拋體運動練習題：10 道題目與完整解答
拋體運動練習題是熟悉拋物軌跡最快的方式，因為你是實際帶著數字算過一遍，而不只是把公式讀過去。這組 10 道練習題從入門暖身一路走到挑戰等級，涵蓋水平拋射、斜向拋射，以及從高處拋出的情形。每一題都使用 g = 9.8 m/s²、列出完整運算過程，並給出可供你核對自己作答的最終答案，另外還有一節整理學生最常失分的錯誤，以及不靠計算機 App 也能驗算任何答案的方法。
目錄
為什麼要做拋體運動練習題，而不是只複習公式？
把拋體運動方程式讀過一遍會有種「懂了」的感覺，但這和從零開始解一道題並不是同一種能力——辨認哪一條公式對應哪一種情境、把分量分開處理，並在錯誤變成錯答案之前抓出自己的代數失誤。學生在拋體運動上卡關，原因通常不是公式難，而是公式有好幾條，而選對哪一條取決於很容易被略讀掉的細節：發射高度和落地高度相同嗎？物體一開始有沒有垂直方向的初速度？題目問的是相對發射點的高度，還是相對地面的高度？練習題會逼你每一次都注意到這些細節，而這正是小考和考試真正測驗的能力。以下 10 道題目分成入門、中等和挑戰三個等級。先在紙上算過每一題再看解答——就算只做到一半，再把自己的列式和解題步驟比對，也遠比被動讀完一份現成解答更能建立理解。每一題都使用 g = 9.8 m/s² 並完整列出運算，所以如果答案對不上，你可以精確找出自己是從哪一步開始走偏的。
讓拋體運動從勉強及格變成穩定拿分的關鍵，不是公式本身——而是能辨認出某個情境該用哪一條公式。
開始做這些練習題之前，你需要哪些公式？
四條方程式基本上就涵蓋了你會遇到的所有拋體運動練習題。做下面的題目時把它們放在手邊，並特別注意射程捷徑公式附帶的那一個條件——它是錯答案最常見的單一來源。
1. 速度分量
vₓ₀ = v₀ × cos(θ)，v_y₀ = v₀ × sin(θ)，其中 v₀ 是發射速率、θ 是相對水平方向的發射角。純水平拋射時 θ = 0°，因此 vₓ₀ = v₀、v_y₀ = 0。
2. 飛行時間
當發射高度與落地高度相同時：T = 2v_y₀ ÷ g。當發射點高於或低於落地點某個高度 h 時，改用一元二次公式解 h + v_y₀t − ½gt² = 0——等高度的捷徑公式在此不適用。
3. 最大高度
H = v_y₀² ÷ (2g)，這是相對發射點量測的高度。如果題目問的是相對地面的高度，要再加上發射高度。
4. 水平射程
R = vₓ₀ × T 永遠成立，只要代入你前面算出的飛行時間即可。捷徑公式 R = v₀² × sin(2θ) ÷ g 只有在發射高度等於落地高度時才成立——把它用在從高處發射的題目上，是拿到錯答案最快的方式。
R = vₓ₀ × T 適用於每一道拋體運動題目。R = v₀²sin(2θ)/g 只有在發射與落地高度相同時才成立——把它當成捷徑，而不是通則。
3 道入門暖身題（附完整解答）
這三題數字單純、情境直接——不需要用到一元二次公式。先自己算過，再看下方的詳解。
1. Q1（入門）——書本滑落桌面
一本書以 1.8 m/s 的速率從高 0.72 m 的水平桌面滑落。它要多久才會落地？落地點距離桌子多遠？解答：因為是水平拋射，v_y₀ = 0，所以 t = √(2h ÷ g) = √(2 × 0.72 ÷ 9.8) = √(1.44 ÷ 9.8) = √0.1469 ≈ 0.38 s。射程：R = vₓ₀ × t = 1.8 × 0.38 ≈ 0.69 m。答案：約 0.38 s 與 0.69 m。
2. Q2（入門）——只求最大高度
一顆球從地面以 8 m/s、相對水平 50° 的角度發射。求它的最大高度。解答：v_y₀ = 8 × sin(50°) = 8 × 0.766 ≈ 6.13 m/s。H = v_y₀² ÷ (2g) = 6.13² ÷ 19.6 = 37.58 ÷ 19.6 ≈ 1.92 m。答案：約 1.92 m。
3. Q3（入門）——水平擲出的飛鏢
一支飛鏢從 1.25 m 高處以 5 m/s 水平擲出。求水平射程。解答：t = √(2 × 1.25 ÷ 9.8) = √(2.5 ÷ 9.8) = √0.2551 ≈ 0.51 s。R = 5 × 0.51 ≈ 2.53 m。答案：約 2.53 m。
