微積分導數隱函數微分數學計算器

隱函數微分計算器：逐步教學與完整例題解析

August 28, 2026·10 min read·Solvify Team

隱函數微分計算器可以為那些沒有把 y 單獨移到等號一邊的方程式求出 dy/dx，例如圓、橢圓，以及其他把 x 項與 y 項混在一起的曲線。你不需要先解出 y，隱函數微分讓你直接對方程式兩邊同時對 x 微分，把 y 視為 x 的函數，並在每次微分 y 項時套用連鎖律。本文將完整拆解隱函數微分計算器求出答案的過程，讓你能有信心地親手解出這類題目。你會看到完整的逐步解法、三個附上逐數驗算的完整例題、學生最常犯的錯誤，以及可以拿來自我測驗、附有詳解的練習題。

什麼是隱函數微分？

隱函數微分是一種在方程式沒有解出 y 的情況下，求 y 對 x 之導數的技巧。像 x² + y² = 25（圓）或 x³ + y³ = 6xy（葉形線）這樣的方程式，即使你無法輕易寫成 y = f(x) 的形式，它們仍以隱含的方式把 y 定義成 x 的函數。你不必先把方程式重新整理，而是直接對等號兩邊的每一項對 x 微分。由於 y 被視為 x 的一個未知函數，任何含有 y 的項都需要用到連鎖律：y² 對 x 的導數是 2y·(dy/dx)，而不只是 2y。正是這個額外的 dy/dx 因子，把隱函數微分和一般寫成 y = f(x) 的顯函數微分區分開來。

關鍵觀念：每次微分 y 項時，都必須乘上 dy/dx。

隱函數微分計算器是怎麼運作的？

隱函數微分計算器會接收像 x² + y² = 25 這樣的方程式，對兩邊逐項套用微分算子 d/dx，然後用代數方法解出 dy/dx。在內部，它遵循的規則和學生手算時完全一樣：x 項用冪次律，y 項用連鎖律，而任何把 x 和 y 混在一起的項（例如 xy 或 x/y）則用乘積律或商律。當每一項都微分完成後，計算器會把所有含 dy/dx 的項集中到方程式的一邊，其餘的項移到另一邊，再相除以分離出 dy/dx。結果通常會表示成同時含 x 和 y 的分式，因為隱函數導數一般同時取決於兩個變數，而不只是 x。

隱函數求 dy/dx 的逐步解法

每一道隱函數微分題目都遵循同樣的四個步驟。只要記熟這個模式，從最簡單的圓到含有乘積、商或三角函數的複雜曲線，幾乎任何隱函數方程式你都能解。

1. 步驟 1：對兩邊同時對 x 微分

對方程式左右兩邊的每一項套用 d/dx。單純的 x 項用冪次律，y 項用連鎖律，並在每個 y 的導數後面寫上 dy/dx。

2. 步驟 2：在需要的地方套用乘積律或連鎖律

對於混合 x 和 y 的項，例如 xy 或 x²y³，要用乘積律。像 y⁵ 這樣的項，則微分為 5y⁴·(dy/dx)。

3. 步驟 3：把所有 dy/dx 項集中到同一邊

用加法或減法把所有含 dy/dx 的項移到方程式的一邊，其餘所有項移到另一邊。

4. 步驟 4：提出 dy/dx 並求解

從含有 dy/dx 的各項中把 dy/dx 提出來，再把兩邊同除以剩下的因式，就能完全分離出 dy/dx。

例題一：對圓方程式微分

考慮圓 x² + y² = 25。這個方程式是經典範例，因為它無法寫成單一函數 y = f(x)──它其實代表兩個函數（圓的上半部與下半部）。隱函數微分可以一次處理這兩者。

1. 對每一項微分

d/dx(x²) + d/dx(y²) = d/dx(25) 變成 2x + 2y·(dy/dx) = 0。

2. 分離出 dy/dx 項

兩邊同減 2x：2y·(dy/dx) = -2x。

3. 解出 dy/dx

兩邊同除以 2y：dy/dx = -2x ÷ 2y = -x/y。

4. 在某一點驗算答案

在點 (3, 4) 上，滿足 3² + 4² = 9 + 16 = 25，斜率為 dy/dx = -3/4。這與「圓的切線垂直於半徑」這個幾何事實吻合：(3,4) 處的半徑斜率為 4/3，而 -3/4 正是 4/3 的負倒數。

例題二：含混合項的曲線

接著試試 x 和 y 相乘的曲線：x²y + y³ = 9。第一項需要乘積律，第二項需要連鎖律。

1. 用乘積律微分 x²y

d/dx(x²y) = 2x·y + x²·(dy/dx)，因為 x²y 是 x² 與 y 的乘積。

2. 用連鎖律微分 y³

d/dx(y³) = 3y²·(dy/dx)。

3. 合併並令其等於右邊的導數

2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0，因為 d/dx(9) = 0。

4. 解出 dy/dx 並驗算

提出因式：(x² + 3y²)(dy/dx) = -2xy，所以 dy/dx = -2xy ÷ (x² + 3y²)。在 x = 0 處驗算：y³ = 9，因此 dy/dx = 0 ÷ (0 + 3y²) = 0，這與該曲線在 x = 0 時對 y 軸的對稱性吻合。

例題三：求切線斜率

隱函數導數在求特定點上切線的精確斜率時特別好用，而這往往才是使用隱函數微分計算器背後真正的目的。以曲線 x³ + y³ = 6xy（笛卡兒葉形線）在點 (3, 3) 處為例。

