Comment résoudre les équations linéaires : Guide complet étape par étape
Les équations linéaires sont le fondement de l'algèbre, et apprendre à résoudre les équations linéaires est l'une des compétences les plus pratiques que vous pouvez acquérir en mathématiques. Une équation linéaire à une variable contient une inconnue — généralement x — avec un exposant de 1, et votre objectif est de trouver la valeur exacte qui rend l'équation vraie. Ce guide couvre chaque catégorie que vous rencontrerez du collège au lycée : équations à une étape, équations à deux étapes, équations multi-étapes nécessitant la distribution et la combinaison de termes semblables, équations avec des variables des deux côtés, équations impliquant des fractions et des décimales, et des problèmes textuels réels. Chaque méthode inclut des exemples entièrement résolus, une étape de vérification et une explication du raisonnement derrière chaque opération — non seulement quoi faire, mais pourquoi cela fonctionne.
Sommaire
- 01Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
- 02Principes fondamentaux : pourquoi les étapes de résolution fonctionnent
- 03Comment résoudre les équations linéaires : types à une étape et deux étapes
- 04Résoudre les équations linéaires multi-étapes
- 05Résoudre les équations linéaires avec des variables des deux côtés
- 06Résoudre les équations linéaires avec des fractions et des décimales
- 07Erreurs courantes lors de la résolution des équations linéaires
- 08Problèmes textuels avec équations linéaires : stratégie et exemples résolus
- 09FAQ : Comment résoudre les équations linéaires
Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
Une équation linéaire est toute équation où la variable apparaît avec un exposant d'exactement 1 — pas de carrés, pas de racines carrées, pas de variables aux dénominateurs. Le nom vient du graphique : une équation linéaire à deux variables trace toujours une ligne parfaitement droite sur le plan de coordonnées. Sous forme à une variable, la structure générale est ax + b = c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Les exemples courants incluent 3x + 7 = 22, x/4 − 2 = 5 et 2(x − 3) = 4x + 1. Ceux-ci contrastent avec les équations non-linéaires telles que x² + 5x = 6 (quadratique, en raison de x²), √x = 9 (racine carrée) et 1/x = 3 (variable au dénominateur). Identifier le type d'équation avant de commencer à la résoudre est important car chaque type nécessite une approche spécifique. Pour une équation linéaire à une variable, chaque stratégie se réduit à un seul objectif : isoler x d'un côté du signe égal avec un coefficient de 1.
Une équation linéaire prend la forme ax + b = c, où a ≠ 0 et la variable a un exposant de 1. Chaque stratégie de résolution a un objectif : isoler la variable.
Principes fondamentaux : pourquoi les étapes de résolution fonctionnent
Comprendre pourquoi résoudre les équations linéaires fonctionne — pas seulement les étapes — vous aide à gérer toute équation, même celles que vous n'avez jamais vues auparavant. Chaque technique repose sur deux idées : le principe d'équilibre et les opérations inverses. Le principe d'équilibre stipule qu'une équation est comme une balance parfaitement équilibrée : les deux côtés sont égaux, et tant que vous effectuez la même opération des deux côtés simultanément, l'équilibre se maintient. Les opérations inverses sont des paires qui s'annulent mutuellement : l'addition annule la soustraction, la multiplication annule la division. Résoudre une équation linéaire signifie appliquer les opérations inverses appropriées des deux côtés dans l'ordre inverse jusqu'à ce que x se tienne seul avec un coefficient de 1.
1. Opérations inverses
Chaque opération a une inverse qui l'annule. Si un nombre est ajouté à x, soustrayez-le. Si x est multiplié par un nombre, divisez par celui-ci. Dans 5x = 35, x est multiplié par 5 — divisez les deux côtés par 5 pour obtenir x = 7. Dans x + 12 = 20, 12 est ajouté à x — soustrayez 12 des deux côtés pour obtenir x = 8. Reconnaître quelle opération annuler est la première décision dans la résolution de toute équation linéaire.
