Exercices sur le mouvement d'un projectile : 10 problèmes avec solutions complètes
Les exercices sur le mouvement d'un projectile sont le moyen le plus rapide de maîtriser les trajectoires, car vous manipulez de vrais nombres au lieu de simplement lire les formules. Cette série de 10 exercices va des échauffements faciles aux problèmes de niveau difficile et couvre les lancers horizontaux, les lancers inclinés et les lancers depuis une hauteur. Chaque problème utilise g = 9,8 m/s², détaille tous les calculs et se termine par un résultat final auquel comparer votre propre travail, avec en prime une section sur les erreurs qui coûtent le plus de points aux élèves et sur la manière de vérifier n'importe quelle réponse sans application de calculatrice.
Sommaire
- 01Pourquoi s'entraîner sur des problèmes de projectile plutôt que de relire les formules ?
- 02Quelles formules faut-il connaître avant de commencer ces exercices ?
- 033 exercices faciles d'échauffement (avec solutions complètes)
- 04Comment résoudre un exercice de lancer horizontal de niveau moyen ?
- 05Comment résoudre un exercice de lancer incliné ?
- 06Qu'est-ce qui change lorsque le point de lancement est au-dessus du point d'arrivée ?
- 074 exercices de niveau difficile pour vous tester
- 08Quelles erreurs coûtent le plus de points dans les exercices de projectile ?
- 09Comment vérifier que vos réponses sur le mouvement d'un projectile sont justes ?
- 10Prêt à vérifier votre propre travail sur le mouvement d'un projectile ?
Pourquoi s'entraîner sur des problèmes de projectile plutôt que de relire les formules ?
Parcourir les équations du mouvement d'un projectile donne l'impression de comprendre, mais ce n'est pas la même compétence que de résoudre un problème à froid : reconnaître quelle formule correspond à quelle situation, garder les composantes séparées et repérer ses propres erreurs de calcul avant qu'elles ne se transforment en résultat faux. Le mouvement d'un projectile piège les élèves moins parce que les formules sont difficiles que parce qu'il y en a plusieurs, et choisir la bonne dépend de détails faciles à survoler : la hauteur de lancement est-elle égale à la hauteur d'arrivée ? l'objet part-il avec une vitesse verticale ? la question porte-t-elle sur une hauteur au-dessus du point de lancement ou au-dessus du sol ? Les exercices vous obligent à repérer ces détails à chaque fois, et c'est précisément ce que testent les contrôles et les examens. Les 10 exercices ci-dessous sont classés en niveaux facile, moyen et difficile. Traitez chacun sur papier avant de lire la solution : même n'aller qu'à mi-chemin et comparer votre mise en équation aux étapes détaillées fait bien plus progresser que lire passivement une solution finie. Chaque problème utilise g = 9,8 m/s² et montre tous les calculs, de sorte que vous puissiez repérer exactement où votre travail diverge si votre réponse ne correspond pas.
Ce qui distingue une bonne copie d'une copie en difficulté sur le mouvement d'un projectile, ce ne sont pas les formules elles-mêmes : c'est de reconnaître quelle formule une situation donnée appelle.
Quelles formules faut-il connaître avant de commencer ces exercices ?
Quatre équations couvrent pratiquement tous les exercices sur le mouvement d'un projectile que vous rencontrerez. Gardez-les sous les yeux pendant les problèmes ci-dessous et notez bien la condition attachée au raccourci de la portée : c'est de loin la première source de réponses fausses.
1. Composantes de la vitesse
vₓ₀ = v₀ × cos(θ) et v_y₀ = v₀ × sin(θ), où v₀ est la vitesse de lancement et θ l'angle de lancement au-dessus de l'horizontale. Pour un lancer purement horizontal, θ = 0°, donc vₓ₀ = v₀ et v_y₀ = 0.
2. Temps de vol
Lorsque les hauteurs de lancement et d'arrivée sont égales : T = 2v_y₀ ÷ g. Lorsque le point de lancement est au-dessus ou au-dessous du point d'arrivée d'une hauteur h, résolvez plutôt h + v_y₀t − ½gt² = 0 avec la formule quadratique : le raccourci des hauteurs égales ne s'applique pas.
3. Hauteur maximale
H = v_y₀² ÷ (2g), mesurée au-dessus du point de lancement. Ajoutez la hauteur de lancement si la question demande la hauteur au-dessus du sol.
4. Portée
R = vₓ₀ × T fonctionne toujours, avec le temps de vol trouvé ci-dessus. Le raccourci R = v₀² × sin(2θ) ÷ g ne vaut que si la hauteur de lancement est égale à la hauteur d'arrivée ; l'utiliser pour un lancer depuis une hauteur est le plus court chemin vers une réponse fausse.
