ガイド代数

二次方程式と根号方程式を解く：完全なステップバイステップガイド

March 26, 2026·18分の読み取り時間·Solvifyチーム

二次方程式と根号方程式を解くことは、代数で最も重要な2つのスキルを表しており、ほとんどのAlgebra 2のシラバス、SAT Math、および全ての微積分前コースに一緒に登場します。二次方程式はx²をその最高次項として持ちます。根号方程式は根号符号の内側に変数を持ちます。2つのトピックは1つの章以上を共有します。根号を排除するために両側を二乗することはほぼ常に、次に解く方程式として二次方程式を生成します。このガイドは、二次方程式のすべての主要な方法（因数分解、平方完成、二次公式、グラフ作成）と、根号方程式の中心的な分離と二乗の技術、重要な無関な解チェック、および根号方程式が途中で二次方程式に変わるという非常に一般的な状況をカバーしています。すべての方法は、実数を使った完全に解かれた数値例で示されているため、各ステップを正確にたどることができます。

二次方程式と根号方程式とは何か？

二次方程式は、ax² + bx + c = 0の標準形で書くことができる任意の方程式です。ここで、a ≠ 0です。変数の最高次数は2です。二次方程式は、量が一定でない速度で変化する場所に出現します—発射体運動、面積問題、ピタゴラスの定理を含む幾何学的質問に。y = ax² + bx + cのグラフは放物線であり、ax² + bx + c = 0の実数解は、放物線がx軸と交わるx値です。交差がいくつ存在するかは、判別式D = b² − 4acに依存します：D > 0の場合、2つの異なる実根があります；D = 0の場合、正確に1つの実根があります（頂点がx軸に接します）；D < 0の場合、実根はなく、解は複素数です。根号方程式は、根号記号の内側に変数を含みます—最も一般的には平方根（√）ですが、立方根とより高次の根号も存在します。例：√(2x + 3) = 5、√(x − 1) = x − 3、³√(x + 2) = 4。決定的な課題は、単純な代数操作だけではこれらを解くことができないということです—根号を削除するために、根号のインデックスに一致する累乗に両側を上げる必要があります。平方根の場合、両側を二乗することを意味します；立方根の場合、立方体です。重要な複雑さは、両側を二乗することが可逆操作ではないということです。3と−3の両方が9に二乗されるため、二乗は二乗方程式を満たすが元の方程式に違反する解を導入することができます。これらを無関解と呼び、根号方程式のすべての解は受け入れられる前に元の方程式で検証される必要があります。この追加の検証ステップは、根号方程式を他のほとんどの方程式タイプと区別し、評価での最大の単一エラー源です。 2つのトピック間の接続は直接的です。多くの根号方程式は、二乗後、その後解く必要がある二次方程式を生成します。二次方程式と根号方程式を結合スキルセットとして解くことは、問題のこのクラス全体を最初から最後まで処理できることを意味します。

判別式の規則：ax² + bx + c = 0に対して、D = b² − 4ac。D > 0 → 2つの実根。D = 0 → 1つの繰り返し根。D < 0 → 実根なし。すべての根号方程式について：元の方程式のすべての解を確認してください—このステップをスキップしないでください。

二次方程式を解く：4つの方法

二次方程式を解くための4つの標準的な方法があります。どれも普遍的に最速ではありません—各方法は特定の状況で最適に機能します。最初に選択肢を理解することは不要な算術を回避します。4つの方法は：(1)因数分解、三項式が小さい整数因子を持つとき最速；(2)平方完成、頂点形式が必要な場合、または主係数が1で中間項が偶数である場合に最適；(3)二次公式、すべての二次方程式に対して機能しますが、最もの計算を伴います；および(4)グラフ、根を推定または代数解を確認するのに役立ちます。以下の異なる方程式で4つすべてが示され、各アプローチが最も効果的に機能する場所を示しています。

1. 方法1：因数分解 — x² − 7x + 12 = 0を解く

cに等しい積（ここでは12）とbに等しい合計（ここでは−7）を持つ2つの整数を探します。12に乗算される整数対：1 × 12、2 × 6、3 × 4、およびそれらの負。これらの中で、−3と−4は+12に乗算され、−7に加算します。したがって、x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0。ゼロ製品プロパティにより、x − 3 = 0またはx − 4 = 0のいずれかで、x = 3またはx = 4が得られます。確認：(3)² − 7(3) + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 ✓。(4)² − 7(4) + 12 = 16 − 28 + 12 = 0 ✓。因数分解はここで最速の選択です—因子ペアを見たら約20秒で問題全体が完了します。すべての係数が小さい整数である場合は常に因数分解を最初に試してください。10-15秒以内に整数因子を見つけることができない場合は、二次公式に切り替えてください。

