繪製二次不等式圖：完整的分步驟指南
繪製二次不等式圖是直接建立在繪製二次方程圖之上的——你畫出同一條拋物線，然後決定要用哪一種邊界曲線，以及該把哪一側區域塗上顏色。二次不等式把 y = ax² + bx + c 中的等號換成 <、>、≤ 或 ≥，因此解不再是一條曲線，而是坐標平面上的一整個二維區域。本指南透過三個完整例題帶你繪製雙變數的二次不等式圖，說明拋物線何時該畫成虛線、何時該畫成實線，示範如何選取並代入測試點以找出正確的著色區域，並涵蓋用區間記號求解單變數二次不等式這項相關技能。
目錄
什麼是二次不等式？
雙變數的二次不等式具有 y > ax² + bx + c、y < ax² + bx + c、y ≥ ax² + bx + c 或 y ≤ ax² + bx + c 的形式。它的解集不是一條曲線，而是坐標平面的一塊區域——可能是拋物線上方的全部範圍、下方的全部範圍，或是把拋物線本身也包含進來作為邊界。繪製二次不等式圖的起手式永遠一樣：先把不等號當成等號，畫出相關的二次方程 y = ax² + bx + c，再決定這條邊界怎麼畫、以及要塗哪一側。此外還有單變數的版本，例如 x² − 5x + 6 ≥ 0，它的解是一組用區間記號寫出的 x 值，而不是一塊著色區域——本指南兩種形式都會介紹。
繪製雙變數二次不等式圖一定從拋物線 y = ax² + bx + c 開始——不等號只改變你怎麼畫線、怎麼著色，不會改變曲線的位置。
拋物線什麼時候畫虛線、什麼時候畫實線？
邊界曲線遵循與繪製線性不等式相同的規則。嚴格不等式（< 或 >）表示恰好落在拋物線上的點「不」滿足不等式，因此你要畫成虛線（斷線）以示邊界被排除在外。非嚴格不等式（≤ 或 ≥）表示拋物線上的點「確實」滿足不等式，因此要畫成實線以示邊界被包含在內。這項檢查只要兩秒鐘，卻值得每次都做，因為這正是閱卷者最先檢查的細節。
1. 嚴格不等式（< 或 >）→ 虛線曲線
對於 y > x² − 4x + 3 或 y < x² − 4x + 3，拋物線本身不屬於解的一部分——它標示出區域的邊緣，但要用虛線畫出。任何你直接取在曲線上的點，代入不等式後都應該不成立。
2. 非嚴格不等式（≤ 或 ≥）→ 實線曲線
對於 y ≥ x² − 4x + 3 或 y ≤ x² − 4x + 3，拋物線屬於解集的一部分，因此要畫成實線。曲線上的任何點都以等號的形式滿足不等式，這就是它們屬於著色區域的原因。
嚴格的 < 或 > → 虛線曲線（不含邊界）。非嚴格的 ≤ 或 ≥ → 實線曲線（含邊界）。這與繪製線性不等式所用的規則完全相同。
怎麼知道要塗哪一側？
邊界畫好之後，一個測試點就能決定整塊著色區域。因為拋物線恰好把平面分成兩塊區域——內側／上方與外側／下方——所以只要有一個明顯不在曲線上的點，就足以同時判定這兩塊區域。這比單靠不等號推理更快也更可靠，尤其當拋物線不是單純向上打開的形狀時更是如此。
1. 步驟 1：選一個不在拋物線上的測試點
只要拋物線不通過原點，(0, 0) 就是最方便的選擇。如果 (0, 0) 剛好落在曲線上，就改選另一個簡單的點，例如 (0, 5) 或 (1, 0)。
2. 步驟 2：把測試點代入不等式
把測試點的 x 與 y 值代入原本的不等式（而不只是方程式），然後化簡兩邊。
3. 步驟 3：判斷要塗哪一塊區域
如果測試點使不等式成立，就塗含有該測試點的那塊區域。如果測試點使不等式不成立，就塗相反的那塊——也就是「不」含該測試點的區域。
4. 步驟 4：用不等號方向做合理性檢查
作為快速交叉驗證：對於向上打開的曲線，y >（或 y ≥）某個算式通常會塗在拋物線的上方／外側，而 y <（或 y ≤）通常塗在下方／內側——但請一律用測試點確認，不要憑記憶，因為向下打開的拋物線會讓這個模式反過來。
一個不在曲線上的測試點就能告訴你整塊著色區域——把它代入原不等式，然後塗它使敘述成立的那一側。
例題 1：繪製 y > x² − 4x + 3
本例使用嚴格的大於不等式，搭配一條向上打開的拋物線。相關方程式 y = x² − 4x + 3 中 a = 1、b = −4、c = 3，正是先前繪圖指南裡用過的同一條拋物線，所以這個邊界形狀看起來應該已經很熟悉。
1. 步驟 1：畫出邊界拋物線
