att nämnaren inte är lika med noll för ditt svar.
Vanliga misstag som elever gör på Läxa 13 andragradsproblem
Ordproblemen med andragradsekvationer från Läxa 13 har förutsägbara felpoänger. De flesta fel uppstår innan någon algebra skrivs— i inställningsstadiet. Här är de sex felen som representerar majoriteten av felaktiga svar, tillsammans med konkreta sätt att undvika var och en.
1. Misstag 1: Inte definiera variabeln innan ekvationen skrivs
Att hoppa direkt in på att skriva en ekvation utan att fastställa 'Låt x = ___' leder till förvirring när två lösningar visas. Du vet inte vilken storhet x representerar eller varför ett svar bör förkastas. Fixar: skriv alltid 'Låt x = [specifik storhet och enheter]' som första rad i din lösning.
2. Misstag 2: Behålla båda rötterna utan att kontrollera sammanhanget
Andragradsekvationer producerar två lösningar. Elever rapporterar ibland båda utan att kontrollera vilken som är vettig i problemet. En rektangel kan inte ha en negativ bredd. En boll kan inte landa innan den kastas. Fixar: efter lösning, fråga dig själv 'gör varje rot fysikalisk mening?' och förkasta den som inte gör det.
3. Misstag 3: Att glömma att flytta allt till ena sidan
Efter expansion försöker elever faktorisera något som x² + 3x = 40 istället för x² + 3x − 40 = 0. Factoring fungerar bara tillförlitligt när ena sidan är noll. Fixar: ordna alltid om till ax² + bx + c = 0 innan du faktoriserar eller tillämpar andragradsformeln.
4. Misstag 4: Teckenmissar vid expansionen (a + b)(a − b) vs (a − b)²
I intäktsproblem producerar expansion av (8 + x)(200 − 10x) en blandning av positiva och negativa termer. Elever tappar ofta ett minustecken. Fixar: skriv varje multiplikationssteg explicit och ring in tecknet för varje term innan du kombinerar.
5. Misstag 5: Använda fel formel för projektilproblem
Vissa läroböcker använder h = −16t² + v₀t + h₀ (fot, g = 32 ft/s²) och andra använder h = −5t² + v₀t + h₀ (meter, ungefärlig). Att använda fel konstant producerar ett helt felaktigt svar. Fixar: läs problemet för att se om det ger formeln explicit, eller notera enheterna— fot betyder vanligtvis −16, meter betyder vanligtvis −5 eller −4,9.
6. Misstag 6: Inte kontrollera svaret i det ursprungliga ordproblemet
Elever kontrollerar sitt svar i ekvationen de skrev, men om de ställde in ekvationen felaktigt, en korrekt algebraisk kontroll ger fortfarande ett felaktigt svar på ordproblemet. Fixar: efter att du hittat x, ersätt det tillbaka i den ursprungliga problembeskrivningen (de engelska meningarna) och verifiera att det angivna villkoret är uppfyllt.
Inställningssteget tar mindre än två minuter men eliminerar majoriteten av felen. Att skriva 'Låt x = ___' och ordna om till standardform före något annat är värt mer än hastighet.
Fem praktikproblem med andragradsekvationer med fullständiga lösningar
Använd dessa fem problem för att testa ramverket innan du skickar in ditt läxor. De är arrangerade från enkla till mer involverade. Täck lösningen, försök problemet själv och jämför sedan ditt arbete steg för steg.
1. Praktikproblem 1 — Area
En rektangels längd är två gånger bredden. Området är 98 cm². Hitta dimensionerna. Lösning: Låt x = bredd. Längd = 2x. Ekvation: x(2x) = 98 → 2x² = 98 → x² = 49 → x = 7 (förkasta −7). Bredd = 7 cm, Längd = 14 cm. Kontrollera: 7 × 14 = 98 ✓.
2. Praktikproblem 2 — Nummerförhållande
Två positiva tal skiljer sig åt med 5. Deras produkt är 84. Hitta siffrorna. Lösning: Låt x = mindre tal. Större = x + 5. Ekvation: x(x + 5) = 84 → x² + 5x − 84 = 0. Faktorisera: (x + 12)(x − 7) = 0 → x = 7 (förkasta −12). Siffrorna är 7 och 12. Kontrollera: 7 × 12 = 84, 12 − 7 = 5 ✓.