2. 方法2：平方完成 — x² + 6x − 7 = 0を解く

ステップ1：定数を右辺に移動する：x² + 6x = 7。ステップ2：(b/2)² = (6/2)² = 3² = 9を求める。両辺に9を加える：x² + 6x + 9 = 7 + 9 = 16。ステップ3：左辺を完全平方式として因数分解する：(x + 3)² = 16。ステップ4：両辺の平方根をとる（±を含める）：x + 3 = ±4。ステップ5：xについて解く：x = −3 + 4 = 1 または x = −3 − 4 = −7。確認：(1)² + 6(1) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 ✓。(−7)² + 6(−7) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 ✓。この問題は(x + 7)(x − 1) = 0として因数分解することでも素早く解けます。ここでは手順を説明するために平方完成を示しています。判別式が完全平方数でない場合や、頂点形式が実際の目標である場合に不可欠となります。

3. 方法3：二次公式 — 2x² − 3x − 2 = 0を解く

二次公式はax² + bx + c = 0の任意の方程式に適用できます： x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ここで a = 2、b = −3、c = −2。ステップ1：判別式を計算する：D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25。ステップ2：D = 25 > 0なので、2つの異なる実数解があります。ステップ3：公式を適用する：x = (−(−3) ± √25) / (2 × 2) = (3 ± 5) / 4。ステップ4：2つの解：x = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2 および x = (3 − 5)/4 = −2/4 = −1/2。確認：2(2)² − 3(2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 ✓。2(−1/2)² − 3(−1/2) − 2 = 1/2 + 3/2 − 2 = 0 ✓。二次公式は因数分解が明白でない場合の第一選択肢です。常に機能し、（(3 + √5)/2のような）無理数を含む正確な答えを出し、係数がどれほど複雑であっても任意の二次方程式に対してほぼ同じ時間がかかります。

4. 方法4：グラフ — x² − x − 6 = 0を解く（概念的）

グラフとはy = x² − x − 6をプロットしてx切片を読み取ることを意味します。放物線はx = −2とx = 3でx軸と交わります。検証：(−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 ✓。(3)² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 ✓。因数分解でも同じ根が即座に得られます：(x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3 または x = −2。グラフは主に、代数計算を視覚的に確認する必要がある場合、無理数の根を小数第1位まで推定する必要がある場合、または方程式の実数解の数を問われる場合（これは判別式でも完全に解かずに即座に答えられます）に役立ちます。

5. 方法の選択：どの方法をいつ使うか

因数分解：a = 1かつ定数が小さい整数の場合は常に最初に試みる。15秒以内に因子ペアが見つからない場合は次へ進む。平方完成：a = 1かつbが偶数の場合、または問題が特に頂点形式や放物線の頂点座標を求めている場合に使用する。二次公式：因数分解が失敗した場合、a ≠ 1で係数が複雑な場合、または正確な無理数の根が必要な場合に使用する。常にD = b² − 4acを最初に計算する—D < 0の場合、実数解がなく即座に終了できる。グラフ：視覚化、推定、または確認のために使用する—筆記代数試験での主要な方法としてはほとんど使わない。

解く前に、D = b² − 4acを計算します。D < 0の場合、実数解がありません—完了。D ≥ 0の場合、方法を選択します：15秒でペアが表示される場合はファクター、そうでない場合は公式を使用します。頂点形式またはa = 1でbが偶数の場合、正方形を完成させます。

根号方程式をステップバイステップで解く

根式方程式を解く基本的な手順には4つのステップがあります。一方の側で根式を分離し、両側をインデックスに対応する累乗に上げ、結果の方程式を解き、次に元の方程式ですべての候補解をチェックします。チェックのステップはオプションではありません。無関係な解は試験問題でよくあり、他の方法では検出できません。以下は、複雑さが増加する4つの例で完全な手順を示しています。単純な平方根方程式、結果の方程式が線形である平方根方程式、立方根方程式、および同じ側に2つの根式項がある方程式です。

