統計學機率數學計算機學習指南

機率樹狀圖產生器：如何一步步畫出機率樹

August 25, 2026·16 min read·Solvify Team

機率樹狀圖產生器會畫出一張分支圖，把一連串事件的所有可能結果完整攤開，替每一條分支標上機率，讓你沿著同一條路徑相乘、或跨路徑相加，就能算出任何複合機率而不會漏掉任何結果。學生通常在機率與統計的入門單元第一次接觸樹狀圖——擲硬幣、抽撲克牌、轉轉盤，以及各種多階段應用題——而同樣的分支邏輯可以一路延伸到遺傳學雜交、品管抽樣與決策分析。本文會從零開始建立一張機率樹，用實際數字帶你走過獨立事件、相依事件與條件機率的範例，最後附上練習題，讓你在信任任何產生器的輸出之前，先用手算驗證一遍。

什麼是機率樹狀圖產生器？

機率樹狀圖產生器是一種工具——可以是數位工具，也可以是手繪——它把一個多階段的隨機過程表示成分支圖：每個分支點（稱為節點）會岔出該階段所有可能發生的結果，而每條分支上都標著「在前面所有事情都已經發生的前提下」該結果發生的機率。由左往右讀，樹狀圖呈現的是事件的完整順序；在任一階段由上往下看，同一個節點岔出的所有分支加起來一定等於 1，因為它們涵蓋了該步驟的所有可能。這張圖把原本需要小心記帳的應用題——「連續抽出兩顆紅色彈珠、且不放回的機率是多少？」——變成一條你可以用眼睛追蹤、直接相乘的視覺路徑。

從同一個節點出發的所有分支，機率總和必須是 1——光是這一個檢查，就能在你動手相乘之前抓出大部分建樹錯誤。

機率樹狀圖產生器如何運作？

不論你是在紙上手繪，還是使用機率樹產生器，背後的流程完全一樣：先從單一起點出發，替第一個事件的每個可能結果畫一條分支，標上各自的機率，接著再從每條分支的末端重複同樣動作，處理下一個事件。產生器幫你自動完成繪圖與運算，但它仍然仰賴你（或題目）在每個階段提供正確的分支機率——只要那些數字錯了，工具就會很有自信地算出錯誤答案。這正是為什麼即使你以後再也不手繪樹狀圖，也仍然必須理解下面兩條規則。

1. 畫出第一組分支

從起始節點出發，替第一個事件的每個結果各畫一條分支，並在分支上寫下機率。以一枚公正硬幣為例，就是兩條分支：正面（1/2）與反面（1/2）。

2. 從每個端點再次分支

在每條分支的末端，為下一個事件再加上一組新的分支。如果事件之間是相依的，第二層的機率必須反映已經抵達的結果——大多數條件機率的錯誤都發生在這裡。

3. 追蹤路徑並合併結果

樹狀圖中每一條由左到右的完整路徑，代表一種特定的結果序列。沿著單一路徑把各分支機率相乘，就得到該路徑的機率；再把所有符合同一事件的不同路徑機率相加即可。

每張機率樹背後的兩條核心規則

機率樹的所有運算其實都由兩條規則完成，而且這兩條規則直接來自機率的基本定律，並不是樹狀圖專屬的技巧。把它們記熟，你就能用手算驗證機率樹產生器的輸出，或是完全不靠工具，直接從應用題建出一張樹。

1. 沿分支相乘（AND 規則）

要求出某個特定結果序列的機率——先發生這個「而且」接著發生那個——就把該條路徑上每條分支的機率相乘。對於獨立事件，P(A 且 B) = P(A) × P(B)；對於相依事件，P(A 且 B) = P(A) × P(B|A)，而第二條分支上標的數字本來就已經是那個條件機率。

2. 跨路徑相加（OR 規則）

當一個事件可以透過樹中不只一條路徑發生——這個序列「或」那個序列——就把所有符合該事件的路徑機率相加。像「投擲兩次恰好出現一次正面的機率是多少」這類問題，就是這樣回答的：它可以透過兩條不同路徑發生，正面接反面，或反面接正面。

沿著單一路徑相乘；跨越通往同一事件的不同路徑相加。幾乎所有樹狀圖題目，最後都歸結為正確套用這兩條規則。

範例演練：投擲兩次硬幣（獨立事件）

先從最單純的樹開始：把一枚公正硬幣投擲兩次。因為前一次投擲對下一次完全沒有影響，這是一張獨立事件的樹，不論前面出現什麼，每條分支的機率都固定是 1/2。

1. 建立樹狀圖

第一次投擲：正面（1/2）或反面（1/2）。從這兩者各自延伸出第二次投擲：正面（1/2）或反面（1/2）。於是共有四條完整路徑：HH、HT、TH、TT。

2. 求 P(兩次都正面)