3. Praktikproblem 3 — Projektil
En rakett avfyras uppåt. Dess höjd i fot efter t sekunder är h = −16t² + 96t. När når den en höjd på 128 fot? Lösning: Ställ h = 128: −16t² + 96t = 128 → −16t² + 96t − 128 = 0. Dela med −16: t² − 6t + 8 = 0. Faktorisera: (t − 2)(t − 4) = 0 → t = 2 eller t = 4. Raketen når 128 fot vid 2 sekunder (på vägen upp) och igen vid 4 sekunder (på vägen ner). Båda svaren är giltiga och båda bör anges.
4. Praktikproblem 4 — Intäkter
En butik säljer 300 enheter per vecka för $5 varje. För varje $ 0,50 prishöjning säljer den 20 färre enheter. Vilket pris maximerar intäkten? Lösning: Låt x = antalet $ 0,50 ökningar. Pris = 5 + 0,5x, Enheter = 300 − 20x. Intäkt R = (5 + 0,5x)(300 − 20x) = 1500 − 100x + 150x − 10x² = −10x² + 50x + 1500. Vertex: x = −50/(2 × −10) = 2,5 ökningar. Pris = 5 + 0,5(2,5) = $6,25. Enheter = 300 − 20(2,5) = 250. Intäkt = 6,25 × 250 = $1,562,50.
5. Praktikproblem 5 — Avstånd-hastighet-tid
En cyklist cyklar 30 km till en stad. På återresan cyklar hon 5 km/h snabbare och tar 1 timme mindre. Hitta hennes hastighet på utresan. Lösning: Låt v = hastighet på utresan (km/h). Returs hastighet = v + 5. Tid ut = 30/v, Tid tillbaka = 30/(v + 5). Skillnad = 1: 30/v − 30/(v + 5) = 1. Multiplicera med v(v + 5): 30(v + 5) − 30v = v(v + 5) → 30v + 150 − 30v = v² + 5v → 150 = v² + 5v → v² + 5v − 150 = 0. Faktorisera: (v + 15)(v − 10) = 0 → v = 10 (förkasta −15). Hastighet på utresan = 10 km/h. Kontrollera: Tid ut = 3 h, tid tillbaka = 30/15 = 2 h, skillnad = 1 h ✓.
Strategier och genvägar för att lösa ordproblem med andragradsekvationer snabbare
När du väl identifierar kategorin för ett ordproblem med andragradsekvation blir inställningen nästan automatisk. Dessa strategier hjälper dig att arbeta igenom ordproblemen med andragradsekvationer på alla uppgifter effektivt utan att offra noggrannheten.
1. Identifiera kategorin först
Innan du skriver någonting, klassificera problemet: område (leta efter 'rektangulär', 'dimensioner', 'area = '), projektil (leta efter 'kastad', 'höjd', 'faller', 'sekunder'), nummerförhållande (leta efter 'produkt', 'på varandra följande', 'två tal'), intäkter (leta efter 'pris', 'såld', 'intäkt', 'vinst') eller avstånd-hastighet-tid (leta efter 'uppströms', 'nedströms', 'snabbare', 'långsammare', 'resa'). Varje kategori har en känd ekvationsstruktur, så klassificeringen sparar tid.
2. Försök faktorisera innan andragradsformeln
Factoring är snabbare när diskriminanten b² − 4ac är en perfekt kvadrat. Beräkna snabbt b² − 4ac: om det är 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc., faktoriserar ekvationen rent. Annars, gå direkt till andragradsformeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) och spara faktoriseringsförsöket.
3. Behåll enheter under varje steg
Skriv enheter på varje storhet: x meter, v km/h, t sekunder. Om enheterna i din ekvation inte är meningsfulla (t.ex. lägga till meter till m² utan att märka det), det är en tidig signal att inställningen har ett fel. Att fånga detta i steg 2 är mycket bättre än efter en fullständig lösning.
4. Använd diskriminanten för att förutsäga lösningstyp
För ax² + bx + c = 0, beräkna Δ = b² − 4ac. Om Δ > 0: två verkliga lösningar (de flesta ordproblem). Om Δ = 0: exakt en lösning (bollen rör bara marken, dimensionerna är lika, etc.). Om Δ < 0: ingen verklig lösning, vilket betyder att problemet inte har något fysiskt svar eller att du ställde in ekvationen felaktigt— gå tillbaka och kontrollera igen.
5. För optimeringsproblem, hoppa över andragradsformeln
Intäkts- och områdesmaximeringsproblem frågar efter spetsen, inte rötterna. Använd x = −b/(2a) direkt— ingen anledning att ställa in ekvationen på noll och lösa. Beräkna x, ersätt tillbaka för att få det maximala eller minimala värdet och tolka i sammanhang.
