指南代數

二次方程的因式分解形式：完整指南與範例

March 22, 2026·12 分鐘閱讀·Solvify 團隊

二次方程的因式分解形式是將方程的解直接顯示出來的形式——不是 ax² + bx + c = 0，而是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是方程的根。理解二次方程的因式分解形式是代數中最實用的技能之一，因為它一次連接了三個概念：根（拋物線與 x 軸的交點）、開口方向以及多項式的結構。學生經常在考試、圖形繪製任務和解決應用問題時看到因式分解形式，然而從標準形式轉換到因式分解形式卻讓很多人感到困擾。本指南詳細解釋了因式分解形式的含義、如何從任何二次方程獲得它、你可以直接從中讀取什麼信息，以及如何避免那些會扣分的常見錯誤。

什麼是二次方程的因式分解形式？

標準形式中的二次方程寫作 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。二次方程的因式分解形式將相同的表達式改寫為兩個線性因子的乘積：a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是兩個根（也稱為零點或解）。前面的常數 a 與標準形式中的領導係數相同——它決定了拋物線是向上開口（a > 0）還是向下開口（a < 0），以及它的寬度。因式分解形式存在於二次方程有兩個實根的情況下（包括兩個根相等的情況——重根）。如果判別式 b² − 4ac 為負，根是複數，二次方程不能在實數範圍內因式分解。二次方程有三種常見形式：標準形式（ax² + bx + c）、頂點形式（a(x − h)² + k）和因式分解形式（a(x − r₁)(x − r₂)）。每種形式突出不同的特點：標準形式直接顯示係數，頂點形式顯示頂點坐標，因式分解形式直接顯示根。學會在這三種形式之間轉換是使二次方程變得容易而不是神秘的關鍵。

因式分解形式：a(x − r₁)(x − r₂) = 0。值 r₁ 和 r₂ 是根——將它們中的任何一個代入 x，方程就等於零。

你可以直接從因式分解形式讀取什麼？

老師堅持因式分解形式的原因之一是它將關於二次方程的關鍵信息直接展示出來。你不需要求解任何東西——三個關鍵特點通過檢查就能看到。首先，根：如果因式分解形式是 (x − 3)(x + 5) = 0，根是 x = 3 和 x = −5（注意符號會翻轉——x − 3 = 0 給出 x = 3，不是 x = −3）。其次，拋物線的 x 截距與根相同，所以圖形在 (3, 0) 和 (−5, 0) 處穿過 x 軸。第三，對稱軸恰好位於兩個根的中點：x = (r₁ + r₂) / 2。對於上面的例子，對稱軸是 x = (3 + (−5)) / 2 = −2/2 = −1。從對稱軸你也可以找到頂點的 x 坐標，不需要配方。如果完整的因式分解形式是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，並將 x = (r₁ + r₂)/2 代入方程，你也能得到頂點的 y 坐標。這條推理鏈——從因式分解形式到根到對稱軸到頂點——當根已知時，比從標準形式開始快得多。

1. 讀取根

令每個因子等於零。在 2(x − 4)(x + 1) = 0 中，因子給出 x − 4 = 0 → x = 4，和 x + 1 = 0 → x = −1。領導係數 2 永遠不會影響根；它只改變拋物線的陡峭度。

2. 讀取 x 截距

拋物線 y = 2(x − 4)(x + 1) 的 x 截距位於 (4, 0) 和 (−1, 0)。每個根對應於曲線觸及 x 軸的一點。重根如 (x − 3)² = 0 只給出一個 x 截距 (3, 0)——拋物線在該點與軸相切。

3. 找到對稱軸

對稱軸 x = (r₁ + r₂) / 2。對於根 4 和 −1：x = (4 + (−1)) / 2 = 3/2 = 1.5。拋物線完全關於豎直線 x = 1.5 對稱。這也告訴你頂點的 x 坐標是 1.5。

4. 找到頂點的 y 坐標

將對稱軸的 x 值代入原方程。對於 y = 2(x − 4)(x + 1) 在 x = 1.5：y = 2(1.5 − 4)(1.5 + 1) = 2(−2.5)(2.5) = 2(−6.25) = −12.5。頂點位於 (1.5, −12.5)。由於 a = 2 > 0，拋物線向上開口，這是最小值點。

快捷方式：對稱軸始終是兩個根的平均值——(r₁ + r₂) / 2。當你有因式分解形式時不需要配方。

如何將標準形式轉換為二次方程的因式分解形式

從 ax² + bx + c = 0 轉換到因式分解形式需要先找到兩個根。你選擇的方法取決於係數。對於一次二次方程（a = 1），因子對方法最快。對於非一次二次方程（a ≠ 1），AC 方法或二次公式有效。一旦你有根 r₁ 和 r₂，寫出因式分解形式是立即的：a(x − r₁)(x − r₂) = 0。下面是三條主要路徑以步驟形式列出。

1. 步驟 1 — 檢查 GCF 並提取它

在任何事情之前，尋找三個項目之間的最大公因子。對於 3x² − 12x − 15 = 0，GCF 是 3：寫成 3(x² − 4x − 5) = 0。現在處理 x² − 4x − 5 = 0，這是一次的。跳過這一步會使數字變得比需要的更難。

2. 步驟 2（一次，a = 1）— 使用因子對方法

對於 x² + bx + c = 0，找到兩個數字 p 和 q，其中 p × q = c 和 p + q = b。這些數字進入因式分解形式為 (x + p)(x + q) = 0，給出根 x = −p 和 x = −q。例子：x² − 4x − 5 = 0。需要 p × q = −5 和 p + q = −4。對 (−5, 1)：−5 × 1 = −5 ✓ 和 −5 + 1 = −4 ✓。因式分解形式：(x − 5)(x + 1) = 0。根：x = 5 或 x = −1。包括提取的 GCF 的完整因式分解形式：3(x − 5)(x + 1) = 0。

3. 步驟 2（非一次，a ≠ 1）— 使用 AC 方法

對於 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 1，計算乘積 a × c。找到兩個整數 m 和 n，其中 m × n = a × c 和 m + n = b。使用 m 和 n 改寫中間項，然後按分組因式分解。例子：2x² + 5x − 3 = 0。a × c = 2 × (−3) = −6。需要 m × n = −6 和 m + n = 5。對 (6, −1)：6 × (−1) = −6 ✓ 和 6 + (−1) = 5 ✓。改寫：2x² + 6x − x − 3 = 0。分組：2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0。因式分解：(2x − 1)(x + 3) = 0。根：x = 1/2 或 x = −3。因式分解形式：2(x − 1/2)(x + 3) = 0，或等價地 (2x − 1)(x + 3) = 0。

4. 步驟 2（任何二次方程）— 使用二次公式

當因子對難以看出，或判別式不是完全平方數時，使用 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 來數值計算 r₁ 和 r₂。然後直接寫出因式分解形式為 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。例子：x² − 6x + 7 = 0。判別式：(−6)² − 4(1)(7) = 36 − 28 = 8。根：x = (6 ± √8) / 2 = (6 ± 2√2) / 2 = 3 ± √2。因式分解形式：(x − (3 + √2))(x − (3 − √2)) = 0。根是無理數，所以這不能通過因子對方法找到。

5. 步驟 3 — 驗證通過展開回來

始終展開你的因式分解形式並檢查它是否與原始標準形式匹配。對於 (2x − 1)(x + 3)：使用 FOIL 展開：2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 ✓。這個 30 秒的檢查在符號錯誤扣分之前就抓住它們。

決策樹：a = 1 → 因子對方法。a ≠ 1 → AC 方法。判別式不是完全平方數 → 二次公式，然後寫 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。

六個詳細範例：標準形式轉因式分解形式

下面的六個範例涵蓋了每個常見情況：一次有正根、一次有負根、一次有混合符號、非一次、完全平方三項式以及平方差。在閱讀解決方案之前自己做每一個——你從範例中構建的模式識別是使二次方程因式分解形式真正理解的關鍵。

1. 範例 1（一次，兩個負根）— x² + 7x + 12 = 0

b = 7，c = 12。需要 p × q = 12 和 p + q = 7。兩個都是正的，因為 c > 0 和 b > 0。對：(1, 12) → 13，否。(2, 6) → 8，否。(3, 4) → 7，是。因式分解形式：(x + 3)(x + 4) = 0。根：x = −3 或 x = −4。驗證：(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 ✓。X 截距：(−3, 0) 和 (−4, 0)。對稱軸：x = (−3 + (−4)) / 2 = −3.5。

