Forme standard d'une équation linéaire : Ax + By = C expliquée
La forme standard d'une équation linéaire, écrite comme Ax + By = C, est l'une des trois façons fondamentales d'exprimer une relation linéaire — et elle a des avantages clairs par rapport aux autres formes pour identifier les deux interceptions à la fois, résoudre des systèmes d'équations et présenter les résultats au format entier que la plupart des manuels et des examens exigent. Contrairement à la forme pente-intersection y = mx + b, qui te donne la pente et l'interception y directement, une équation linéaire en forme standard révèle à la fois l'interception x et l'interception y par deux substitutions rapides. Ce guide se concentre entièrement sur Ax + By = C : ce que signifie la forme et pourquoi elle existe, comment la convertir de la forme pente-intersection et point-pente, comment la représenter graphiquement à l'aide de la méthode d'interception, et les conventions de signe et GCD qui déterminent si une équation en forme standard est complètement simplifiée.
Sommaire
- 01Qu'est-ce que la forme standard d'une équation linéaire ?
- 02Comment convertis-tu la forme pente-intersection en forme standard ?
- 03Comment convertis-tu la forme point-pente en forme standard ?
- 04Comment représentes-tu graphiquement une équation linéaire en forme standard en utilisant les interceptions ?
- 05Quelles sont les règles de signe et PGCD pour la forme standard ?
- 06Erreurs courantes que les étudiants commettent avec la forme standard
- 07Problèmes pratiques : Convertis ces équations en forme standard
- 08FAQ : Forme standard d'une équation linéaire
Qu'est-ce que la forme standard d'une équation linéaire ?
La forme standard d'une équation linéaire s'écrit comme Ax + By = C, où A, B et C sont des entiers, A est non négatif (A ≥ 0), et A et B ne sont pas tous les deux zéro. Le terme x vient en premier, suivi du terme y, avec la constante à droite du signe égal. Ce format diffère de la forme pente-intersection y = mx + b, où la pente m et l'interception y b sont visibles en un coup d'œil, et de la forme point-pente y − y₁ = m(x − x₁), qui est utile quand tu connais un point et une pente. La forme standard est plus utile dans deux situations : lire rapidement les deux interceptions (définis une variable à zéro pour trouver l'autre) et écrire l'équation dans un format uniforme, sans fraction, attendu dans de nombreux cours d'algèbre et de préalcul. Dans l'équation 3x + 4y = 12, par exemple, l'interception x est trouvée en définis y = 0 : 3x = 12, x = 4. L'interception y est trouvée en définis x = 0 : 4y = 12, y = 3. Les deux interceptions apparaissent en deux étapes chacune — sans réorganisation requise.
1. Contraintes clés pour la forme standard
A doit être un entier non négatif : A ≥ 0. Si A = 0, alors B doit être positif (B > 0). A et B ne peuvent pas être zéro simultanément, car cela produirait l'équation 0 = C, qui n'a soit aucune solution soit infiniment de solutions. A, B et C doivent tous être des entiers — pas de fractions ni de décimales. Le PGCD de |A|, |B| et |C| doit être égal à 1 : les trois coefficients ne partagent aucun facteur commun autre que 1. Par exemple, 6x + 4y = 10 viole cette règle car PGCD(6, 4, 10) = 2 ; la forme correctement simplifiée est 3x + 2y = 5.
2. Forme standard vs. autres formes linéaires
La forme pente-intersection y = mx + b affiche la pente m et l'interception y b immédiatement — mieux pour tracer rapidement et pour comparer deux lignes. La forme point-pente y − y₁ = m(x − x₁) est naturelle quand un problème te donne un point et une pente — meilleure comme forme de départ avant de réécrire. La forme standard Ax + By = C ne révèle ni pente ni interception y directement mais rend trivial de trouver les deux interceptions et maintient tous les coefficients comme des entiers — meilleur pour les systèmes d'équations et pour la présentation finale. Les trois formes décrivent la même ligne ; la conversion entre elles est une compétence algébrique fondamentale.
Forme standard Ax + By = C : A et B sont des entiers, A ≥ 0, et PGCD(|A|, |B|, |C|) = 1. Elle révèle les deux interceptions en deux substitutions.
Comment convertis-tu la forme point-pente en forme standard ?