Δ = b² − 4ac talar om allt före du löser: positivt betyder två rötter, noll betyder en, negativ betyder kontrollera inställningen igen.
Vanliga frågor om Läxa 13 ordproblem med andragradsekvationer
Dessa frågor kommer upp upprepade gånger när elever arbetar genom Läxa 13-ordproblem med andragradsekvationer för första gången. Svaren tar upp de vanligaste förvirringsområdena.
1. När ska jag använda andragradsformeln vs faktorisering?
Använd factoring när diskriminanten b² − 4ac är en perfekt kvadrat, eftersom rötterna blir rationella tal och factoring är snabbare. Använd andragradsformeln när diskriminanten inte är en perfekt kvadrat, när den ledande koefficienten är stor, eller när du är osäker på om den faktoriseras. Formeln fungerar alltid; factoring fungerar bara ibland snabbt.
2. Vad om båda rötterna är positiva— vilken använder jag?
När båda rötterna är positiva, kan båda vara giltiga matematiska svar, men vanligtvis utesluter problemkontexten en. Till exempel, om problemet säger 'det mindre heltalet', ta den mindre roten. Om problemet frågar 'dimensioner' och båda ger giltiga positiva dimensioner, kontrollera vilken som uppfyller någon ytterligare begränsning (som 'bredden är mindre än 10'). Om ingen begränsning utesluter en, båda är giltiga och du bör ange båda.
3. Hur vet jag vad x ska representera?
Definiera x som den storhet problemet ber dig hitta. Om problemet säger 'hitta bredden', låt x = bredden. Om problemet säger 'hitta båda talen', låt x = det mindre talet. Att välja x som den storhet du vill gör tolkningen av det slutliga svaret trivial— du läser bara x = [svar].
4. Min ekvation faktoriseras inte— ställde jag in den felaktigt?
Inte nödvändigtvis. Många verkliga andragradsekvationer faktoriseras inte över heltal, särskilt avstånd-hastighets-tid-problem och vissa projektilproblem. Beräkna diskriminanten: om Δ > 0, använd andragradsformeln och lämna svaret i förenklad radikalform eller som decimal. Om Δ < 0, kontrollera inställningen igen— det betyder vanligtvis ett fel i ekvationen.
5. Hur ska jag kontrollera mitt slutliga svar?
Ersätt ditt värde på x tillbaka i den ursprungliga ordproblemets mening, inte bara ekvationen. För trädgårdproblemet: 'Har en trädgård med bredd 5 m och längd 8 m ett område på 40 m²? Ja, 5 × 8 = 40.' För båtproblemet: 'Täcker en båt som går med 9 km/h uppströms (hastighet 6 km/h) 24 km på 4 timmar och sedan 24 km nedströms (hastighet 12 km/h) på 2 timmar, totalt 6 timmar? Ja.' Den här två-meningskontroll fångar inställningsfel som algebraisk substitution missar.
6. Vad är den svåraste typen av ordproblem med andragradsekvation?
De flesta elever tycker att avstånd-hastighets-tid-problem är svårast eftersom de kräver att bygga två fraktioner (tid = d/v), lägga till dem och sedan rensa nämnare innan någon kvadratisk algebra börjar. De två extra stegen— fraktionsinställning och nämnare-rensning— gör fel mer sannolikt. Öva dessa specifikt: skriv tid = d/v för varje ben, lägg till uttrycken, ställ in lika med total tid och multiplicera båda sidorna med LCD.
Relaterade artiklar
Linjär ekvationskalkylator: Steg-för-steg-guide
Bemästra lösning av linjära ekvationer med steg-för-steg-metoder innan du går vidare till ordproblem med andragradsekvationer.
Hur löser man bråk med x i nämnaren
Väsentlig teknik för att ställa in avstånd-hastighets-tid-ordproblem med rationella uttryck.
Geometrisk lösare: Area-, omkrets- och volymproblem
Geometriska områdesformler som vanligtvis genererar andragradsekvationer i ordproblem.
Relaterade matematiklösare
Steg-för-steg-lösningar
Få detaljerade förklaringar för varje steg, inte bara det slutliga svaret.
Övningsläge
Generera likartade problem för att öva och bygga upp självförtroende.
AI Math Tutor
Ställ uppföljningsfrågor och få personlig förklaring 24/7.