Faktoriserad form av en kvadratisk ekvation: Komplett guide med exempel
Den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation är versionen som gör dess lösningar synliga på ett ögonblick — istället för ax² + bx + c = 0 ser du a(x − r₁)(x − r₂) = 0, där r₁ och r₂ är rötterna. Att förstå den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation är en av de mest användbara färdigheterna inom algebra eftersom det förbinder tre saker samtidigt: rötterna (där parabeln korsar x-axeln), öppningsriktningen och polynomets struktur. Elever ser ofta faktoriserad form på prov, i grafuppgifter och när man löser tillämpad problem, men övergången från standardform till faktoriserad form snubblar många människor. Den här guiden förklarar exakt vad faktoriserad form betyder, hur man kommer dit från någon kvadratisk, vad man kan läsa direkt från det och hur man undviker de misstag som kostar poäng.
Innehåll
- 01Vad är den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation?
- 02Vad du kan läsa direkt från faktoriserad form
- 03Hur man konverterar standardform till faktoriserad form av en kvadratisk ekvation
- 04Sex arbetade exempel: Standardform till faktoriserad form
- 05Röra sig mellan alla tre kvadratiska formar
- 06Faktoriserad form i ordproblem och tillämpningar
- 07Vanliga misstag när man skriver den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation
- 08Övningsproblem: Skriv den faktoriserade formen av varje kvadratisk
- 09Vanliga frågor — Faktoriserad form av en kvadratisk ekvation
Vad är den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation?
En kvadratisk ekvation i standardform skrivs som ax² + bx + c = 0, där a ≠ 0. Den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation omskriver samma uttryck som en produkt av två linjära faktorer: a(x − r₁)(x − r₂) = 0, där r₁ och r₂ är de två rötterna (även kallade nollställen eller lösningar). Konstanten a framför är samma ledande koefficient som i standardform — den styr om parabeln öppnas uppåt (a > 0) eller nedåt (a < 0) och hur bred eller smal den är. Den faktoriserade formen existerar när som helst när kvadratiken har två reella rötter (inklusive fallet där båda rötterna är lika — en upprepad rot). Om diskriminanten b² − 4ac är negativ är rötterna komplexa tal och kvadratiken kan inte faktoriseras över de reella talen. Det finns tre vanliga former en kvadratisk kan ta: standardform (ax² + bx + c), vertexform (a(x − h)² + k) och faktoriserad form (a(x − r₁)(x − r₂)). Varje form framhäver olika egenskaper: standardform visar koefficienterna direkt, vertexform visar vertexkoordinaterna och faktoriserad form visar rötterna direkt. Att kunna röra sig mellan dessa tre former är det som gör kvadratiker hanterbara istället för mystiska.
Faktoriserad form: a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Värdena r₁ och r₂ är rötterna — sätt in någondera för x och ekvationen är noll.
Vad du kan läsa direkt från faktoriserad form
En anledning till att lärare insisterar på faktoriserad form är att den placerar kritisk information om kvadratiken direkt på ytan. Du behöver inte lösa något — tre nyckelfeatures är synliga genom inspektion. För det första, rötterna: om den faktoriserade formen är (x − 3)(x + 5) = 0 är rötterna x = 3 och x = −5 (notera att tecknet vänds — x − 3 = 0 ger x = 3, inte x = −3). För det andra, x-intercepten på parabeln är desamma som rötterna, så grafen korsar x-axeln vid (3, 0) och (−5, 0). För det tredje, symmetriaxeln ligger exakt halvvägs mellan de två rötterna: x = (r₁ + r₂) / 2. För exemplet ovan är symmetriaxeln x = (3 + (−5)) / 2 = −2/2 = −1. Från symmetriaxeln kan du också hitta vertexets x-koordinat utan att fylla i kvadraten. Om den fullständiga faktoriserade formen är a(x − r₁)(x − r₂) = 0 och du ersätter x = (r₁ + r₂)/2 tillbaka i ekvationen får du även vertexets y-koordinat. Denna kedja av resonemang — från faktoriserad form till rötter till symmetriaxel till vertex — är mycket snabbare än att börja från standardform när rötterna är kända.