只有一條路徑符合：H 接著 H。P(HH) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%。

3. 求 P(恰好一次正面)

有兩條路徑符合：HT 與 TH。P(HT) = 1/2 × 1/2 = 1/4，P(TH) = 1/2 × 1/2 = 1/4。相加得：P(恰好一次正面) = 1/4 + 1/4 = 1/2 = 50%。

4. 檢查答案

四條路徑的機率總和必須為 1：P(HH) + P(HT) + P(TH) + P(TT) = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1。檢查通過，代表這張樹建得正確。

範例演練：不放回抽取彈珠（相依事件）

相依事件的樹狀圖，正是機率樹狀圖產生器最能發揮價值的地方，因為第二階段的分支機率會依第一階段的結果而改變——少了圖來追蹤，這個細節非常容易出錯。假設袋子裡有 5 顆紅色彈珠與 3 顆藍色彈珠（共 8 顆），你一次抽一顆、連抽兩顆，而且第一顆不放回去。

1. 第一次抽取

P(紅) = 5/8，P(藍) = 3/8。這就是從起始節點岔出的兩條分支。

2. 第一顆是紅色後的第二次抽取

如果第一顆抽到紅色，袋中現在剩下 4 顆紅、3 顆藍，共 7 顆。P(紅 | 第一顆紅) = 4/7，P(藍 | 第一顆紅) = 3/7。

3. 第一顆是藍色後的第二次抽取

如果第一顆抽到藍色，袋中現在剩下 5 顆紅、2 顆藍，共 7 顆。P(紅 | 第一顆藍) = 5/7，P(藍 | 第一顆藍) = 2/7。

4. 求 P(兩顆都是紅色) 並驗算

P(紅接著紅) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 35.71%。驗算時把四條路徑的機率全部相加：(5/8×4/7) + (5/8×3/7) + (3/8×5/7) + (3/8×2/7) = 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56 = 1，確認分支建立無誤。

只要題目出現「不放回」三個字，第二層分支的分母就必須和第一層不同——而這個變化，正是機率樹狀圖產生器替你視覺化呈現的重點。

範例演練：含條件機率的三階段樹狀圖

真正的作業題常常把三個以上的事件串在一起，而機率樹產生器處理多出來的那一層，方法和處理第二層完全相同：從每個端點再次分支，並使用以「目前為止整條路徑」為條件的機率。想像一位學生有 70% 的機率會為考試念書。如果他念書，通過考試的機率是 85%；如果沒念書，通過的機率只有 30%。再加上第三個階段：通過的學生有 90% 的機率會受邀參加加分關卡，而沒通過的學生只有 10%。

1. 階段 1：念書或不念書

P(念書) = 0.70，P(沒念書) = 0.30。

2. 階段 2：以階段 1 為條件的通過或不通過

念書那條分支：P(通過 | 念書) = 0.85，P(不通過 | 念書) = 0.15。沒念書那條分支：P(通過 | 沒念書) = 0.30，P(不通過 | 沒念書) = 0.70。

3. 求 P(念書且通過)

沿著那一條路徑相乘：0.70 × 0.85 = 0.595，也就是 59.5%。

4. 合併兩條路徑，求整體的 P(通過)

P(通過) = P(念書且通過) + P(沒念書且通過) = (0.70 × 0.85) + (0.30 × 0.30) = 0.595 + 0.09 = 0.685，也就是 68.5%。

5. 延伸到階段 3：P(念書、通過且進入加分關卡)

把這條路徑上的三個分支全部相乘：0.70 × 0.85 × 0.90 = 0.5355，大約是 53.55%。

為什麼要用機率樹產生器，而不是表格或文氏圖？

表格和文氏圖在只有兩個事件、結果集合固定時很好用，但一旦題目變成三個以上的階段，或機率會隨先前結果而改變，它們就會變得笨重。機率樹產生器則能自然地擴展：每多一個階段，就只是再加一層分支，而條件機率就直接寫在它適用的那條分支上，不需要另外建一張條件機率表。樹狀圖也讓「順序型」問題——例如「第一次成功恰好發生在第三次嘗試的機率是多少？」——比用表格清楚得多，因為事件順序本身就內建在圖形由左到右的結構裡。

