Como Escrever a Equação Quadrática Cujas Raízes São Dadas
Para escrever a equação quadrática cujas raízes são dadas, você inverte o processo usual de resolução: em vez de extrair raízes de uma equação, você constrói a equação a partir de suas raízes. O método repousa em uma única ideia — se r₁ e r₂ são raízes de uma quadrática, então (x − r₁)(x − r₂) = 0. Este guia cobre todos os casos que você encontrará, desde raízes números inteiros até frações, números irracionais e conjugados complexos, cada um ilustrado com exemplos resolvidos completos e passos de verificação própria.
Conteúdo
- 01O Que Significa Escrever uma Equação Quadrática a Partir de Suas Raízes?
- 02O Método da Forma Fatorada — Passo a Passo
- 03Fórmulas de Vieta — O Atalho da Soma e Produto
- 04Exemplos Resolvidos com Raízes Inteiras
- 05Exemplos Resolvidos com Raízes Fracionárias e Irracionais
- 06Escrevendo Quadráticas com Raízes Complexas
- 07Erros Comuns a Evitar
- 08Problemas Práticos com Soluções Completas
- 09Perguntas Frequentemente Feitas
O Que Significa Escrever uma Equação Quadrática a Partir de Suas Raízes?
Uma equação quadrática tem a forma padrão ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. Suas raízes (também chamadas de zeros ou soluções) são os valores de x que satisfazem a equação. Quando um problema pede que você escreva a equação quadrática cujas raízes são, digamos, 3 e 5, ele está pedindo que você trabalhe de trás para frente — encontre uma equação que produza exatamente essas duas raízes quando resolvida. Esta é uma habilidade central de álgebra testada desde Álgebra 2 até pré-cálculo, e se conecta diretamente a fatoração, gráficos de parábolas e construção de polinômios de grau superior. A ideia-chave é que raízes e fatores são dois lados da mesma moeda: se x = r é uma raiz, então (x − r) é um fator da quadrática.
Toda quadrática com raízes r₁ e r₂ pode ser escrita como a(x − r₁)(x − r₂) = 0, onde a é uma constante não nula — geralmente tomada como 1 a menos que o problema declare o contrário.
O Método da Forma Fatorada — Passo a Passo
A abordagem mais direta é usar a forma fatorada. Como uma raiz é um valor que torna um fator igual a zero, os dois fatores devem ser (x − r₁) e (x − r₂). Multiplicar esses fatores e expandir dá a equação em forma padrão. Este processo de três passos funciona para qualquer par de raízes reais, independentemente do sinal ou tamanho. Trabalhe a substituição de sinais cuidadosamente — é o passo onde ocorrem mais erros.
1. Passo 1 — Escreva a forma fatorada
Comece com (x − r₁)(x − r₂) = 0. Substitua os valores das raízes dadas para r₁ e r₂, prestando atenção aos sinais. Para as raízes 3 e 5: (x − 3)(x − 5) = 0.
2. Passo 2 — Expanda usando FOIL
Multiplique os dois binômios. (x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15.
3. Passo 3 — Escreva em forma padrão e verifique
Defina a expressão expandida igual a zero: x² − 8x + 15 = 0. Esta é a equação quadrática com raízes 3 e 5. Verifique substituindo: x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓. x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓.
Fórmulas de Vieta — O Atalho da Soma e Produto
As fórmulas de Vieta oferecem uma rota mais rápida que pula a etapa de expansão completamente. Para uma quadrática mônica x² + bx + c = 0 (coeficiente líder 1), a soma das raízes é igual a −b e o produto das raízes é igual a c. Rearranjado, isso dá o modelo x² − (soma das raízes)x + (produto das raízes) = 0. As fórmulas de Vieta são especialmente úteis quando você precisa escrever a equação quadrática cujas raízes são dadas como expressões algébricas em vez de números específicos, ou quando você quer verificar um resultado de fatoração rapidamente.
1. Passo 1 — Encontre a soma das raízes
Adicione as duas raízes. Exemplo: as raízes são −2 e 7. Soma = −2 + 7 = 5.
2. Passo 2 — Encontre o produto das raízes
Multiplique as duas raízes. Produto = (−2) × 7 = −14.
3. Passo 3 — Substitua no modelo de Vieta
x² − (soma)x + (produto) = 0 torna-se x² − 5x + (−14) = 0, que simplifica para x² − 5x − 14 = 0.
4. Passo 4 — Verifique fatorando
x² − 5x − 14 fatora como (x − 7)(x + 2) = 0, dando raízes x = 7 e x = −2 ✓.
Para qualquer quadrática mônica x² + bx + c = 0: soma das raízes = −b e produto das raízes = c.