1. Läsa rötterna
Sätt varje faktor lika med noll. I 2(x − 4)(x + 1) = 0 ger faktorerna x − 4 = 0 → x = 4 och x + 1 = 0 → x = −1. Den ledande koefficienten 2 påverkar aldrig rötterna; den ändrar bara parabeln branthet.
2. Läsa x-intercepten
X-intercepten på parabeln y = 2(x − 4)(x + 1) är vid (4, 0) och (−1, 0). Varje rot motsvarar en punkt där kurvan vidrör x-axeln. En upprepad rot såsom (x − 3)² = 0 ger bara ett x-intercept vid (3, 0) — parabeln är tangent till axeln vid den punkten.
3. Hitta symmetriaxeln
Symmetriaxel x = (r₁ + r₂) / 2. För rötter 4 och −1: x = (4 + (−1)) / 2 = 3/2 = 1,5. Parabeln är perfekt symmetrisk kring den vertikala linjen x = 1,5. Detta säger också att vertexets x-koordinat är 1,5.
4. Hitta vertexets y-koordinat
Ersätt symmetriaxelns x-värde i den ursprungliga ekvationen. För y = 2(x − 4)(x + 1) vid x = 1,5: y = 2(1,5 − 4)(1,5 + 1) = 2(−2,5)(2,5) = 2(−6,25) = −12,5. Vertexet ligger vid (1,5, −12,5). Eftersom a = 2 > 0 öppnas parabeln uppåt och detta är ett minimum.
Genväg: symmetriaxeln är alltid medelvärdet av de två rötterna — (r₁ + r₂) / 2. Ingen kvadratifyllning behövs när du har faktoriserad form.
Hur man konverterar standardform till faktoriserad form av en kvadratisk ekvation
Konvertering från ax² + bx + c = 0 till faktoriserad form kräver att man först hittar de två rötterna. Metoden du väljer beror på koefficienterna. För moniska kvadratiker (a = 1) är faktorparsmetoden snabbast. För icke-moniska kvadratiker (a ≠ 1) fungerar AC-metoden eller kvadratformeln. När du väl har rötterna r₁ och r₂ är det omedelbar att skriva den faktoriserade formen: a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Nedan ligger de tre huvudvägarnas utstakade som steg.
1. Steg 1 — Kontrollera en GCF och faktorisera ut den
Innan något annat, leta efter en största gemensam faktor över alla tre termer. För 3x² − 12x − 15 = 0 är GCF 3: skriv 3(x² − 4x − 5) = 0. Arbeta nu med x² − 4x − 5 = 0, vilket är moniskt. Att hoppa över det här steget gör siffrorna svårare än de behöver vara.
2. Steg 2 (monisk, a = 1) — Använd faktorparsmetoden
För x² + bx + c = 0, hitta två tal p och q där p × q = c och p + q = b. Dessa tal går in i den faktoriserade formen som (x + p)(x + q) = 0, vilket ger rötter x = −p och x = −q. Exempel: x² − 4x − 5 = 0. Behöver p × q = −5 och p + q = −4. Par (−5, 1): −5 × 1 = −5 ✓ och −5 + 1 = −4 ✓. Faktoriserad form: (x − 5)(x + 1) = 0. Rötter: x = 5 eller x = −1. Fullständig faktoriserad form inklusive den utdragna GCF: 3(x − 5)(x + 1) = 0.
3. Steg 2 (icke-monisk, a ≠ 1) — Använd AC-metoden
För ax² + bx + c = 0 med a ≠ 1, beräkna produkten a × c. Hitta två heltal m och n där m × n = a × c och m + n = b. Skriv om den mellanliggande termen med m och n, faktorisera sedan genom gruppering. Exempel: 2x² + 5x − 3 = 0. a × c = 2 × (−3) = −6. Behöver m × n = −6 och m + n = 5. Par (6, −1): 6 × (−1) = −6 ✓ och 6 + (−1) = 5 ✓. Omskriva: 2x² + 6x − x − 3 = 0. Grupp: 2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0. Faktorisera: (2x − 1)(x + 3) = 0. Rötter: x = 1/2 eller x = −3. Faktoriserad form: 2(x − 1/2)(x + 3) = 0, eller motsvarande (2x − 1)(x + 3) = 0.