每一道水平拋射題最後都會收斂到同一個捷徑：t = √(2h/g)。立刻認出 v_y₀ = 0，就是解入門題最快的路徑。
中等難度的水平拋射練習題該怎麼解？
中等難度的水平拋射用的方法和入門題完全相同，只是數字更大、更不好算——正好可以練習在考試壓力下維持運算的正確性。
1. Q4（中等）——高爾夫球滾落懸崖
一顆高爾夫球以 14 m/s 的水平速率從 22 m 高的懸崖邊緣滾落。求飛行時間與水平射程。
2. 步驟 1 —— 飛行時間
v_y₀ = 0，所以 t = √(2h ÷ g) = √(2 × 22 ÷ 9.8) = √(44 ÷ 9.8) = √4.490 ≈ 2.12 s。
3. 步驟 2 —— 水平射程
R = vₓ₀ × t = 14 × 2.12 ≈ 29.7 m。
4. 步驟 3 —— 驗算
22 m 的懸崖（大約七層樓的落差）花剛好兩秒多落地，符合自由落體的直覺；而 14 m/s 在這段時間內把球帶出大約 30 m，也是個合理、不極端的射程。答案：t ≈ 2.12 s、R ≈ 29.7 m。
數字變大並不會改變方法——只會讓你更容易掉一個小數點。把每個中間值寫出來，不要在計算機上一連串按到底。
斜向拋射的練習題該怎麼解？
從地面斜向拋射是最常見的拋體運動題型，這個範例會用同一次發射，完整算出三個標準輸出——最大高度、飛行時間與水平射程。
1. Q5（中等）——標槍擲出
一支標槍從地面以 22 m/s、相對水平 42° 的角度擲出。求最大高度、飛行時間與水平射程。
2. 步驟 1 —— 分量
vₓ₀ = 22 × cos(42°) = 22 × 0.7431 ≈ 16.35 m/s。v_y₀ = 22 × sin(42°) = 22 × 0.6691 ≈ 14.72 m/s。
3. 步驟 2 —— 最大高度
H = v_y₀² ÷ (2g) = 14.72² ÷ 19.6 = 216.7 ÷ 19.6 ≈ 11.06 m。
4. 步驟 3 —— 飛行時間
發射與落地高度相同（都在地面），所以 T = 2v_y₀ ÷ g = 2 × 14.72 ÷ 9.8 = 29.44 ÷ 9.8 ≈ 3.00 s。
5. 步驟 4 —— 水平射程
R = vₓ₀ × T = 16.35 × 3.00 ≈ 49.1 m。因為高度相同，可用捷徑公式交叉驗證：R = v₀² × sin(2θ) ÷ g = 484 × sin(84°) ÷ 9.8 = 484 × 0.9945 ÷ 9.8 ≈ 49.1 m——兩種方法一致。答案：H ≈ 11.06 m、T ≈ 3.00 s、R ≈ 49.1 m。
當發射與落地高度相同時，R = vₓ₀ × T 和捷徑公式的結果差距應該永遠在四捨五入誤差之內——這是一個免費內建的檢查機制。
當發射點高於落地點時，會有什麼改變？
從高處發射的題目是挑戰等級的常客，因為等高度的時間捷徑公式不再適用——你必須回頭使用完整的一元二次方程式。
1. Q6（挑戰）——從城牆上發射的砲彈
一顆砲彈從 30 m 高的城牆頂端以 25 m/s、相對水平 30° 的角度射出。求飛行時間與水平射程。
2. 步驟 1 —— 分量
vₓ₀ = 25 × cos(30°) = 25 × 0.8660 ≈ 21.65 m/s。v_y₀ = 25 × sin(30°) = 25 × 0.5 = 12.5 m/s。
3. 步驟 2 —— 列出垂直方向的方程式
以發射點為基準，向下的位移記為 −30 m：−30 = 12.5t − 4.9t²，整理後得到 4.9t² − 12.5t − 30 = 0。
4. 步驟 3 —— 用一元二次公式求解
t = [12.5 ± √(12.5² + 4 × 4.9 × 30)] ÷ (2 × 4.9) = [12.5 ± √(156.25 + 588)] ÷ 9.8 = [12.5 ± √744.25] ÷ 9.8 = [12.5 ± 27.28] ÷ 9.8。負根不符合物理意義，所以 t = (12.5 + 27.28) ÷ 9.8 ≈ 4.06 s。
5. 步驟 4 —— 射程與驗算
R = vₓ₀ × t = 21.65 × 4.06 ≈ 87.9 m。把 t 代回垂直方程式驗算：12.5 × 4.06 − 4.9 × 4.06² = 50.75 − 80.77 ≈ −30.0 m，正負號正確且與城牆高度吻合。答案：t ≈ 4.06 s、R ≈ 87.9 m。
只要發射與落地高度不同，就跳過所有捷徑公式，直接用一元二次公式解 h + v_y₀t − ½gt² = 0——這是唯一永遠不會出錯的方法。
4 道挑戰等級練習題，測試你的實力
這四題把斜向拋射和高度差結合在一起，是最難的標準組合。完整走過整套方法——先算分量、再用一元二次方程式求時間、最後求射程——然後把你的答案和下面的數字對照。
1. Q7（挑戰）——山丘上的投石機
一台投石機從高於目標地面 15 m 的山丘上，以 30 m/s、相對水平 55° 的角度拋出一顆石頭。求水平射程。答案：t ≈ 5.57 s、R ≈ 95.8 m。
2. Q8（入門—中等）——從平台邊緣擲出的飛盤
一個飛盤從 1.5 m 高處以 9 m/s 水平擲出。求飛行時間與水平射程。答案：t ≈ 0.55 s、R ≈ 4.98 m。
3. Q9（中等）——地面斜向拋射
一顆球從地面以 18 m/s、相對水平 25° 的角度發射。求最大高度、飛行時間與水平射程。答案：H ≈ 2.95 m、T ≈ 1.55 s、R ≈ 25.3 m。
4. Q10（挑戰）——從平台以大角度發射
一顆球從 10 m 高的平台上以 40 m/s、相對水平 60° 的角度發射。求飛行時間與水平射程。答案：t ≈ 7.35 s、R ≈ 146.9 m。
如果你在挑戰題上的答案偏差超過四捨五入誤差，先重做一元二次公式那一步——根號裡的正負號錯誤，是這類題目最常出錯的地方。
拋體運動練習題上，哪些錯誤最容易失分？
拋體運動題目上絕大多數的失分，都來自同樣那幾種錯誤，而每一種都只要在某個特定步驟放慢速度就能避免。
1. 高度不相等時仍使用射程捷徑公式
R = v₀²sin(2θ)/g 只有在發射與落地高度相同時才成立。把它套用在從懸崖或平台發射的題目上，會得到一個「很有自信但錯誤」的答案——除非你已明確確認高度相同，否則一律預設使用 R = vₓ₀ × T。
2. 一元二次方程式中把高度的正負號弄丟
當發射點高於落地點、要解 h + v_y₀t − ½gt² = 0 時，h 應以相對發射點的負位移代入，或者把方程式列成 −h = v_y₀t − ½gt²。正負號慣例混用會讓答案完全走樣。
3. 角度與三角函數用錯
把正弦和餘弦調換——垂直分量誤用 cos(θ) 而不是 sin(θ)——是分量分解時最常見的單一錯誤。代入數字之前，先再確認一次：垂直分量用 sin(θ)、水平分量用 cos(θ)。
4. 中間值太早四捨五入
把 vₓ₀ 或 v_y₀ 四捨五入到兩位有效數字後再拿去做後續計算，誤差會在接下來的整題中不斷放大。中間步驟至少保留四位有效數字，只在最終答案才四捨五入。
大多數拋體運動的錯誤都不是觀念問題——而是把捷徑公式用在它唯一成立條件之外的地方。
如何驗證自己的拋體運動答案是否正確？
三種檢查方式幾乎能在交卷前抓出所有拋體運動的錯誤，而且都不需要計算機 App。
1. 單位檢查
追蹤每一條公式中的單位。√(m ÷ (m/s²)) 應該化簡成秒；(m/s)² ÷ (m/s²) 應該化簡成公尺。如果單位無法乾淨地約掉，代表代數過程中某一項被處理錯了。
2. 數量級檢查
問問自己這個數字對這個情境合不合理。從桌面高度落下的球，落地時間應該遠小於一秒；以每秒數十公尺發射的砲彈，射程應該是數十到數百公尺，而不是數千公尺。答案差了一個數量級，通常代表有個平方項被漏掉了。
3. 代回檢查
把你算出的時間代回原本的垂直位置方程式，確認它會回到你一開始設定的高度，就像上面 Q6 那樣。單單這一步就能抓出單位檢查和數量級檢查都可能漏掉的正負號錯誤與一元二次公式失誤。
把答案代回你一開始使用的方程式，是最可靠的單一檢查方式——它能抓到單位檢查和數量級檢查都會漏掉的錯誤。
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練習題的目標不是那個最終數字——而是下一題你能自己正確地列出式子。
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