1. ステップ1 — まず常に根号を分離する

二乗する前に、根号の下にない定数を反対側に移動させます。√(x − 3) + 5 = 9の場合：まず5を引いてから√(x − 3) = 4を得てから二乗する。+5がある状態で二乗すると(√(x − 3) + 5)² = 81となり、これを展開するとx − 3 + 10√(x − 3) + 25 = 81になります。これは元の方程式よりも難しい根号方程式です。分離後：√(x − 3) = 4 → 二乗 → x − 3 = 16 → x = 19。確認：√(19 − 3) + 5 = √16 + 5 = 4 + 5 = 9 ✓。常に最初に分離する。

2. 解法例：単純な平方根 — √(2x + 3) = 5を解く

ステップ1：根号はすでに分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：(√(2x + 3))² = 5² → 2x + 3 = 25。ステップ3：解く：2x = 22 → x = 11。ステップ4：元の方程式で確認する：√(2(11) + 3) = √(22 + 3) = √25 = 5 ✓。最終的な答え：x = 11。解は1つ、無関な問題はなし。これが最も単純なケースです：二乗後、ちょうど1つの解を持つ線形方程式が得られます。

3. 解法例：立方根 — ³√(x − 5) = 3を解く

立方根の場合は、二乗するのではなく、両辺を3乗（3乗に上げる）します。ステップ1：根号はすでに分離されています。ステップ2：両辺を3乗する：(³√(x − 5))³ = 3³ → x − 5 = 27。ステップ3：解く：x = 32。ステップ4：確認：³√(32 − 5) = ³√27 = 3 ✓。立方根方程式が無関な解を生成することはまれです。なぜなら、3乗は一対一の演算であり—2つの異なる実数が同じ値に3乗されることはないからです。それでも、確認は良い習慣です。一般的な規則：インデックスnの根号の場合、両辺をn乗に上げる。√ → 二乗（べき乗2）、³√ → 3乗（べき乗3）、⁴√ → 4乗に上げる。

4. 解法例：2つの根号が等しい — √(3x + 1) = √(x + 9)を解く

両辺が平方根で互いに等しく設定されている場合、両辺を二乗することで両方の根号が一度に消えます。ステップ1：方程式は二乗する準備ができています。ステップ2：二乗する：3x + 1 = x + 9。ステップ3：解く：2x = 8 → x = 4。ステップ4：元の方程式で確認する：左辺 = √(3(4) + 1) = √13。右辺 = √(4 + 9) = √13 ✓。最終的な答え：x = 4。2つの根号方程式が候補を1つだけ生成する場合でも、常に確認してください—すべての単一候補方程式が有効であることは保証されていません。

根号方程式の4つのステップ：(1) 根号を分離する、(2) 両辺をインデックスに対応する乗に上げる、(3) 結果の方程式を解く、(4) 元の方程式のすべての解を確認する。ステップ4は必須—無関な解は他の方法では検出できません。

根号を二乗すると二次方程式が生じる場合

代数2の試験で最も頻繁にテストされるシナリオは、右側がxの線形または二次式である根号方程式です。二乗した後、解く必要がある二次方程式が得られ、両方の根が無関な解についてチェックされる必要があります。これは、二次方程式と根号方程式を解くことが直接重複するところです。以下の3つの完全に解かれた例は、3つの主要な形式をカバーしています：根号が線形単項式（√ = x）に等しい場合、根号が二項式（√ = x + n）に等しい場合、および被開方数自体がx²を含む場合です。

1. 例1 — √(x + 6) = x（根号が一次式と等しい）

ステップ1：根号は分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：x + 6 = x²。ステップ3：標準形に並べ替える：x² − x − 6 = 0。ステップ4：因数分解する：(x − 3)(x + 2) = 0。候補：x = 3 または x = −2。ステップ5：元の√(x + 6) = xで確認する： x = 3：√(3 + 6) = √9 = 3。右辺 = 3 ✓。有効。 x = −2：√(−2 + 6) = √4 = 2。右辺 = −2。2 ≠ −2なので、これは無関—除外。最終的な答え：x = 3のみ。x = −2が無関なのは、√は常に主値（非負）の平方根を表し、負の数と等しくなることは絶対にないからです。

