guidealgebra

二次方程因式分解：所有方法详解与完整例题

April 7, 2026·14 分钟阅读·Solvify Team

因式分解二次方程是一项常见的技能——在测验、标准化考试和以代数为基础的高等数学课程中频繁出现。二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0，因式分解是指将其改写为两个更简单的表达式的乘积，使你能直接读出解。本指南介绍了三种不同的因式分解方法：用于简单一次项系数为1的情况的因数对法、适用于任何二次方程（无论首项系数为何）的AC法，以及当表达式结构特殊时能一步完成分解的特殊代数公式。每种方法都配有完整的数值例题，末尾的练习部分包含难度递增的问题，供你检验自己的理解。

二次方程因式分解的真正含义

标准形式的二次方程是 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。因式分解是指将等号左边改写为两个二项式的乘积 (px + q)(rx + s)。一旦方程采用这种形式，零乘积法则就可以完成求解：如果两个因数相乘得零，则至少有一个因数等于零——因此一个二次方程变成了两个简单的一次方程。例如，x² + 5x + 6 = 0 可因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，直接得到 x = −2 或 x = −3。只有当判别式 b² − 4ac 是完全平方数（0、1、4、9、16、25……）时，才可能在整数范围内因式分解。当判别式不是完全平方数时，根为无理数，应使用二次公式。当判别式为负时，根为复数。学会因式分解二次方程包括了解何时使用因式分解以及何时应该改用其他方法——这种判断能力在每次有时间限制的考试中都能节省宝贵的时间。

零乘积法则：如果 (px + q)(rx + s) = 0，则 px + q = 0 或 rx + s = 0。这将一个二次方程转化为两个一次方程。

方法一——一次项系数为1时二次方程的因式分解

当首项系数 a 等于1时，二次方程称为一次项系数为1的二次方程（monic quadratic），形式为 x² + bx + c = 0。这是初等代数课程中最常见的形式，用因数对法处理。其逻辑很直接：如果因式分解形式为 (x + p)(x + q)，展开得 x² + (p + q)x + pq。因此你需要找两个数 p 和 q，其和等于 b，其积等于 c。对于较小的整数，这个搜索过程只需不到一分钟。下面四个步骤适用于所有一次项系数为1的二次方程。

1. 步骤1——改写为标准形式，右边为零

将所有项移到等号左边，使方程形式为 x² + bx + c = 0。如果你有 x² + 3x = 10，首先从两边减去10：x² + 3x − 10 = 0。在改写到标准形式之前，不要尝试确定 b 和 c——跳过这一步会导致因数对错误。

2. 步骤2——记录 b 和 c 的值（包括符号）

直接从标准形式中读取 b 和 c，保留符号。在 x² + 3x − 10 = 0 中，b = 3，c = −10。符号是系数的一部分；忽略符号是常见的错误来源。

3. 步骤3——找两个整数，其积为 c，其和为 b

列出 c 的所有因数对（如果 c 为负数，包括负数对），然后检查哪一对的和等于 b。对于 c = −10：因数对有 (1, −10)、(−1, 10)、(2, −5)、(−2, 5)。检查和：1 + (−10) = −9，不对。(−1) + 10 = 9，不对。2 + (−5) = −3，不对。(−2) + 5 = 3，正确！因数对是 (−2, 5)。

4. 步骤4——写出因式分解形式，用零乘积法则求解

利用因数对写出 (x − 2)(x + 5) = 0。令每个因数等于零：x − 2 = 0 得 x = 2，x + 5 = 0 得 x = −5。始终验证两个答案：对于 x = 2：4 + 6 − 10 = 0 ✓。对于 x = −5：25 − 15 − 10 = 0 ✓。

一次项系数为1的二次方程：找到 p、q，使得 p × q = c 且 p + q = b。因式分解形式为 (x + p)(x + q) = 0。

符号规律——通过 b 和 c 的符号缩小搜索范围

在列出 c 的所有因数对之前，先观察 b 和 c 的符号。这四种情况能在开始前就排除一半的候选项。结合从最小到最大列举因数对的习惯，大多数一次项系数为1的二次方程都可以快速心算因式分解。

1. 情况1——c > 0 且 b > 0：因数对中两个数都为正

例：x² + 9x + 20 = 0。你需要 p × q = 20 且 p + q = 9，两个数都为正。20的因数对（仅正数）：(1, 20)、(2, 10)、(4, 5)。和：1 + 20 = 21，不对。2 + 10 = 12，不对。4 + 5 = 9，正确。因式分解：(x + 4)(x + 5) = 0。解：x = −4 或 x = −5。

