角加速度怎麼算？公式與完整範例解析

什麼是角加速度？

角加速度是指物體繞固定軸旋轉時，角速度隨時間變化的快慢。如果一個輪子、圓盤、螺旋槳或行星此刻轉得比前一刻更快或更慢，它就具有角加速度。角加速度的標準符號是希臘字母 α（alpha），它是直線運動中線加速度（a）的轉動版對應量。就像線加速度衡量速度沿著一條直線改變的快慢，角加速度衡量物體旋轉時角速度（ω，單位為弧度每秒）改變的快慢。逐漸慢下來的陀螺具有負的角加速度，而正在加速到全速的電風扇則具有正的角加速度。

角加速度怎麼算？基本公式

回答「角加速度怎麼算」最直接的方式，就是使用定義公式：α = (ω_f − ω_i) ÷ Δt。其中 ω_f 是末角速度，ω_i 是初角速度，Δt 是變化發生所經過的時間區間。ω_f 和 ω_i 都必須以弧度每秒（rad/s）為單位，Δt 必須以秒為單位，這樣算出的結果才會是弧度每二次方秒（rad/s²）。這個公式假設角加速度是固定且均勻的，而這正是大多數物理入門題目的情況。如果角加速度本身會隨時間改變，你就需要用微積分——對角速度取時間的導數——但對於日常計算而言，這個「相減再相除」的簡單做法就很夠用了。

認識角加速度的單位

在 SI 制中，角加速度以弧度每二次方秒（rad/s²）表示。這個單位直接來自公式：角速度的單位是 rad/s，再除以時間（s）就得到 rad/s²。由於弧度是弧長與半徑的比值、屬於無因次量，rad/s² 有時也會簡寫為 s⁻²。在實務上，許多真實世界的量測一開始是以每分鐘轉數（rpm）或每秒度數表示，因此在計算角加速度之前，往往需要先做單位換算。要把每分鐘轉數換成弧度每秒，請乘以 2π 再除以 60：ω(rad/s) = rpm × 2π ÷ 60。要把每秒度數換成弧度每秒，請乘以 π ÷ 180。忽略這一步換算，是角加速度題目中最常見的錯誤來源之一。

角加速度 vs. 線加速度（切線加速度）

角加速度（α）描述的是整體轉動，而線加速度或切線加速度（a_t）描述的是旋轉物體上某個特定點沿著圓周路徑加速的快慢。兩者透過半徑連結：a_t = α × r，其中 r 是轉軸到該點的距離。這代表同一個旋轉圓盤上的兩個點——一個靠近圓心、一個靠近邊緣——具有相同的角加速度，但切線加速度差異很大，因為外側的點在相同時間內要走過更長的弧線。舉例來說，如果一個圓盤的角加速度是 4 rad/s²，而你觀察的是距離圓心 0.5 m 的一點，那麼該點的切線加速度就是 a_t = 4 × 0.5 = 2 m/s²。

例題 1：等角加速度

假設有個輪子以初角速度 ω_i = 2 rad/s 轉動。經過 4 秒後，它加速到末角速度 ω_f = 14 rad/s。角加速度是多少？

例題 2：從 rpm 求角加速度

某支電鑽的夾頭在 2.5 秒內從靜止加速到 3000 rpm。由於 rpm 不是 SI 單位，使用角加速度公式前必須先換算成 rad/s。

角加速度與力矩、轉動慣量有什麼關係？

角加速度不會憑空發生——它是由作用在具有轉動慣性的物體上的淨力矩所造成。轉動版的牛頓第二定律指出 τ = I × α，其中 τ 是以牛頓·公尺（N·m）為單位的淨力矩，I 則是以 kg·m² 為單位的轉動慣量，用來衡量物體質量相對於轉軸的分布情形。把公式移項可得 α = τ ÷ I，讓你能直接從力矩與轉動慣量算出角加速度，而不必透過角速度隨時間的變化。例如，若對一個轉動慣量為 10 kg·m² 的輪子施加 50 N·m 的力矩，角加速度就是 α = 50 ÷ 10 = 5 rad/s²。這個版本的公式在工程問題中特別實用，因為那裡通常已知力矩與慣量，卻沒有速度量測資料。

角加速度可以是負的嗎？

可以。負的角加速度只是代表物體的角速度正在減小——也就是轉速在下降，有時稱為角減速度。正負號取決於 ω_f 比 ω_i 小還是大，也取決於你選定哪個轉向為正，通常是逆時針方向。舉例來說，一個車輪以 ω_i = 20 rad/s 轉動，煞車時在 3 秒內減慢到 ω_f = 5 rad/s。套用公式：α = (5 − 20) ÷ 3 = −15 ÷ 3 = −5 rad/s²。負號顯示輪子正在減速，並不代表計算出了什麼問題。如果物體一開始就是往負方向旋轉，那麼同方向的「負」角加速度其實代表它正在加速——請務必同時檢查 ω 與 α 的方向，而不是孤立地看它們的正負號。

答案中出現負號代表的是轉速下降，而不是你算錯了。

計算角加速度時最常見的錯誤有哪些？

學生與專業人士在計算角加速度時，有幾種錯誤反覆出現：

練習題與解答

試著做做以下練習題，再對照下方的解答檢查你的算式。

角加速度在現實生活中為什麼重要？

角加速度不只是課本上的公式——它能解釋並預測工程、運動與日常機械中真實的轉動行為。汽車工程師用它來建模輪胎在加速時轉速上升、或在煞車時鎖死的快慢，這直接餵入循跡控制與防鎖死煞車系統。渦輪機與馬達的設計者會計算角加速度，以判斷轉子能多快安全達到工作轉速，而不會對軸承造成過大應力。花式滑冰選手與跳水選手會操控自己的轉動慣量——把手腳收向身體——好在旋轉時提高角速度，這正是 α = τ ÷ I 關係的活生生示範。就連硬碟、離心機與風力發電機葉片，也都依賴精準的角加速度控制才能安全又高效地運作。

快速參考：角加速度公式總表

以下把本文涵蓋的關鍵公式集中整理在一處。α = (ω_f − ω_i) ÷ Δt 用角速度隨時間的變化計算角加速度。α = τ ÷ I 用淨力矩與轉動慣量計算角加速度。a_t = α × r 把角加速度換算成離軸距離 r 處的切線線加速度。對於等角加速度，有兩個轉動運動學方程式對應於標準的直線運動方程式：θ = ω_i t + ½αt² 求出掃過的角度，而 ω_f² = ω_i² + 2αθ 則在不需要直接用到時間的情況下，把末角速度與角度連結起來。全程把角速度保持在 rad/s、力矩保持在 N·m、轉動慣量保持在 kg·m²，單位自然就會導出 rad/s²。