自由落體計算器：逐步求解時間、速度和高度
自由落體計算器用來求僅在重力作用下下落物體的時間、速度或高度，使用自由落體公式 h = ½gt² 和 v = gt，其中 g 是重力加速度（地球表面附近約 9.8 m/s²）。與一般拋體運動不同，真正的自由落體假設沒有水平速度和空氣阻力，因此運動是純豎直的，僅取決於幾個變數：初始高度、時間、初速度和末速度。本指南涵蓋自由落體方程的來源、如何重新整理方程求解任何未知變數、兩個完整的數值計算示例、最容易導致自由落體計算出錯的常見錯誤，以及附有答案的練習題。
目錄
什麼是自由落體計算器，它使用什麼公式？
自由落體計算器將勻加速直線運動方程應用於從靜止狀態（或已知初速度）開始、僅在重力作用下下落、忽略空氣阻力的物體。三個公式涵蓋所有自由落體情況：高度公式 h = ½gt²（或帶初速度時 h = v₀t + ½gt²）、速度公式 v = gt（或 v = v₀ + gt）、以及速度-高度關係 v² = 2gh（或 v² = v₀² + 2gh）。因為自由落體只涉及沿直線的豎直運動，這些是標準的運動學方程，一般加速度項 a 被 g 替換，沒有水平分量需要跟蹤。 在地球表面附近，g 約為 9.8 m/s²（更精確時為 9.81 m/s²，英制單位下為 32.2 ft/s²），對於幾百米以內的下落被視為常數——重力加速度隨高度和緯度的微小變化直到距離達到行星尺度才開始顯著。自由落體計算器取已知的任何變數（高度、時間、初速度或末速度），並用相應的三個公式的重新整理形式求解缺失的變數。
每個自由落體計算都歸結為三個公式——h = ½gt²、v = gt 和 v² = 2gh——其中 g ≈ 9.8 m/s² 代表重力的恆定加速度。
如何從牛頓第二定律推導自由落體公式？
自由落體公式並非任意的——它們直接遵循牛頓第二定律和恆定加速度的定義，這就是為什麼同一個自由落體方程對下落的硬幣、打開降落傘前的跳傘者或從懸崖扔下的石頭都適用。
1. 第1步——從牛頓第二定律開始
對於自由下落的物體，作用在它上面的唯一力是重力，所以 F = mg。牛頓第二定律指出 F = ma，所以 mg = ma，質量約掉得 a = g——只要忽略空氣阻力，每個下落物體的加速度都相同，與質量無關。
2. 第2步——對加速度積分得速度
因為 a = g 是常數，對時間積分得 v = v₀ + gt，其中 v₀ 是初速度（對於簡單釋放的物體 v₀ = 0）。
3. 第3步——對速度積分得位置
對 v = v₀ + gt 關於時間積分得 h = v₀t + ½gt²，即時間 t 內下落的總距離。
4. 第4步——消去時間，直接關聯速度和高度
求解 h = v₀t + ½gt² 得 t，代入 v = v₀ + gt 得到 v² = v₀² + 2gh，這在不知道或不需要求時間時很有用。
一旦重力是唯一作用力，a = g 直接從 F = ma 得出——質量約掉，這就是為什麼羽毛和保齡球在真空中加速度相同。
如何重新整理自由落體公式求解時間、速度或高度？
每個自由落體計算器問題要求四個未知數之一——時間、速度、高度或初速度——一旦知道哪兩個變數已給定，每個都有直接的公式。自由落體計算器只需選擇與兩個已知值相匹配的重新整理形式並跳過代數過程，但理解每種重新整理讓你能在信任數字之前發現輸入中的錯誤或可疑的輸出。
1. 已知高度求時間（從靜止釋放）
t = √(2h/g)。這只在 v₀ = 0 時適用；如果物體是被拋出而不是釋放，改用二次方程 h = v₀t + ½gt²。
2. 已知速度求時間
當 v₀ = 0 時 t = v/g，或更一般地 t = (v − v₀)/g。