2. 範例 2（一次，兩個正根）— x² − 9x + 20 = 0

b = −9，c = 20。兩個因子都是負的，因為 c > 0 和 b < 0。需要 p × q = 20 和 p + q = −9。兩個都是負的。對：(−4, −5) → 乘積 = 20 ✓ 和和 = −9 ✓。因式分解形式：(x − 4)(x − 5) = 0。根：x = 4 或 x = 5。驗證：x² − 5x − 4x + 20 = x² − 9x + 20 ✓。對稱軸：x = (4 + 5) / 2 = 4.5。

3. 範例 3（一次，混合符號根）— x² + 2x − 35 = 0

b = 2，c = −35。相反的符號，因為 c < 0。需要 p × q = −35 和 p + q = 2。相反符號的對：(7, −5) → 7 × (−5) = −35 ✓ 和 7 + (−5) = 2 ✓。因式分解形式：(x + 7)(x − 5) = 0。根：x = −7 或 x = 5。驗證：x² − 5x + 7x − 35 = x² + 2x − 35 ✓。注意絕對值較大的數（7）取正號，因為 b = 2 是正的。

4. 範例 4（非一次）— 6x² − 13x + 6 = 0

a × c = 6 × 6 = 36。需要 m × n = 36 和 m + n = −13。兩個都是負的，因為乘積是正的和是負的。對：(−4, −9) → 乘積 = 36 ✓ 和和 = −13 ✓。分割中間：6x² − 4x − 9x + 6 = 0。分組：2x(3x − 2) − 3(3x − 2) = 0。因式分解：(2x − 3)(3x − 2) = 0。根：x = 3/2 或 x = 2/3。因式分解形式：(2x − 3)(3x − 2) = 0。檢查 x = 3/2：6(9/4) − 13(3/2) + 6 = 13.5 − 19.5 + 6 = 0 ✓。

5. 範例 5（完全平方三項式）— 9x² − 24x + 16 = 0

檢查：第一項 9x² = (3x)²，最後一項 16 = 4²，中間項 24x = 2 × 3x × 4 ✓。這是一個完全平方三項式：(3x − 4)² = 0。單根：3x − 4 = 0 → x = 4/3（重根）。因式分解形式：(3x − 4)² = 0，或等價地 9(x − 4/3)² = 0。拋物線 y = 9x² − 24x + 16 在 x 軸上與 (4/3, 0) 處相切——它接觸但不穿過。驗證：(3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 ✓。

6. 範例 6（平方差）— 25x² − 49 = 0

識別：25x² = (5x)² 和 49 = 7²。模式 a² − b² = (a + b)(a − b)。因式分解形式：(5x + 7)(5x − 7) = 0。根：5x + 7 = 0 → x = −7/5，和 5x − 7 = 0 → x = 7/5。驗證：(5x + 7)(5x − 7) = 25x² − 35x + 35x − 49 = 25x² − 49 ✓。注意：沒有中間項，這是平方差的標誌。根是 ±7/5，關於 x = 0 對稱。

找到因式分解形式後，始終展開它並將各項與原始項進行比較。這個步驟抓住絕大多數符號和算術錯誤。

在所有三種二次形式之間移動

完整理解二次方程意味著能輕鬆地在標準形式、頂點形式和因式分解形式之間轉換。考試通常給出一種形式並要求在另一種形式中最明顯的信息。下面的轉換表值得記住。

1. 標準形式 → 因式分解形式

因式分解如上所示：首先提 GCF，然後使用因子對方法或 AC 方法。標準形式 ax² + bx + c = 0 變為 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。例子：x² − x − 6 = 0。對：(−3, 2) → 乘積 = −6 ✓，和 = −1 ✓。因式分解：(x − 3)(x + 2) = 0。

2. 因式分解形式 → 標準形式

使用 FOIL（或非一次情況下的分配律）展開。例子：3(x − 2)(x + 5) = 0。首先展開 (x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10。然後乘以 3：3x² + 9x − 30 = 0。你可以通過將所有項除以 3 來簡化：x² + 3x − 10 = 0。

3. 因式分解形式 → 頂點形式

找到對稱軸 x = (r₁ + r₂) / 2，然後代入因式分解方程以獲得頂點的 y 坐標 k。將頂點形式寫為 a(x − h)² + k = 0，其中 h 是對稱軸。例子：(x − 3)(x + 2) = 0。軸：x = (3 + (−2)) / 2 = 0.5。頂點 y：y = (0.5 − 3)(0.5 + 2) = (−2.5)(2.5) = −6.25。頂點形式：(x − 0.5)² − 6.25 = 0。

4. 標準形式 → 頂點形式

配方。對於 x² − x − 6：b 係數的一半是 −1/2，(−1/2)² = 1/4。寫成 x² − x + 1/4 − 1/4 − 6 = (x − 1/2)² − 25/4 = 0。所以 h = 1/2 = 0.5 和 k = −25/4 = −6.25，與上面的計算相符。兩條路都導向同一個頂點。

所有三種形式都描述相同的拋物線。標準形式顯示 a、b、c。頂點形式顯示轉折點。因式分解形式顯示曲線在哪裡穿過 x 軸。

應用問題和實際應用中的因式分解形式

因式分解形式在應用二次數學中不斷出現——拋體運動、面積問題、利潤最大化以及數字謎題都導致二次方程。關鍵技能是首先設置標準形式的方程，然後轉換為因式分解形式以找到答案。根的物理解釋很重要：有時只有一個根在語境中有意義（負時間是不可能的，負長度是不可能的），所以你必須檢查哪個根是有效的。

1. 應用 1 — 拋體運動

一個球從一棟 20 米高的建築頂部以初速度 10 m/s 向上拋出。它在時間 t 秒時的高度 h(t)（米）是 h(t) = −5t² + 10t + 20。球何時撞到地面？設 h(t) = 0：−5t² + 10t + 20 = 0。除以 −5：t² − 2t − 4 = 0。判別式：4 + 16 = 20（不是完全平方數）。使用二次公式：t = (2 ± √20) / 2 = 1 ± √5。√5 ≈ 2.236。根：t ≈ 3.236 或 t ≈ −1.236。丟棄負時間。球在 t ≈ 3.24 秒時撞到地面。因式分解形式：−5(t − (1 + √5))(t − (1 − √5)) = 0。

2. 應用 2 — 面積問題

一個矩形花園的寬度為 w，長度比寬度的兩倍多 5 米。如果面積是 63 m²，求尺寸。面積方程：w(2w + 5) = 63。展開：2w² + 5w = 63。標準形式：2w² + 5w − 63 = 0。AC 方法：a × c = 2 × (−63) = −126。找 m × n = −126 和 m + n = 5。對：(14, −9) → 14 × (−9) = −126 ✓ 和 14 + (−9) = 5 ✓。分割：2w² + 14w − 9w − 63 = 0。分組：2w(w + 7) − 9(w + 7) = 0。因式分解：(2w − 9)(w + 7) = 0。根：w = 9/2 = 4.5 或 w = −7。丟棄負寬度。寬度 = 4.5 米，長度 = 2(4.5) + 5 = 14 米。檢查：4.5 × 14 = 63 m² ✓。

3. 應用 3 — 數字問題

兩個連續偶數的乘積是 168。找到它們。設整數為 n 和 n + 2。方程：n(n + 2) = 168。展開：n² + 2n = 168。標準形式：n² + 2n − 168 = 0。因子對方法：需要 p × q = −168 和 p + q = 2。對：(14, −12) → 14 × (−12) = −168 ✓ 和 14 + (−12) = 2 ✓。因式分解：(n + 14)(n − 12) = 0。根：n = −14 或 n = 12。兩個都是有效的整數。對於 n = 12：整數是 12 和 14。對於 n = −14：整數是 −14 和 −12。檢查兩個：12 × 14 = 168 ✓ 和 (−14)(−12) = 168 ✓。兩對答案都有效。

在應用問題中，在給出最終答案之前，始終檢查兩個根是否在物理上有意義。負長度、負時間以及負計數通常表示要丟棄的根。

寫出二次方程的因式分解形式時的常見錯誤

下面的錯誤占了因式分解形式問題上丟失分數的大部分。每一個都是具體的且可以通過有針對性的習慣來修復。

1. 錯誤 1 — 混淆因子與根

在 (x − 5)(x + 3) = 0 中，因子是 (x − 5) 和 (x + 3)，但根是 x = 5 和 x = −3。學生經常寫成 x = −5 和 x = 3——從因子讀取數字而不翻轉符號。修正：始終令每個因子等於零並求解。x − 5 = 0 → x = 5。x + 3 = 0 → x = −3。

2. 錯誤 2 — 從因式分解形式中刪除領導係數 a

對於 3x² − 12x − 15 = 0，完整的因式分解形式是 3(x − 5)(x + 1) = 0，不只是 (x − 5)(x + 1) = 0。係數 3 必須出現，因為它是原始方程的一部分。當被要求寫出二次方程 3x² − 12x − 15 的因式分解形式時，始終包括 GCF 或領導因子：3(x − 5)(x + 1)。

3. 錯誤 3 — 不通過展開來檢查

寫出因式分解形式後，很多學生會跳過驗證步驟。展開 (x + 4)(x − 7) 只需 20 秒：x² − 7x + 4x − 28 = x² − 3x − 28。如果原始是 x² − 3x − 28，因式分解形式是正確的。如果原始不同，符號被反轉了。這個檢查在工作提交前抓住幾乎每個因式分解錯誤。

4. 錯誤 4 — 當判別式不是完全平方數時嘗試因式分解

x² + 3x + 3 = 0 的判別式是 9 − 12 = −3，是負的。沒有實根，二次方程在實數上沒有因式分解形式。一個常見的錯誤是花費幾分鐘尋找根本不存在的整數因子對。修正：對任何看起來難以因式分解的二次方程先計算 b² − 4ac。如果結果不是非負完全平方數，不要嘗試整數因式分解。

5. 錯誤 5 — 不首先找到根就從頂點形式寫因式分解形式

給定頂點形式 a(x − h)² + k = 0，一些學生寫成 a(x − h)(x + h) 作為因式分解形式——混淆頂點與根。除非 h 是根的中點且 k 恰好為零，否則這是錯誤的。正確的過程：求解 a(x − h)² + k = 0 找到實際根 r₁ 和 r₂，然後寫 a(x − r₁)(x − r₂) = 0。

6. 錯誤 6 — 在 AC 方法中部分因式分解

在 AC 方法中，分割中間項後，學生有時只能正確因式分解一個組。對於 2x² + 5x − 3 = 0 分割為 2x² + 6x − x − 3，分組給出 2x(x + 3) − 1(x + 3)。錯誤是寫成 −1(x + 3) 為 −(x − 3) 或忽略公因子 (x + 3) 只是組合項。修正：分組後，尋找重複的二項式因子並清楚地提取它：(2x − 1)(x + 3) = 0。

兩個最常見的錯誤：(1) 讀取根作為因子中的數字而不翻轉符號，以及 (2) 不通過展開驗證。兩者都只需 30 秒來預防。

練習問題：寫出每個二次方程的因式分解形式

下面的問題範圍從直接的一次情況到非一次和應用問題。獨立嘗試每一個，然後與解決方案核對。目標是看到將二次方程寫成因式分解形式作為自然的終點而不是一個單獨的程序。

1. 問題 1 — x² + 11x + 30 = 0

需要 p × q = 30 和 p + q = 11。兩個都是正的。對：(5, 6) → 11 ✓。因式分解形式：(x + 5)(x + 6) = 0。根：x = −5 或 x = −6。檢查：(x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30 ✓。

2. 問題 2 — x² − 4x − 21 = 0

需要 p × q = −21 和 p + q = −4。相反符號，絕對值更大的是負的。對：(3, −7) → 乘積 = −21 ✓ 和和 = −4 ✓。因式分解形式：(x + 3)(x − 7) = 0。根：x = −3 或 x = 7。檢查：x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21 ✓。

3. 問題 3 — 2x² + 9x + 10 = 0

AC 方法：a × c = 2 × 10 = 20。需要 m × n = 20 和 m + n = 9。對：(4, 5) → 20 ✓ 和 9 ✓。分割：2x² + 4x + 5x + 10 = 0。分組：2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0。因式分解形式：(2x + 5)(x + 2) = 0。根：x = −5/2 或 x = −2。檢查 x = −2：2(4) + 9(−2) + 10 = 8 − 18 + 10 = 0 ✓。

4. 問題 4 — 4x² − 25 = 0

平方差：(2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5) = 0。根：x = −5/2 或 x = 5/2。檢查 x = 5/2：4(25/4) − 25 = 25 − 25 = 0 ✓。沒有中間項確認平方差模式。

5. 問題 5 — x² − 8x + 16 = 0

檢查完全平方：第一項 (x)²，最後一項 4²，中間項 8x = 2 × x × 4 ✓。因式分解形式：(x − 4)² = 0。單一重根：x = 4。拋物線 y = x² − 8x + 16 在 (4, 0) 處與 x 軸相切。對稱軸：x = 4（如預期的重根）。

6. 問題 6（文字問題）— 利潤模型

一家公司的周利潤 P（百美元）由 P(x) = −x² + 8x − 12 建模，其中 x 是售出的單位數（百個）。對於哪些 x 值公司損益平衡（P = 0）？設 −x² + 8x − 12 = 0。乘以 −1：x² − 8x + 12 = 0。需要 p × q = 12 和 p + q = −8。兩個都是負的：(−2, −6) → 乘積 = 12 ✓ 和和 = −8 ✓。因式分解形式：−(x − 2)(x − 6) = 0。損益平衡點：x = 2 或 x = 6（銷售 200 或 600 單位）。公司在 2 < x < 6 時有利潤。

常見問題解答 — 二次方程的因式分解形式

下面的問題解決了學生第一次學習二次方程因式分解形式時感到困惑的具體要點。答案是實用的，專注於在問題中應該寫什麼。

1. 什麼是二次方程的因式分解形式？

二次方程的因式分解形式是 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，其中 r₁ 和 r₂ 是方程的兩個根，a 是領導係數。例如，標準形式 x² − 5x + 6 = 0 在因式分解形式中變為 (x − 2)(x − 3) = 0，顯示根 x = 2 和 x = 3。

2. 因式分解形式總是可能的嗎？

帶有實數根的因式分解形式存在只有當判別式 b² − 4ac ≥ 0 時。如果判別式為負，根是複數，二次方程不能在實數上寫成因式分解形式。如果判別式等於零，有一個重實根，因式分解形式是 a(x − r)² = 0。

3. 因式分解形式與標準形式有何不同？

標準形式 ax² + bx + c = 0 顯示係數 a、b 和 c，但隱藏根。因式分解形式 a(x − r₁)(x − r₂) = 0 直接顯示根，但隱藏 b 和 c。你總可以從因式分解形式展開到標準形式。反向需要因式分解——對所有有實根的二次方程都可能，儘管根可能是無理的。

4. 我能用因式分解形式畫拋物線草圖嗎？

是的——因式分解形式提供基本草圖所需的一切：(1) x 截距位於 (r₁, 0) 和 (r₂, 0)，(2) 對稱軸是豎直線 x = (r₁ + r₂) / 2，(3) 開口方向由 a 的符號決定（正 → 向上開，負 → 向下開），以及 (4) 將對稱軸 x 值代入方程以獲得頂點的 y 坐標。

5. 根總是有整數值嗎？

不。整數根只在判別式是完全平方數且二次公式給出的值簡化為整數時出現。許多二次方程有分數根（如 2x² + 5x − 3 = 0，根是 1/2 和 −3）或無理根（如 x² − 6x + 7 = 0，根是 3 ± √2）。因式分解形式處理所有情況——無論 r₁ 和 r₂ 是整數、分數還是根式，就寫 a(x − r₁)(x − r₂)。

6. 因式分解形式與完全因式分解形式有什麼區別？

二次方程完全因式分解當 (1) 領導係數或任何 GCF 已被提出，以及 (2) 每個剩餘的二項式不能進一步因式分解時。對於 6x² + 18x + 12 = 0，因式分解形式 (6)(x + 1)(x + 2) 只有在 GCF 6 被明確寫出時才是完全因式分解。只寫 (x + 1)(x + 2) = 0 會丟失係數，不是二次方程 6x² + 18x + 12 的因式分解形式——它是 x² + 3x + 2 的因式分解形式。

快速因式分解決定：計算 b² − 4ac。完全平方（0、1、4、9，…）→ 在整數上因式分解。任何其他非負數 → 根存在但是無理的，使用二次公式。負 → 沒有實根。

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