2. Le principe d'équilibre
Quelle que soit l'opération que vous effectuez d'un côté de l'équation, vous devez effectuer la même opération de l'autre côté. Ajouter 4 au côté gauche nécessite d'ajouter 4 au côté droit. Diviser le côté gauche par 3 nécessite de diviser le côté droit par 3. Cette règle est non négociable — la violer modifie l'équation et produit une réponse incorrecte. Écrivez les deux opérations sur la même ligne (par exemple, « soustraire 4 des deux côtés ») pour rendre la règle visible au fur et à mesure que vous travaillez.
3. Ordre inverse des opérations
Les opérations ont été appliquées à x dans un ordre spécifique quand l'équation a été construite. Pour les annuler, inversez cet ordre. Dans 3x + 7 = 22, x a d'abord été multiplié par 3, puis 7 a été ajouté. À l'inverse : annulez l'addition (soustrayez 7) d'abord, puis annulez la multiplication (divisez par 3). C'est l'opposé de PEMDAS — vous annulez l'addition et la soustraction avant la multiplication et la division lors de l'isolement d'une variable.
4. Combinaison de termes semblables
Les termes ayant la même variable (ou aucune variable) peuvent être combinés avant d'isoler x. Dans 4x − x + 5 = 17, les termes 4x et −x se combinent pour donner 3x + 5 = 17. Les constantes se combinent séparément : 8 + 3 − 5 = 6. Simplifiez toujours chaque côté complètement avant de déplacer quelque chose de part et d'autre du signe égal — travailler sur des équations simplifiées est plus rapide et produit moins d'erreurs arithmétiques.
5. Vérifiez chaque réponse
Après résolution, remplacez votre réponse dans l'équation originale. Si les deux côtés sont égaux au même nombre, la solution est correcte. Cette vérification prend environ dix secondes et détecte les erreurs les plus courantes avant qu'elles ne vous coûtent des points. Par exemple, si vous trouvez x = 5 pour l'équation 3x + 7 = 22, vérifiez : 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 ✓. La vérification n'est pas facultative — c'est l'outil de contrôle de qualité le plus rapide que vous ayez.
Chaque étape dans la résolution d'une équation linéaire doit être appliquée aux deux côtés de manière égale. C'est le principe d'équilibre — la règle qui maintient l'équation vraie du début à la fin.
Résoudre les équations linéaires multi-étapes
Les équations linéaires multi-étapes combinent plusieurs techniques : la distribution entre parenthèses, la collecte de termes semblables de chaque côté et l'utilisation de plusieurs opérations inverses pour isoler x. Ces équations apparaissent tout au long des examens d'algèbre I et II et des tests standardisés. La clé est une séquence fixe : distribuer d'abord, puis collecter les termes semblables de chaque côté, puis isoler x. Sauter les étapes ou se précipiter dans la phase de distribution est l'endroit où la plupart des erreurs multi-étapes prennent naissance.
1. Exemple 1 : 2(3x + 4) − 5 = 19
Étape 1 : Distribuer le 2 → 6x + 8 − 5 = 19. Étape 2 : Combiner les termes semblables à gauche → 6x + 3 = 19. Étape 3 : Soustraire 3 des deux côtés → 6x = 16. Étape 4 : Diviser par 6 → x = 8/3. Vérification : 2(3 × 8/3 + 4) − 5 = 2(8 + 4) − 5 = 2(12) − 5 = 24 − 5 = 19 ✓ Laissez les réponses fractionnaires comme des fractions sauf si le problème spécifie un arrondi décimal.
2. Exemple 2 : −3(x − 5) + 4x = 8
Étape 1 : Distribuer −3. Signe clé : −3 × (−5) = +15. −3x + 15 + 4x = 8. Étape 2 : Combiner les termes en x → x + 15 = 8. Étape 3 : Soustraire 15 des deux côtés → x = −7. Vérification : −3(−7 − 5) + 4(−7) = −3(−12) − 28 = 36 − 28 = 8 ✓ La distribution d'un multiplicateur négatif est l'étape où les erreurs s'accumulent. Vérifiez le signe de chaque produit avant de continuer.