3. 已知高度求速度
當 v₀ = 0 時 v = √(2gh)，或一般情況 v = √(v₀² + 2gh)。
4. 已知時間或速度求高度
當 v₀ = 0 時 h = ½gt²，或當 v₀ = 0 且僅已知末速度時 h = v²/(2g)。
一旦知道高度、時間和速度中哪兩個已給定，自由落體公式就只剩一個變數需要隔離。
應用示例1：從建築物扔下的球多久擊中地面？
一個球從 45.0 m 高的建築物頂端釋放（v₀ = 0）。求擊中地面用時和撞擊速度。使用 g = 9.8 m/s²。
1. 第1步——列出已知值
h = 45.0 m，v₀ = 0，g = 9.8 m/s²。要求的兩個未知數：時間 t 和末速度 v。
2. 第2步——用 t = √(2h/g) 求時間
t = √(2 × 45.0 / 9.8) = √(90.0 / 9.8) = √9.184 = 3.03 s。
3. 第3步——用 v = gt 求速度
v = 9.8 × 3.03 = 29.7 m/s。
4. 第4步——用 v = √(2gh) 檢驗答案
v = √(2 × 9.8 × 45.0) = √882 = 29.7 m/s，與第3步結果相符，確認時間和速度都正確。
3.03 s 和 29.7 m/s——兩個公式 h = ½gt² 和 v = √(2gh) 互相交叉驗證，在同一問題中同時求時間和速度時總能相互確認。
應用示例2：測量到的撞擊速度對應什麼初始高度？
一個釋放的物體以 24.5 m/s 的速度擊中地面。它從什麼高度釋放的，下落耗時多長？使用 g = 9.8 m/s²。
1. 第1步——列出已知值
v = 24.5 m/s，v₀ = 0，g = 9.8 m/s²。要求的兩個未知數：高度 h 和時間 t。
2. 第2步——用 h = v²/(2g) 求高度
h = 24.5² / (2 × 9.8) = 600.25 / 19.6 = 30.6 m。
3. 第3步——用 t = v/g 求時間
t = 24.5 / 9.8 = 2.50 s。
4. 第4步——用 h = ½gt² 檢驗答案
h = 0.5 × 9.8 × 2.50² = 0.5 × 9.8 × 6.25 = 30.6 m，與第2步結果相符，確認高度和時間一致。
30.6 m 和 2.50 s——從測得的撞擊速度反向求解使用完全相同的三個公式，只是為不同的未知數求解。
什麼常見錯誤會導致自由落體計算器結果錯誤？
大多數錯誤的自由落體計算器答案來自少數幾個可預見的設置錯誤，而非對物理本身的誤解。
1. 當物體被拋出而非釋放時假設 v₀ = 0
簡單公式 h = ½gt² 和 v = gt 僅適用於從靜止釋放的物體。如果物體被向下或向上拋出，必須包括初速度項 v₀，高度方程變成二次方程 h = v₀t + ½gt²。
2. 在重力加速度的公式中混用公制和英制單位
g 在公制單位中是 9.8 m/s²，在英制單位中是 32.2 ft/s²。把用英尺測量的高度代入使用 g = 9.8 m/s² 的公式（或反過來）會產生一個大的、令人困惑的錯誤因子。
3. 失去符號約定的跟蹤
如果選擇向上為正，那麼 g 和向下速度必須輸入為負值，初速度為正的向上拋物體在下降途中從零變為負。在問題中途切換符號約定是最常見的錯誤來源之一。
4. 在空氣阻力實際重要時應用自由落體公式
這些方程假設空氣阻力可忽略，對於密集、緊湊的物體短距離下落（下落的石頭或球）這是很好的近似，但對輕或快速下落的物體（如紙片、羽毛或接近終端速度的跳傘者）就不適用。
5. 過早四捨五入 g 或中間結果