2. 例2 — √(2x + 9) = x + 3（根号が二項式と等しい）

ステップ1：根号は分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：2x + 9 = (x + 3)² = x² + 6x + 9。ステップ3：並べ替える：x² + 6x + 9 − 2x − 9 = 0 → x² + 4x = 0。ステップ4：因数分解する：x(x + 4) = 0。候補：x = 0 または x = −4。ステップ5：元の√(2x + 9) = x + 3で確認する： x = 0：√(0 + 9) = √9 = 3。右辺 = 0 + 3 = 3 ✓。有効。 x = −4：√(2(−4) + 9) = √(−8 + 9) = √1 = 1。右辺 = −4 + 3 = −1。1 ≠ −1なので、無関—除外。最終的な答え：x = 0のみ。再び、x = −4で右辺が負になるため無関な根が現れますが、これは平方根には不可能です。このパターン—有効な根が1つ、無関な根が1つ—は右辺が二項式の場合の最も一般的な結果です。

3. 例3 — √(x² − 4) = x − 1（被開方数がすでに二次式）

ステップ1：根号は分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：x² − 4 = (x − 1)² = x² − 2x + 1。ステップ3：x²の項が消去される：−4 = −2x + 1 → −5 = −2x → x = 5/2。ステップ4：候補は1つだけ：x = 5/2。ステップ5：元の√(x² − 4) = x − 1で確認する： x = 5/2：左辺 = √((5/2)² − 4) = √(25/4 − 16/4) = √(9/4) = 3/2。右辺 = 5/2 − 1 = 3/2 ✓。最終的な答え：x = 5/2。被開方数がすでに二次式であったにもかかわらず、二乗後にx²の項が消去され、解が1つの線形方程式が残りました。これは常に予測可能ではありません—結果の次数を仮定するのではなく、常に代数を完全に進めてください。

根号方程式の右辺が二項式（x − 2やx + 3など）の場合、二乗すると右辺に(x ± n)²が得られます—完全に展開してください。結果の二次方程式はほぼ常に2つの根を持ちますが、通常は1つだけが無関な解のチェックをくぐり抜けます。両方が有効であると仮定しないでください。

よくある間違いとその回避方法

特定の反復的なエラーは、二次方程式と根号方程式の問題でほとんどの失われた得点の原因です。以下の5つの間違いは両方の方程式タイプをカバーしています。それぞれは具体的な修正と組み合わされているため、次の評価の前にあなたのテクニックを調整することができます。

1. 間違い1 — 無関な解のチェックをスキップする（根号方程式）

これは最も頻繁で代償の大きいエラーです。√(x + 4) = x − 2を解いた後、学生は2つの代数的な根（x = 0とx = 5）を得てそこで止まります。しかしx = 0では、右辺は0 − 2 = −2 < 0であり、平方根には不可能です。x = 5のみが有効です。修正：二乗した方程式を解いた後、すべての候補を元の方程式（根号記号付き）に代入し、方程式を偽にするものを除外する。これに対する代数的なショートカットはありません—代入しなければなりません。

2. 間違い2 — 根号を分離する前に二乗する

√(x − 3) + 5 = 9に対して、両辺を即座に二乗すると(√(x − 3) + 5)² = 81となり、これを展開するとx − 3 + 10√(x − 3) + 25 = 81—新しい、より難しい根号方程式になります。修正：まず両辺から5を引いて√(x − 3) = 4を得る。次に二乗する：x − 3 = 16 → x = 19。確認：√(19 − 3) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓。根号を最初に分離することで常に二乗のステップがより明確になります。

3. 間違い3 — 二項式の平方を誤って展開する

右辺を二乗する際の非常に一般的な代数エラー：(x − 2)² = x² − 4x + 4の代わりにx² − 4と書いてしまう。中間項2abが忘れられるか誤計算され、得られる二次方程式が変わり、誤った根につながります。修正：常に(a − b)² = a² − 2ab + b²を使用する。(x − 2)²の場合：a = x、b = 2なので(x)² − 2(x)(2) + (2)² = x² − 4x + 4。3つの項すべてを書き出す。中間項は2 × x × 2 = 4x—簡略化する前に明示的に書く。

4. 間違い4 — 判別式の符号エラー（二次公式）

a = 2、b = −3、c = −2の2x² − 3x − 2 = 0に対して：判別式はD = (−3)² − 4(2)(−2)。学生はcの負の符号を落として−4(2)(−2)を−4(2)(2)であるかのように扱い、9 + 16 = 25の代わりに9 − 8 = 1と計算することがよくあります。修正：明示的な括弧で代入を書き出す：D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 − (−16) = 9 + 16 = 25。cが負の場合、−4acの項は正になります。代入値の周りの括弧が符号エラーを防ぎます。