2. 情况2——c > 0 且 b < 0：因数对中两个数都为负

例：x² − 9x + 20 = 0。你需要 p × q = 20 且 p + q = −9，两个数都为负。20的因数对（负数）：(−1, −20)、(−2, −10)、(−4, −5)。和：−1 + (−20) = −21，不对。−2 + (−10) = −12，不对。−4 + (−5) = −9，正确。因式分解：(x − 4)(x − 5) = 0。解：x = 4 或 x = 5。

3. 情况3——c < 0：因数对中一个为正，一个为负

例：x² + 4x − 21 = 0。你需要 p × q = −21 且 p + q = 4。一个为正，一个为负。因数对：(7, −3)：7 × (−3) = −21 ✓ 且 7 + (−3) = 4 ✓。因式分解：(x + 7)(x − 3) = 0。解：x = −7 或 x = 3。b 的符号告诉你因数对中哪个数的绝对值更大。

4. 情况4——c < 0 且 b < 0：绝对值较大的数为负

例：x² − 4x − 21 = 0。你需要 p × q = −21 且 p + q = −4。一个为正，一个为负，但负数的绝对值更大。−21的因数对：(−7, 3)：−7 × 3 = −21 ✓ 且 −7 + 3 = −4 ✓。因式分解：(x − 7)(x + 3) = 0。解：x = 7 或 x = −3。

符号速记法：c > 0 → 同号。c < 0 → 异号。如果同号，b 的符号告诉你两个数都是什么符号。

方法二——有首项系数的二次方程因式分解（AC法）

当 a ≠ 1 时，因数对法需要扩展，这就是AC法，有时也叫分裂中项法或分组法。其思想是将问题转化为你已经熟悉的情形。方法是：将 a × c 相乘得到新乘积，找两个数使其乘积为这个新乘积且和为 b，用这两个数将中项改写为两项，然后分组因式分解。这个方法适用于任何可因式分解的二次方程——如果因数对存在，这个方法就能得出答案。

1. 步骤1——在标准形式中确定 a、b、c

确保方程形式为 ax² + bx + c = 0。对于 2x² + 11x + 12 = 0，我们有 a = 2、b = 11、c = 12。如果方程不是标准形式，先改写再继续。

2. 步骤2——计算 a × c 的乘积

将首项系数乘以常数项：2 × 12 = 24。这个乘积在因数搜索步骤中替代 c。

3. 步骤3——找两个数，其乘积为 a × c，其和为 b

你需要两个数使其乘积为24且和为11。24的因数对：(1, 24)、(2, 12)、(3, 8)、(4, 6)。和：3 + 8 = 11，正确。因数对是 (3, 8)。

4. 步骤4——用因数对改写中项

将 11x 改写为 3x + 8x：2x² + 3x + 8x + 12 = 0。这在代数上是一样的——你只是将中项分成两部分。

5. 步骤5——分组因式分解

将四项分为两组：(2x² + 3x) + (8x + 12) = 0。从每组提取最大公因数：x(2x + 3) + 4(2x + 3) = 0。二项式 (2x + 3) 在两组中都出现，因此提取它：(x + 4)(2x + 3) = 0。

6. 步骤6——用零乘积法则求解

x + 4 = 0 得 x = −4。2x + 3 = 0 得 x = −3/2。验证 x = −4：2(16) + 11(−4) + 12 = 32 − 44 + 12 = 0 ✓。验证 x = −3/2：2(9/4) + 11(−3/2) + 12 = 9/2 − 33/2 + 24/2 = 0/2 = 0 ✓。

AC法一句话总结：找两个数使其乘积为 a×c 且和为 b，分裂中项，然后分组因式分解。

AC法——涵盖所有符号组合的四个完整例题

这四个例题覆盖了所有符号组合，确保你不会被任何组合搞懵。每题都完整计算，包括验证步骤。如果分组步骤没有得到共同的二项式因数，请重新检查因数对或尝试交换两个分裂的项。

1. 例题A——3x² + 10x + 8 = 0（全为正）

a × c = 3 × 8 = 24。找因数对：乘积24，和10。因数对：(4, 6) → 和 = 10 ✓。分裂：3x² + 4x + 6x + 8 = 0。分组：x(3x + 4) + 2(3x + 4) = 0。因式分解：(x + 2)(3x + 4) = 0。解：x = −2 或 x = −4/3。验证 x = −2：3(4) + 10(−2) + 8 = 12 − 20 + 8 = 0 ✓。