Exemplos Resolvidos com Raízes Inteiras
Raízes inteiras são o tipo mais comum em testes e avaliações padronizadas. Os quatro exemplos abaixo cobrem raízes positivas, sinais mistos, ambas negativas e uma raiz zero — cada cenário produz um padrão de sinal previsível na equação resultante. Reconhecer esses padrões ajuda você a escrever e verificar equações mais rapidamente.
1. Exemplo 1 — Ambas raízes positivas: raízes 4 e 6
Soma = 4 + 6 = 10. Produto = 4 × 6 = 24. Equação: x² − 10x + 24 = 0. Tanto o termo do meio quanto a constante são positivos quando ambas as raízes são positivas. Verificação: (x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓.
2. Exemplo 2 — Sinais mistos: raízes −3 e 8
Soma = −3 + 8 = 5. Produto = (−3) × 8 = −24. Equação: x² − 5x − 24 = 0. A constante é negativa quando as raízes têm sinais opostos. Verificação: (x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓.
3. Exemplo 3 — Ambas raízes negativas: raízes −5 e −2
Soma = −5 + (−2) = −7. Produto = (−5)(−2) = 10. Equação: x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0. Ambos os termos são positivos porque dois negativos multiplicam para um positivo. Verificação: (x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓.
4. Exemplo 4 — Uma raiz é zero: raízes 0 e 9
Soma = 0 + 9 = 9. Produto = 0 × 9 = 0. Equação: x² − 9x + 0 = 0, que simplifica para x² − 9x = 0. Verificação: x(x − 9) = 0 dá x = 0 ou x = 9 ✓.
Quando ambas as raízes são negativas, tanto o coeficiente do termo do meio quanto a constante são positivos — o padrão oposto de ambas positivas.
Exemplos Resolvidos com Raízes Fracionárias e Irracionais
Raízes fracionárias e raízes irracionais aparecem em testes padronizados e em pré-cálculo. Com raízes fracionárias, muitas vezes é mais limpo eliminar denominadores multiplicando por MMC após aplicar as fórmulas de Vieta. Raízes irracionais quase sempre vêm em pares conjugados da forma a + √b e a − √b, o que é conveniente: os radicais se cancelam na soma, e o produto se torna uma diferença de quadrados sem radicais restantes.
1. Exemplo 1 — Raízes fracionárias: 1/2 e 3/4
Soma = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Produto = (1/2)(3/4) = 3/8. Equação base: x² − (5/4)x + 3/8 = 0. Multiplique todos os termos por 8 para eliminar frações: 8x² − 10x + 3 = 0. Verifique: discriminante = 100 − 96 = 4, raízes = (10 ± 2)/16 = 3/4 ou 1/2 ✓.
2. Exemplo 2 — Raízes radicais puros: √5 e −√5
Soma = √5 + (−√5) = 0. Produto = (√5)(−√5) = −5. Equação: x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0. Verificação: x² = 5, x = ±√5 ✓.
3. Exemplo 3 — Raízes radicais conjugadas: 2 + √3 e 2 − √3
Soma = (2 + √3) + (2 − √3) = 4. Produto = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Equação: x² − 4x + 1 = 0. Verificação: a fórmula quadrática dá x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓.
Raízes radicais conjugadas (a ± √b) sempre produzem uma quadrática com coeficientes inteiros — sua soma e produto são ambos números racionais.
Escrevendo Quadráticas com Raízes Complexas
Raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados: se uma raiz é a + bi, a outra é a − bi (onde i = √(−1)). Isso é garantido pelo teorema da raiz conjugada complexa para polinômios com coeficientes reais. A álgebra é idêntica ao caso radical — use as fórmulas de Vieta e as partes imaginárias se cancelam na soma, enquanto o produto se torna uma soma de quadrados, sempre dando uma constante positiva.
1. Exemplo 1 — Raízes 3 + 2i e 3 − 2i
Soma = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6. Produto = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13. Equação: x² − 6x + 13 = 0.
2. Verifique com a fórmula quadrática
x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓.
3. Exemplo 2 — Raízes puramente imaginárias: 4i e −4i
Soma = 4i + (−4i) = 0. Produto = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16. Equação: x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0. Verificação: x² = −16, x = ±4i ✓.
Raízes conjugadas complexas a ± bi sempre dão a quadrática mônica x² − 2ax + (a² + b²) = 0, onde ambos os coeficientes são reais.
Erros Comuns a Evitar
Estes quatro erros respondem pela maioria dos pontos perdidos em problemas que pedem aos alunos que escrevam a equação quadrática cujas raízes são dadas. Cada erro é fácil de cometer sob pressão de tempo e igualmente fácil de evitar uma vez que você sabe o que observar.
1. Erro 1 — Erro de sinal na forma fatorada
O fator para a raiz r é (x − r), não (x + r). Para a raiz −3, o fator é (x − (−3)) = (x + 3), não (x − 3). Escrever (x − 3) em vez disso produz raízes de 3, não −3 — o sinal do termo constante estará errado.
2. Erro 2 — Parar na forma fatorada
Depois de escrever (x − r₁)(x − r₂) = 0, alguns alunos deixam a resposta em forma fatorada. A menos que o problema peça especificamente a forma fatorada, expanda completamente para ax² + bx + c = 0.
3. Erro 3 — Usar a soma diretamente sem o sinal negativo
O modelo de Vieta é x² − (soma)x + (produto) = 0, não x² + (soma)x + (produto) = 0. O coeficiente de x é o negativo da soma. Se a soma for igual a 7, a quadrática tem −7x como seu termo do meio, não +7x.
4. Erro 4 — Não eliminar frações quando necessário
Se o problema pede coeficientes inteiros e as raízes são frações, multiplique após aplicar as fórmulas de Vieta. Por exemplo, x² − (5/4)x + 3/8 = 0 deve se tornar 8x² − 10x + 3 = 0 multiplicando todos os termos por 8.
Problemas Práticos com Soluções Completas
Trabalhe em cada problema antes de ler a solução. Use o método de fatoração para os Problemas 1 e 2, as fórmulas de Vieta para o Problema 3, e sua escolha de método para os Problemas 4 e 5. Esses problemas progridem desde raízes inteiras simples até raízes complexas, correspondendo à faixa de dificuldade em testes de Álgebra 2 e prática SAT.
1. Problema 1 — Raízes 2 e 9
Soma = 2 + 9 = 11. Produto = 2 × 9 = 18. Resposta: x² − 11x + 18 = 0. Verificação: (x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓.
2. Problema 2 — Raízes −6 e −1
Soma = −6 + (−1) = −7. Produto = (−6)(−1) = 6. Resposta: x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0. Verificação: (x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓.
3. Problema 3 — Raízes 1/3 e 2
Soma = 1/3 + 2 = 7/3. Produto = (1/3)(2) = 2/3. Equação base: x² − (7/3)x + 2/3 = 0. Multiplique por 3: 3x² − 7x + 2 = 0. Verificação: (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓.
4. Problema 4 — Raízes 1 + √2 e 1 − √2
Soma = (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Produto = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1. Resposta: x² − 2x − 1 = 0. Verificação via fórmula quadrática: x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓.
5. Problema 5 — Raízes 5 + i e 5 − i
Soma = 10. Produto = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26. Resposta: x² − 10x + 26 = 0. Verificação: discriminante = 100 − 104 = −4, raízes = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓.
Verificação rápida própria: substitua cada raiz de volta em sua equação. Se ambas produzirem zero, a equação está correta.
Perguntas Frequentemente Feitas
Essas perguntas surgem regularmente quando os alunos aprendem pela primeira vez a escrever a equação quadrática cujas raízes são especificadas. As respostas abordam os pontos mais comuns de confusão, desde múltiplas respostas válidas até raízes repetidas e entradas decimais.
1. Pode haver mais de uma quadrática correta para o mesmo par de raízes?
Sim. Se x² − 8x + 15 = 0 é uma resposta, então 2x² − 16x + 30 = 0 e 5x² − 40x + 75 = 0 também estão corretas — qualquer múltiplo escalar não nulo funciona. Problemas que desejam uma resposta única normalmente especificam 'forma mônica' (coeficiente líder 1) ou 'coeficientes inteiros com MDC 1'.
2. E se ambas as raízes forem iguais (uma raiz repetida)?
Uma raiz repetida r significa r₁ = r₂ = r. A equação é (x − r)² = 0, que expande para x² − 2rx + r² = 0. Para uma raiz repetida de 4: (x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0.
3. Como lidar com raízes decimais?
Aplique as fórmulas de Vieta da mesma forma. Para raízes 0,5 e 1,5: soma = 2,0, produto = 0,75. Equação: x² − 2x + 0,75 = 0. Multiplique por 4 para coeficientes inteiros: 4x² − 8x + 3 = 0. Verifique: a fórmula quadrática dá (8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1,5 ou 0,5 ✓.
4. A ordem das raízes importa?
Não. (x − r₁)(x − r₂) e (x − r₂)(x − r₁) produzem a mesma expansão pela propriedade comutativa da multiplicação. Liste as raízes em qualquer ordem — a equação é idêntica.
5. E se apenas uma raiz for dada?
Uma raiz sozinha não é suficiente para definir uma quadrática única, a menos que você tenha informações extras como a soma ou produto, ou a raiz é irracional/complexa (nesse caso, seu conjugado é automaticamente a segunda raiz). Por exemplo, se lhe disserem que uma raiz é 3 + √7, a outra deve ser 3 − √7, dando soma = 6 e produto = 9 − 7 = 2, então a equação é x² − 6x + 2 = 0.
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