R = vₓ₀ × T fonctionne pour tout exercice de projectile. R = v₀²sin(2θ)/g ne fonctionne que si les hauteurs de lancement et d'arrivée coïncident : voyez-la comme un raccourci, pas comme une règle.
3 exercices faciles d'échauffement (avec solutions complètes)
Ces trois exercices utilisent des nombres simples et des situations directes, sans formule quadratique. Essayez chacun avant de regarder la solution détaillée en dessous.
1. Q1 (facile) — Un livre glisse d'une table
Un livre glisse d'une table horizontale de 0,72 m de haut à une vitesse de 1,8 m/s. Combien de temps met-il pour toucher le sol et à quelle distance de la table atterrit-il ? Solution : le lancer étant horizontal, v_y₀ = 0, donc t = √(2h ÷ g) = √(2 × 0,72 ÷ 9,8) = √(1,44 ÷ 9,8) = √0,1469 ≈ 0,38 s. Portée : R = vₓ₀ × t = 1,8 × 0,38 ≈ 0,69 m. Réponse : environ 0,38 s et 0,69 m.
2. Q2 (facile) — Hauteur maximale uniquement
Une balle est lancée depuis le sol à 8 m/s avec un angle de 50° au-dessus de l'horizontale. Déterminez sa hauteur maximale. Solution : v_y₀ = 8 × sin(50°) = 8 × 0,766 ≈ 6,13 m/s. H = v_y₀² ÷ (2g) = 6,13² ÷ 19,6 = 37,58 ÷ 19,6 ≈ 1,92 m. Réponse : environ 1,92 m.
3. Q3 (facile) — Une fléchette lancée à l'horizontale
Une fléchette est lancée horizontalement à 5 m/s depuis une hauteur de 1,25 m. Déterminez la portée. Solution : t = √(2 × 1,25 ÷ 9,8) = √(2,5 ÷ 9,8) = √0,2551 ≈ 0,51 s. R = 5 × 0,51 ≈ 2,53 m. Réponse : environ 2,53 m.
Tout problème de lancer horizontal se ramène au même raccourci : t = √(2h/g). Reconnaître immédiatement que v_y₀ = 0 est la voie la plus rapide dans un exercice de niveau facile.
Comment résoudre un exercice de lancer incliné ?
Les lancers inclinés depuis le sol sont le type d'exercice le plus fréquent sur le mouvement d'un projectile, et cet exemple traite les trois résultats standard — hauteur maximale, temps de vol et portée — à partir d'un seul lancer.
1. Q5 (moyen) — Un lancer de javelot
Un javelot est lancé depuis le sol à 22 m/s avec un angle de 42° au-dessus de l'horizontale. Déterminez la hauteur maximale, le temps de vol et la portée.
2. Étape 1 — Composantes
vₓ₀ = 22 × cos(42°) = 22 × 0,7431 ≈ 16,35 m/s. v_y₀ = 22 × sin(42°) = 22 × 0,6691 ≈ 14,72 m/s.
3. Étape 2 — Hauteur maximale
H = v_y₀² ÷ (2g) = 14,72² ÷ 19,6 = 216,7 ÷ 19,6 ≈ 11,06 m.
4. Étape 3 — Temps de vol
Les hauteurs de lancement et d'arrivée sont égales (toutes deux au niveau du sol), donc T = 2v_y₀ ÷ g = 2 × 14,72 ÷ 9,8 = 29,44 ÷ 9,8 ≈ 3,00 s.
5. Étape 4 — Portée
R = vₓ₀ × T = 16,35 × 3,00 ≈ 49,1 m. Contre-vérification avec le raccourci puisque les hauteurs sont égales : R = v₀² × sin(2θ) ÷ g = 484 × sin(84°) ÷ 9,8 = 484 × 0,9945 ÷ 9,8 ≈ 49,1 m — les deux méthodes concordent. Réponse : H ≈ 11,06 m, T ≈ 3,00 s, R ≈ 49,1 m.
Quand les hauteurs de lancement et d'arrivée sont égales, R = vₓ₀ × T et la formule raccourcie doivent toujours coïncider à l'erreur d'arrondi près : une vérification intégrée et gratuite.
Qu'est-ce qui change lorsque le point de lancement est au-dessus du point d'arrivée ?
Les problèmes de lancer depuis une hauteur sont le grand classique du niveau difficile, car le raccourci du temps pour hauteurs égales ne s'applique plus : il faut revenir à l'équation quadratique complète.