2. 例题B——4x² − 8x + 3 = 0（中项为负，常数项为正）

a × c = 4 × 3 = 12。找因数对：乘积12，和−8。都为负，因为乘积为正而和为负。因数对（都为负）：(−2, −6) → 和 = −8 ✓。分裂：4x² − 2x − 6x + 3 = 0。分组：2x(2x − 1) − 3(2x − 1) = 0。因式分解：(2x − 3)(2x − 1) = 0。解：x = 3/2 或 x = 1/2。验证 x = 3/2：4(9/4) − 8(3/2) + 3 = 9 − 12 + 3 = 0 ✓。

3. 例题C——5x² + 3x − 14 = 0（常数项为负）

a × c = 5 × (−14) = −70。找因数对：乘积−70，和3。一个为正，一个为负。因数对：(10, −7) → 乘积 = −70 ✓ 且和 = 3 ✓。分裂：5x² + 10x − 7x − 14 = 0。分组：5x(x + 2) − 7(x + 2) = 0。因式分解：(5x − 7)(x + 2) = 0。解：x = 7/5 或 x = −2。验证 x = 7/5：5(49/25) + 3(7/5) − 14 = 49/5 + 21/5 − 70/5 = 0 ✓。

4. 例题D——6x² − 13x − 5 = 0（中项为负，常数项为负）

a × c = 6 × (−5) = −30。找因数对：乘积−30，和−13。一个为正，一个为负，负数的绝对值更大。因数对：(2, −15) → 2 × (−15) = −30 ✓ 且 2 + (−15) = −13 ✓。分裂：6x² + 2x − 15x − 5 = 0。分组：2x(3x + 1) − 5(3x + 1) = 0。因式分解：(2x − 5)(3x + 1) = 0。解：x = 5/2 或 x = −1/3。验证 x = 5/2：6(25/4) − 13(5/2) − 5 = 150/4 − 130/4 − 20/4 = 0 ✓。

方法三——二次方程的特殊因式分解公式

有些二次方程符合代数恒等式，允许一步因式分解，无需任何试凑。识别这些公式是有时间限制的考试中真正的时间救星。与标准二次方程最相关的两个公式是完全平方三项式和平方差。第三个公式——立方和与立方差——适用于三次表达式，超出了标准二次方程的范围。学会在问题的前几秒内识别这些公式是值得刻意练习的技能。

1. 公式一——完全平方三项式：a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²

识别测试：(1) 第一项是完全平方吗？(2) 最后一项是完全平方吗？(3) 中项恰好等于两倍的它们平方根的乘积吗？如果三个都是肯定的，它因式分解为 (√(第一项) ± √(最后一项))²。例：x² + 14x + 49。第一项：(x)²。最后一项：(7)²。中项：14x = 2 × x × 7 ✓。因式分解：(x + 7)²。解：x = −7（重根）。另一个例：9x² − 24x + 16。第一项：(3x)²。最后一项：(4)²。中项：24x = 2 × 3x × 4 ✓。因式分解：(3x − 4)²。解：x = 4/3（重根）。验证 9x² − 24x + 16：(3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 ✓。

2. 公式二——平方差：a²x² − b² = (ax + b)(ax − b)

这适用于中项缺失（标准形式中 b = 0）且两项都是完全平方、中间用负号相连的情况。因式分解形式总是一个和式和一个差式。例：x² − 36 = (x + 6)(x − 6)，得 x = ±6。4x² − 49 = (2x + 7)(2x − 7)，得 x = ±7/2。25x² − 1 = (5x + 1)(5x − 1)，得 x = ±1/5。重要提醒：x² + 36（平方和）在实数范围内无法因式分解——根是复数。只有平方差能用这种方法因式分解。

3. 公式组合——完全因式分解

有时一个表达式需要多于一步才能完全因式分解。对于 2x² − 50：先提取最大公因数2：2(x² − 25)。然后应用平方差：2(x + 5)(x − 5)。解：x = 5 或 x = −5。另一个例：3x² + 12x + 12。提取最大公因数3：3(x² + 4x + 4)。识别完全平方三项式：3(x + 2)²。解：x = −2（重根）。始终先提取最大公因数再检查公式——这会简化剩余的表达式并使公式更容易识别。