5. 間違い5 — 平方根をとる際に±を省略する

平方完成して(x + 3)² = 16に到達した後、多くの学生はx + 3 = 4と書いてx = 1だけを見つけ、x = −7を見逃します。修正：方程式を解くために平方根をとるたびに（元の根号記号を読むのではなく）、±を書く。方程式(x + 3)² = 16はx + 3 = ±4 → x = 1 または x = −7を与えます。±は両方の解の源です—省略すると常に一方の根が捨てられます。これは根号方程式とは異なります：元の方程式の左辺に√がある場合、根号は正の根のみを表し、第2の解は無関チェックを通じてのみ現れます。

エラーの大部分を防ぐ2つの規則：(1) すべての根号方程式の解は元の方程式での代入チェックが必要。(2) 解の過程で平方根をとるたびに±が生じ、+だけではない。両方の規則が有効な解を失うことや無効な解を受け入れることから守ります。

完全な解答付き練習問題

5つの問題は二次方程式と根号方程式を解くことに関わるスキルの全範囲をカバーしています。問題1と2は因数分解と公式を使った純粋な二次方程式です。問題3と4は根号方程式—1つはきれいで、1つは無関な解があります。問題5は根号-二次の混合方程式で、両方の根がチェックをくぐり抜けます。解答を読む前に各問題を完全に解いてください。

1. 問題1（二次—因数分解）— x² + 2x − 15 = 0を解く

積が−15で和が+2の2つの整数を探す。選択肢：(1, −15)、(−1, 15)、(3, −5)、(−3, 5)。ペア(5, −3)は−15を掛けて2を加えます。よってx² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) = 0。解：x = −5 または x = 3。確認：(−5)² + 2(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓。(3)² + 2(3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓。

2. 問題2（二次—公式）— 3x² + 5x − 1 = 0を解く

ここでa = 3、b = 5、c = −1。きれいな整数因子ペアがないため、因数分解は実用的ではありません。ステップ1：D = b² − 4ac = (5)² − 4(3)(−1) = 25 + 12 = 37。ステップ2：D = 37 > 0なので、2つの異なる実数解が存在します。√37は完全平方数ではないので、根は無理数です。ステップ3：x = (−5 ± √37) / 6。解：x = (−5 + √37) / 6 ≈ (−5 + 6.083) / 6 ≈ 0.181 および x = (−5 − √37) / 6 ≈ −1.847。ヴィエタの確認：根の和 = −b/a = −5/3 ≈ −1.667。計算した和：0.181 + (−1.847) ≈ −1.666 ✓。根の積 = c/a = −1/3 ≈ −0.333。計算した積：0.181 × (−1.847) ≈ −0.334 ✓。

3. 問題3（根号—無関な解なし）— √(3x − 2) = 4を解く

ステップ1：根号はすでに分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：3x − 2 = 16。ステップ3：解く：3x = 18 → x = 6。ステップ4：元の方程式で確認する：√(3(6) − 2) = √(18 − 2) = √16 = 4 ✓。最終的な答え：x = 6。

4. 問題4（根号—無関な解あり）— √(x + 12) = xを解く

ステップ1：根号は分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：x + 12 = x²。ステップ3：並べ替える：x² − x − 12 = 0。ステップ4：因数分解する：(x − 4)(x + 3) = 0。候補：x = 4 または x = −3。ステップ5：元の√(x + 12) = xで確認する： x = 4：√(4 + 12) = √16 = 4。右辺 = 4 ✓。有効。 x = −3：√(−3 + 12) = √9 = 3。右辺 = −3。3 ≠ −3なので、無関—除外。最終的な答え：x = 4のみ。これは典型的な例です：2つの代数的な根、1つが実数、1つが無関。

5. 問題5（根号-二次、両方の根が有効）— √(x² + 3x) = 2を解く

ステップ1：根号は分離されています。ステップ2：両辺を二乗する：x² + 3x = 4。ステップ3：並べ替える：x² + 3x − 4 = 0。ステップ4：因数分解する：(x + 4)(x − 1) = 0。候補：x = −4 または x = 1。ステップ5：元の√(x² + 3x) = 2で確認する： x = −4：√((−4)² + 3(−4)) = √(16 − 12) = √4 = 2 ✓。有効。 x = 1：√(1² + 3(1)) = √(1 + 3) = √4 = 2 ✓。有効。最終的な答え：x = −4 または x = 1。両方の解が有効—これはまれですが完全に可能です。xの両方の値が被開方数を4にし、どちらも√を負の数と等しくしないため、どちらも無関ではありません。

