如何從速度-時間圖計算加速度

速度-時間圖在表達什麼？為什麼它的斜率就是加速度？

速度-時間圖以縱軸表示物體的速度（通常單位是 m/s），橫軸表示時間（單位是秒）。加速度的定義是速度變化的快慢，也就是 a = Δv ÷ Δt，而 Δv ÷ Δt 正好就是斜率「縱向變化除以橫向變化」的定義。這就是為什麼從速度-時間圖計算加速度，最後一定會化為一次斜率計算：在線上取兩個點，求出兩點間的速度變化量，再除以兩點間的時間變化量。線往上升得很陡，代表速度增加得很快，加速度就是很大的正值；線很平緩，代表速度變化得慢，加速度就小；線是完全水平的一條直線，代表速度根本沒有改變，加速度剛好等於零——即使物體正以很高的等速度前進也一樣。理解「斜率等於加速度」這一個關係，就是打開本文所有計算的鑰匙，從最單純的直線圖，到需要估計切線的曲線圖都適用。

從速度-時間圖求加速度永遠是求斜率：a = Δv ÷ Δt =（速度變化量）÷（時間變化量）。

如何從速度-時間圖計算加速度：逐步操作

不論圖形是直線還是曲線，求速度-時間圖斜率的方法都遵循同一組核心步驟。每次都按順序做，就能得到一致且可驗算的答案。

如果 Δv 算出來是負的，代表物體正在減速（或往負方向加速）——回報加速度時千萬不要把負號丟掉。

例題一：直線圖上的等正加速度

直線型的速度-時間圖是最單純的情況，因為線上每一處的斜率都相同，所以任取兩點都會得到同一個答案。

在直線型的速度-時間圖上，斜率是固定的，所以線上任意兩點都會算出完全相同的加速度——這正是等加速度的定義。

例題二：如何在速度-時間圖上判讀負加速度？

負加速度只是代表斜率為負——線由左往右下降，若物體仍朝正方向運動，通常表示它正在減速。

速度-時間圖上的負加速度代表線往下傾斜——物體不是在向前運動時減速，就是在向後運動時加速。

遇到有多段斜率的分段速度-時間圖該怎麼處理？

現實中的速度-時間圖很多都不是單一直線，而是分段的：由好幾條直線段在轉折點相接而成，各自代表一個不同的運動階段。要在這種圖上求任一處的加速度，先判斷你關心的點落在哪一段，然後只計算那一段的斜率。

在分段的速度-時間圖上，絕對不要跨過轉折點做平均——要分別計算每一條直線段的斜率，因為每一段各自代表它自己的等加速度。

什麼是瞬時加速度？如何從曲線圖估計它？

當速度-時間圖是曲線而非直線時，每一點的斜率都不一樣，因此在相距很遠的兩點之間做一次平均加速度計算，並無法準確描述任何一個瞬間的運動狀態。瞬時加速度就是恰好與曲線相切於某一點的切線斜率；你可以畫出那條切線，再量它的縱向變化除以橫向變化來估計它。

平均加速度用的是圖上兩點之間的連線；瞬時加速度用的是單一點上切線的斜率——只有當圖形本身就是直線時，兩者才會相等。

如何從速度-時間圖的面積求位移？

速度-時間圖的斜率給出加速度，而線與時間軸之間所圍的面積則給出位移——這兩種計算關係密切，常常出現在同一組題目裡。對一段直線而言，其下方的面積就是一個矩形加一個三角形（也就是一個梯形），可用 ½ × (v₁ + v₂) × Δt 計算。以前面的單車騎士為例，0 s 到 5 s 之間的位移是 ½ × (2 + 17) × 5 = ½ × 19 × 5 = 47.5 m。位於時間軸下方、速度為負的面積算作負位移，應該相減而不是相加。把求加速度的斜率法和求位移的面積法分開記住——同時也認清它們用的是同一張圖——就能大幅提升你正確回答多小題速度-時間圖問題的機會。

速度-時間圖的斜率＝加速度；速度-時間圖下的面積＝位移。把這兩者混為一談，是速度-時間圖題目中最常見的錯誤之一。

如何從速度-時間圖計算加速度：要避開的常見錯誤

學生剛開始學習從速度-時間圖計算加速度時，有幾個錯誤反覆出現，而只要知道要留意，每一個都很容易避免。第一，忘記正負號：把負的 Δv 的負號丟掉，會讓原本正確的減速答案變成錯誤的正加速度。第二，搞混座標軸：有些學生會不小心算成 Δt ÷ Δv 而不是 Δv ÷ Δt，這會得到錯誤的單位，以及真正答案的倒數。第三，在分段圖上跨過轉折點取平均，把兩個不同的等加速度階段混成一個沒有意義的數字。第四，把代表「高等速度下加速度為零」的水平線，和代表「速度為零」的原點搞混。仔細判讀圖形，並在每一次計算最後檢查單位、正負號與數值大小——就像上面每一道例題所示範的那樣——幾乎可以在這些錯誤變成錯誤答案之前就把它們攔下來。