快速公式测试：无中项 + 两项都是完全平方 = 平方差。三项都有 + 第一项和最后一项是完全平方 + 中项 = 2 × √第一项 × √最后一项 = 完全平方三项式。

如何为二次方程因式分解选择合适的方法

清晰的判断流程能消除浪费的时间。在开始计算任何东西之前，按照下面的顺序进行判断，确保选择能完成任务的最快方法。

1. 步骤1——检查三项的最大公因数

在任何其他操作之前，看看 ax²、bx 和 c 的系数是否有公因数。对于 3x² + 9x − 12 = 0，所有系数都能被3整除：提取3得 3(x² + 3x − 4) = 0。现在 x² + 3x − 4 是一次项系数为1的三项式，更容易因式分解。始终做这个检查——它会降低随后每一步的复杂性。

2. 步骤2——检查特殊公式

提取任何最大公因数后，看看剩下的是什么。中项缺失吗？→ 检查平方差。第一项和最后一项看起来像完全平方吗？→ 进行完全平方三项式测试（中项 = 2 × 平方根乘积）。如果公式中任何一个符合，你可以一步写出因式分解形式。这能节省试凑法或AC法所需的时间。

3. 步骤3——应用因数对法（a = 1）或AC法（a ≠ 1）

如果没有特殊公式适用，检查是否 a = 1。如果是，用因数对法：找 p × q = c 且 p + q = b。如果 a ≠ 1，用AC法：找因数对使其乘积为 a × c 且和为 b，分裂中项，然后分组因式分解。两种方法都是系统的，如果你遵循步骤就永远不需要猜测。

4. 步骤4——如果没有因数对存在，使用判别式检查

如果你尝试了相关的所有因数对但都不行，计算 b² − 4ac 后再花更多时间搜索。如果判别式不是完全平方数，二次方程在整数范围内无法因式分解。改用二次公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。这给出因式分解无法产生的精确无理答案。

判断顺序：(1) 最大公因数，(2) 特殊公式，(3) 因数对法（a=1）或AC法（a≠1），(4) 放弃前先检查判别式。

完整练习集——从简到难的二次方程因式分解

下面的十二道题涵盖了本指南中的所有因式分解情形，从简单的一次项系数为1的三项式到非一次项系数为1的方程、特殊公式，以及一道应用题（需要先建立方程再因式分解）。尝试每题之前不要看答案。

1. 题目1——x² + 10x + 24 = 0

b = 10，c = 24，都为正 → 两个数都为正。24的因数对：(4, 6) → 和 = 10 ✓。因式分解：(x + 4)(x + 6) = 0。解：x = −4 或 x = −6。验证 x = −4：16 − 40 + 24 = 0 ✓。

2. 题目2——x² − 7x + 12 = 0

b = −7，c = 12 → 都为负。12的因数对（都为负）：(−3, −4) → 和 = −7 ✓。因式分解：(x − 3)(x − 4) = 0。解：x = 3 或 x = 4。验证 x = 3：9 − 21 + 12 = 0 ✓。

3. 题目3——x² − x − 30 = 0

b = −1，c = −30 → 异号，绝对值较大的为负。−30的因数对（异号）：(5, −6) → 5 × (−6) = −30 ✓ 且 5 + (−6) = −1 ✓。因式分解：(x + 5)(x − 6) = 0。解：x = −5 或 x = 6。验证 x = 6：36 − 6 − 30 = 0 ✓。

4. 题目4——x² + 3x − 40 = 0

b = 3，c = −40 → 异号，绝对值较大的为正。−40的因数对：(8, −5) → 8 × (−5) = −40 ✓ 且 8 + (−5) = 3 ✓。因式分解：(x + 8)(x − 5) = 0。解：x = −8 或 x = 5。验证 x = 5：25 + 15 − 40 = 0 ✓。

5. 题目5——2x² + 9x + 10 = 0（AC法）

a × c = 2 × 10 = 20。找因数对：乘积20，和9。因数对：(4, 5) → 和 = 9 ✓。分裂：2x² + 4x + 5x + 10 = 0。分组：2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0。因式分解：(2x + 5)(x + 2) = 0。解：x = −5/2 或 x = −2。验证 x = −2：2(4) + 9(−2) + 10 = 8 − 18 + 10 = 0 ✓。