3. Exemple 3 : 5(2x − 3) = 3(x + 4) + 2
Étape 1 : Distribuer des deux côtés → 10x − 15 = 3x + 12 + 2 → 10x − 15 = 3x + 14. Étape 2 : Soustraire 3x des deux côtés → 7x − 15 = 14. Étape 3 : Ajouter 15 aux deux côtés → 7x = 29. Étape 4 : Diviser par 7 → x = 29/7. Vérification : 5(2 × 29/7 − 3) = 5(58/7 − 21/7) = 5(37/7) = 185/7; 3(29/7 + 4) + 2 = 3(57/7) + 14/7 = 171/7 + 14/7 = 185/7 ✓
4. Exemple 4 : 4[2(x + 1) − 3] = 28
Les symboles de groupage imbriqués nécessitent de travailler de l'intérieur vers l'extérieur. Étape 1 : Distribuer le 2 intérieur → 4[2x + 2 − 3] = 28 → 4[2x − 1] = 28. Étape 2 : Distribuer le 4 extérieur → 8x − 4 = 28. Étape 3 : Ajouter 4 aux deux côtés → 8x = 32. Étape 4 : Diviser par 8 → x = 4. Vérification : 4[2(4 + 1) − 3] = 4[10 − 3] = 4[7] = 28 ✓
Ordre multi-étapes : (1) Distribuer entre toutes les parenthèses. (2) Combiner les termes semblables de chaque côté. (3) Déplacer les termes variables d'un côté. (4) Isoler x avec les opérations inverses.
Résoudre les équations linéaires avec des variables des deux côtés
Quand x apparaît des deux côtés du signe égal, collectez tous les termes variables d'un côté et toutes les constantes de l'autre. L'habitude la plus fiable est de déplacer le terme x plus petit — cela garde le coefficient sur x positif et réduit les erreurs de signe dans les étapes suivantes. Après la collecte, résolvez l'équation à deux étapes résultante normalement. Exemple 1 : 7x + 3 = 4x + 18 Étape 1 : Soustraire 4x des deux côtés → 3x + 3 = 18. Étape 2 : Soustraire 3 des deux côtés → 3x = 15. Étape 3 : Diviser par 3 → x = 5. Vérification : 7(5) + 3 = 38; 4(5) + 18 = 38 ✓ Exemple 2 : 2(x + 4) = 3(x − 1) + 5 Étape 1 : Distribuer les deux côtés → 2x + 8 = 3x − 3 + 5 → 2x + 8 = 3x + 2. Étape 2 : Soustraire 2x des deux côtés → 8 = x + 2. Étape 3 : Soustraire 2 → x = 6. Vérification : 2(6 + 4) = 20; 3(6 − 1) + 5 = 15 + 5 = 20 ✓ Exemple 3 — Aucune solution : 5x + 6 = 5x − 3 Soustraire 5x des deux côtés → 6 = −3. C'est faux pour chaque valeur de x. L'équation n'a aucune solution. Géométriquement, ce sont deux lignes parallèles qui ne se croisent jamais. Exemple 4 — Solutions infinies : 3(2x + 4) = 6(x + 2) Distribuer les deux côtés → 6x + 12 = 6x + 12. Soustraire 6x → 12 = 12. Toujours vrai — chaque nombre réel est une solution. Les deux expressions sont identiques et représentent la même ligne.
Quand les termes variables s'annulent et laissent une affirmation fausse (comme 6 = −2), il n'y a aucune solution. Quand ils laissent une affirmation vraie (comme 8 = 8), chaque nombre réel est une solution.
Résoudre les équations linéaires avec des fractions et des décimales
Les fractions et les décimales dans les équations linéaires sont parmi les plus grandes sources d'erreurs de calcul en algèbre. Le correctif pour les fractions est la méthode LCD : multipliez chaque terme de l'équation par le plus petit dénominateur commun pour effacer toutes les fractions d'un seul coup. Pour les décimales, multipliez par une puissance de 10 pour convertir l'équation en nombres entiers. Les deux stratégies éliminent la notation problématique et laissent une équation entière propre à résoudre.
1. Fractions : x/3 + x/4 = 7
Les dénominateurs sont 3 et 4. LCD = 12. Multipliez chaque terme par 12 : 12 × (x/3) + 12 × (x/4) = 12 × 7 4x + 3x = 84 7x = 84 x = 12. Vérification : 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7 ✓ Multiplier par le LCD efface toutes les fractions simultanément. Le reste du problème devient une équation entière directe.
2. Fractions : (2x − 1)/3 − (x + 2)/5 = 1
LCD de 3 et 5 est 15. Multipliez chaque terme par 15 : 15 × (2x − 1)/3 − 15 × (x + 2)/5 = 15 × 1 5(2x − 1) − 3(x + 2) = 15 10x − 5 − 3x − 6 = 15 7x − 11 = 15 7x = 26 x = 26/7. Vérification : (2 × 26/7 − 1)/3 − (26/7 + 2)/5 = (45/7)/3 − (40/7)/5 = 15/7 − 8/7 = 7/7 = 1 ✓
3. Décimales : 0.4x + 1.5 = 3.7
Multipliez chaque terme par 10 pour éliminer les valeurs d'une décimale : 10(0.4x) + 10(1.5) = 10(3.7) 4x + 15 = 37 4x = 22 x = 5.5. Vérification : 0.4(5.5) + 1.5 = 2.2 + 1.5 = 3.7 ✓ Si l'équation a deux décimales (comme 0.25), multipliez par 100 au lieu de 10. L'objectif est toujours d'atteindre des coefficients entiers avant de résoudre.
4. Fractions et décimales mélangées : (3/4)x − 0.5 = 2.5
Convertissez d'abord 0.5 et 2.5 en fractions : 0.5 = 1/2, 2.5 = 5/2. L'équation devient (3/4)x − 1/2 = 5/2. LCD de 4 et 2 est 4. Multipliez chaque terme par 4 : 4 × (3/4)x − 4 × (1/2) = 4 × (5/2) 3x − 2 = 10 3x = 12 x = 4. Vérification : (3/4)(4) − 0.5 = 3 − 0.5 = 2.5 ✓ Quand une équation mélange fractions et décimales, convertissez d'abord les décimales en fractions, puis trouvez le LCD et effacez tout en une seule multiplication.
Pour effacer les fractions d'une équation linéaire, multipliez chaque terme par le LCD. Toutes les fractions disparaissent en une étape et il vous reste une équation entière.
Erreurs courantes lors de la résolution des équations linéaires
Ces erreurs apparaissent à plusieurs reprises dans le travail des étudiants lors de l'apprentissage de la façon de résoudre les équations linéaires à chaque niveau de l'algèbre. Les reconnaître à l'avance est beaucoup plus efficace que de les découvrir dans les devoirs notés.
1. Distribuer seulement au premier terme entre parenthèses
Dans 4(x − 6), de nombreux étudiants écrivent 4x − 6 au lieu de 4x − 24. Le multiplicateur doit atteindre chaque terme à l'intérieur. Pour les multiplicateurs négatifs, l'erreur s'aggrave : −2(x − 3) = −2x + 6, pas −2x − 6. Le négatif se distribue à x et −3 : −2 × (−3) = +6. Multipliez toujours le facteur en dehors des parenthèses par chaque terme à l'intérieur, en vérifiant le signe de chaque produit.
2. Déplacer un terme sans changer son signe
Les termes ne bougent pas simplement de part et d'autre du signe égal — vous appliquez une opération inverse aux deux côtés. Pour déplacer 5 du côté droit de 3x = 12 + 5, ajouter 5 aux deux côtés : 3x + 5 = 17 ? Non — cet exemple montre une équation différente. La procédure correcte est toujours : identifier l'opération, appliquer son inverse aux deux côtés. Écrire explicitement l'opération prévient l'erreur courante de télétransporter les termes et d'oublier les changements de signe.
3. Diviser par un nombre négatif et perdre le signe
Dans −4x = 20, diviser les deux côtés par −4 donne x = −5. Une erreur courante est d'écrire x = 5. Diviser un positif par un négatif produit un résultat négatif : 20 ÷ (−4) = −5. Vérifiez : −4 × (−5) = 20 ✓. Si vous préférez, multipliez d'abord les deux côtés par −1 pour inverser l'équation à 4x = −20, puis divisez par 4 : x = −5. Même réponse, sans diviser par un négatif.