4. Steg 2 (någon kvadratisk) — Använd kvadratformeln
När faktorpar är svåra att se eller diskriminanten inte är en perfekt kvadrat, använd x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) för att beräkna r₁ och r₂ numeriskt. Skriv sedan den faktoriserade formen direkt som a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Exempel: x² − 6x + 7 = 0. Diskriminant: (−6)² − 4(1)(7) = 36 − 28 = 8. Rötter: x = (6 ± √8) / 2 = (6 ± 2√2) / 2 = 3 ± √2. Faktoriserad form: (x − (3 + √2))(x − (3 − √2)) = 0. Rötterna är irrationella, så detta kunde inte ha hittats av faktorparsmetoden.
5. Steg 3 — Verifiera genom att expandera tillbaka
Expandera alltid din faktoriserade form och kontrollera att den matchar den ursprungliga standardformen. För (2x − 1)(x + 3): expandera med FOIL: 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 ✓. Denna 30-sekunders kontroll fångar teckenfelen innan de kostar dig poäng.
Beslutsträd: a = 1 → faktorparsmetoden. a ≠ 1 → AC-metoden. Diskriminant inte en perfekt kvadrat → kvadratformel, skriv sedan a(x − r₁)(x − r₂) = 0.
Sex arbetade exempel: Standardform till faktoriserad form
De sex exemplen nedan täcker varje vanligt scenario: monisk med positiva rötter, monisk med negativa rötter, monisk med blandade tecken, icke-monisk, perfekt kvadratisk trinomial och skillnad mellan kvadrater. Arbeta genom varje själv innan du läser lösningen — mönsterigenkänningen du bygger från exempel är det som gör faktoriserad form av kvadratiska klick.
1. Exempel 1 (Monisk, båda rötterna negativa) — x² + 7x + 12 = 0
b = 7, c = 12. Behöver p × q = 12 och p + q = 7. Båda positiva eftersom c > 0 och b > 0. Par: (1, 12) → 13, nej. (2, 6) → 8, nej. (3, 4) → 7, ja. Faktoriserad form: (x + 3)(x + 4) = 0. Rötter: x = −3 eller x = −4. Verifiera: (x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 ✓. X-intercept: (−3, 0) och (−4, 0). Symmetriaxel: x = (−3 + (−4)) / 2 = −3,5.
2. Exempel 2 (Monisk, båda rötterna positiva) — x² − 9x + 20 = 0
b = −9, c = 20. Båda faktorer negativa eftersom c > 0 och b < 0. Behöver p × q = 20 och p + q = −9. Båda negativa. Par: (−4, −5) → produkt = 20 ✓ och summa = −9 ✓. Faktoriserad form: (x − 4)(x − 5) = 0. Rötter: x = 4 eller x = 5. Verifiera: x² − 5x − 4x + 20 = x² − 9x + 20 ✓. Symmetriaxel: x = (4 + 5) / 2 = 4,5.
3. Exempel 3 (Monisk, blandade teckens rötter) — x² + 2x − 35 = 0
b = 2, c = −35. Motsatta tecken eftersom c < 0. Behöver p × q = −35 och p + q = 2. Par med motsatta tecken: (7, −5) → 7 × (−5) = −35 ✓ och 7 + (−5) = 2 ✓. Faktoriserad form: (x + 7)(x − 5) = 0. Rötter: x = −7 eller x = 5. Verifiera: x² − 5x + 7x − 35 = x² + 2x − 35 ✓. Notera att talet med större magnitud (7) tar det positiva tecknet eftersom b = 2 är positivt.
4. Exempel 4 (Icke-monisk) — 6x² − 13x + 6 = 0
a × c = 6 × 6 = 36. Behöver m × n = 36 och m + n = −13. Båda negativa eftersom produkten är positiv och summan är negativ. Par: (−4, −9) → produkt = 36 ✓ och summa = −13 ✓. Dela mittterm: 6x² − 4x − 9x + 6 = 0. Grupp: 2x(3x − 2) − 3(3x − 2) = 0. Faktorisera: (2x − 3)(3x − 2) = 0. Rötter: x = 3/2 eller x = 2/3. Faktoriserad form: (2x − 3)(3x − 2) = 0. Kontrollera x = 3/2: 6(9/4) − 13(3/2) + 6 = 13,5 − 19,5 + 6 = 0 ✓.
5. Exempel 5 (Perfekt kvadratisk trinomial) — 9x² − 24x + 16 = 0
Kontrollera: första termen 9x² = (3x)², sista termen 16 = 4², mittterm 24x = 2 × 3x × 4 ✓. Detta är en perfekt kvadratisk trinomial: (3x − 4)² = 0. Enskild rot: 3x − 4 = 0 → x = 4/3 (upprepad rot). Faktoriserad form: (3x − 4)² = 0, eller motsvarande 9(x − 4/3)² = 0. Parabeln y = 9x² − 24x + 16 är tangent till x-axeln vid (4/3, 0) — den vidrör men korsar inte. Verifiera: (3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 ✓.
6. Exempel 6 (Skillnad mellan kvadrater) — 25x² − 49 = 0
Igenkänna: 25x² = (5x)² och 49 = 7². Mönster a² − b² = (a + b)(a − b). Faktoriserad form: (5x + 7)(5x − 7) = 0. Rötter: 5x + 7 = 0 → x = −7/5 och 5x − 7 = 0 → x = 7/5. Verifiera: (5x + 7)(5x − 7) = 25x² − 35x + 35x − 49 = 25x² − 49 ✓. Notera: det finns ingen mittterm, vilket är det säkra tecknet på skillnad mellan kvadrater. Rötterna är ±7/5, symmetriska kring x = 0.
Efter att ha hittat den faktoriserade formen, expandera alltid den och jämför term-för-term med originalet. Detta ena steg fångar majoriteten av tecken- och aritmetiska fel.
Röra sig mellan alla tre kvadratiska formar
En fullständig förståelse av kvadratiker innebär att man är bekväm med att konvertera mellan standardform, vertexform och faktoriserad form. Prov ger ofta en form och frågar om information som är mest uppenbar i en annan form. Konverteringstabellen nedan är värd att förbinda till minnet.
1. Standardform → Faktoriserad form
Faktorisera enligt ovan: GCF först, sedan faktorparsmetoden eller AC-metoden. Standardform ax² + bx + c = 0 blir a(x − r₁)(x − r₂) = 0. Exempel: x² − x − 6 = 0. Par: (−3, 2) → produkt = −6 ✓, summa = −1 ✓. Faktoriserad: (x − 3)(x + 2) = 0.
2. Faktoriserad form → Standardform
Expandera med FOIL (eller distributiv egenskap för icke-moniska fall). Exempel: 3(x − 2)(x + 5) = 0. Expandera först (x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10. Multiplicera sedan med 3: 3x² + 9x − 30 = 0. Du kan förenkla genom att dividera alla termer med 3: x² + 3x − 10 = 0.
3. Faktoriserad form → Vertexform
Hitta symmetriaxeln x = (r₁ + r₂) / 2, ersätt sedan i den faktoriserade ekvationen för att få vertexets y-koordinat k. Skriv vertexform som a(x − h)² + k = 0 där h är symmetriaxeln. Exempel: (x − 3)(x + 2) = 0. Axel: x = (3 + (−2)) / 2 = 0,5. Vertex y: y = (0,5 − 3)(0,5 + 2) = (−2,5)(2,5) = −6,25. Vertexform: (x − 0,5)² − 6,25 = 0.
4. Standardform → Vertexform
Fyll i kvadraten. För x² − x − 6: hälften av b-koefficienten är −1/2, och (−1/2)² = 1/4. Skriv x² − x + 1/4 − 1/4 − 6 = (x − 1/2)² − 25/4 = 0. Så h = 1/2 = 0,5 och k = −25/4 = −6,25, vilket matchar beräkningen ovan. Båda vägar leder till samma vertex.
Alla tre former beskriver samma parabel. Standardform visar a, b, c. Vertexform visar vänd punkten. Faktoriserad form visar var kurvan korsar x-axeln.
Faktoriserad form i ordproblem och tillämpningar
Faktoriserad form dyker upp konstant i tillämpad kvadratik matematik — projektilrörelse, areaproblm, vinstmaximering och talprussler leder alla till kvadratiker. Nyckelskickligheten är att först ställa upp ekvationen i standardform, sedan konvertera till faktoriserad form för att hitta svaret. Den fysiska tolkningen av rötterna spelar roll: ibland gör bara en rot mening i sammanhang (en negativ tid är omöjlig, en negativ längd är omöjlig), så du måste kontrollera vilken rot som är giltig.
1. Tillämpning 1 — Projektilrörelse
En boll lanseras uppåt från toppen av en 20 m byggnad med en initialhastighet på 10 m/s. Dess höjd h(t) i meter vid tid t sekunder är h(t) = −5t² + 10t + 20. När träffar bollen marken? Sätt h(t) = 0: −5t² + 10t + 20 = 0. Dividera med −5: t² − 2t − 4 = 0. Diskriminant: 4 + 16 = 20 (inte en perfekt kvadrat). Använd kvadratformeln: t = (2 ± √20) / 2 = 1 ± √5. √5 ≈ 2,236. Rötter: t ≈ 3,236 eller t ≈ −1,236. Kasta den negativa tiden. Bollen träffar marken vid t ≈ 3,24 sekunder. Faktoriserad form: −5(t − (1 + √5))(t − (1 − √5)) = 0.
2. Tillämpning 2 — Areaproblemet
En rektangulär trädgård har en bredd w och en längd som är 5 m mer än två gånger bredden. Om området är 63 m² hittar du dimensionerna. Areaekvation: w(2w + 5) = 63. Expandera: 2w² + 5w = 63. Standardform: 2w² + 5w − 63 = 0. AC-metod: a × c = 2 × (−63) = −126. Hitta m × n = −126 och m + n = 5. Par: (14, −9) → 14 × (−9) = −126 ✓ och 14 + (−9) = 5 ✓. Dela: 2w² + 14w − 9w − 63 = 0. Grupp: 2w(w + 7) − 9(w + 7) = 0. Faktoriserad: (2w − 9)(w + 7) = 0. Rötter: w = 9/2 = 4,5 eller w = −7. Kasta den negativa bredden. Bredd = 4,5 m, längd = 2(4,5) + 5 = 14 m. Kontrollera: 4,5 × 14 = 63 m² ✓.
3. Tillämpning 3 — Talproblem
Två på varandra följande jämna heltal har en produkt på 168. Hitta dem. Låt heltalen vara n och n + 2. Ekvation: n(n + 2) = 168. Expandera: n² + 2n = 168. Standardform: n² + 2n − 168 = 0. Faktorparsmetod: behöver p × q = −168 och p + q = 2. Par: (14, −12) → 14 × (−12) = −168 ✓ och 14 + (−12) = 2 ✓. Faktoriserad: (n + 14)(n − 12) = 0. Rötter: n = −14 eller n = 12. Båda är giltiga heltal. För n = 12: heltalen är 12 och 14. För n = −14: heltalen är −14 och −12. Kontrollera båda: 12 × 14 = 168 ✓ och (−14)(−12) = 168 ✓. Två par svar är giltiga.
I tillämpade problem, kontrollera alltid om båda rötterna är fysiskt meningsfulla innan du ger ditt slutliga svar. Negativa längder, negativa tider och negativa räkningar indikerar ofta en rot att kasta.
Vanliga misstag när man skriver den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation
Felen nedan står för majoriteten av förlorade poäng på faktoriserad-form-frågor. Varje en är specifik och fixbar med en riktad vana.
1. Misstag 1 — Förvirrande faktorn med roten
I (x − 5)(x + 3) = 0 är faktorerna (x − 5) och (x + 3), men rötterna är x = 5 och x = −3. Elever skriver ofta x = −5 och x = 3 — läser numret från faktorn utan att vända tecknet. Åtgärd: sätt alltid varje faktor lika med noll och lösa. x − 5 = 0 → x = 5. x + 3 = 0 → x = −3.
2. Misstag 2 — Tappa den ledande koefficienten a från den faktoriserade formen
För 3x² − 12x − 15 = 0 är den fullständigt faktoriserade formen 3(x − 5)(x + 1) = 0, inte bara (x − 5)(x + 1) = 0. Koefficienten 3 måste visas eftersom den är en del av den ursprungliga ekvationen. När du blir ombedd att skriva den faktoriserade formen av kvadratiken 3x² − 12x − 15, inkludera alltid GCF eller ledande faktor: 3(x − 5)(x + 1).
3. Misstag 3 — Inte kontrollera med expansion
Efter att ha skrivit den faktoriserade formen hoppar många elever över verifieringssteget. Expandera (x + 4)(x − 7) tar 20 sekunder: x² − 7x + 4x − 28 = x² − 3x − 28. Om originalet var x² − 3x − 28 är den faktoriserade formen korrekt. Om originalet var annorlunda vändes ett tecken. Denna kontroll fångar nästan varje faktoreringsfel innan arbetet lämnas in.
4. Misstag 4 — Försöka faktorisera när diskriminanten inte är en perfekt kvadrat
x² + 3x + 3 = 0 har diskriminant 9 − 12 = −3, vilket är negativt. Det finns inga reella rötter och kvadratiken har ingen faktoriserad form över de reella talen. Ett vanligt fel är att spendera flera minuter jaga heltalsfaktorpar som bokstavligt talat inte finns. Åtgärd: beräkna b² − 4ac först för någon kvadratisk som verkar svår att faktorisera. Om resultatet inte är en icke-negativ perfekt kvadrat, försöka inte heltalsfaktorisering.
5. Misstag 5 — Skriva faktoriserad form från vertexform utan att först hitta rötterna
Givet vertexform a(x − h)² + k = 0, skriver några elever a(x − h)(x + h) som den faktoriserade formen — förväxla vertexen med rötterna. Detta är felaktig om inte h är mittpunkten för rötterna och k händer att vara noll. Den korrekta processen: lösa a(x − h)² + k = 0 för x för att hitta de faktiska rötterna r₁ och r₂, skriv sedan a(x − r₁)(x − r₂) = 0.
6. Misstag 6 — Partiell faktorisering i AC-metoden
I AC-metoden, efter att ha delat mittermen, faktoriserar elever ibland bara en grupp korrekt. För 2x² + 5x − 3 = 0 delat som 2x² + 6x − x − 3 ger gruppering 2x(x + 3) − 1(x + 3). Felet är att skriva −1(x + 3) som −(x − 3) eller att utelämna den gemensamma faktorn (x + 3) och bara kombinera termer. Åtgärd: efter gruppering, leta efter den upprepade binomfaktorn och dra ut den rent: (2x − 1)(x + 3) = 0.
De två vanligaste felen: (1) läsa roten som numret i faktorn utan att vända tecknet, och (2) inte verifiera genom expansion. Båda tar 30 sekunder att förebygga.
Övningsproblem: Skriv den faktoriserade formen av varje kvadratisk
Problemen nedan sträcker sig från raka moniska fall till icke-moniska och tillämpad problem. Prova varje en oberoende, kontrollera sedan mot lösningen. Målet är att se att skriva en kvadratisk i faktoriserad form som en naturlig slutpunkt snarare än en separat procedur.
1. Problem 1 — x² + 11x + 30 = 0
Behöver p × q = 30 och p + q = 11. Båda positiva. Par: (5, 6) → 11 ✓. Faktoriserad form: (x + 5)(x + 6) = 0. Rötter: x = −5 eller x = −6. Kontrollera: (x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30 ✓.
2. Problem 2 — x² − 4x − 21 = 0
Behöver p × q = −21 och p + q = −4. Motsatta tecken, större magnitud negativ. Par: (3, −7) → produkt = −21 ✓ och summa = −4 ✓. Faktoriserad form: (x + 3)(x − 7) = 0. Rötter: x = −3 eller x = 7. Kontrollera: x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21 ✓.
3. Problem 3 — 2x² + 9x + 10 = 0
AC-metod: a × c = 2 × 10 = 20. Behöver m × n = 20 och m + n = 9. Par: (4, 5) → 20 ✓ och 9 ✓. Dela: 2x² + 4x + 5x + 10 = 0. Grupp: 2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0. Faktoriserad form: (2x + 5)(x + 2) = 0. Rötter: x = −5/2 eller x = −2. Kontrollera x = −2: 2(4) + 9(−2) + 10 = 8 − 18 + 10 = 0 ✓.
4. Problem 4 — 4x² − 25 = 0
Skillnad mellan kvadrater: (2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5) = 0. Rötter: x = −5/2 eller x = 5/2. Kontrollera x = 5/2: 4(25/4) − 25 = 25 − 25 = 0 ✓. Ingen mittterm bekräftar skillnad-mellan-kvadrater-mönstret.
5. Problem 5 — x² − 8x + 16 = 0
Kontrollera perfekt kvadrat: första termen (x)², sista termen 4², mittterm 8x = 2 × x × 4 ✓. Faktoriserad form: (x − 4)² = 0. Enskild upprepad rot: x = 4. Parabeln y = x² − 8x + 16 är tangent till x-axeln vid (4, 0). Symmetriaxel: x = 4 (som förväntat för en upprepad rot).
6. Problem 6 (Ordproblem) — Vinstmodell
Ett företags veckovins P (i hundratals dollar) är modellerad av P(x) = −x² + 8x − 12, där x är antalet sålda enheter (i hundratals). För vilka värden på x bryter företaget jämnt (P = 0)? Sätt −x² + 8x − 12 = 0. Multiplicera med −1: x² − 8x + 12 = 0. Behöver p × q = 12 och p + q = −8. Båda negativa: (−2, −6) → produkt = 12 ✓ och summa = −8 ✓. Faktoriserad form: −(x − 2)(x − 6) = 0. Jämn punkt: x = 2 eller x = 6 (sälj 200 eller 600 enheter). Företaget är lönsamt för 2 < x < 6.
Vanliga frågor — Faktoriserad form av en kvadratisk ekvation
Frågorna nedan adresserar de specifika punkter elever finner förvirrande när man först lär sig den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation. Svaren är praktiska och fokuserade på vad man ska skriva under ett problem.
1. Vad är den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation?
Den faktoriserade formen av en kvadratisk ekvation är a(x − r₁)(x − r₂) = 0, där r₁ och r₂ är de två rötterna till ekvationen och a är den ledande koefficienten. Till exempel, standardformen x² − 5x + 6 = 0 blir (x − 2)(x − 3) = 0 i faktoriserad form, vilket avslöjar rötter x = 2 och x = 3.
2. Är den faktoriserade formen alltid möjlig?
Den faktoriserade formen med reella talrötter existerar bara när diskriminanten b² − 4ac ≥ 0. Om diskriminanten är negativ är rötterna komplexa och kvadratiken kan inte skrivas i faktoriserad form över de reella talen. Om diskriminanten är noll finns det en upprepad reell rot och den faktoriserade formen är a(x − r)² = 0.
3. Hur skiljer sig faktoriserad form från standardform?
Standardform ax² + bx + c = 0 visar koefficienterna a, b och c men döljer rötterna. Faktoriserad form a(x − r₁)(x − r₂) = 0 visar rötterna direkt men döljer b och c. Du kan alltid expandera från faktoriserad till standardform. Att gå andra vägen kräver faktorisering — vilket är möjligt för alla kvadratiker med reella rötter, även om rötterna kan vara irrationella.
4. Kan jag använd faktoriserad form för att skissa parabeln?
Ja — faktoriserad form ger allt du behöver för en grundskiss: (1) x-intercepten är vid (r₁, 0) och (r₂, 0), (2) symmetriaxeln är den vertikala linjen x = (r₁ + r₂) / 2, (3) öppningsriktningen bestäms av tecknet på a (positivt → öppnas upp, negativt → öppnas ner) och (4) ersätt symmetriaxel x-värdet i ekvationen för att få vertexets y-koordinat.
5. Har rötterna alltid heltalsvärden?
Nej. Heltalrötter uppstår bara när diskriminanten är en perfekt kvadrat och kvadratformeln ger värden som minskar till heltal. Många kvadratiker har fraktionerade rötter (som i 2x² + 5x − 3 = 0, där rötterna är 1/2 och −3) eller irrationella rötter (som i x² − 6x + 7 = 0, där rötterna är 3 ± √2). Den faktoriserade formen hanterar alla fall — skriv bara a(x − r₁)(x − r₂) oavsett om r₁ och r₂ är heltal, fraktioner eller surds.
6. Vad är skillnaden mellan faktoriserad form och helt faktoriserad form?
En kvadratisk är helt faktoriserad när (1) den ledande koefficienten eller någon GCF har faktoriserats ut och (2) varje återstående binomial kan inte faktoriseras vidare. För 6x² + 18x + 12 = 0 är den faktoriserade formen (6)(x + 1)(x + 2) helt faktoriserad bara efter att GCF på 6 är skriven uttryckligen. Att bara skriva (x + 1)(x + 2) = 0 förlorar koefficienten och är inte den faktoriserade formen av kvadratiken 6x² + 18x + 12 — det är den faktoriserade formen av x² + 3x + 2.
Ett snabbt faktoriseringsbeslut: beräkna b² − 4ac. Perfekt kvadrat (0, 1, 4, 9, …) → faktor över heltal. Något annat icke-negativt nummer → rötter existerar men är irrationella, använd kvadratformeln. Negativt → inga reella rötter.
Relaterade artiklar
Hur man faktoriserar en kvadratisk ekvation: 3 metoder med arbetade exempel
En fullständig uppdelning av faktorparsmetoden, AC-metoden och särskilda mönster — med 10 övningsproblem och kompletta lösningar.
Hur man hittar vertexen på en kvadratisk ekvation
Lär dig tre sätt att hitta vertexen — fylla i kvadraten, använda symmetriaxelformeln och läsa från vertexform.
Fylla i kvadraten: Steg-för-steg metod och arbetade exempel
Bemästra tekniken att fylla i kvadraten för att konvertera någon kvadratisk till vertexform — metoden som alltid fungerar även när faktorisering misslyckas.
Relaterade matematiklösare
Steg-för-steg-lösningar
Få detaljerade förklaringar för varje steg, inte bara det slutgiltiga svaret.
AI-mattelärare
Ställ följdfrågor och få personaliserade förklaringar 24/7.
Övningsläge
Generera liknande problem för att öva och bygga självförtroende.
Relaterade ämnen
Övningsproblem för kvadratisk ekvation
Åtta övningsproblem som täcker faktorisering, kvadratformeln och tillämpad ordproblem — med fullständiga steg-för-steg-lösningar.
Algebraisk problemlösning
Bygg din algebrafundament med arbetade exempel som täcker de kärnekv ationtyperna du behöver innan du tacklar kvadratiker.
Hur man ritar en kvadratisk ekvation
Lär dig att skissa paraboler från standardform, vertexform och faktoriserad form — med steg-för-steg grafiska tekniker.