頂點：h = −(−4)/(2×1) = 2，k = (2)² − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1。頂點為 (2, −1)。y 截點：(0, 3)。x 截點：把 x² − 4x + 3 = 0 因式分解 → (x − 3)(x − 1) = 0 → x = 1 與 x = 3，即 (1, 0) 與 (3, 0)。因為不等式是嚴格的（>），要把這條拋物線畫成虛線。
2. 步驟 2：代入一個測試點
使用 (0, 0)，由於 0 ≠ (0)² − 4(0) + 3 = 3，它不在拋物線上。代入 y > x² − 4x + 3：0 > (0)² − 4(0) + 3 → 0 > 3。這是假的。
3. 步驟 3：塗出正確的區域
既然 (0, 0) 使不等式不成立，就塗「不」含 (0, 0) 的那塊區域——也就是拋物線上方／外側的區域（包含像 (2, 5) 這種遠高於頂點的點）。用 (2, 5) 檢查：5 > (2)² − 4(2) + 3 → 5 > −1，為真 ✓，確認 (2, 5) 屬於著色區域。
4. 步驟 4：描述最終的圖形
y > x² − 4x + 3 的解是虛線拋物線嚴格上方的所有點，該拋物線頂點為 (2, −1)，x 截點為 (1, 0) 與 (3, 0)，並通過 (0, 3)。恰好落在曲線上的點——例如頂點 (2, −1) 本身——並不包含在內。
對於 y > x² − 4x + 3，著色落在遠離那個不成立測試點的一側——永遠讓測試點來決定，而不是單憑對不等號的直覺。
例題 2：繪製 y ≤ −x² + 2x + 3
本例同時翻轉了兩件事：拋物線向下打開（a = −1），而且不等式是非嚴格的（≤），所以邊界是實線而非虛線。請留意這兩項改變如何同時影響曲線與著色區域，並與例題 1 做對照。
1. 步驟 1：畫出邊界拋物線
對於 y = −x² + 2x + 3：a = −1、b = 2、c = 3。頂點：h = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = 1，k = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4。頂點為 (1, 4)——因為 a < 0，所以是最大值。y 截點：(0, 3)。x 截點：令 −x² + 2x + 3 = 0 → 兩邊乘以 −1：x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 或 x = −1，得到 (3, 0) 與 (−1, 0)。因為不等式是 ≤（非嚴格），要把這條向下打開的拋物線畫成實線。
2. 步驟 2：代入一個測試點
使用 (0, 0)，由於 0 ≠ 3，它不在曲線上。代入 y ≤ −x² + 2x + 3：0 ≤ −(0)² + 2(0) + 3 → 0 ≤ 3。這是真的。
3. 步驟 3：塗出正確的區域
既然 (0, 0) 使不等式成立，就塗「確實」含 (0, 0) 的那塊區域——也就是這條向下打開拋物線的下方／外側區域。用正好位於頂點 (1, 4) 正下方的 (1, 0) 檢查：0 ≤ −(1)² + 2(1) + 3 → 0 ≤ 4，為真 ✓，確認這塊區域正確。
4. 步驟 4：描述最終的圖形
y ≤ −x² + 2x + 3 的解是實線拋物線上或下方的所有點，該拋物線頂點為 (1, 4)，x 截點為 (−1, 0) 與 (3, 0)，並通過 (0, 3)。因為邊界是實線，頂點 (1, 4) 以及曲線上的其他每一點都包含在解之中。
向下打開的拋物線搭配 y ≤ 會塗在曲線下方——這與例題 1 的視覺模式正好相反，正因如此，代測試點比背規則更重要。
像 x² − 5x + 6 ≥ 0 這種單變數二次不等式該怎麼解？
單變數二次不等式是把一個二次式與零比較，例如 x² − 5x + 6 ≥ 0。它的解不是塗出一塊二維區域，而是數軸上的一組 x 值，用區間記號寫出。策略是先求出相關方程式的根，用這些根把數軸切成若干區間，再逐一測試每個區間是否滿足不等式。
1. 步驟 1：解相關方程式以找出臨界點
令 x² − 5x + 6 = 0 並因式分解：找兩個相乘得 6、相加得 −5 的數 →（−2, −3）。所以 (x − 2)(x − 3) = 0，得 x = 2 與 x = 3。這些根就是把數軸分成三個區間的臨界點：x < 2、2 < x < 3、x > 3。
2. 步驟 2：從每個區間各取一個值測試
區間 x < 2：取 x = 0。(0)² − 5(0) + 6 = 6 ≥ 0 ✓ 為真。區間 2 < x < 3：取 x = 2.5。(2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 ≥ 0 —— 為假。區間 x > 3：取 x = 4。(4)² − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≥ 0 ✓ 為真。
3. 步驟 3：決定臨界點要不要包含
因為不等式是 ≥（非嚴格），根本身也滿足不等式：在 x = 2 時，(2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 為真。在 x = 3 時，(3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ≥ 0 ✓ 為真。兩個臨界點都包含在內。
4. 步驟 4：用區間記號寫出解
把成立的區間連同包含的端點合併起來：x ≤ 2 或 x ≥ 3，寫成 (−∞, 2] ∪ [3, ∞)。這與 y = x² − 5x + 6 的圖形一致：除了在 x = 2 與 x = 3 兩根之間那段向下凹的開區間以外，拋物線處處都落在 x 軸上或上方（y ≥ 0）。
對於向上打開的拋物線，ax² + bx + c ≥ 0 在兩根之外（或根上）成立，而 ax² + bx + c ≤ 0 在兩根之間成立——正負號總是在每個臨界點翻轉。
把數軸上的解和拋物線的圖形連起來
單變數不等式 x² − 5x + 6 ≥ 0 與雙變數不等式 y ≥ x² − 5x + 6 關係密切，看懂兩者的關聯會讓它們都更好記。如果你把 y = x² − 5x + 6 畫成拋物線，那麼「x² − 5x + 6 ≥ 0 在哪裡成立？」這個單變數問題，其實是在問「拋物線在哪些地方落在 x 軸上或上方（y ≥ 0）？」曲線一旦畫好，直接讀圖就能回答不等式，不需要再多做任何代數運算。
1. 在 x 軸上方 → 正值區域
當 x < 2 或 x > 3 時，拋物線 y = x² − 5x + 6 位於 x 軸上方，表示該處 y > 0，這與先前測試所得的成立區間吻合。
2. 在 x 軸下方 → 負值區域
當 2 < x < 3 時，拋物線在兩根之間沉到 x 軸下方，表示該處 y < 0——這正是上面例題中沒通過 ≥ 0 測試的那個區間。
3. 落在 x 軸上 → 根本身
在 x = 2 與 x = 3 時，拋物線恰好與 x 軸相接，所以 y = 0——這些就是 ≥ 或 ≤ 不等式會包含、而 > 或 < 不等式會排除的邊界點。
單變數二次不等式 ax² + bx + c ≥ 0 或 ≤ 0 只不過是對拋物線圖形做垂直方向的判讀：檢查曲線在每個 x 值處落在 x 軸的上方、下方，還是正好在軸上。
繪製二次不等式圖時的常見錯誤
繪製二次不等式圖時的多數錯誤，都來自混淆那些看起來相似、實際卻適用於不同情境的規則。事先認清這些模式，就能避免作業和考試中最常見的失分。
1. 忘記嚴格不等式要畫虛線
把 y > x² − 4x + 3 的拋物線畫成實線是錯的——嚴格的 > 表示邊界本身被排除，所以必須畫成虛線。請在下筆畫曲線「之前」就確認不等號，而不是畫完才檢查。
2. 沒有代測試點就塗錯邊
用「> 往上、< 往下」去猜，對向上打開的拋物線有效，但對向下打開的就會反過來，就像例題 2 所示。請一律代入一個真實的測試點，別依賴只有一半機率成立的捷徑。
3. 把雙變數版本與單變數版本搞混
y ≥ x² − 5x + 6 會在 xy 平面上產生一塊著色的二維區域；x² − 5x + 6 ≥ 0 則產生數軸上一維的 x 值集合，用區間記號寫出。兩者使用同一條拋物線，回答的卻是不同的問題——請仔細讀題，看看題目裡有沒有 y。
4. 在區間記號中錯誤地包含或排除臨界點
對於 x² − 5x + 6 > 0（嚴格），根 x = 2 與 x = 3 被排除，因此答案用小括號：(−∞, 2) ∪ (3, ∞)。對於 x² − 5x + 6 ≥ 0（非嚴格），根被包含，因此答案用中括號：(−∞, 2] ∪ [3, ∞)。讓括號類型對應不等式類型，這正是區間記號自始至終都適用的規則。
嚴格與非嚴格這條規則，同時決定了雙變數圖形中的虛線／實線邊界，以及區間記號中小括號／中括號的取捨——同一套邏輯用了兩次。
練習題：繪製二次不等式圖
先自己做完每一題再對答案。雙變數的題目要指出邊界拋物線、它是虛線還是實線，以及要塗哪一塊區域。單變數的題目則要找出臨界點，並用區間記號寫出答案。
1. 題目 1 —— y < x² + 2x − 8
邊界：y = x² + 2x − 8。頂點：h = −2/2 = −1，k = 1 − 2 − 8 = −9，頂點 (−1, −9)。x 截點：(x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4，x = 2。嚴格的 <，所以畫虛線。測試 (0, 0)：0 < (0)² + 2(0) − 8 → 0 < −8，為假，所以塗「不」含 (0, 0) 的區域——拋物線的下方／內側。用 (−1, −20) 檢查：−20 < −9，為真 ✓。
2. 題目 2 —— y ≥ −x² + 4
邊界：y = −x² + 4，頂點 (0, 4)，向下打開。x 截點：−x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2。非嚴格的 ≥，所以畫實線。測試 (0, 0)：0 ≥ −(0)² + 4 → 0 ≥ 4，為假，所以塗「不」含 (0, 0) 的區域——拋物線的上方／外側，並包含曲線本身。
3. 題目 3 —— 解 x² − x − 6 < 0
因式分解：(x − 3)(x + 2) = 0 → 臨界點 x = −2 與 x = 3。測試 x = 0（位於兩根之間）：(0)² − 0 − 6 = −6 < 0 ✓ 為真。測試 x = −5：25 + 5 − 6 = 24 < 0，為假。測試 x = 5：25 − 5 − 6 = 14 < 0，為假。既然只有兩根之間的區間成立，而且不等式是嚴格的，答案為：(−2, 3)。
常見問題：繪製二次不等式圖
這些是學生初次學習繪製二次不等式圖時最常提出的問題。
1. 繪製二次不等式圖和繪製二次方程圖有什麼不同？
二次方程 y = ax² + bx + c 的圖形是一條曲線——也就是拋物線本身。二次不等式把等號換成 <、>、≤ 或 ≥，因此解變成同一條拋物線某一側平面上的一整塊著色區域，而曲線畫成虛線或實線，取決於邊界是否被包含。
2. 我一定要代測試點嗎？還是看不等號就好？
一定要代測試點。對於向上打開的拋物線，> 與 ≥ 通常塗上方／外側，而 < 與 ≤ 塗下方／內側——但對於向下打開的拋物線，就像例題 2 那樣，這個模式會反轉。代入單一測試點就能避免依賴一條只有部分情況成立的規則。
3. x² − 5x + 6 ≥ 0 和 y ≥ x² − 5x + 6 有什麼差別？
x² − 5x + 6 ≥ 0 是單變數不等式；它的解是一組用區間記號寫出的 x 值，例如 (−∞, 2] ∪ [3, ∞)。y ≥ x² − 5x + 6 是雙變數不等式；它的解是坐標平面上位於同一條拋物線上方或線上的著色區域。兩者用的是同一條拋物線，回答的卻是不同的問題。
4. 二次不等式的解區域有可能是空的嗎？
在特殊情況下會。例如 y < x² + 1，若同時要求對所有 x 都有 y 小於 0，則無解，因為這條拋物線的最小值已經是 1。更常見的是出現在單變數的情形：x² + 1 < 0 沒有實數解，因為 x² + 1 恆為正，所以用區間記號寫出的答案是空集合 ∅。
5. 我要怎麼檢查最後塗好的圖是不是正確？
取兩個點：一個明顯在著色區域內，一個明顯在區域外。把兩者都代入原不等式。區域內的點應該使不等式成立，區域外的點應該使它不成立。若任一項檢查失敗，就回頭重新檢視測試點那一步，並確認邊界拋物線的頂點與截點計算無誤。
即時回饋，練習繪製二次不等式圖
繪製二次不等式圖會隨著反覆練習而愈來愈容易，尤其是在你做過好幾個同時包含向上打開與向下打開拋物線的例題之後。如果你想檢查一條邊界曲線、驗證一塊著色區域，或看單變數不等式的逐步解法，Solvify 的 AI 工具可以針對你輸入的任何題目，依照本指南所示的相同流程完整走一遍。
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