4. Combiner des termes non semblables
Les termes semblables doivent avoir des parties variables identiques pour être combinés. 3x et 5x se combinent pour donner 8x. Mais 3x et 5 ne peuvent pas se combiner — l'un est un terme variable, l'autre est une constante. De même, 4x et 4x² ne peuvent pas se combiner — des exposants différents les rendent non semblables. Une erreur très courante sur les problèmes multi-étapes est d'écrire 3x + 5 = 8x. Vérifiez toujours que les termes partagent la même partie variable avant de les ajouter ou de les soustraire.
5. Ne pas appliquer chaque opération aux deux côtés
Dans 2x + 6 = 14, soustraire 6 seulement du côté gauche donne l'équation incorrecte 2x = 14. Le résultat correct est 2x = 8. L'opération (soustraire 6) doit être appliquée aux deux côtés. Sur les problèmes multi-étapes complexes, il est utile d'écrire « −6 » au-dessous des deux côtés avant de simplifier, ce qui rend l'exigence visuelle. Cette habitude élimine l'une des erreurs les plus courantes dans la résolution d'équations multi-étapes.
6. Sauter l'étape de vérification
Après résolution de 3(x + 2) = 4x − 1, remplacer votre réponse dans l'original prend environ dix secondes. Si vous avez trouvé x = 7, vérifiez : gauche = 3(7 + 2) = 3(9) = 27; droite = 4(7) − 1 = 27 ✓. Si les côtés ne correspondent pas, il y a une erreur arithmétique dans l'une de vos étapes — et la détecter avant la soumission prend beaucoup moins de temps que de la trouver dans les devoirs notés.
Problèmes textuels avec équations linéaires : stratégie et exemples résolus
Les problèmes textuels testent si vous pouvez traduire une description réelle en une équation linéaire résoluble. L'étape de traduction est souvent plus difficile que l'étape de résolution. Suivez cette stratégie en cinq étapes à chaque fois : (1) identifier l'inconnue, (2) lui assigner une variable, (3) traduire chaque condition en notation mathématique, (4) écrire une équation, (5) résoudre et vérifier dans le contexte.
1. Problème numérique : somme et différence
Deux nombres diffèrent de 8 et leur somme est 42. Trouvez les deux. Soit n = le plus petit nombre. Alors le plus grand = n + 8. Équation : n + (n + 8) = 42 2n + 8 = 42 2n = 34 n = 17; plus grand = 25. Vérification : 17 + 25 = 42 ✓; 25 − 17 = 8 ✓ Définir une inconnue et exprimer la seconde en fonction de celle-ci (n + 8) est la technique clé qui produit une seule équation en une inconnue.
2. Géométrie : périmètre du rectangle
La longueur d'un rectangle est 5 cm de plus que le double de sa largeur. Son périmètre est 82 cm. Trouvez les deux dimensions. Soit w = largeur (cm). Alors longueur = 2w + 5. Périmètre : 2(longueur + largeur) = 82 2(2w + 5 + w) = 82 2(3w + 5) = 82 6w + 10 = 82 6w = 72 w = 12 cm; longueur = 2(12) + 5 = 29 cm. Vérification : 2(29 + 12) = 2(41) = 82 ✓
3. Problème de rémunération
Alex gagne 14 $ de l'heure. Il a déjà 63 $ d'économies et veut économiser exactement 259 $ au total. Combien d'heures supplémentaires doit-il travailler ? Soit h = heures supplémentaires. 63 + 14h = 259 14h = 196 h = 14 heures. Vérification : 63 + 14(14) = 63 + 196 = 259 ✓ La structure — montant initial + taux × quantité = objectif — est le modèle pour des dizaines de problèmes courants de taux et d'accumulation en algèbre.