1. Q6 (difficile) — Un boulet de canon depuis un rempart
Un boulet de canon est tiré du sommet d'un rempart de 30 m à 25 m/s avec un angle de 30° au-dessus de l'horizontale. Déterminez le temps de vol et la portée.
2. Étape 1 — Composantes
vₓ₀ = 25 × cos(30°) = 25 × 0,8660 ≈ 21,65 m/s. v_y₀ = 25 × sin(30°) = 25 × 0,5 = 12,5 m/s.
3. Étape 2 — Poser l'équation verticale
En mesurant le déplacement vers le bas comme −30 m par rapport au point de lancement : −30 = 12,5t − 4,9t², ce qui se réarrange en 4,9t² − 12,5t − 30 = 0.
4. Étape 3 — Résoudre avec la formule quadratique
t = [12,5 ± √(12,5² + 4 × 4,9 × 30)] ÷ (2 × 4,9) = [12,5 ± √(156,25 + 588)] ÷ 9,8 = [12,5 ± √744,25] ÷ 9,8 = [12,5 ± 27,28] ÷ 9,8. La racine négative n'a pas de sens physique, donc t = (12,5 + 27,28) ÷ 9,8 ≈ 4,06 s.
5. Étape 4 — Portée et vérification
R = vₓ₀ × t = 21,65 × 4,06 ≈ 87,9 m. Vérifiez en réinjectant t dans l'équation verticale : 12,5 × 4,06 − 4,9 × 4,06² = 50,75 − 80,77 ≈ −30,0 m, ce qui correspond à la hauteur du rempart avec le bon signe. Réponse : t ≈ 4,06 s, R ≈ 87,9 m.
Dès que les hauteurs de lancement et d'arrivée diffèrent, laissez tomber toute formule raccourcie et passez directement à h + v_y₀t − ½gt² = 0 résolue par la formule quadratique : c'est la seule méthode qui ne trompe jamais.
4 exercices de niveau difficile pour vous tester
Ces quatre exercices combinent un lancer incliné et une différence de hauteur, la combinaison standard la plus ardue. Déroulez la méthode complète — composantes, équation quadratique pour le temps, puis portée — et comparez vos résultats aux réponses ci-dessous.
1. Q7 (difficile) — Trébuchet depuis une colline
Un trébuchet lance une pierre à 30 m/s avec un angle de 55° au-dessus de l'horizontale depuis une colline située 15 m au-dessus du champ visé. Déterminez la portée. Réponse : t ≈ 5,57 s, R ≈ 95,8 m.
2. Q8 (facile–moyen) — Frisbee depuis une corniche
Un frisbee est lancé horizontalement à 9 m/s depuis une hauteur de 1,5 m. Déterminez le temps de vol et la portée. Réponse : t ≈ 0,55 s, R ≈ 4,98 m.
3. Q9 (moyen) — Lancer incliné depuis le sol
Une balle est lancée depuis le sol à 18 m/s avec un angle de 25° au-dessus de l'horizontale. Déterminez la hauteur maximale, le temps de vol et la portée. Réponse : H ≈ 2,95 m, T ≈ 1,55 s, R ≈ 25,3 m.
4. Q10 (difficile) — Lancer depuis une plateforme sous un angle prononcé
Une balle est lancée à 40 m/s avec un angle de 60° au-dessus de l'horizontale depuis une plateforme de 10 m de haut. Déterminez le temps de vol et la portée. Réponse : t ≈ 7,35 s, R ≈ 146,9 m.
Si votre réponse à un exercice difficile s'écarte de plus que l'erreur d'arrondi, refaites d'abord l'étape de la formule quadratique : une erreur de signe sous la racine carrée est l'endroit où ces problèmes dérapent le plus souvent.
Quelles erreurs coûtent le plus de points dans les exercices de projectile ?
Une même poignée d'erreurs explique la plupart des points perdus sur les problèmes de projectile, et chacune s'évite en ralentissant à une étape précise.
1. Utiliser le raccourci de la portée quand les hauteurs diffèrent
R = v₀²sin(2θ)/g n'est valable que si les hauteurs de lancement et d'arrivée sont identiques. L'appliquer à un lancer depuis une falaise ou une plateforme donne une réponse fausse en toute confiance : utilisez par défaut R = vₓ₀ × T tant que vous n'avez pas explicitement vérifié que les hauteurs coïncident.