用 g = 10 m/s² 作為近似，或把中間平方根舍入到僅 1 或 2 位有效數字，可能會明顯改變最終答案。在計算中保持至少 3 位有效數字，僅在末尾四捨五入。
6. 混淆下落高度與離地高度
如果物體從距 10.0 m 高平台釋放，而下方是 5.0 m 高的牆，自由落體方程使用實際下落距離（10.0 m），而不是平台相對某其他參考點的高度。代入自由落體計算器前總要確認 h 代表什麼。
匹配單位、跟蹤 v₀ 是否真的為零、選擇一致的符號約定——這些是正確自由落體計算與符號或因子錯 3.28 的差別。
練習題：你能解這些自由落體問題嗎？
使用 g = 9.8 m/s² 用手計算每道題，再用自由落體計算器只在你提交設置後確認結果。
1. 題1——求時間和撞擊速度
一塊石頭從 20.0 m 高的懸崖釋放。求到達底部用時及其撞擊速度。答案：t = √(2 × 20.0 / 9.8) = √4.08 = 2.02 s；v = gt = 9.8 × 2.02 = 19.8 m/s。
2. 題2——從撞擊速度求高度
一個物體被釋放後以 39.2 m/s 速度擊中地面。求其下落高度。答案：h = v²/(2g) = 39.2² / 19.6 = 1536.64 / 19.6 = 78.4 m。
3. 題3——非零初速度求時間
一個球從 60.0 m 高塔以 5.00 m/s 初速度向下拋出。求擊中地面用時。答案：求解 60.0 = 5.00t + 4.90t²，重新整理為 4.90t² + 5.00t − 60.0 = 0。用求根公式，t = [−5.00 + √(25.0 + 4 × 4.90 × 60.0)] / (2 × 4.90) = [−5.00 + √1201] / 9.80 = [−5.00 + 34.66] / 9.80 = 3.03 s。
4. 題4——從時間求距離和速度
一塊岩石從靜止下落 4.00 s。求下落距離和末速度。答案：h = ½ × 9.8 × 4.00² = 0.5 × 9.8 × 16.0 = 78.4 m；v = gt = 9.8 × 4.00 = 39.2 m/s。
如果題3結果接近 3.03 s，說明初速度項正確地折進了二次方程而不是被丟掉——這是大多數第一次嘗試拋體自由落體問題時被絆倒的那一步。
自由落體與拋體運動有何不同，Solvify 如何幫你檢驗答案？
自由落體實際上就是拋體運動的豎直特例，水平速度為零。完整的拋體運動——以某角度拋出的球、發射的炮彈——分為兩個獨立部分：水平分量以恆定速度運動，豎直分量遵循完全相同的自由落體方程 h = ½gt² 和 v = v₀ + gt，重力把它拉回下來。一旦拋體運動問題的豎直部分設置正確，它就用與直豎直下落相同的自由落體計算器步驟求解。 Solvify 的逐步物理求解器就像一個展示每個 h、t 和 v 結果背後完整代換和算術的自由落體計算器，所以你可以將手寫的答案與計算器的步驟對齐，精確找到錯誤發生的地方，而不是只看到不同的最終數字。實用工作流：先手工求解問題，顯式決定 v₀ 是否為零，代入數字前選擇符號約定。然後將答案與計算器比較，數字不匹配時逐步走過它的步驟，找出你的設置在哪一行發生偏離——通常是遺漏初速度項、單位不匹配或符號錯誤。
自由落體就是水平速度設為零的拋體運動——掌握這裡的豎直部分，你已經知道拋體運動需要的大部分內容。
相關文章
相關數學解題工具
智慧掃描求解器
拍攝任何自由落體或運動學問題的照片，立即獲得逐步解答。
逐步解答
查看高度、時間或速度結果背後的每個代換和單位轉換，而不僅僅是最終答案。
多科目支援
求解物理、代數、微積分、化學等更多科目的問題。