4. Problème d'âge
Sofia a actuellement 5 fois l'âge de sa fille. Dans 6 ans, elle aura 3 fois l'âge de sa fille. Trouvez leurs âges actuels. Soit d = âge actuel de la fille. Âge actuel de Sofia = 5d. Dans 6 ans : Sofia = 5d + 6; fille = d + 6. Équation : 5d + 6 = 3(d + 6) 5d + 6 = 3d + 18 2d = 12 d = 6; Sofia = 30. Vérification : Maintenant — 30 = 5 × 6 ✓. Dans 6 ans — Sofia = 36, fille = 12, 36 = 3 × 12 ✓.
5. Problème de mélange de pièces
Un pot contient 35 pièces — seulement des dimes et des quarters — valant 6,35 $ au total. Combien de chaque pièce ? Soit d = nombre de dimes. Alors quarters = 35 − d. Équation de valeur : 0,10d + 0,25(35 − d) = 6,35 0,10d + 8,75 − 0,25d = 6,35 −0,15d = −2,40 d = 16 dimes; quarters = 35 − 16 = 19. Vérification : 16(0,10) + 19(0,25) = 1,60 + 4,75 = 6,35 ✓
Stratégie des problèmes textuels : nommer une inconnue x, exprimer tous les autres en fonction de x, écrire une équation à partir des conditions du problème, résoudre, puis vérifier que la réponse a du sens dans le contexte original.
FAQ : Comment résoudre les équations linéaires
Ce sont les questions que les étudiants posent le plus couramment en apprenant à résoudre les équations linéaires pour la première fois.
1. Quelle est la première étape dans la résolution de toute équation linéaire ?
La première étape dépend de la structure de l'équation. S'il y a des parenthèses, distribuez d'abord. S'il y a des fractions, multipliez par le LCD. Si aucun ne s'applique, identifiez quelle opération inverse annule l'opération la plus externe appliquée à x et appliquez-la aux deux côtés. Commencer par la simplification — distribution et combinaison de termes semblables — avant de déplacer des valeurs de part et d'autre du signe égal est l'approche la plus fiable.
2. L'ordre des étapes importe-t-il ?
Oui. Distribuer avant de combiner les termes semblables prévient les erreurs. Combiner les termes semblables avant de déplacer les termes variables d'un côté produit une équation plus propre. L'ordre standard — (1) distribuer, (2) combiner les termes semblables de chaque côté, (3) déplacer les termes variables d'un côté, (4) déplacer les constantes de l'autre, (5) diviser par le coefficient — existe pour une bonne raison. S'en écarter crée souvent une arithmétique fractionnaire évitable au milieu du problème.
3. Une équation linéaire peut-elle avoir plus d'une solution ?
Une équation linéaire à une variable a normalement exactement une solution. Deux exceptions existent : si tous les termes variables s'annulent et laissent une affirmation vraie (comme 0 = 0 ou 5 = 5), chaque nombre réel est une solution. S'ils s'annulent et laissent une affirmation fausse (comme 3 = 7), aucune valeur de x ne fonctionne — la réponse est « aucune solution ». Les deux cas méritent d'être reconnus instantanément car ils nécessitent des réponses écrites différentes d'une valeur numérique.
4. Comment vérifier si ma réponse est correcte ?
Remplacez votre solution dans l'équation originale — pas une version simplifiée, l'originale. Évaluez complètement les deux côtés. S'ils produisent le même nombre, la réponse est correcte. Par exemple, si vous avez résolu 3(2x − 4) = 2(x + 5) et trouvé x = 11, vérifiez : gauche = 3(22 − 4) = 54; droite = 2(16) = 32. Ce ne sont pas égaux, donc x = 11 est incorrect — retournez et trouvez l'erreur avant de continuer.
5. Comment gérer les équations avec des coefficients négatifs ?
Un coefficient négatif sur x (comme −3x = 18) nécessite de diviser les deux côtés par un nombre négatif. Le signe du résultat s'inverse : 18 ÷ (−3) = −6, donc x = −6. Vérifiez : −3 × (−6) = 18 ✓. Une alternative : multipliez d'abord les deux côtés par −1 pour inverser le signe, en obtenant 3x = −18, puis divisez par 3 : x = −6. Les deux routes donnent la même réponse — utilisez celle qui vous semble plus naturelle.
6. Quelle est la différence entre une équation linéaire et une inégalité linéaire ?
Une équation linéaire utilise un signe égal (=) et a au plus une solution. Une inégalité linéaire utilise <, >, ≤ ou ≥ et a une gamme de solutions (par exemple, x > 4 ou x ≤ −2). Les étapes de résolution sont presque identiques, avec une différence critique : multiplier ou diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif inverse la direction du symbole d'inégalité. Par exemple, −2x > 10 devient x < −5 après la division par −2. Cette inversion ne s'applique pas aux équations.
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1. Une étape : x + 9 = 25
L'opération appliquée à x est +9. Annulez-la en soustrayant 9 des deux côtés. Gauche : x + 9 − 9 = x. Droite : 25 − 9 = 16. Solution : x = 16. Vérification : 16 + 9 = 25 ✓ L'habitude clé ici est d'écrire « soustraire 9 des deux côtés » explicitement plutôt que de le faire mentalement. À ce niveau, la plupart des erreurs proviennent de raccourcis arithmétiques mentaux, pas d'une mauvaise compréhension de la procédure.
2. Une étape : −7x = 56
L'opération appliquée à x est la multiplication par −7. Annulez-la en divisant les deux côtés par −7. Gauche : −7x ÷ (−7) = x. Droite : 56 ÷ (−7) = −8. Solution : x = −8. Vérification : −7 × (−8) = 56 ✓ Note critique : diviser un nombre positif par un nombre négatif donne un résultat négatif. Cette règle de signe est la source d'erreurs la plus courante dans les équations de multiplication à une étape.
3. Deux étapes : 4x − 5 = 23
Les opérations appliquées à x sont : d'abord multiplié par 4, puis 5 soustrait. Annulez dans l'ordre inverse. Étape 1 : Ajouter 5 aux deux côtés → 4x − 5 + 5 = 23 + 5 → 4x = 28. Étape 2 : Diviser les deux côtés par 4 → x = 7. Vérification : 4(7) − 5 = 28 − 5 = 23 ✓ L'ordre importe : annulez la soustraction avant d'annuler la multiplication. Le faire dans le mauvais ordre crée une arithmétique fractionnaire inutile.
4. Deux étapes : (x/5) + 3 = 11
Opérations sur x : divisé par 5, puis 3 ajouté. Annulez dans l'ordre inverse. Étape 1 : Soustraire 3 des deux côtés → x/5 + 3 − 3 = 11 − 3 → x/5 = 8. Étape 2 : Multiplier les deux côtés par 5 → x = 40. Vérification : 40/5 + 3 = 8 + 3 = 11 ✓ Quand x se tient au numérateur d'une fraction (x/5), traitez la division comme l'opération et multipliez les deux côtés par le dénominateur pour l'effacer.
5. Deux étapes : 9 − 3x = 21
Ici, x a un coefficient négatif après la constante 9. Soyez prudent avec les signes. Étape 1 : Soustraire 9 des deux côtés → 9 − 3x − 9 = 21 − 9 → −3x = 12. Étape 2 : Diviser les deux côtés par −3 → x = −4. Vérification : 9 − 3(−4) = 9 + 12 = 21 ✓ Une erreur fréquente : traiter 9 − 3x puis oublier le signe négatif sur le coefficient lors de la division. Écrire −3x = 12 explicitement avant de diviser prévient cette erreur.
6. Deux étapes : (2/3)x − 4 = 10
Le coefficient fractionnaire (2/3) rend cela plus difficile qu'il ne l'est réellement. Étape 1 : Ajouter 4 aux deux côtés → (2/3)x = 14. Étape 2 : Multiplier les deux côtés par le réciproque 3/2 → x = 14 × (3/2) = 21. Vérification : (2/3)(21) − 4 = 14 − 4 = 10 ✓ Pour annuler la multiplication par une fraction, multipliez par son réciproque. Multiplier par 3/2 équivaut à diviser par 2/3 — l'une ou l'autre méthode donne le même résultat.