FAQ — 二次方程式と根号方程式を解く

これらは学生がこの教材を学ぶ際に最も頻繁に出てくる質問です。各答えは、エラーを引き起こす可能性が最も高い具体的な機械的または概念的な点に焦点を当てています。

1. 無関な解とは何で、なぜ現れるのか？

無関な解とは、二乗後の方程式は満たすが、元の根号方程式は満たさない値です。これは二乗が可逆操作ではないために現れます：元の方程式に√(expression) = −5があった場合、平方根は≥ 0なのでこれはすでに不可能ですが、二乗するとその不可能性が消え、expression = 25が得られ、これは解を持てます。二乗のステップが符号の制約を消去したのです。無関な解を検出する唯一の方法は、各候補を元の方程式（根号を含むもの）に代入し、失敗するものを除外することです。これに対する代数的なショートカットはありません。試験では、根号方程式の問題は1つの根が無関になるように設計されていることが多い—常に確認してください。

2. 二次方程式を解くにはどの方法を使うべきか？

まず因数分解を検討する：acを掛けてbを加える2つの整数（または有理数）を探す。15秒以内に見つからない場合は、D = b² − 4acを計算する。DがD = 0の場合は完全平方数で因数分解が機能するので再試みできます；そうでない場合は根が無理数であり二次公式が適切なツールです。問題が頂点形式または放物線の頂点を求めている場合は平方完成を使用する。実数解の数を求めている場合はDを計算するだけでよい—完全な解法は不要です。

3. 根号方程式が全く解を持たないことはあるか？

はい—2つの異なる方法で。まず、方程式がすぐに不可能な場合：√(x + 1) = −3は平方根が常に≥ 0で−3と等しくなることは絶対にないため解がありません。次に、すべての代数的な候補が確認後に無関だと判明する場合。例：√(x + 2) = x − 4を解く。二乗：x + 2 = x² − 8x + 16 → x² − 9x + 14 = 0 → (x − 2)(x − 7) = 0。x = 2を確認：√4 = 2だが右辺 = 2 − 4 = −2。無関。x = 7を確認：√9 = 3で右辺 = 7 − 4 = 3 ✓。有効。ここでは1つの解が生き残りますが、両方が無関だった場合、方程式は実数解を持たないことになります。

4. 二次公式はすべての二次方程式に機能するか？

はい、例外なく。公式x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)は、a ≠ 0である限り、任意のax² + bx + c = 0の正しい解を与えます。D < 0の場合、解は複素数です：x = (−b ± i√(4ac − b²)) / (2a)。標準的なAlgebra 2のコースでは、通常「実数解なし」と記して終わります。D = 0の場合も公式は機能します—x = −b/(2a)を2回与え、単一の重根を確認します。公式は常に適用できます；因数分解が失敗した場合の信頼できる代替手段として使用してください。

5. 2つの別々の根号を含む根号方程式をどのように解くか？

方程式に2つの根号の項が含まれる場合、1つの根号を分離して二乗する。2番目の根号が残る場合は、それを分離してもう一度二乗する。例：√(x + 5) − √(x − 3) = 2を解く。ステップ1：1つの根号を分離する：√(x + 5) = √(x − 3) + 2。ステップ2：二乗する：x + 5 = (x − 3) + 4√(x − 3) + 4 = x + 1 + 4√(x − 3)。ステップ3：簡略化する：5 − 1 = 4√(x − 3) → 4 = 4√(x − 3) → √(x − 3) = 1。ステップ4：もう一度二乗する：x − 3 = 1 → x = 4。ステップ5：元の方程式で確認する：√(4 + 5) − √(4 − 3) = √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓。最終的な答え：x = 4。2つの根号方程式はほぼ常に2回の二乗が必要で、常に最終確認が必要です。

6. 完全に解かずに二次方程式の実数解の数をどのように知るか？

判別式D = b² − 4acを計算して結果を直接読む： D > 0 → 2つの異なる実数解（放物線がx軸と2回交わる）。 D = 0 → 1つの重複した実数解（頂点がx軸に接する）。 D < 0 → 実数解なし（放物線がx軸と交わらない）。例：2x² − 4x + 3 = 0はいくつの実数解を持つか？D = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8 < 0。答え：実数解なし—これ以上の作業なしに。これは多肢選択テストの「解の数は」という質問への最速のアプローチです。

タグ: