定義域與值域計算機：逐步求出定義域與值域
定義域與值域計算機會找出一個函數能接受的所有輸入（定義域）以及它能產生的所有輸出（值域），並以區間表示法呈現兩者。定義域受到函數「做不到」的運算所限制——除以零、對負數開平方根，或對非正數取對數——而值域則取決於輸入在定義域內變化時，函數輸出的變化情形。本指南會說明定義域與值域計算機所套用的具體規則，親手演算根號函數、有理函數與分段函數的例題，列出最常導致區間寫錯的錯誤，最後附上練習題，讓你核對自己的答案。
目錄
定義域與值域計算機到底在求什麼？
定義域與值域計算機會找出與同一個函數相關的兩個不同集合：定義域，是函數在不違反算術規則下可以接受的所有 x 值；值域，則是把所有有效的 x 代入後，函數實際輸出的所有 y 值。函數的定義域是透過檢查公式中的三個問題點來決定——可能等於零的分母、偶次根號下可能變成負數的式子，以及對數中可能為零或負數的真數。函數的值域則用不同的方式決定：定義域與值域計算機（或手算的人）通常不是檢查公式，而是研究圖形的形狀、函數的最小值與最大值行為，以及輸出會無限接近卻永遠碰不到的水平漸近線。兩個結果都用區間表示法書寫，這是一種以方括號和圓括號代替不等號、簡潔描述一段連續實數的方法。
定義域與值域計算機用一個工具回答兩個不同的問題：什麼可以放進去，以及什麼會跑出來。
如何讀寫區間表示法？
區間表示法用兩個端點加上括號的選擇來描述一個實數集合。方括號，例如 [2, 5] 中的括號，表示端點包含在集合內。圓括號，例如 (2, 5) 中的括號，表示端點不包含在內。無限大一律使用圓括號，絕不使用方括號，因為無限大不是集合真正能達到的數。
1. 閉區間
[a, b] 表示從 a 到 b 的所有數，包含 a 與 b。例如 [0, 10] 包含 0、10 以及兩者之間的所有數。
2. 開區間
(a, b) 表示嚴格介於 a 與 b 之間的所有數，不包含兩個端點。例如 (0, 10) 不包含 0 和 10，但包含 0.0001 和 9.9999。
3. 半開區間
[a, b) 或 (a, b] 只包含其中一個端點。像 x 大於或等於 3 這樣的根號函數定義域寫成 [3, 無限大)，因為 3 是允許的，但沒有上界。
4. 區間的聯集
當函數跳過某個值時，例如有理函數定義域排除 x = 2，定義域就寫成兩個以聯集符號連接的區間：(負無限大, 2) 聯集 (2, 無限大)。
方括號代表包含，圓括號代表不包含，無限大一律用圓括號——這就是區間表示法的全部文法。
如何求根號函數的定義域？
根號函數定義域的規則很簡單：根號內的式子必須大於或等於零，因為負數的平方根不是實數。考慮 f(x) 等於 (2x - 6) 的平方根。
1. 步驟 1——令被開方數大於或等於零
2x - 6 大於或等於 0
2. 步驟 2——解出 x
2x 大於或等於 6，所以 x 大於或等於 3。
3. 步驟 3——用區間表示法寫出定義域
定義域：[3, 無限大)。3 使用方括號表示包含，因為 2(3) - 6 = 0，而 0 的平方根是 0，是有效的實數輸出。
4. 步驟 4——驗算答案
代入 x = 3：(2 乘以 3 減 6) 的平方根等於 0 的平方根，也就是 0，是有效輸出。代入 x = 2：(2 乘以 2 減 6) 的平方根等於 -2 的平方根，不是實數，證實 x = 2 確實在定義域之外。
任何定義域與值域計算機都套用同一條根號函數定義域規則：令被開方數大於或等於零，然後求解。
如何求有理函數的定義域？
有理函數定義域會排除任何使分母等於零的 x 值，因為除以零沒有定義。考慮 g(x) 等於 (x + 1) 除以 (x 平方減 9)。
1. 步驟 1——令分母等於零
x 平方減 9 等於 0
2. 步驟 2——解出需排除的值
x 平方等於 9，所以 x = 3 或 x = -3。這些值會使分母為零，必須排除。
3. 步驟 3——用區間表示法寫出定義域
定義域：(負無限大, -3) 聯集 (-3, 3) 聯集 (3, 無限大)。三個區間以聯集連接，在 -3 和 3 使用圓括號，因為這兩點被排除。
4. 步驟 4——驗算答案
代入 x = 0：g(0) 等於 (0 + 1) 除以 (0 - 9)，也就是 -1/9，是有效輸出。代入 x = 3：分母變成 9 - 9 = 0，證實 x = 3 必須排除。
計算有理函數定義域總是從同一步開始：找出分母等於零的位置，然後正好排除那些點。
如何利用圖形求函數的值域？
求函數的值域通常意味著想像或畫出它的圖形，再讀出曲線在垂直方向上達到的最低點與最高點。考慮 f(x) 等於 (x - 2) 平方加 1，這是一條開口向上的拋物線。
1. 步驟 1——找出頂點
此函數為頂點式 (x - h) 平方加 k，其中 h = 2、k = 1，所以頂點位於 (2, 1)。
2. 步驟 2——判斷圖形開口方向
由於平方項的係數為正，拋物線開口向上，表示頂點是圖形的最低點，曲線在兩側都無限上升。
3. 步驟 3——用區間表示法寫出值域
值域：[1, 無限大)。1 使用方括號表示包含，因為頂點的值 y = 1 在 x = 2 時確實取得。
4. 步驟 4——驗算答案
代入 x = 2：f(2) = 0 + 1 = 1，與所求的最小值相符。代入 x = 0：f(0) = 4 + 1 = 5，大於 1，符合開口向上、值域從最小值開始的拋物線。
函數的值域通常來自圖形的轉折點與兩端的趨勢，而不是像定義域那樣靠解方程式求得。
分段函數的定義域與值域是什麼？
計算分段函數的定義域與值域時，必須逐段分別檢查，再把結果合併。考慮當 x 小於 0 時 h(x) 等於 x + 3，當 x 大於或等於 0 時 h(x) 等於 x 平方。
1. 步驟 1——求出每一段的定義域
第一段 x + 3 定義於 x 小於 0。第二段 x 平方定義於 x 大於或等於 0。合起來涵蓋所有實數，所以整體定義域為 (負無限大, 無限大)。
2. 步驟 2——求出第一段的輸出範圍
當 x 小於 0 時，隨著 x 趨近 0，x + 3 趨近 3（但永遠達不到，因為 x 小於 0 是嚴格不等式）；隨著 x 減小，x + 3 無限減小，因此輸出為 (負無限大, 3)。
3. 步驟 3——求出第二段的輸出範圍
當 x 大於或等於 0 時，x 平方從 0 開始（x = 0 時，因 x 大於或等於 0 而包含在內）並無限增大，因此輸出為 [0, 無限大)。
4. 步驟 4——將兩個輸出集合取聯集得到整體值域
合併 (負無限大, 3) 與 [0, 無限大) 得到 (負無限大, 無限大)，因為兩段合起來已經涵蓋所有實數輸出。
分段函數的定義域與值域問題，其實是好幾個較小的定義域與值域問題，最後再取聯集。
求定義域與值域時最常見的錯誤有哪些？
大多數定義域與值域的錯誤來自少數幾種反覆出現的疏忽，而不是對基本概念的誤解。
1. 錯誤 1——混淆定義域與值域
定義域與輸入（x 值）有關；值域與輸出（y 值）有關。把兩者搞反是最常見的錯誤。
2. 錯誤 2——端點使用了錯誤的括號
忘記平方根的被開方數可以等於零，因此該邊界點應該用方括號包含，而不是用圓括號排除，這會改變答案的意義。相反的錯誤——在被排除的分母值上使用方括號——也同樣常見。
3. 錯誤 3——忘記排除分母的每一個零點
分母可因式分解的有理函數定義域問題，例如 x 平方減 9，有兩個根而不是一個。只找到 x = 3 卻漏掉 x = -3 是很常見的疏漏。
4. 錯誤 4——以為值域一定是所有實數
許多學生習慣性地把值域寫成 (負無限大, 無限大)，卻沒有檢查函數是否有最小值、最大值或水平漸近線，實際上限制了它的輸出。
謹慎選擇括號，並檢查因式分解後分母的兩個根，就能避免定義域與值域計算機所要抓出的大部分錯誤。
練習題：測試你的定義域與值域能力
先自己完成每一題再核對解答，建立親手求定義域與值域的信心。
1. 題目 1——f(x) 等於 (5 - x) 的平方根
解答：令 5 - x 大於或等於 0，所以 x 小於或等於 5。定義域：(負無限大, 5]。由於平方根的輸出永遠非負，值域：[0, 無限大)。
2. 題目 2——g(x) 等於 1 除以 (x + 4)
解答：分母在 x = -4 時等於零，所以定義域：(負無限大, -4) 聯集 (-4, 無限大)。因為 1/(x+4) 永遠不會等於零，值域：(負無限大, 0) 聯集 (0, 無限大)。
3. 題目 3——h(x) 等於負的 (x + 1) 平方減 2
解答：這是多項式，所以定義域：(負無限大, 無限大)。由於拋物線開口向下，頂點 (-1, -2) 是最大值，所以值域：(負無限大, -2]。
把被排除的值代回原函數來檢查定義域與值域答案，是抓出括號錯誤最快的方法。
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