機率樹產生器可以處理超過兩條分支嗎？

可以——樹狀圖從來沒有規定一個節點只能有兩個結果。一個分成四等份的轉盤，在該階段就有四條分支，每條標上 1/4；一顆六面骰子就有六條分支，每條標上 1/6；結果機率不均等的加權過程，就是分支機率不相等、但總和仍然正確而已。唯一永遠不變的規則是：同一個節點岔出的所有分支，機率總和必須是 1，不管分支有幾條。分支越多，需要追蹤的路徑就越多，跨路徑合併事件時要相加的項也越多，但「沿路徑相乘、跨路徑相加」的邏輯完全不變。

機率樹狀圖常見的錯誤有哪些？

大多數樹狀圖的錯誤都來自少數幾種反覆出現的失誤，在信任最終答案之前先逐項檢查，就能攔下絕大部分作業與考試中的錯誤。

1. 「不放回」抽取後忘記更新機率

第二次抽取沿用第一次的分母，是相依事件樹狀圖中最常見的單一錯誤——拿走一個物件之後，一定要重新計算剩下的總數。

2. 沿路徑該相乘卻相加

樹中的一條路徑代表事件依序發生，所以這些分支機率必須相乘，不是相加。只有在合併不同的完整路徑時才會用到加法。

3. 跳過「分支總和為 1」的檢查

如果任何一個節點岔出的分支加起來不等於 1，代表漏掉了某個結果，或某個機率抄錯了——這個檢查只要幾秒鐘，卻能避免你在一張壞掉的樹上繼續往下算。

4. 把 P(A 且 B) 和 P(A | B) 搞混

第二階段分支上的標示本來就已經是條件機率 P(B|A)——它和無條件的 P(B) 並不是同一個數字，混用兩者會讓最後的乘積算錯。

完整解答的練習題

先自己做完這些題目，再去對照任何產生器的輸出，然後把你的樹狀圖與計算過程和下面的解答比對。

1. 題目 1：公正轉盤轉兩次

一個轉盤有 3 個等分區塊：紅、藍、綠，轉兩次。求 P(至少出現一次紅)。解答：用補集會更快。P(單次不是紅) = 2/3，所以 P(兩次都不是紅) = 2/3 × 2/3 = 4/9。P(至少一次紅) = 1 − 4/9 = 5/9 ≈ 55.56%。

2. 題目 2：不放回抽兩張牌

一副標準 52 張撲克牌中有 4 張 A。不放回地抽出兩張牌，求 P(兩張都是 A)。解答：P(第一張是 A) = 4/52 = 1/13。P(第二張是 A | 第一張是 A) = 3/51 = 1/17。P(兩張都是 A) = 1/13 × 1/17 = 3/663 = 1/221 ≈ 0.45%。

3. 題目 3：加權的三階段流程

某工廠機器生產出瑕疵品的機率是 5%。瑕疵品被檢驗抓到的機率是 90%；非瑕疵品被誤判為瑕疵的機率是 2%。求 P(某個零件被標記為瑕疵)。解答：P(瑕疵且被標記) = 0.05 × 0.90 = 0.045。P(非瑕疵且被標記) = 0.95 × 0.02 = 0.019。P(被標記) = 0.045 + 0.019 = 0.064，也就是 6.4%。

機率樹狀圖產生器逐步使用教學

不論你是把數值輸入數位機率樹產生器，還是拿它來核對自己的手算結果，每次都遵循同樣的順序，能讓流程保持一致，也讓錯誤更容易被發現。

1. 列出所有階段與結果

依照事件發生的順序，寫下序列中每一個獨立事件，以及每個事件所有可能的結果。

2. 輸入或寫下第一階段的機率

在往下進行之前先確認它們總和為 1——這是抓出設定錯誤成本最低的地方。

3. 為後續階段輸入條件機率

每條分支都要使用「在目前路徑上所有事情都發生的前提下」該階段結果的機率，而不是無條件機率。

4. 沿目標路徑相乘，再跨符合路徑相加

找出所有滿足題目條件的完整路徑，把每條路徑的分支機率相乘，再把結果全部加起來，就是最終答案。

現實生活中什麼時候該用機率樹狀圖？

走出教室，只要有一連串不確定事件需要被清楚推理，樹狀圖就會出現：醫學檢測（檢測結果為陽性時真的患病的機率，取決於檢測準確度以及該疾病實際的普遍程度）、遺傳學雜交（追蹤跨世代可能出現哪些等位基因組合）、品管（把零件有瑕疵的機率與檢驗能抓到它的機率串接起來），以及日常決策，例如衡量數個獨立風險合併後的勝算。只要「接下來會發生什麼」取決於「剛剛發生了什麼」，樹狀圖——不論是手繪，還是用機率樹狀圖產生器建立——都是確保沒有任何結果、任何條件機率被遺漏的最清楚方式。

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