Calculatrice de domaine de définition et d'image : trouver le domaine et l'image étape par étape
Une calculatrice de domaine de définition et d'image trouve toutes les valeurs d'entrée qu'une fonction peut accepter (le domaine de définition) et toutes les valeurs de sortie qu'elle peut produire (l'image), puis exprime les deux en notation d'intervalles. Le domaine est limité par ce qu'une fonction ne peut pas faire — diviser par zéro, prendre la racine carrée d'un nombre négatif ou prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul —, tandis que l'image dépend du comportement de la sortie lorsque l'entrée parcourt ce domaine. Ce guide présente les règles exactes qu'applique une calculatrice de domaine et d'image, résout à la main des exemples avec racine carrée, fonction rationnelle et fonction définie par morceaux, recense les erreurs qui mènent le plus souvent à un intervalle faux et se termine par des exercices pour vérifier votre propre travail.
Sommaire
- 01Que trouve réellement une calculatrice de domaine et d'image ?
- 02Comment lire et écrire la notation d'intervalles ?
- 03Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?
- 04Comment trouver le domaine d'une fonction rationnelle ?
- 05Comment trouver l'image d'une fonction à partir de sa courbe ?
- 06Quels sont le domaine et l'image d'une fonction définie par morceaux ?
- 07Quelles sont les erreurs les plus fréquentes pour trouver le domaine et l'image ?
- 08Exercices : testez vos compétences sur le domaine et l'image
- 09Comment Solvify peut-il vous aider à vérifier vos exercices de domaine et d'image ?
Que trouve réellement une calculatrice de domaine et d'image ?
Une calculatrice de domaine et d'image identifie deux ensembles distincts liés à une même fonction : le domaine de définition, c'est-à-dire toutes les valeurs de x que la fonction peut accepter sans enfreindre une règle arithmétique, et l'image, c'est-à-dire toutes les valeurs de y que la fonction produit effectivement une fois toutes les valeurs valides de x substituées. Le domaine de définition d'une fonction se détermine en examinant sa formule à la recherche de trois points sensibles : les dénominateurs qui pourraient s'annuler, les expressions sous une racine d'indice pair qui pourraient devenir négatives et les arguments d'un logarithme qui pourraient être nuls ou négatifs. L'image d'une fonction se détermine autrement : au lieu d'examiner la formule, une calculatrice de domaine et d'image (ou une personne qui travaille à la main) étudie généralement l'allure de la courbe, le minimum et le maximum de la fonction et les éventuelles asymptotes horizontales dont la sortie s'approche sans jamais les atteindre. Les deux résultats s'écrivent en notation d'intervalles, une façon compacte de décrire une plage continue de nombres avec des crochets et des parenthèses plutôt qu'avec des symboles d'inégalité.
Une calculatrice de domaine et d'image répond à deux questions différentes avec un seul outil : ce qui peut entrer, et ce qui peut sortir.
Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?
La règle du domaine d'une racine carrée est simple : ce qui se trouve sous le radical doit être supérieur ou égal à zéro, car la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. Considérons f(x) égale à la racine carrée de (2x - 6).
1. Étape 1 — Poser le radicande supérieur ou égal à zéro
2x - 6 est supérieur ou égal à 0
2. Étape 2 — Résoudre en x
2x est supérieur ou égal à 6, donc x est supérieur ou égal à 3.
3. Étape 3 — Écrire le domaine en notation d'intervalles
Domaine : [3, infini). Le crochet en 3 l'inclut car 2(3) - 6 = 0, et la racine carrée de 0 vaut 0, une sortie réelle valide.
4. Étape 4 — Vérifier la réponse
Testez x = 3 : la racine carrée de (2 fois 3 moins 6) est la racine carrée de 0, soit 0, une sortie valide. Testez x = 2 : la racine carrée de (2 fois 2 moins 6) est la racine carrée de -2, qui n'est pas un nombre réel, ce qui confirme que x = 2 est bien hors du domaine.
Toute calculatrice de domaine et d'image applique la même règle pour le domaine d'une racine carrée : poser le radicande supérieur ou égal à zéro, puis résoudre.
Comment trouver le domaine d'une fonction rationnelle ?
Le domaine d'une fonction rationnelle exclut toute valeur de x qui annule le dénominateur, puisque la division par zéro n'est pas définie. Considérons g(x) égale à (x + 1) divisé par (x au carré moins 9).
1. Étape 1 — Poser le dénominateur égal à zéro
x au carré moins 9 est égal à 0
2. Étape 2 — Trouver les valeurs interdites
x au carré est égal à 9, donc x = 3 ou x = -3. Ce sont les valeurs qui annulent le dénominateur et qui doivent être exclues.
3. Étape 3 — Écrire le domaine en notation d'intervalles
Domaine : (moins l'infini, -3) union (-3, 3) union (3, infini). Trois intervalles reliés par des unions, avec des parenthèses ouvertes en -3 et 3 car ces points sont exclus.
4. Étape 4 — Vérifier la réponse
Testez x = 0 : g(0) est égal à (0 + 1) divisé par (0 - 9), soit -1/9, une sortie valide. Testez x = 3 : le dénominateur devient 9 - 9 = 0, ce qui confirme que x = 3 doit être exclu.
Le calcul du domaine d'une fonction rationnelle commence toujours de la même façon : trouver où le dénominateur s'annule, puis exclure exactement ces points.
Comment trouver l'image d'une fonction à partir de sa courbe ?
Trouver l'image d'une fonction consiste généralement à visualiser ou esquisser sa courbe et à relever les points les plus bas et les plus hauts qu'elle atteint verticalement. Considérons f(x) égale à (x - 2) au carré plus 1, une parabole tournée vers le haut.
1. Étape 1 — Identifier le sommet
La fonction est sous forme canonique (x - h) au carré plus k avec h = 2 et k = 1, donc le sommet se trouve en (2, 1).
2. Étape 2 — Déterminer le sens d'ouverture de la courbe
Comme le terme au carré a un coefficient positif, la parabole est tournée vers le haut : le sommet est donc le point le plus bas de la courbe, qui monte sans limite des deux côtés.
3. Étape 3 — Écrire l'image en notation d'intervalles
Image : [1, infini). Le crochet en 1 l'inclut car la valeur du sommet y = 1 est effectivement atteinte en x = 2.
4. Étape 4 — Vérifier la réponse
Testez x = 2 : f(2) = 0 + 1 = 1, ce qui correspond au minimum annoncé. Testez x = 0 : f(0) = 4 + 1 = 5, qui est supérieur à 1, ce qui est cohérent avec une parabole tournée vers le haut dont l'image commence à son minimum.
L'image d'une fonction se déduit souvent des points de retournement et du comportement aux extrémités de la courbe, et non de la résolution d'une équation comme pour le domaine.
Quels sont le domaine et l'image d'une fonction définie par morceaux ?
Calculer le domaine et l'image d'une fonction définie par morceaux exige d'examiner chaque morceau séparément, puis de combiner les résultats. Considérons h(x) égale à x + 3 pour x strictement inférieur à 0, et h(x) égale à x au carré pour x supérieur ou égal à 0.
1. Étape 1 — Trouver le domaine de chaque morceau
Le premier morceau, x + 3, est défini pour x inférieur à 0. Le second morceau, x au carré, est défini pour x supérieur ou égal à 0. Ensemble, ils couvrent tous les nombres réels, donc le domaine global est (moins l'infini, infini).
2. Étape 2 — Trouver l'ensemble des sorties du premier morceau
Pour x inférieur à 0, x + 3 tend vers 3 lorsque x tend vers 0 (sans jamais l'atteindre, puisque l'inégalité x inférieur à 0 est stricte) et décroît sans limite quand x diminue, ce qui donne des sorties dans (moins l'infini, 3).
3. Étape 3 — Trouver l'ensemble des sorties du second morceau
Pour x supérieur ou égal à 0, x au carré part de 0 (lorsque x = 0, inclus puisque x est supérieur ou égal à 0) et croît sans limite, ce qui donne des sorties dans [0, infini).
4. Étape 4 — Réunir les deux ensembles de sorties pour obtenir l'image globale
La réunion de (moins l'infini, 3) et de [0, infini) donne (moins l'infini, infini), car les deux morceaux couvrent déjà ensemble tous les nombres réels en sortie.
Un problème de domaine et d'image pour une fonction définie par morceaux est en réalité plusieurs petits problèmes de domaine et d'image réunis à la fin.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes pour trouver le domaine et l'image ?
La plupart des erreurs de domaine et d'image viennent d'une poignée d'étourderies récurrentes plutôt que d'une mauvaise compréhension du concept.
1. Erreur 1 — Confondre domaine et image
Le domaine concerne les entrées (valeurs de x) ; l'image concerne les sorties (valeurs de y). Intervertir les deux est l'erreur la plus courante.
2. Erreur 2 — Utiliser le mauvais symbole à une borne
Oublier que le radicande d'une racine carrée peut être égal à zéro, et donc que cette borne doit être incluse avec un crochet plutôt qu'exclue avec une parenthèse, change le sens de la réponse. L'erreur inverse — mettre un crochet sur une valeur interdite du dénominateur — est tout aussi fréquente.
3. Erreur 3 — Oublier d'exclure tous les zéros du dénominateur
Un problème de domaine d'une fonction rationnelle avec un dénominateur factorisable, comme x au carré moins 9, a deux racines, et non une seule. Oublier x = -3 en ne relevant que x = 3 est une omission fréquente.
4. Erreur 4 — Supposer que l'image est toujours l'ensemble des réels
Beaucoup d'élèves écrivent (moins l'infini, infini) pour l'image par habitude, sans vérifier si la fonction a un minimum, un maximum ou une asymptote horizontale qui restreint réellement ses sorties.
Choisir soigneusement crochets et parenthèses et vérifier les deux racines d'un dénominateur factorisé évite la plupart des erreurs qu'une calculatrice de domaine et d'image est conçue pour repérer.
Exercices : testez vos compétences sur le domaine et l'image
Traitez chaque exercice avant de consulter la solution pour gagner en assurance dans la recherche du domaine et de l'image à la main.
1. Exercice 1 — f(x) égale à la racine carrée de (5 - x)
Solution : on pose 5 - x supérieur ou égal à 0, donc x est inférieur ou égal à 5. Domaine : (moins l'infini, 5]. Comme la sortie d'une racine carrée est toujours positive ou nulle, Image : [0, infini).
2. Exercice 2 — g(x) égale à 1 divisé par (x + 4)
Solution : le dénominateur s'annule en x = -4, donc Domaine : (moins l'infini, -4) union (-4, infini). Comme 1/(x+4) ne peut jamais être égal à zéro, Image : (moins l'infini, 0) union (0, infini).
3. Exercice 3 — h(x) égale à moins (x + 1) au carré moins 2
Solution : il s'agit d'un polynôme, donc Domaine : (moins l'infini, infini). Le sommet (-1, -2) est un maximum car la parabole est tournée vers le bas, donc Image : (moins l'infini, -2].
Vérifier une réponse de domaine et d'image en substituant la valeur exclue dans la fonction d'origine est le moyen le plus rapide de repérer une erreur de crochet.
Comment Solvify peut-il vous aider à vérifier vos exercices de domaine et d'image ?
Traiter à la main des domaines de racines carrées, des domaines de fonctions rationnelles et des problèmes de domaine et d'image de fonctions définies par morceaux développe les compétences algébriques utiles en pré-calcul et en analyse, mais revérifier la notation d'intervalles lors d'un devoir chronométré peut prendre du temps. Solvify vous permet de prendre en photo un exercice de domaine et d'image et d'obtenir une explication étape par étape de chaque restriction, borne et intervalle, afin de confirmer votre propre travail ou de voir exactement où un calcul a dérapé avant qu'il ne vous coûte des points en devoir ou en contrôle.
Une calculatrice de domaine et d'image comme Solvify est surtout utile pour vérifier votre propre raisonnement, pas pour remplacer l'apprentissage des règles.
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Comment lire et écrire la notation d'intervalles ?
La notation d'intervalles décrit un ensemble de nombres réels à l'aide de deux bornes et d'un choix de crochets ou de parenthèses. Un crochet, comme dans [2, 5], signifie que la borne est incluse dans l'ensemble. Une parenthèse, comme dans (2, 5), signifie que la borne est exclue. L'infini prend toujours une parenthèse, jamais un crochet, car l'infini n'est pas un nombre que l'ensemble peut réellement atteindre.
1. Intervalle fermé
[a, b] désigne tous les nombres de a à b, a et b compris. Par exemple, [0, 10] inclut 0, 10 et tout ce qui se trouve entre les deux.
2. Intervalle ouvert
(a, b) désigne tous les nombres strictement compris entre a et b, les deux bornes étant exclues. Par exemple, (0, 10) exclut 0 et 10 mais inclut 0.0001 et 9.9999.
3. Intervalle semi-ouvert
[a, b) ou (a, b] n'inclut qu'une seule borne. Un domaine de racine carrée comme x supérieur ou égal à 3 s'écrit [3, infini) car 3 est autorisé mais il n'y a pas de borne supérieure.
4. Réunion d'intervalles
Lorsqu'une fonction saute une valeur, comme le domaine d'une fonction rationnelle qui exclut x = 2, le domaine s'écrit sous forme de deux intervalles reliés par le symbole de réunion : (moins l'infini, 2) union (2, infini).