6. 题目6——3x² − 11x + 6 = 0（AC法）

a × c = 3 × 6 = 18。找因数对：乘积18，和−11。都为负。因数对（都为负）：(−2, −9) → 和 = −11 ✓。分裂：3x² − 2x − 9x + 6 = 0。分组：x(3x − 2) − 3(3x − 2) = 0。因式分解：(x − 3)(3x − 2) = 0。解：x = 3 或 x = 2/3。验证 x = 3：3(9) − 11(3) + 6 = 27 − 33 + 6 = 0 ✓。

7. 题目7——6x² + x − 15 = 0（AC法）

a × c = 6 × (−15) = −90。找因数对：乘积−90，和1。异号，和接近零。因数对：(10, −9) → 10 × (−9) = −90 ✓ 且 10 + (−9) = 1 ✓。分裂：6x² + 10x − 9x − 15 = 0。分组：2x(3x + 5) − 3(3x + 5) = 0。因式分解：(2x − 3)(3x + 5) = 0。解：x = 3/2 或 x = −5/3。验证 x = 3/2：6(9/4) + (3/2) − 15 = 27/2 + 3/2 − 30/2 = 0 ✓。

8. 题目8——x² − 121 = 0（平方差）

识别 x² − 121 = x² − 11² = (x + 11)(x − 11)。解：x = ±11。验证 x = 11：121 − 121 = 0 ✓。没有中项：立即识别公式，无需试凑。

9. 题目9——x² + 16x + 64 = 0（完全平方三项式）

第一项：(x)²。最后一项：(8)²。中项：16x = 2 × x × 8 ✓。完全平方三项式：(x + 8)² = 0。解：x = −8（重根）。验证：(−8)² + 16(−8) + 64 = 64 − 128 + 64 = 0 ✓。

10. 题目10——5x² − 20 = 0（提取最大公因数后用平方差）

提取最大公因数5：5(x² − 4) = 0。由于 5 ≠ 0，解 x² − 4 = 0。识别 x² − 4 = (x + 2)(x − 2)。解：x = ±2。验证 x = 2：5(4) − 20 = 0 ✓。

11. 题目11——4x² + 12x + 9 = 0（首项系数不为1的完全平方三项式）

第一项：(2x)²。最后一项：(3)²。中项：12x = 2 × 2x × 3 ✓。完全平方三项式：(2x + 3)² = 0。解：x = −3/2（重根）。验证：4(9/4) + 12(−3/2) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 ✓。

12. 题目12——应用题：一个面积为63 m²的矩形，长比宽的两倍少2 m。求矩形的尺寸。

设宽 = x。则长 = 2x − 2。面积方程：x(2x − 2) = 63。展开：2x² − 2x = 63。改写为标准形式：2x² − 2x − 63 = 0。判别式检查：b² − 4ac = 4 + 4(2)(63) = 4 + 504 = 508。由于508不是完全平方数，这个特定方程在整数范围内无法因式分解——这是一个很好的提醒，并非所有应用题都会产生可因式分解的二次方程。用二次公式：x = (2 ± √508) / 4 ≈ (2 ± 22.54) / 4。取正根：x ≈ 6.14 m（宽），长 ≈ 10.27 m。验证：6.14 × 10.27 ≈ 63 m² ✓。此例特意包含是为了练习判别式检查，让你知道何时停止搜索因数对。

二次方程因式分解的常见错误——及其改正方法

大多数因式分解错误来自一套可预测的习惯。研究这个列表并在练习中主动改正这些习惯比盲目做更多题更有效率。下面每个错误都包括特定的改正方法。

1. 错误1——改写为标准形式前就确定 a、b、c

如果方程是 x² = 5x − 6，你不改写就读出 b = 5、c = −6，那就错了。应该找两个数使其乘积为−6、和为5。正确的标准形式是 x² − 5x + 6 = 0，所以 b = −5、c = 6。改正：作为第一步，始终写下'标准形式：___ = 0'，然后填入，再读系数。

2. 错误2——跳过最大公因数检查

对于 3x² − 12x − 15 = 0，直接用AC法得 a × c = −45，需要搜索很多因数对。先提取最大公因数3得 3(x² − 4x − 5) = 0，一次项系数为1的三项式 x² − 4x − 5 可快速看出分解为 (x − 5)(x + 1) = 0。最大公因数检查只需五秒却能把剩余工作减半。

