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二次方程問題：含完整解答的練習集

March 11, 2026·11 min read·Solvify Team

二次方程問題出現在從初中到 AP 考試的每個代數測試中，開發一種可靠的求解方法是您可以學會的最有價值的代數技能之一。二次方程採用標準形式 ax² + bx + c = 0，其中 x 的最高冪是 2，二次方程問題有多種形式 — 在整數上因式分解的方程、需要二次公式的方程、配方平方練習和關於面積、拋體高度或速度的應用問題。本指南通過分步解決方案和充分的工作示例涵蓋所有類型，使該方法變得自動化。

什麼是二次方程問題？

二次方程是任何 2 次多項式方程 — 即變數的最高指數為 2 的任何方程。標準形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是實數，a ≠ 0。如果 a 為零，x² 項將消失，方程將是線性的。"二次"一詞來自拉丁文 quadratus（正方形），指的是定義性 x² 項。二次方程問題要求您找到使方程成立的 x 值 — 稱為根、解或零點。根據代數基本定理，每個二次方程都恰好有兩個根，計算重數。兩個根可以是實數且不同、實數且相等（重複根）或當判別式為負時的複數。在標準代數課程中，您將遇到三個類別：標準形式的純代數問題、需要重新排列才能求解的問題，以及應用詞問題，其中必須從真實情境構建方程，然後找到其根。

標準形式：ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。每個二次方程恰好有兩個根，計算重數。

求解二次方程問題的三種方法

每個二次方程問題可以用三種方法中的至少一種求解，選擇正確的方法可以在計時測試中節省大量時間。方法 1 是因式分解：當根是有理整數時快速且乾淨，但當不是時失敗。方法 2 是配方平方：對於導數和轉換為頂點形式很強大，但對於常規求解較慢。方法 3 是二次公式：普遍適用的方法，對每個二次方程問題都適用，沒有例外。實用的決策規則：首先計算判別式 b² − 4ac。如果結果是完全平方（0、1、4、9、16、25、36…），則根是有理的，因式分解可能更快。如果判別式不是完全平方，直接使用二次公式。

1. 方法 1 — 因式分解

將方程寫成標準形式。對於單項二次方程 (a = 1)，找到兩個數字 p 和 q，使得 p × q = c 且 p + q = b。寫出因式分解形式 (x + p)(x + q) = 0 並應用零乘積性質：將每個因子設置為零。對於非單項二次方程 (a ≠ 1)，使用 AC 方法：將 a × c 相乘，找到兩個數字乘以 a × c 並加到 b，分割中間項，然後按分組因式分解。

2. 方法 2 — 配方平方

將 ax² + bx + c = 0 重寫為 x² + (b/a)x = −c/a。在兩邊加上 (b/2a)² 以在左側創建完全平方：(x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²。取兩邊的平方根（在右側保留 ±），然後解 x。當 a = 1 且 b 是偶數時，或在導出拋物線的頂點形式時最有用。

3. 方法 3 — 二次公式

二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 適用於每個二次方程。首先計算判別式 b² − 4ac：正數 → 兩個不同的實根；零 → 一個重複根；負數 → 沒有實根。當判別式不是完全平方時，公式特別有價值，以簡化的根式形式給出無理根。

快速方法選擇：計算 b² − 4ac。完全平方 → 嘗試因式分解。不是完全平方 → 使用二次公式。

二次方程的因式分解 — 三個解決示例

因式分解是根為有理整數的二次方程問題的最快途徑。關鍵技能是認識到使用哪一對數字。對於單項二次方程 (a = 1)，列出 c 的因子對，並選擇總和為 b 的對 — 一旦實踐，這需要不到 30 秒。對於非單項二次方程，AC 方法是可靠的，但增加了一些額外的步驟。按順序完成以下三個示例；每個都引入了一個新的模式。

1. 示例 1（簡單，a = 1）— x² + 7x + 12 = 0

找到兩個數字乘以 12 並加到 7。12 的因子對：(1, 12), (2, 6), (3, 4)。對 (3, 4) 滿足 3 + 4 = 7。因式分解形式：(x + 3)(x + 4) = 0。解：x = −3 或 x = −4。檢查 x = −3：(−3)² + 7(−3) + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 ✓。檢查 x = −4：16 − 28 + 12 = 0 ✓。

2. 示例 2（混合符號）— x² − x − 12 = 0

找到兩個數字乘以 −12 並加到 −1。對 (−4, 3) 有效：−4 × 3 = −12 且 −4 + 3 = −1。因式分解形式：(x − 4)(x + 3) = 0。解：x = 4 或 x = −3。檢查 x = 4：16 − 4 − 12 = 0 ✓。檢查 x = −3：9 + 3 − 12 = 0 ✓。這裡的關鍵是單獨跟踪對中每個數字的符號。

3. 示例 3（非單項，AC 方法）— 2x² + 7x + 3 = 0

AC 方法：a × c = 2 × 3 = 6。找到兩個數字乘以 6 並加到 7：對 (6, 1)。分割中間項：2x² + 6x + x + 3 = 0。按分組因式分解：2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0，得到 (2x + 1)(x + 3) = 0。解：x = −1/2 或 x = −3。檢查 x = −1/2：2(1/4) + 7(−1/2) + 3 = 0.5 − 3.5 + 3 = 0 ✓。檢查 x = −3：2(9) + 7(−3) + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓。

對於單項二次方程：找到 p 和 q，其中 p × q = c 且 p + q = b。然後 (x + p)(x + q) = 0。

使用二次公式 — 三個解決示例

二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 處理因式分解不可能或根為無理數的所有二次方程問題。在繼續之前，始終將判別式 b² − 4ac 計算為單獨的子步驟 — 此單個值告訴您期望什麼樣的答案，並提前檢測設置錯誤。下面的三個示例涵蓋最重要的場景：有理根、無理根和一個重複根。

1. 示例 1（有理根）— x² − 5x + 6 = 0

識別：a = 1，b = −5，c = 6。判別式：(−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1。√1 = 1。兩個解：x = (5 + 1)/2 = 3 且 x = (5 − 1)/2 = 2。檢查 x = 3：9 − 15 + 6 = 0 ✓。檢查 x = 2：4 − 10 + 6 = 0 ✓。判別式是完全平方 (1)，所以這個方程也因式分解為 (x − 3)(x − 2) = 0，確認兩種方法一致。

2. 示例 2（無理根）— x² + 4x − 1 = 0

識別：a = 1，b = 4，c = −1。判別式：4² − 4(1)(−1) = 16 + 4 = 20。√20 = √(4 × 5) = 2√5。解：x = (−4 + 2√5)/2 = −2 + √5 ≈ 0.236 且 x = (−4 − 2√5)/2 = −2 − √5 ≈ −4.236。檢查 x ≈ 0.236：(0.236)² + 4(0.236) − 1 ≈ 0.056 + 0.944 − 1 = 0 ✓。因式分解在這裡不會起作用 — 根是無理的。

3. 示例 3（重複根）— 4x² − 12x + 9 = 0

識別：a = 4，b = −12，c = 9。判別式：(−12)² − 4(4)(9) = 144 − 144 = 0。恰好一個根：x = 12 / (2 × 4) = 12/8 = 3/2。這個三項式是完全平方：4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²，所以 (2x − 3)² = 0 直接給出 x = 3/2。檢查：4(9/4) − 12(3/2) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 ✓。

在代入公式之前，始終寫下 a = ___，b = ___，c = ___。這可以防止最常見的符號錯誤。

真實世界中的二次方程問題

應用二次方程問題將真實情況轉化為方程然後求解。代數課程中最常見的兩種類型是面積問題和射彈運動問題。在面積問題中，矩形或其他形狀的尺寸表示為代數表達式，將其乘積設置為給定的面積會產生二次方程。在射彈運動中，高度建模為 h = −16t² + v₀t + h₀（美國單位，英尺）或 h = −4.9t² + v₀t + h₀（SI 單位，米），其中 v₀ 是初速度，h₀ 是初始高度。設置 h = 0 找到物體何時著陸。這些二次方程問題中的代數與上面的純方程示例相同 — 額外的挑戰是在求解前將問題描述正確轉化為方程。

1. 面積問題 — 固定面積的矩形

問題：矩形的長度比寬度多 3 厘米。其面積為 40 厘米²。求出尺寸。設寬度 = x 厘米，因此長度 = x + 3 厘米。面積方程：x(x + 3) = 40。展開並重新排列：x² + 3x − 40 = 0。判別式：9 + 160 = 169。√169 = 13。解：x = (−3 + 13)/2 = 5 且 x = (−3 − 13)/2 = −8。丟棄 x = −8（尺寸不能為負）。寬度 = 5 厘米，長度 = 8 厘米。檢查：5 × 8 = 40 厘米² ✓。

2. 射彈運動 — 從地面拋出的球

問題：球以 48 英尺/秒的速度從地面向上拋出。其高度為 h = −16t² + 48t 英尺，其中 t 是秒數。球何時返回地面？設置 h = 0：−16t² + 48t = 0。因式分解：−16t(t − 3) = 0。解：t = 0（發射時刻）且 t = 3 秒。球在 3 秒後返回地面。這裡方程因式分解得很乾淨，因為 h₀ = 0。當發射高度 h₀ ≠ 0 時，常數項非零，通常需要二次公式。

二次方程問題中的常見錯誤

二次方程問題中失去的大多數分數來自一小組可重複的錯誤。以下每一個都有一個具體的預防習慣，您可以在下一次測試前實施 — 認識該模式是解決方案的一半。

1. 首先不轉換為標準形式

二次公式需要右側為零。對於寫成 3x² + 2 = 5x 的問題，許多學生錯誤地讀取 a = 3，b = 2，c = 5。正確的做法是從兩邊減去 5x：3x² − 5x + 2 = 0。現在 a = 3，b = −5，c = 2。在識別係數之前，始終重新排列為標準形式。

2. 丟棄 b 的符號

如果方程有 −5x，則 b = −5。減號是 b 的一部分，不是獨立的。寫 b = 5 然後後來"更正"符號是錯誤如何在公式中複合的方式。訓練自己始終寫完整的帶符號值：b = −5。

3. 在判別式中不正確地平方 b

非常常見的錯誤：(−5)² = −25。這是錯誤的。任何實數的平方總是給出非負結果：(−5)² = 25。平方時始終使用括號 — 寫 (b)² 並在內部替換帶符號的值，這樣在繼續之前，您會在紙上看到 (−5)² = 25。

4. 只找到一個根而不是兩個

± 符號意味著您必須計算兩種情況：一個帶加法，一個帶減法。兩個結果都是有效的根。許多應用問題要求特定的根（正時間、更大尺寸），但您必須先計算兩個，然後根據上下文選擇。僅寫一個答案最多獲得一半的信用。

5. 僅將分子的一部分除以 2a

公式將整個分子（−b ± √(b² − 4ac)）除以 2a。常見的錯誤是寫 −b ± √(b² − 4ac)/2a，這只對平方根項應用了除法。在代入數字之前，始終在完整分子下繪製分數條。

在插入任何公式之前，在紙上寫 a = ___，b = ___，c = ___。這個單一的習慣可以防止大多數符號錯誤。

練習：含完整解答的八個二次方程問題

在閱讀解答之前，自己解決這些二次方程問題中的每一個 — 蓋住答案，嘗試問題，然後比較您的步驟。問題 1–4 使用因式分解；問題 5–6 使用二次公式；問題 7–8 是應用詞問題。每個組內的難度都會增加。

1. 問題 1 — x² + 9x + 20 = 0

找到兩個數字乘以 20 並加到 9：對 (4, 5)。因式分解形式：(x + 4)(x + 5) = 0。解：x = −4 或 x = −5。檢查 x = −4：16 − 36 + 20 = 0 ✓。檢查 x = −5：25 − 45 + 20 = 0 ✓。

2. 問題 2 — x² − 4x − 21 = 0

找到兩個數字乘以 −21 並加到 −4：對 (−7, 3)。因式分解形式：(x − 7)(x + 3) = 0。解：x = 7 或 x = −3。檢查 x = 7：49 − 28 − 21 = 0 ✓。檢查 x = −3：9 + 12 − 21 = 0 ✓。

3. 問題 3 — 3x² − 7x + 2 = 0

AC 方法：a × c = 3 × 2 = 6。找到兩個數字乘以 6 並加到 −7：對 (−6, −1)。分割中間項：3x² − 6x − x + 2 = 0。按分組因式分解：3x(x − 2) − 1(x − 2) = 0，得到 (3x − 1)(x − 2) = 0。解：x = 1/3 或 x = 2。檢查 x = 2：12 − 14 + 2 = 0 ✓。檢查 x = 1/3：3(1/9) − 7(1/3) + 2 = 1/3 − 7/3 + 6/3 = 0 ✓。

4. 問題 4 — x² + 6x + 9 = 0

將其識別為完全平方三項式：x² + 6x + 9 = (x + 3)²。設置 (x + 3)² = 0 僅得到重複根 x = −3。檢查：9 − 18 + 9 = 0 ✓。用判別式確認：b² − 4ac = 36 − 36 = 0，確認恰好一個根。

5. 問題 5 — 2x² + 5x − 3 = 0

a = 2，b = 5，c = −3。判別式：5² − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49。√49 = 7。解：x = (−5 + 7)/4 = 2/4 = 1/2 且 x = (−5 − 7)/4 = −12/4 = −3。檢查 x = 1/2：2(1/4) + 5(1/2) − 3 = 0.5 + 2.5 − 3 = 0 ✓。檢查 x = −3：2(9) + 5(−3) − 3 = 18 − 15 − 3 = 0 ✓。

6. 問題 6 — x² − 2x − 4 = 0

a = 1，b = −2，c = −4。判別式：(−2)² − 4(1)(−4) = 4 + 16 = 20。√20 = 2√5。解：x = (2 + 2√5)/2 = 1 + √5 ≈ 3.236 且 x = (2 − 2√5)/2 = 1 − √5 ≈ −1.236。檢查 x = 1 + √5：(1+√5)² − 2(1+√5) − 4 = (6 + 2√5) − (2 + 2√5) − 4 = 6 + 2√5 − 2 − 2√5 − 4 = 0 ✓。

7. 問題 7（應用問題）— 花園尺寸

花園的長度比其寬度多 5 米，面積為 84 平方米。求出其尺寸。設寬度 = x 米，長度 = x + 5 米。方程：x(x + 5) = 84，所以 x² + 5x − 84 = 0。判別式：25 + 336 = 361。√361 = 19。解：x = (−5 + 19)/2 = 7 且 x = (−5 − 19)/2 = −12。丟棄 x = −12。寬度 = 7 米，長度 = 12 米。檢查：7 × 12 = 84 平方米 ✓。

8. 問題 8（應用問題）— 從懸崖的射彈

一塊石頭以 30 米/秒的速度從 20 米的懸崖向上拋出。其高度為 h = −4.9t² + 30t + 20。它何時撞擊地面？設置 h = 0 並乘以 −1：4.9t² − 30t − 20 = 0。a = 4.9，b = −30，c = −20。判別式：900 + 4(4.9)(20) = 900 + 392 = 1292。√1292 ≈ 35.94。解：t = (30 + 35.94)/9.8 ≈ 6.73 秒且 t = (30 − 35.94)/9.8 ≈ −0.61 秒。丟棄負時間。石頭在大約 6.73 秒後撞擊地面。

常見問題 — 二次方程問題

準備測試的學生經常問關於二次方程問題的類似問題。這些答案側重於實際機制而不是理論推導。

1. 求解二次方程的最快方法是什麼？

對於小整數係數和有理根，因式分解最快 — 通常在 60 秒內。對於其他一切，二次公式更快，因為它永遠不需要猜測。最佳策略是首先計算判別式：如果它是完全平方，嘗試因式分解；否則直接轉到公式。

2. 我如何知道二次方程是否有實數解？

計算 b² − 4ac。正數 → 兩個不同的實數解。零 → 恰好一個實數解（重複根）。負數 → 實數系統中沒有實數解（複數根）。您可以在進行進一步計算之前確定這一點，這在答案為"無實數解"時節省時間。

3. 我能總是使用二次公式嗎？

是的。二次公式適用於任何二次方程 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0，無論根是整數、分數、無理數還是複數。這是唯一沒有例外的方法，這使得即使您計畫大部分時間使用因式分解，也值得記住。

4. 如果二次方程沒有常數項（c = 0）呢？

如果 c = 0，方程是 ax² + bx = 0，它總是因式分解為 x(ax + b) = 0。一個根總是 x = 0，另一個是 x = −b/a。例如，3x² + 6x = 0 給出 x(3x + 6) = 0，所以 x = 0 或 x = −2。在這個特殊情況下，因式分解幾乎總是比公式更快。

5. 我應該以確切的形式或小數形式留下答案嗎？

這取決於問題。純代數問題通常期望精確答案 — 分數、整數或簡化的根式（例如 1 + √5）。關於面積、時間或距離的應用問題通常要求十進制近似。當問題未指定時，同時提供兩者：精確的根式形式和兩位小數近似並排。

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