La forme point-pente y − y₁ = m(x − x₁) est souvent le point de départ naturel quand un problème te donne un point et une pente, ou deux points. La conversion en forme standard prend quatre étapes : distribue la pente, collecte tous les termes d'un côté pour que seule la constante demeure à droite, éliminer toutes les fractions en multipliant par le PPCM, et appliquer A ≥ 0 et la règle PGCD. Les exemples ci-dessous montrent tous les cas, y compris les pentes fractionnaires et les coordonnées x négatives.
1. Exemple 1 : pente 2, point (1, 3)
Écris la forme point-pente : y − 3 = 2(x − 1). Distribue : y − 3 = 2x − 2. Déplace 2x vers la gauche : −2x + y − 3 = −2. Déplace −3 vers la droite : −2x + y = −2 + 3 = 1. A = −2 est négatif, donc multiplie par −1 : 2x − y = −1. Vérifie : A = 2 > 0 ✓ ; tous les entiers ✓ ; PGCD(2, 1, 1) = 1 ✓. Forme standard : 2x − y = −1. Vérifie le point original : 2(1) − (3) = 2 − 3 = −1 ✓.
2. Exemple 2 : pente 3/5, point (−5, 1)
Forme point-pente : y − 1 = (3/5)(x − (−5)) = (3/5)(x + 5). Multiplie les deux côtés par 5 pour éliminer la fraction : 5(y − 1) = 3(x + 5). Distribue : 5y − 5 = 3x + 15. Déplace 3x vers la gauche : −3x + 5y − 5 = 15. Déplace −5 vers la droite : −3x + 5y = 20. A = −3 est négatif, donc multiplie par −1 : 3x − 5y = −20. Vérifie : A = 3 > 0 ✓ ; PGCD(3, 5, 20) = 1 ✓. Vérifie : 3(−5) − 5(1) = −15 − 5 = −20 ✓.
3. Exemple 3 : deux points (2, −1) et (−4, 5)
D'abord, trouve la pente : m = (5 − (−1)) / (−4 − 2) = 6 / (−6) = −1. Utilise le point (2, −1) : y − (−1) = −1(x − 2) → y + 1 = −x + 2 → x + y + 1 = 2 → x + y = 1. Vérifie : A = 1 > 0 ✓ ; tous les entiers ✓ ; PGCD(1, 1, 1) = 1 ✓. Forme standard : x + y = 1. Vérifie les deux points originaux : 2 + (−1) = 1 ✓ ; (−4) + 5 = 1 ✓.
Point-pente à forme standard : distribue, collecte tous les termes variables à gauche et les constantes à droite, éliminer les fractions, puis corrige A ≥ 0 et PGCD = 1.
Comment représentes-tu graphiquement une équation linéaire en forme standard en utilisant les interceptions ?
La méthode d'interception est la façon la plus rapide de représenter graphiquement une équation linéaire en forme standard. Parce que le format Ax + By = C isole l'interception de chaque variable avec une seule substitution, tu peux localiser les deux points d'ancrage en environ dix secondes chacun. Procédure : définis x = 0 et résous pour y pour obtenir l'interception y ; définis y = 0 et résous pour x pour obtenir l'interception x ; trace les deux interceptions ; trouve un troisième point de vérification ; dessine la ligne à travers les trois avec des flèches aux deux extrémités. Deux exemples résolus suivent — un avec des coefficients positifs et un avec un B négatif.
1. Exemple 1 : 4x + 3y = 12
Interception y : définis x = 0 : 3y = 12 → y = 4. Point : (0, 4). Interception x : définis y = 0 : 4x = 12 → x = 3. Point : (3, 0). Troisième point : choisir x = 6 : 4(6) + 3y = 12 → 24 + 3y = 12 → 3y = −12 → y = −4. Point : (6, −4). Vérifie : 4(6) + 3(−4) = 24 − 12 = 12 ✓. Trace (0, 4), (3, 0), (6, −4) et dessine la ligne. Vérification de pente : réorganise en y = −(4/3)x + 4 — la ligne descend vers la droite, ce qui correspond au graphique.
2. Exemple 2 : 2x − 5y = −10
Interception y : définis x = 0 : −5y = −10 → y = 2. Point : (0, 2). Interception x : définis y = 0 : 2x = −10 → x = −5. Point : (−5, 0). Troisième point : choisir x = 5 : 2(5) − 5y = −10 → 10 − 5y = −10 → −5y = −20 → y = 4. Point : (5, 4). Vérifie : 2(5) − 5(4) = 10 − 20 = −10 ✓. Trace (−5, 0), (0, 2), (5, 4) et dessine la ligne montant vers la droite. Pente : réorganise en y = (2/5)x + 2, pente = 2/5 ✓.