3. 错误3——写因式分解形式时弄反符号

如果你的因数对是 (−3, 8)，一次项系数为1的二次方程的因式分解形式是 (x − 3)(x + 8) = 0，解是 x = 3 或 x = −8。学生常写成 (x + 3)(x − 8) = 0，完全反转符号并得到错误答案。因数对值 p 和 q 进入二项式时符号相反：(x + p)(x + q) 使用 +p，所以解是 x = −p。把因数对和解并排写，可以保持清晰。

4. 错误4——把因式分解形式当作最终答案

写出 (x − 4)(x + 1) = 0 只是解的一部分。真正的答案是 x = 4 或 x = −1，通过零乘积法则得出。考试中，很多老师会给只有因式分解形式的答案扣分。始终明确写出'x = ___ 或 x = ___'。

5. 错误5——当因数对不存在时无限搜索

如果你检查过 c 的所有合理因数对但没有一个和为 b，就计算 b² − 4ac 再继续搜索。对于 x² + 3x + 5 = 0：b² − 4ac = 9 − 20 = −11。判别式为负——不存在实数解，在整数范围内因式分解是不可能的。不要浪费时间继续搜索。立即改用二次公式或注明不存在实数解。

6. 错误6——AC法中分组出错

在AC法中分裂中项后，两组必须有共同的二项式因数。如果没有，要么算术有误，要么分裂的两项顺序不对。改正：(a) 重新检查两个数是否真的乘积为 a × c 且和为 b。(b) 尝试交换两个分裂项的顺序。对于 6x² + 11x + 4，分裂为 6x² + 3x + 8x + 4：分组得 3x(2x + 1) + 4(2x + 1) = (3x + 4)(2x + 1)。若按相反顺序分裂——6x² + 8x + 3x + 4——分组得 2x(3x + 4) + 1(3x + 4) = (2x + 1)(3x + 4)，结果相同。任何顺序都可行。

花超过30秒搜索因数对前，计算 b² − 4ac。不是完全平方数的结果说明二次方程在整数范围内无法因式分解。

因式分解 vs. 二次公式——各自何时使用

因式分解和二次公式是互补的工具，而非竞争工具。公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 总能使用——对有理根、无理根或复根都适用。因式分解在适用时更快，但只在判别式 b² − 4ac 是完全平方数时适用。教科书和考试题通常被设计为有有理根，所以因式分解值得先尝试。来自科学或工程的应用题常有无理根，所以公式是更好的起点。一个可靠的规则：如果 b 和 c 是小整数且题目要求因式分解，花最多45秒寻找因数对。若仍无所获，计算 b² − 4ac 确认方程是否真的可因式分解，然后改用公式。配方法是第三选项——对推导顶点形式或当配方显示优雅结构时有用——但要单纯求根，因式分解或公式是更快的路径。

判别式是完全平方数且根是小有理数时用因式分解。根为无理数或因式分解未能快速得出答案时用二次公式。

常见问题——二次方程因式分解

这些是学生在学习二次方程因式分解时最常提出的问题。答案关注于在做题时具体做什么，而非抽象理论。

1. 我总是能用二次公式代替因式分解吗？

可以。二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 适用于每个二次方程，无一例外。因式分解对有有理根的题目是更快的选项，但永远不是必须的。许多考题会明确指定'用因式分解'作为期望方法，所以要检查题目指示。如果没有指定方法，你可以使用任何你倾向的方法。

2. 当 x² 前面有系数时，我如何因式分解二次方程？

使用AC法：计算 a × c，找两个数使其乘积为该乘积且和为 b，用因数对分裂中项，然后分组因式分解。完整的六步流程和完整例题在上面AC法部分。

3. 在AC法中，两个分裂项的顺序重要吗？

不重要——两个分裂项的任何顺序都会通过分组产生相同的因式分解形式。6x² + 3x + 8x + 4 和 6x² + 8x + 3x + 4 都通过分组得到 (2x + 1)(3x + 4) = 0。如果分组在一个顺序中没有产生共同二项式，试试另一个顺序——如果因数对正确，任何顺序都会成功。

4. 二次方程什么时候有重根？

当判别式 b² − 4ac = 0 时二次方程有重根。此时二次方程是完全平方三项式。例，x² − 6x + 9 = 0：b² − 4ac = 36 − 36 = 0。因式分解：(x − 3)² = 0。单一解：x = 3。

5. 我应该将解代入原方程验证吗？

应该。将每个解代入原方程是最快的正确性检查，能在移到下题前捕获符号错误。养成习惯——这只需不到30秒并防止因式分解步骤中的算术失误导致扣分。

标签: