等差數列計算機：逐步求任意項

什麼是等差數列？

等差數列是一組數字，其中任意兩個連續項之間的差總是相同的。這個常數差稱為公差，寫作 d。例如，3、7、11、15、19 是等差數列，因為每一項比前一項多 4：7−3=4、11−7=4、15−11=4 和 19−15=4。相比之下，2、4、8、16 中的每一項都乘以 2（不是相加）——這是等比數列，不是等差數列。在將任何東西代入公式或計算機之前，識別您正在看哪種類型的模式是第一步。

如果減去連續項沒有每次都給出相同的答案，您就不是在處理真正的等差數列。

等差數列公式詳解

每個等差數列都可以用一個公式描述：aₙ = a₁ + (n − 1)d，其中 a₁ 是第一項，d 是公差，n 是您想要的項的位置（第 1、2、15 項等）。此公式成立是因為為了從第一項到第 n 項，您需要正好添加公差 (n − 1) 次——不是 n 次，因為第一項本身不需要任何調整。混淆 n 和 (n − 1) 是學生最常犯的錯誤，所以值得牢記內置減法的公式。

等差數列計算機如何運作？

在幕後，等差數列計算機只是運行您手動使用的相同公式：aₙ = a₁ + (n − 1)d 用於個別項，而 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d) 用於前 n 項的和。您輸入第一項、公差和您想要的項數，計算機自動代入這些值，正確處理運算順序，並立即返回結果。計算機的真正價值不是替代數學——它讓您在幾秒內檢查自己的手工答案，並在算術失誤在測試中失去分數之前將其捕獲。

計算機給您快速答案；手動工作一個例題告訴您是否真正理解為什麼。

求公差

公差是每個等差數列計算的主幹，所以值得練習直到它變成自動的。取數列 5、12、19、26、33。連續項的減法給出 12−5=7、19−12=7、26−19=7 和 33−26=7，所以 d=7。如果問題只給出兩個非連續項，例如第 3 項 (19) 和第 6 項 (40)，您仍然可以通過將值的差除以位置的差來求 d：(40−19)÷(6−3) = 21÷3 = 7，相符。

如何求第 n 項：逐步例題

假設一個數列從 a₁=4 開始，公差為 d=6，您需要第 15 項。使用 aₙ = a₁ + (n − 1)d：a₁₅ = 4 + (15 − 1) × 6 = 4 + 14 × 6 = 4 + 84 = 88。要檢查答案，列出前幾項並確認模式是否成立：4、10、16、22、28...每次跳 6，與公式在第 15 位置的結果 88 一致。這個兩步習慣——計算，然後用部分列表驗證——在它們成為錯誤答案之前捕獲大多數符號和算術錯誤。

計算等差數列的和

為了相加等差數列的前 n 項而不列出每個數字，請使用 Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)，或在您不知道最後一項時使用等價的 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)。取數列 3、7、11、15... 並求前 20 項的和。首先求 a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79。然後 S₂₀ = 20/2 × (3 + 79) = 10 × 82 = 820。此公式成立是因為配對第一項和最後一項、第二項和倒數第二項等，總是產生相同的和——一個據稱歸功於年輕的卡爾·弗里德里希·高斯的技巧。

配對第一項和最後一項是高斯據說作為男孩在幾秒內求和 1 到 100 時使用的相同技巧。

實際例題：解決實際字詞問題

假設您在第一周儲蓄 $50，然後之後每周增加 $10 的儲蓄，共 12 周。這是一個等差數列，其中 a₁=50 和 d=10。第 12 周儲蓄的金額是 a₁₂ = 50 + (12 − 1) × 10 = 50 + 110 = 160。要求所有 12 周儲蓄的總和，請使用求和公式：S₁₂ = 12/2 × (50 + 160) = 6 × 210 = 1,260。作為理智檢查，平均每周儲蓄應該位於第一（$50）和最後（$160）金額之間的中點，即 (50+160)/2 = $105——將該平均值乘以 12 周得到 105 × 12 = 1,260，與公式的結果完全匹配。

等差數列與等比數列有什麼區別？

等差數列通過相加增長——每一項是前一項加固定公差，如 5、9、13、17 其中 d=4。等比數列改為通過乘法增長——每一項是前一項乘固定公比，如 2、4、8、16 其中公比 r=2。公式看起來相似但行動很不同：等差數列的項以直線方式增加（或減少），而等比數列的項呈指數型曲線向上或向下。在觸及任何計算機之前，檢查減法或除法是否產生常數模式——這會告訴您應用哪個公式族。

使用等差數列計算機時的常見錯誤

即使有可靠的等差數列計算機，幾個輸入錯誤也會頻繁出現。最常見的是在指數式位置使用 n 而不是 (n − 1)，這會將每個答案移動正好一個公差。另一個是為 d 輸入錯誤的符號——以錯誤的順序減法會將遞減數列變成遞增的，反之亦然。學生有時也會混淆項值和項位置，將 a₃=19 代入適用於 n 的位置。最後，在使用求和公式時，忘記首先求 aₙ（當它已經給出時）會導致計算不完整。

等差數列可以有負數或分數差嗎？

可以——公差可以是負數、分數或小數，公式的運作方式完全相同。考慮遞減數列 10、7、4、1、−2，其中每一項下降 3，所以 d=−3。使用公式求第 8 項：a₈ = 10 + (8 − 1) × (−3) = 10 + (−21) = −11。分數差的工作原理相同：在數列 1、1.5、2、2.5 中，公差是 d=0.5，第 10 項是 a₁₀ = 1 + (10 − 1) × 0.5 = 1 + 4.5 = 5.5。公式永遠不會改變——只有 d 的符號和大小決定了數列是上升、下降還是以小分數步長移動。

練習題測試您的理解

手動試試這三個問題，然後用計算機驗證。問題 1：如果 a₁=2 和 d=5，求 a₁₀。答案：a₁₀ = 2 + 9 × 5 = 2 + 45 = 47。問題 2：對於數列 9、4、−1、−6...，求第 8 項。首先求 d = 4 − 9 = −5，然後 a₈ = 9 + 7 × (−5) = 9 − 35 = −26。問題 3：求數列 6、10、14、18... 的前 15 項的和。首先求 a₁₅ = 6 + 14 × 4 = 6 + 56 = 62，然後 S₁₅ = 15/2 × (6 + 62) = 7.5 × 68 = 510。在檢查最後數字之前逐步完成每個——過程比單獨答案更重要。

使用 Solvify 的等差數列計算機檢查您的工作

一旦您通過公式手動工作，Solvify 的 AI Solve 工具可以確認您的答案並顯示其自己的逐步分解，這在家庭作業集有一打類似問題需要反覆運算時特別有用。用 Smart Scan 拍攝打印的數列問題，Solvify 自動識別第一項和公差，然後以相同方式進行第 n 項或求和計算，如本文所做。如果您的答案不相符，後續問題功能讓您詢問兩種方法分歧的確切位置，而不是僅看到不同的最終數字。