2. Perdre le signe de la hauteur dans l'équation quadratique
Quand on résout h + v_y₀t − ½gt² = 0 pour un lancer au-dessus du point d'arrivée, h doit être saisi comme un déplacement négatif par rapport au point de lancement, ou l'équation doit être posée sous la forme −h = v_y₀t − ½gt². Mélanger les conventions de signe inverse complètement le résultat.
3. Confondre les degrés et la mauvaise fonction trigonométrique
Intervertir sinus et cosinus — utiliser cos(θ) pour la composante verticale au lieu du sinus — est de loin l'erreur de décomposition la plus fréquente. Vérifiez deux fois que la composante verticale utilise sin(θ) et l'horizontale cos(θ) avant d'y mettre des nombres.
4. Arrondir les valeurs intermédiaires trop tôt
Arrondir vₓ₀ ou v_y₀ à deux chiffres significatifs avant de les réutiliser propage l'erreur dans tout le reste du problème. Conservez au moins quatre chiffres significatifs dans les étapes intermédiaires et n'arrondissez que le résultat final.
La plupart des erreurs sur le mouvement d'un projectile ne sont pas conceptuelles : c'est une formule raccourcie appliquée hors de l'unique condition qu'elle exige.
Comment vérifier que vos réponses sur le mouvement d'un projectile sont justes ?
Trois vérifications attrapent presque toutes les erreurs de projectile avant que vous ne rendiez une réponse, et aucune ne nécessite d'application de calculatrice.
1. Vérification des unités
Suivez les unités dans chaque formule. √(m ÷ (m/s²)) doit se simplifier en secondes ; (m/s)² ÷ (m/s²) doit se simplifier en mètres. Si les unités ne se simplifient pas proprement, un terme a été mal manipulé quelque part dans le calcul.
2. Vérification de l'ordre de grandeur
Demandez-vous si le nombre a du sens dans la situation. Une balle lâchée à hauteur de table doit toucher le sol en bien moins d'une seconde ; un boulet lancé à quelques dizaines de mètres par seconde doit parcourir des dizaines à des centaines de mètres, pas des milliers. Une réponse fausse d'un ordre de grandeur signifie en général qu'un terme au carré a été oublié.
3. Vérification par réinjection
Réinjectez le temps calculé dans l'équation de position verticale de départ et confirmez qu'elle redonne la hauteur initiale, comme au Q6 ci-dessus. Cette seule étape attrape les erreurs de signe et les fautes de formule quadratique qu'un contrôle d'unités ou d'ordre de grandeur pourrait laisser passer.
Réinjecter votre réponse dans l'équation de départ est la vérification la plus fiable qui soit : elle attrape les erreurs qui échappent à la fois au contrôle des unités et à celui de l'ordre de grandeur.
Prêt à vérifier votre propre travail sur le mouvement d'un projectile ?
Traiter les exercices à la main est ce qui construit une vraie compréhension, mais savoir où votre solution a dérapé vaut tout autant que trouver la bonne réponse. Le Smart Scan Solver de Solvify vous permet de photographier un problème de projectile — vos devoirs, une fiche d'exercices ou une question de cette liste — et d'obtenir une solution complète pas à pas à comparer à votre travail, afin de repérer exactement à quelle ligne votre réponse a divergé. Continuez à travailler d'abord à la main ; servez-vous de l'outil pour vérifier, pas pour éviter l'entraînement.
Le but des exercices n'est pas le nombre final : c'est de savoir mettre correctement en équation le problème suivant, tout seul.
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Mode entraînement
Traitez d'autres exercices sur le mouvement d'un projectile avec un retour immédiat à chaque étape, pas seulement sur la réponse finale.
Smart Scan Solver
Photographiez n'importe quel exercice de projectile et obtenez une solution complète pas à pas pour contrôler votre travail.
Solutions pas à pas
Visualisez chaque valeur intermédiaire — vₓ₀, v_y₀, temps de vol — et pas seulement la portée ou la hauteur finale.
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2. Étape 1 — Temps de vol
v_y₀ = 0, donc t = √(2h ÷ g) = √(2 × 22 ÷ 9,8) = √(44 ÷ 9,8) = √4,490 ≈ 2,12 s.
3. Étape 2 — Portée
R = vₓ₀ × t = 14 × 2,12 ≈ 29,7 m.
4. Étape 3 — Vérifier
Qu'une falaise de 22 m (une chute d'environ 7 étages) demande un peu plus de 2 secondes pour atteindre le sol correspond à l'intuition de la chute libre, et que 14 m/s emportent la balle sur environ 30 m dans ce laps de temps constitue une portée raisonnable, rien d'extrême. Réponse : t ≈ 2,12 s, R ≈ 29,7 m.