3. Quand les deux interceptions sont à l'origine
Si l'équation en forme standard est Ax + By = 0 (C = 0), les deux interceptions sont (0, 0), ce qui te donne seulement un point distinct avec lequel travailler. Dans ce cas, trouve un point supplémentaire en choisissant une valeur de x pratique autre que 0. Pour 3x − 2y = 0 : définis x = 2 : 3(2) − 2y = 0 → 2y = 6 → y = 3. Deuxième point : (2, 3). Pente : 3/2. Dessine la ligne à travers (0, 0) et (2, 3). C'est un cas particulier qui vaut la peine d'être reconnu immédiatement — toute équation en forme standard avec C = 0 passe par l'origine.
Méthode d'interception pour Ax + By = C : substitue x = 0 pour obtenir l'interception y ; substitue y = 0 pour obtenir l'interception x. Deux substitutions, deux points d'ancrage, une ligne droite.
Quelles sont les règles de signe et PGCD pour la forme standard ?
Deux exigences techniques distinguent une équation linéaire en forme standard correctement écrite d'une version valide mais non simplifiée : le coefficient principal A doit être non négatif, et le PGCD de tous les trois coefficients doit être égal à 1. De nombreux étudiants peuvent réorganiser une équation en Ax + By = C sans problèmes mais s'arrêtent ensuite avant de vérifier ces deux règles — et perdent des points de présentation en conséquence. Les étapes ci-dessous montrent comment appliquer les deux règles systématiquement.
1. Règle 1 : Rendre A non négatif
Si tu termines avec un A négatif après réorganisation, multiplie l'équation entière par −1. Cela inverse le signe de chaque coefficient. Exemple : −5x + 2y = 8 a A = −5 < 0. Multiplie par −1 : 5x − 2y = −8. Maintenant A = 5 > 0. Note que C a aussi changé de signe, de 8 à −8. Vérifie en substituant un point : définis y = 0 dans les deux versions — x = 8/(−5) = −8/5 et x = −8/5 ✓. Les deux donnent la même interception x, confirmant que les équations décrivent la même ligne. Exception : si A = 0 (le terme x est absent), B doit être positif. Pour 0x − 3y = 9, multiplie par −1 pour obtenir 3y = −9, c'est-à-dire y = −3 (une ligne horizontale).
2. Règle 2 : Éliminer le PGCD
Trouve PGCD(|A|, |B|, |C|) et divise chaque terme par lui. Exemple : 12x − 8y = 20. PGCD(12, 8, 20) = 4. Divise les trois coefficients par 4 : 3x − 2y = 5. Vérifie PGCD(3, 2, 5) = 1 ✓. Les deux équations représentent la même ligne — diviser par un facteur commun met à l'échelle chaque coefficient de manière égale, laissant l'ensemble des solutions inchangé. Si tu sautes cette étape, l'équation est techniquement valide mais pas en forme standard complètement simplifiée.
3. Combinaison des deux règles : un exemple de nettoyage complet
Résultat brut après réorganisation : −9x + 6y = −15. Étape 1 — A négatif : multiplie par −1 : 9x − 6y = 15. Étape 2 — PGCD(9, 6, 15) = 3 : divise par 3 : 3x − 2y = 5. Forme standard complètement simplifiée : 3x − 2y = 5. Vérifie l'interception x : 3x = 5, x = 5/3. Vérifie l'interception y : −2y = 5, y = −5/2. Ce sont les mêmes interceptions que la version originale non simplifiée, confirmant que les équations sont équivalentes.
4. Traitement des coefficients non entiers avant le nettoyage
Si la réorganisation produit des coefficients fractionnaires, éliminer-les avant d'appliquer la règle PGCD. Exemple : (1/2)x − (3/4)y = 2. PPCM = 4. Multiplie par 4 : 2x − 3y = 8. Maintenant vérifie : A = 2 > 0 ✓ ; PGCD(2, 3, 8) = 1 ✓. Forme standard complètement simplifiée : 2x − 3y = 8. Toujours éliminer les fractions avant de vérifier le PGCD — la règle PGCD s'applique uniquement aux entiers.
Après réorganisation en Ax + By = C : (1) si A < 0, multiplie par −1 ; (2) divise par PGCD(|A|, |B|, |C|) jusqu'à qu'aucun facteur commun ne demeure.
Erreurs courantes que les étudiants commettent avec la forme standard
Les erreurs de forme standard ont tendance à se regrouper autour de cinq habitudes prévisibles. Chacune vaut la peine de savoir à l'avance, car l'algèbre de la réorganisation se déroule souvent sans problème tandis que la vérification finale est oubliée — laissant une équation qui est incorrecte ou non simplifiée.
1. Laisser les coefficients fractionnaires dans la réponse finale
Une équation linéaire en forme standard requiert des coefficients entiers. Après conversion de y = (2/5)x − 3/5, la multiplication par 5 donne 5y = 2x − 3, qui se réorganise en 2x − 5y = 3. S'arrêter à y = (2/5)x − 3/5 et simplement déplacer le terme x sans éliminer les fractions produit (−2/5)x + y = −3/5 — techniquement correct mais pas sous forme standard. Toujours appliquer la multiplication par PPCM avant de dire que l'équation est terminée.
2. Oublier de rendre A positif
Après déplacement de tous les termes vers la gauche, il est courant de terminer avec un coefficient principal négatif et de négliger la correction de signe. Par exemple, réorganiser y = 4x + 2 en −4x + y = 2 est une équation valide mais pas sous forme standard car A = −4 < 0. Multiplier par −1 donne 4x − y = −2. Chaque terme inverse le signe — y compris C. Vérification cohérente : si le terme x est négatif à la fin, multiplie par −1 immédiatement.
3. Omission de la réduction PGCD
Les équations comme 4x + 6y = 10 satisfont les autres règles (A > 0, entiers, pas de fractions) mais échouent la règle PGCD puisque PGCD(4, 6, 10) = 2. Diviser par 2 donne la forme complètement simplifiée 2x + 3y = 5. Dans un test à choix multiple, seul 2x + 3y = 5 apparaîtra comme la bonne réponse — 4x + 6y = 10 représente la même ligne mais sera marqué incorrect si la question demande la forme standard.
4. Confondre x et y lors de la recherche d'interceptions
Pour l'équation linéaire en forme standard Ax + By = C : pour trouver l'interception y, définis x = 0 (non y = 0). Définir la mauvaise variable à zéro donne l'interception x à la place. Une habitude fiable : dis à voix haute "pour l'interception y, x disparaît" et substitue x = 0. Pour 5x + 2y = 20 : l'interception y est 2y = 20, y = 10, point (0, 10) ; l'interception x est 5x = 20, x = 4, point (4, 0).
5. Déplacer uniquement la variable, pas son signe
Quand tu déplaces le terme x du côté droit de y = mx + b vers le côté gauche, certains étudiants déplacent uniquement la variable et laissent le signe à droite. En y = 2x + 7 : soustraire 2x des deux côtés donne −2x + y = 7. Le −2 doit accompagner x vers la gauche. Écrire y − 2x = 7 est une alternative, mais l'arrangement conventionnel place le terme x en premier, donc réorganise en −2x + y = 7 puis multiplie par −1 : 2x − y = −7.
Problèmes pratiques : Convertis ces équations en forme standard
Travaille sur chaque problème avant de lire la solution. Pour chaque équation, identifie la forme dans laquelle elle se trouve actuellement, applique la procédure de conversion appropriée, nettoie les signes et PGCD, puis vérifie en vérifiant au moins une interception contre l'équation originale.
1. Problème 1 — y = −2x + 6
Déplace −2x vers la gauche : ajoute 2x aux deux côtés : 2x + y = 6. Vérifie : A = 2 > 0 ✓ ; PGCD(2, 1, 6) = 1 ✓. Forme standard : 2x + y = 6. Interception y : définis x = 0 : y = 6 → (0, 6). Original : y = −2(0) + 6 = 6 ✓. Interception x : définis y = 0 : 2x = 6, x = 3 → (3, 0). Original : y = −2(3) + 6 = 0 ✓.
2. Problème 2 — y = (3/4)x − 3
Éliminer la fraction — multiplie les deux côtés par 4 : 4y = 3x − 12. Déplace 3x vers la gauche : −3x + 4y = −12. A = −3 < 0 — multiplie par −1 : 3x − 4y = 12. Vérifie : A = 3 > 0 ✓ ; PGCD(3, 4, 12) = 1 ✓. Forme standard : 3x − 4y = 12. Interception y : définis x = 0 : −4y = 12, y = −3 → (0, −3). Original : y = (3/4)(0) − 3 = −3 ✓.
3. Problème 3 — y + 5 = −(1/2)(x − 4)
C'est la forme point-pente avec le point (4, −5) et la pente −1/2. Multiplie les deux côtés par 2 : 2(y + 5) = −1(x − 4). Distribue : 2y + 10 = −x + 4. Déplace −x vers la gauche : x + 2y + 10 = 4. Déplace 10 vers la droite : x + 2y = −6. Vérifie : A = 1 > 0 ✓ ; PGCD(1, 2, 6) = 1 ✓. Forme standard : x + 2y = −6. Vérifie le point (4, −5) : 4 + 2(−5) = 4 − 10 = −6 ✓.
4. Problème 4 — 6x − 9y = 15 (simplifier la forme standard existante)
Tous les coefficients sont des entiers et A = 6 > 0, mais PGCD(6, 9, 15) = 3. Divise chaque terme par 3 : 2x − 3y = 5. Vérifie : A = 2 > 0 ✓ ; PGCD(2, 3, 5) = 1 ✓. Forme standard : 2x − 3y = 5. Interception x : définis y = 0 : 2x = 5, x = 5/2. Original : 6(5/2) − 9(0) = 15 ✓. Même interception — confirmant que la forme simplifiée décrit la même ligne.
FAQ : Forme standard d'une équation linéaire
Ce sont les questions que les étudiants posent le plus souvent lorsqu'ils travaillent avec la forme standard pour la première fois. Chaque réponse explique le raisonnement, pas seulement la règle.
1. Pourquoi A doit-il être non négatif en forme standard ?
La convention A ≥ 0 n'est pas une exigence mathématique — multiplier par −1 produit toujours une équation équivalente. C'est une convention notationelle pour assurer une représentation unique et canonique. Sans elle, la même ligne pourrait s'écrire comme 3x − 2y = 5 et −3x + 2y = −5 (les deux valides). La règle A ≥ 0 choisit une version de manière cohérente, ce qui est essentiel lors de la vérification des réponses, de la comparaison des équations ou de la vérification si deux formes correspondent. La plupart des manuels et des tests standardisés attendent cette convention et marquent la version A négative comme incorrecte.
2. Une équation linéaire en forme standard peut-elle avoir un C négatif ?
Oui. C peut être n'importe quel entier — positif, négatif ou zéro. Le signe de C est défini par l'algèbre de la réorganisation ; il n'est pas contrôlé indépendamment. Par exemple, 2x − 3y = −12 est complètement correct en forme standard (A = 2 > 0, PGCD(2, 3, 12) = 1). Seul A est contraint d'être non négatif. C négatif est normal et ne nécessite aucun ajustement supplémentaire.
3. Comment trouves-tu la pente à partir d'une équation linéaire en forme standard ?
Réorganise Ax + By = C en forme pente-intersection : soustrait Ax des deux côtés pour obtenir By = −Ax + C, puis divise par B pour obtenir y = −(A/B)x + C/B. La pente est m = −A/B et l'interception y est b = C/B. Pour 4x + 3y = 12 : pente = −4/3 et interception y = 12/3 = 4. Si B = 0, l'équation est une ligne verticale (Ax = C, ou x = C/A) — la pente est indéfinie et la forme pente-intersection n'existe pas.
4. Ax + By + C = 0 est-il la même chose que la forme standard ?
Ax + By + C = 0 s'appelle la forme générale, pas la forme standard. En forme générale, la constante est sur le côté gauche avec un coefficient assigné à celui-ci. La forme standard Ax + By = C a la constante isolée à droite. Déplacer C vers la gauche change son signe, donc 3x − 2y = 5 en forme standard devient 3x − 2y − 5 = 0 en forme générale. Les deux décrivent la même ligne, mais la forme standard et la forme générale sont des conventions distinctes — tes instructions de cours ou d'examen spécifieront laquelle est requise.
5. Que se passe-t-il si A et B sont tous les deux zéro ?
Si A = 0 et B = 0, l'équation s'effondre en 0 = C. Si C ≠ 0, c'est une contradiction — aucune paire (x, y) ne la satisfait (pas de solution). Si C = 0, c'est toujours vrai — chaque (x, y) la satisfait (toutes les solutions). Aucun des deux cas ne représente une ligne. C'est pourquoi la définition de la forme standard exige explicitement que A et B ne soient pas simultanément zéro : une équation linéaire en deux variables doit avoir au moins une variable avec un coefficient non zéro.
Articles connexes
Comment représenter graphiquement une équation linéaire : Guide étape par étape
Applique la méthode d'interception de cet article pour représenter graphiquement n'importe quelle équation linéaire — couvrant pente-intersection, forme standard et cas à deux points avec des exemples résolus.
Comment résoudre des équations linéaires : Guide complet étape par étape
Maîtrise la résolution des équations linéaires en une variable avant de travailler avec la forme standard — couvrant les équations à une étape, deux étapes, plusieurs étapes et fractionnaires.
Comment trouver l'équation d'une ligne (Étape par étape)
Apprends comment écrire l'équation d'une ligne à partir de pente et de point, à partir de deux points ou à partir d'un graphique — une compétence qui alimente directement la conversion en forme standard.
Solveurs mathématiques
Solutions étape par étape
Obtiens des explications détaillées pour chaque étape, pas seulement la réponse finale.
Solveur d'analyse intelligente
Prends une photo de n'importe quel problème mathématique et obtiens une solution instantanée étape par étape.
Tuteur de mathématiques IA
Pose des questions de suivi et obtiens des explications personnalisées 24h/24, 7j/7.
Matières connexes
Aide à l'algèbre
Guide complet pour résoudre les équations algébriques et les problèmes écrits — des équations linéaires aux équations quadratiques et au-delà.
Feuille de travail Représentation graphique des équations linéaires
Pratique le tracé des équations linéaires dans les trois formes — pente-intersection, forme standard et point-pente — avec les problèmes de feuille de travail imprimables.
Comment convertis-tu la forme pente-intersection en forme standard ?
La conversion de la forme pente-intersection y = mx + b à la forme standard Ax + By = C suit trois étapes : éliminer toutes les fractions en multipliant par le PPCM, déplacer le terme x vers le côté gauche pour que l'équation se lise Ax + By = C, puis vérifier que A soit positif — s'il est négatif, multiplier l'équation entière par −1. Terminer en vérifiant que le PGCD de |A|, |B| et |C| est 1. Les exemples résolus ci-dessous couvrent les pentes entières, les pentes fractionnaires et les pentes négatives.
1. Exemple 1 : y = 3x − 5 (pente entière)
Commence avec y = 3x − 5. Déplace le terme x vers la gauche en soustrayant 3x des deux côtés : −3x + y = −5. Parce que A = −3 est négatif, multiplie l'équation entière par −1 : 3x − y = 5. Vérifie : A = 3 > 0 ✓ ; tous les entiers ✓ ; PGCD(3, 1, 5) = 1 ✓. Forme standard : 3x − y = 5. Vérifie l'interception x : définis y = 0, 3x = 5, x = 5/3. Original : y = 3(5/3) − 5 = 5 − 5 = 0 ✓.
2. Exemple 2 : y = (2/3)x + 4 (pente fractionnaire)
Multiplie les deux côtés par 3 (le PPCM) pour éliminer la fraction : 3y = 2x + 12. Déplace 2x vers la gauche : −2x + 3y = 12. A = −2 est négatif, donc multiplie par −1 : 2x − 3y = −12. Vérifie : A = 2 > 0 ✓ ; tous les entiers ✓ ; PGCD(2, 3, 12) = 1 ✓. Forme standard : 2x − 3y = −12. Vérifie l'interception y : définis x = 0, −3y = −12, y = 4. Original : y = (2/3)(0) + 4 = 4 ✓.
3. Exemple 3 : y = −(3/4)x + 1/2 (pente fractionnaire négative)
Le PPCM de 4 et 2 est 4. Multiplie les deux côtés par 4 : 4y = −3x + 2. Déplace −3x vers la gauche : 3x + 4y = 2. Vérifie : A = 3 > 0 ✓ ; tous les entiers ✓ ; PGCD(3, 4, 2) = 1 ✓. Forme standard : 3x + 4y = 2. Vérifie l'interception x : définis y = 0, 3x = 2, x = 2/3. Original : y = −(3/4)(2/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓.
4. Exemple 4 : y = (5/6)x − 5/3 (réduction PGCD requise)
Le PPCM de 6 et 3 est 6. Multiplie les deux côtés par 6 : 6y = 5x − 10. Déplace 5x vers la gauche : −5x + 6y = −10. A = −5 est négatif, multiplie par −1 : 5x − 6y = 10. Vérifie PGCD(5, 6, 10) = 1 ✓. Forme standard : 5x − 6y = 10. Remarque : si le résultat avait été 10x − 12y = 20, tu divisérais par PGCD(10, 12, 20) = 2 pour obtenir 5x − 6y = 10.