1. 對兩邊微分

d/dx(x³) + d/dx(y³) = d/dx(6xy) 得到 3x² + 3y²(dy/dx) = 6y + 6x(dy/dx)，右邊使用了乘積律。

2. 整理 dy/dx 項

3y²(dy/dx) - 6x(dy/dx) = 6y - 3x²。

3. 提出因式並求解

(dy/dx)(3y² - 6x) = 6y - 3x²，所以 dy/dx = (6y - 3x²) ÷ (3y² - 6x)。

4. 代入點 (3, 3) 並驗算

dy/dx = (6·3 - 3·3²) ÷ (3·3² - 6·3) = (18 - 27) ÷ (27 - 18) = -9 ÷ 9 = -1。切線在 (3, 3) 處的斜率為 -1，這與笛卡兒葉形線在該點對直線 y = x 的已知對稱性吻合。

為什麼隱函數微分一定要用連鎖律？

連鎖律會出現在每一道隱函數微分題目中，因為即使沒有給出 y 的明確公式，y 仍被視為 x 的一個未知函數。當你微分像 y² 這樣的項時，你其實是在微分 [f(x)]²，而連鎖律告訴我們導數是 2·f(x)·f'(x)──用萊布尼茲記號寫就是 2y·(dy/dx)。漏掉 dy/dx 這個因子，是隱函數微分中最常見的單一錯誤，因為很容易把 y² 當成 x² 來微分而直接寫成 2y。只要記住 dy/dx 代表的是「某個未知函數的導數」，就不會忘記這條規則。

可以用隱函數方式求二階導數嗎？

可以。要求 d²y/dx²，就把第一次得到的隱函數導數式再對 x 微分一次，並記得 dy/dx 本身也是 x 的函數，可能需要用到乘積律。以 x² + y² = 25 為例，我們已經求得 dy/dx = -x/y。再用商律微分一次：d²y/dx² = -[(y)(1) - x(dy/dx)] ÷ y² = -[y - x(-x/y)] ÷ y² = -[y + x²/y] ÷ y²。把分子與分母同乘以 y，得到 d²y/dx² = -(y² + x²) ÷ y³。由於在這個圓上 x² + y² = 25，可化簡為 d²y/dx² = -25/y³，這是一個只取決於 y 的簡潔結果。

求隱函數導數時的常見錯誤

隱函數微分中大多數的錯誤，來自於忘記何時該用連鎖律，或是在分離 dy/dx 的過程中出現代數運算失誤。

1. 在 y 項上忘了寫 dy/dx

把 d/dx(y³) 寫成 3y² 而不是 3y²(dy/dx)，是最常見的錯誤──每一個 y 項的導數都需要這個額外因子。

2. 混合項漏用乘積律

像 xy 或 x²y 這樣的項是兩個 x 的函數的乘積，因此需要完整的乘積律，不能只是分別對各部分做簡單微分。

3. 移項時的正負號錯誤

在把 dy/dx 項集中到同一邊時，很容易漏掉一個負號。請放慢速度重寫方程式，一次只移動一項。

4. 沒有利用原方程式化簡

有些答案（例如圓的那個例子）可以利用原方程式進一步化簡（例如代入 x² + y² = 25）。跳過這一步會讓答案停留在比較不好用的形式。

練習題與解答

先自己動手做做看這些題目，再對照解答，然後用隱函數微分計算器確認你的計算過程。

1. 題目 1：x² + 4y² = 16

微分：2x + 8y(dy/dx) = 0。求解：dy/dx = -2x ÷ 8y = -x/(4y)。在 (0, 2) 處：dy/dx = 0/8 = 0，也就是橢圓頂端切線為水平的位置。

2. 題目 2：xy = 10

用乘積律微分：y + x(dy/dx) = 0。求解：dy/dx = -y/x。在 (2, 5) 處：dy/dx = -5/2 = -2.5。

3. 題目 3：x² - y² = 9

微分：2x - 2y(dy/dx) = 0。求解：dy/dx = x/y。在 (5, 4) 處，因為 25 - 16 = 9 驗算無誤，所以 dy/dx = 5/4 = 1.25。

什麼時候該用隱函數微分？什麼時候該用顯函數微分？

只要用代數方法把 y 分離出來很困難、不可能，或會產生雜亂的多分支函數，就該使用隱函數微分──圓、橢圓，以及像 x³ + y³ = 6xy 這類曲線都屬於這一類。如果一個方程式只要一兩個簡單步驟就能解出 y，例如 2x + y = 7，那麼先解出 y 再做顯函數微分（y = 7 - 2x，所以 dy/dx = -2）通常會更快。在兩種方法都適用的地方，它們的結果必定一致，因此隱函數微分其實是更通用的工具，即使顯函數微分行不通時也依然有效。

隱函數微分在真實世界中的應用

只要兩個變動量之間的關係「寫出來容易、解出來難」，隱函數微分就會派上用場。相關變率問題（例如求球形水槽中水位上升的速率）就仰賴把體積方程式對時間做隱函數微分。經濟學則用隱函數微分來求出：當某個變數變動時，預算或效用限制式中的另一個變數會如何改變，而不必先把限制式解成單一變數。在物理學中，隱函數微分被用在守恆方程式上，例如能量守恆或動量守恆的關係式，藉此把位置、速度與其他量的變化率連結起來，而不需要為每一項寫出明確的公式。

標籤: