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已知根，如何写出二次方程

March 28, 2026·9 min read·Solvify Team

根据给定的根写出二次方程，就是反向求解过程：不是从方程中提取根，而是从根构造方程。这个方法的基础是一个简单的思想 — 如果r₁和r₂是二次方程的两个根，那么(x − r₁)(x − r₂) = 0。本指南涵盖你会遇到的每一种情况，从整数根到分数根、无理数和复数共轭，每种情况都有完整的详细例题和自检步骤。

从根写二次方程是什么意思？

二次方程的标准形式是ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0。它的根（也叫零点或解）是满足方程的x值。当题目要求你写出根为3和5的二次方程时，它是让你反向操作 — 找一个方程，解出来恰好得到这两个根。这是从代数2到微积分前的核心代数技能，它直接关系到因式分解、绘制抛物线图象和构造高次多项式。关键思想是：根和因子是同一枚硬币的两面：如果x = r是一个根，那么(x − r)是二次方程的一个因子。

任何根为r₁和r₂的二次方程都可以写成a(x − r₁)(x − r₂) = 0的形式，其中a是任何非零常数 — 通常取1，除非题目另有说明。

因式分解法 — 分步骤

最直接的方法是使用因式分解形式。因为根是使因子等于零的值，所以两个因子必须是(x − r₁)和(x − r₂)。相乘并展开这些因子就能得到标准形式的方程。这个三步骤的过程适用于任何一对实根，无论符号或大小。要小心处理符号替换 — 这是最容易出错的地方。

1. 第1步 — 写出因式分解形式

从(x − r₁)(x − r₂) = 0开始。将给定的根值代入r₁和r₂，特别注意符号。对于根3和5：(x − 3)(x − 5) = 0。

2. 第2步 — 用FOIL展开

相乘这两个二项式。(x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15。

3. 第3步 — 写成标准形式并验证

将展开的式子等于零：x² − 8x + 15 = 0。这就是根为3和5的二次方程。验证：代入x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓。代入x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓。

韦达定理 — 根的和与积的快速方法

韦达定理提供了一条更快的路线，可以跳过展开步骤。对于首一二次方程x² + bx + c = 0（首项系数为1），根的和等于−b，根的积等于c。重新整理后，得到模板x² − (根的和)x + (根的积) = 0。当需要根据代数表达式而不是具体数字来写二次方程，或者想快速检验因式分解结果时，韦达定理特别有用。

1. 第1步 — 求根的和

加上两个根。例：根是−2和7。根的和 = −2 + 7 = 5。

2. 第2步 — 求根的积

相乘两个根。根的积 = (−2) × 7 = −14。

3. 第3步 — 代入韦达定理模板

x² − (和)x + (积) = 0变成x² − 5x + (−14) = 0，简化为x² − 5x − 14 = 0。

4. 第4步 — 通过因式分解验证

x² − 5x − 14分解为(x − 7)(x + 2) = 0，得到根x = 7和x = −2 ✓。

对于任何首一二次方程x² + bx + c = 0：根的和 = −b，根的积 = c。

整数根的详细例题

整数根是考试和标准化测试中最常见的。下面四个例子涵盖正根、混合符号、两个负根和零根 — 每种情况都在得到的方程中产生可预测的符号模式。识别这些模式可以帮助你更快地写出和检验方程。

1. 例1 — 两个根都是正数：根为4和6

根的和 = 4 + 6 = 10。根的积 = 4 × 6 = 24。方程：x² − 10x + 24 = 0。当两个根都是正数时，中间项和常数项都是正的。验证：(x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓。

2. 例2 — 符号相反：根为−3和8

根的和 = −3 + 8 = 5。根的积 = (−3) × 8 = −24。方程：x² − 5x − 24 = 0。当根符号相反时，常数项是负的。验证：(x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓。

3. 例3 — 两个根都是负数：根为−5和−2

根的和 = −5 + (−2) = −7。根的积 = (−5)(−2) = 10。方程：x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0。两项都是正的，因为两个负数相乘得到正数。验证：(x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓。

4. 例4 — 一个根是零：根为0和9

根的和 = 0 + 9 = 9。根的积 = 0 × 9 = 0。方程：x² − 9x + 0 = 0，简化为x² − 9x = 0。验证：x(x − 9) = 0得到x = 0或x = 9 ✓。

当两个根都是负数时，中间项系数和常数项都是正的 — 与两个根都为正的情况相反。

分数根和无理根的详细例题

分数根和无理根出现在标准化测试和微积分前课程中。对于分数根，在应用韦达定理后清分母通常更整洁，只需乘以最小公倍数即可。无理根几乎总是以a + √b和a − √b的形式出现的共轭对，这很方便：无理部分在求和时相消，乘积变成平方差，没有根号留下。

1. 例1 — 分数根：1/2和3/4

根的和 = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4。根的积 = (1/2)(3/4) = 3/8。基础方程：x² − (5/4)x + 3/8 = 0。各项乘以8清除分数：8x² − 10x + 3 = 0。验证：判别式 = 100 − 96 = 4，根 = (10 ± 2)/16 = 3/4或1/2 ✓。

2. 例2 — 纯无理根：√5和−√5

根的和 = √5 + (−√5) = 0。根的积 = (√5)(−√5) = −5。方程：x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0。验证：x² = 5，x = ±√5 ✓。

3. 例3 — 共轭无理根：2 + √3和2 − √3

根的和 = (2 + √3) + (2 − √3) = 4。根的积 = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1。方程：x² − 4x + 1 = 0。验证：二次公式得x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓。

共轭无理根(a ± √b)总是产生整数系数的二次方程 — 它们的和与积都是有理数。

写出含复数根的二次方程

复数根总是以共轭对出现：如果一个根是a + bi，另一个就是a − bi（其中i = √(−1)）。这由实系数多项式的复共轭根定理保证。代数过程与无理根情况相同 — 使用韦达定理，虚部在求和时相消，而乘积变成平方和，总是得到正常数。

1. 例1 — 根为3 + 2i和3 − 2i

根的和 = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6。根的积 = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13。方程：x² − 6x + 13 = 0。

2. 用二次公式验证

x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓。

3. 例2 — 纯虚数根：4i和−4i

根的和 = 4i + (−4i) = 0。根的积 = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16。方程：x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0。验证：x² = −16，x = ±4i ✓。

复共轭根a ± bi总是产生首一二次方程x² − 2ax + (a² + b²) = 0，其中两个系数都是实数。

常见错误及避免方法

这四个错误占了要求学生写出根给定的二次方程的题目中失分的大多数。每个错误都很容易在时间压力下犯，也很容易一旦知道该注意什么就避免。

1. 错误1 — 因式分解形式的符号错误

根r的因子是(x − r)，不是(x + r)。对于根−3，因子是(x − (−3)) = (x + 3)，不是(x − 3)。写成(x − 3)会得到根为3，不是−3 — 常数项的符号会错。

2. 错误2 — 在因式分解形式处停止

写出(x − r₁)(x − r₂) = 0后，一些学生把答案留在因式分解形式。除非题目特别要求因式分解形式，否则要完全展开成ax² + bx + c = 0。

3. 错误3 — 直接使用和而不取负号

韦达定理模板是x² − (和)x + (积) = 0，不是x² + (和)x + (积) = 0。x的系数是和的相反数。如果和等于7，二次方程的中间项是−7x，不是+7x。

4. 错误4 — 需要时没有清除分数

如果题目要求整数系数而根是分数，在应用韦达定理后要乘以整数。例如，x² − (5/4)x + 3/8 = 0必须通过各项乘以8变成8x² − 10x + 3 = 0。

练习题及完整解答

在看答案之前先做每一题。第1和第2题用因式分解法，第3题用韦达定理，第4和第5题可以选择方法。这些题从直接的整数根进阶到复数根，与代数2和SAT模拟测试的难度范围相符。

1. 题1 — 根为2和9

根的和 = 2 + 9 = 11。根的积 = 2 × 9 = 18。答案：x² − 11x + 18 = 0。验证：(x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓。

2. 题2 — 根为−6和−1

根的和 = −6 + (−1) = −7。根的积 = (−6)(−1) = 6。答案：x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0。验证：(x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓。

3. 题3 — 根为1/3和2

根的和 = 1/3 + 2 = 7/3。根的积 = (1/3)(2) = 2/3。基础方程：x² − (7/3)x + 2/3 = 0。乘以3：3x² − 7x + 2 = 0。验证：(3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓。

4. 题4 — 根为1 + √2和1 − √2

根的和 = (1 + √2) + (1 − √2) = 2。根的积 = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1。答案：x² − 2x − 1 = 0。用二次公式验证：x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓。

5. 题5 — 根为5 + i和5 − i

根的和 = 10。根的积 = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26。答案：x² − 10x + 26 = 0。验证：判别式 = 100 − 104 = −4，根 = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓。

快速自检：把每个根代入你的方程。如果两个都产生零，方程就正确了。

常见问题

学生第一次学写二次方程时经常会问这些问题。答案解决了最常见的疑惑点，从多个有效答案到重根和小数输入。

1. 对于同一对根，可以有不止一个正确的二次方程吗？

可以。如果x² − 8x + 15 = 0是一个答案，那么2x² − 16x + 30 = 0和5x² − 40x + 75 = 0也都正确 — 任何非零倍数都可以。想要唯一答案的题目通常会指定'首一形式'（首项系数为1）或'最大公因数为1的整数系数'。

2. 如果两个根相同（重根）呢？

重根r表示r₁ = r₂ = r。方程是(x − r)² = 0，展开为x² − 2rx + r² = 0。对于重根4：(x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0。

3. 我如何处理小数根？

用同样的方式应用韦达定理。对于根0.5和1.5：根的和 = 2.0，根的积 = 0.75。方程：x² − 2x + 0.75 = 0。乘以4得整数系数：4x² − 8x + 3 = 0。验证：用二次公式得(8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1.5或0.5 ✓。

4. 根的顺序重要吗？

不重要。(x − r₁)(x − r₂)和(x − r₂)(x − r₁)由乘法的交换律产生相同的展开式。以任何顺序列出根 — 方程是相同的。

5. 如果只给出一个根呢？

单独一个根不足以定义唯一的二次方程，除非你有额外的信息如根的和或积，或者根是无理数/复数（这样它的共轭自动是第二个根）。例如，如果告诉你一个根是3 + √7，另一个必定是3 − √7，得到和 = 6和积 = 9 − 7 = 2，所以方程是x² − 6x + 2 = 0。

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