對數展開計算機：法則、步驟與完整例題
對數展開計算機會運用乘積法則、商數法則與次方法則，把一個複雜的對數拆解成多個較簡單對數的和或差。展開是合併的逆運算，這兩項技巧在高中代數、微積分預修，以及任何觸及指數或對數函數的課程中都會不斷出現。本指南會逐一說明每一條法則，再用含有根號與指數的完整例題把三條法則結合起來，讓你能親手展開任何對數，並逐行檢查計算機給出的結果。
目錄
「展開對數」到底是什麼意思？
展開對數，是指把一個內部含有乘積、商或次方的對數式，改寫成多個較簡單對數的和、差或倍數。舉例來說，log(3x²y) 可以改寫成 log 3 + 2 log x + log y——由一個把整串式子包起來的對數，變成三個各自獨立、較簡單的對數。展開之所以有用，是因為它把一個緊湊卻難以看穿的式子拆成一塊塊，而每一塊都更容易求值、微分或進一步化簡。 展開和合併（也叫併項）正好相反：合併是把好幾個對數併回成一個。兩個方向依賴的是同樣三條法則，所以只要你能有把握地展開，合併其實就是把同樣的步驟倒著跑一遍。教科書和標準化測驗兩個方向都會考，因此值得練習把法則正反兩向都讀熟，而不是只背其中一個方向。
展開對數，是把一個乘積、商或次方的對數，變成多個較簡單對數的和、差或倍數——也就是合併的逆運算。
對數展開計算機用到的三條法則是什麼？
每一次展開都只依賴三條對數法則，每一條各自對應對數內部發生的一種運算。這三條法則對任何合法的對數底數都成立，不論是以 10 為底的常用對數、自然對數（ln），還是以 2 為底的對數，只要涉及的每一個真數都保持為正即可。
1. 乘積法則
log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)。乘積的對數會拆成各因式對數的和，每個因式各得一項。
2. 商數法則
log_b(M ÷ N) = log_b(M) - log_b(N)。商的對數會拆成分子的對數減去分母的對數。
3. 次方法則
log_b(M^p) = p × log_b(M)。對數內部的指數可以提到前面，乘在對數之前。
乘積 → 加法。商 → 減法。次方 → 提到前面相乘。每一次展開都是這三種動作的某種組合。
如何一步步展開 log(3x²y)？
這個例子把三種運算——乘法與指數——同時放在一個常用對數裡，很適合當作第一個完整走一遍的展開範例。
1. 步驟 1 - 辨認對數內部的結構
3x²y 是三個因式的乘積：3、x² 和 y。既然整串式子是一個乘積，就先套用乘積法則。
2. 步驟 2 - 套用乘積法則
log(3x²y) = log 3 + log x² + log y。現在每個因式都有自己的對數，彼此以加法相連。
3. 步驟 3 - 對含指數的那一項套用次方法則
log x² 內部仍然有指數，所以套用次方法則：log x² = 2 log x。代回去便得到 log(3x²y) = log 3 + 2 log x + log y。
4. 步驟 4 - 寫出定義域限制
原式 log(3x²y) 要求 3x²y > 0。由於 3 > 0 而且 x² ≥ 0 恆成立，只要 x ≠ 0 且 y > 0，這個展開就成立。要注意單獨的 log x（相對於 log x²）嚴格來說還要求 x > 0，所以多數教科書會把這個展開限制在 x > 0 且 y > 0，以確保每一個單項都有定義。
log(3x²y) = log 3 + 2 log x + log y——先做一次乘積法則，再對平方那一項做一次次方法則。
如何一步步展開 ln((5a³) ÷ (2b))？
這個例子把商數法則也加了進來，因為整個式子是一個分數（商），而分子本身又是一個帶指數的乘積。
1. 步驟 1 - 先套用商數法則
最外層的運算是除法，所以先把它拆開：ln((5a³) ÷ (2b)) = ln(5a³) - ln(2b)。
2. 步驟 2 - 對每一塊套用乘積法則
ln(5a³) = ln 5 + ln a³，而 ln(2b) = ln 2 + ln b。代回去便得到 ln 5 + ln a³ - (ln 2 + ln b)。
3. 步驟 3 - 把負號分配進去，再套用次方法則
把減號分配到第二個括號裡的兩項：ln 5 + ln a³ - ln 2 - ln b。接著對 ln a³ 套用次方法則得 3 ln a，就得到最終展開式：ln 5 + 3 ln a - ln 2 - ln b。
4. 步驟 4 - 寫出定義域限制
原式要求 (5a³) ÷ (2b) > 0。由於 5 和 2 都是正常數，這個展開（以及其中每一個 ln a 和 ln b 項）在 a > 0 且 b > 0 時成立。
ln((5a³) ÷ (2b)) = ln 5 + 3 ln a - ln 2 - ln b。商數法則負責拆開分數，乘積法則和次方法則處理其餘部分。
內部含根號的 log₂(√x ÷ y⁴) 該怎麼展開？
根號是對數展開中最容易讓學生卡住的部分，因為平方根必須先改寫成分數指數，次方法則才碰得到它。這個例子會把這個轉換明確寫出來。
1. 步驟 1 - 把根號改寫成分數指數
√x 就等於 x^(1/2)。先改寫便得到 log₂(x^(1/2) ÷ y⁴)，此時整個式子都已是指數形式，可以直接套用標準法則。
2. 步驟 2 - 套用商數法則
log₂(x^(1/2) ÷ y⁴) = log₂(x^(1/2)) - log₂(y⁴)。
3. 步驟 3 - 對兩項都套用次方法則
log₂(x^(1/2)) = (1/2) log₂ x，而 log₂(y⁴) = 4 log₂ y。完整展開式為 (1/2) log₂ x - 4 log₂ y。
4. 步驟 4 - 寫出定義域限制
原式要求 √x ÷ y⁴ > 0。由於 √x ≥ 0，且只要 y ≠ 0 就有 y⁴ > 0，這個展開在 x > 0 且 y ≠ 0 時成立（必須排除 y = 0，否則原本的分數沒有定義）。
log₂(√x ÷ y⁴) = (1/2) log₂ x - 4 log₂ y。套用任何對數法則之前，先把根號換成分數指數。
如何用「合併回去」來檢查展開結果？
驗證任何展開最快的方法，就是把三條法則反著跑一遍，確認能原封不動地還原成原式。這個檢查能抓出商數法則的正負號錯誤，以及次方法則中指數放錯位置的問題——這兩者正是最常見的兩大錯誤來源。
1. 檢查 log 3 + 2 log x + log y
反用次方法則：2 log x = log x²。反用乘積法則：log 3 + log x² + log y = log(3 · x² · y) = log(3x²y)，與原式相符。
2. 檢查 ln 5 + 3 ln a - ln 2 - ln b
反用次方法則：3 ln a = ln a³。再把加項與減項分別歸類：(ln 5 + ln a³) - (ln 2 + ln b) = ln(5a³) - ln(2b) = ln((5a³) ÷ (2b))，與原式相符。
3. 檢查 (1/2) log₂ x - 4 log₂ y
反用次方法則：(1/2) log₂ x = log₂(x^(1/2)) = log₂ √x，而 4 log₂ y = log₂ y⁴。反用商數法則：log₂ √x - log₂ y⁴ = log₂(√x ÷ y⁴)，與原式相符。
如果把展開式合併回去沒有得到一模一樣的原式，代表中間某處出現了正負號、指數或分組的錯誤。
展開對數時學生常犯哪些錯誤？
少數幾種錯誤就造成了大部分的展開失誤，而且只要知道要留意什麼，這些錯誤都很容易被抓出來。
1. 錯誤 1 - 把 log(x + y) 當成 log(xy) 處理
和的對數並沒有任何法則可用。log(x + y) 不能拆成 log x + log y；乘積法則只適用於乘法，絕不適用於真數內部的加法。
2. 錯誤 2 - 忘記把負號分配出去
當商數法則產生一個減號，而分子本身又是一個乘積時，這個負號必須作用在來自分母的每一項上，而不是只作用在第一項——就像上面 ln((5a³) ÷ (2b)) 的例子所示。
3. 錯誤 3 - 把次方法則套用在錯的部分
在 log(3x²y) 裡，只有 x 被平方，整個乘積 3x²y 並沒有。把那個 2 提到整串式子前面、而不是只提到 log x 前面，是這類題目最常見的錯誤之一。
4. 錯誤 4 - 忽略定義域限制
原式與展開式中的每一個對數，真數都必須為正。跳過這項檢查，可能會得到一個代數上看似正確、但在某些變數值下卻沒有定義的展開式；例如在 log₂(√x ÷ y⁴) 的例子中，忘了必須要求 y ≠ 0。
乘積法則要有乘法，商數法則要有除法，次方法則要有指數——對數內部絕不能是一個和。
練習題：這些對數你展得開嗎？
先自己做完每一題再看答案，並像上面的檢查段落那樣，用合併回去的方式驗證自己的答案。
1. 題目 1 - 只有乘積
展開 log(5xy)。答案：log 5 + log x + log y。
2. 題目 2 - 含指數的商
展開 ln(x³ ÷ 4)。答案：3 ln x - ln 4。
3. 題目 3 - 乘積與次方結合
展開 log₂(8x⁵)。答案：log₂ 8 + 5 log₂ x；由於 log₂ 8 = 3，還可以進一步化簡成 3 + 5 log₂ x。
4. 題目 4 - 根號與商結合
展開 log(√(a ÷ b))。答案：先改寫成 log((a ÷ b)^(1/2))，套用次方法則得到 (1/2) log(a ÷ b)，再套用商數法則得到 (1/2)(log a - log b)，也就等於 (1/2) log a - (1/2) log b。
多做幾題展開，並且每一題都用合併回去檢查，就能培養出一眼看穿任何對數該怎麼展開的模式辨識能力。
Solvify 如何幫你檢查對數展開？
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想真正掌握對數展開，最快的方法是親手做過好幾題，計算機只用來驗證結果。
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分步解答
看到乘積法則、商數法則與次方法則依序套用的完整過程，而不只是最後的展開式。
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